目　录 绪论 １ 第一部分　一元数学分析 第一篇　极限论 ３ 第１章　数列的极限 ３ 第２章　函数的极限 ８ 第３章　函数的连续性 １２ 第４章　实数的完备性 １４ 极限论的总结 １６ 第二篇　微分论 １７ 第１章　微分和导数 １７ 第２章　微分中值定理 １９ 第３章　函数的几何性质 ２３ 微分论的总结 ２６ 第三篇　积分论 ２７ 第１章　不定积分 ２７ 第２章　定积分 ３１ 第３章　可积性理论 ３５ 第４章　定积分的应用 ３７ 第５章　反常积分 ３９ 积分论的总结 ４０ 第四篇　级数论 ４１ 第１章　数项级数 ４１ 第２章　函数项级数 ４４ 第３章　幂级数 ４７ 第４章　傅里叶级数 ５０ 级数论的总结 ５３ 第二部分　多元数学分析 第五篇　多元函数极限论 ５４ 第１章　平面点集知识 ５４ 第２章　多元函数的极限 ５５ 第３章　多元函数的连续性 ５６ 多元函数极限论的总结 ５７ 第六篇　多元函数微分论 ５９ 第１章　多元函数可微性 ５９ 第２章　泰勒公式和极限问题 ６２ 第３章　可微性在几何方面的应用 ６４ 第４章　含参变量的积分 ６６ 多元函数微分论的总结 ７０ 第七篇　多元函数积分论 ７１ 第１章　二重积分 ７１ 第２章　三重积分 ７３ 第３章　曲线积分 ７６ 第４章　曲面积分 ７９ 多元函数积分论的总结 ８４ 华东师范大学数学系《数学分析》考点精讲及复习思路 绪　论 一、数学分析在数学系本科中的地位 １．数学分析、解析几何、高等代数俗称为数学系本科生的三高．拓扑学、泛函分析、抽象代数俗称 为数学系研究生的三高．数学分析学习得好与不好，不但决定了其它数学课学得好与不好，也确定了 你考上研究生后起跑线的前后．因此，同学们复习好数学分析，不仅仅是要考上研究生，更重要的是考 上研究生后，能够胜任研究生阶段的学习． ２．数学分析３００课时左右（三学期），解析几何 １００课时左右（一学期），高等代数２００课时左右 （二学期），其它课程也就是一学期６０－８０个课时．这是权威的课时安排．不是一个院系或某个人的教 学安排．是长期教学实践的结果．从这个课时的分布也可以看出数学分析在整个数学系本科教育中的 地位和影响． ３．正因为以上所述，数学分析成为考研的两门基础课之一．换句话说，数学分析决定了你是否有 机会进一步深造的可能性． 二、数学分析的主要内容 一元数学分析 数学分析＝ 多元数学分析 极限论 ? ? 微分论 ? 一元数学分析? ?积分论 ? ?级数论 多元极限论 多元数学分析 多元微分论 多元积分论 多元数学分析以一元数学分析为基础，一元数学分析以极限论为基础．七大块之间相互有关系， 形成一个有机的统一体． 三、数学分析考研辅导的指导思想 １．基础分占到６０％左右，技能分４０％左右． ２．在保证基础分的情况下，提高技能分． ３．辅导的指导思想： 对定义有感性的认识（即几何直观）； 深刻理解不同定义间的主要联系（即定理）； 掌握分析问题的方法（即解题思路）． 四、教材和课程设计 — １— １．关于教材 教材：《数学分析》第四版 编者：华东师范大学数学系 出版：高等教育出版社 ２．课程设计 整个课程由三个阶段组成： 第一阶段：《考点精讲及复习思路》（５０课时左右） 目标：力保百分之６０到７０的基本分． 方法：按考点之间的联系展开，以高频考点为精讲对象，通过典型例题深入提． 第二阶段：《名校真题解析及典型题精讲精练》（４０课时左右） 目标：百分之３０到４０的技能分． 方法：通过近几年名校经典试题的分析，加深对重要定理的理解，熟练地掌握典型问题中的一些 常规的技能和技巧． 第三阶段：《冲刺大串讲及模拟四套卷精讲》（２０课时左右） 目标：稳固第一阶段和第二阶段的成果，从整体上把握数学分析的基本思想和解题技能，力争在 考研中取得高分． 方法：以极限为主线，提炼数学分析七大部分的精华；通过四套模拟卷的精讲，再现典型问题中解 决问题的典型方法． 五、授课对象 １．准备报考数学专业研究生的同学 ２．准备报考数学一类且想取得高分的同学 寄语 数学分析，对老师和学生来说，都是数学系中最具挑战性的一门基础专业课．我将尽我最大的努 力，把近三十年对数学分析的理解贯穿在整个的教学之中．希望通过本课程三个阶段这个阶段学习， 让同学们从害怕数学分析到喜欢数学分析，从支离破碎的概念到从整体上把握数学分析的基本思想 和基本内容，从做题无处下手到遇题不慌，沉着迎战的良好心理状态． 我相信，在我们共同努力下，同学们一定会在数学分析方面取得长足的进步，在考研中取得理想

第十一章 重积分 §1 二重积分的概念 1.把重积分 xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D= [0,1]×[0,1],并用直线 ∫∫ D i j 网x= ,y= (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为 n n 其界点. 2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界. 3.证明定理(20.3):若f