微分方程 预备知识 第二章 分离变量法,有界弦的振动方程例题 2.0 预备知识－常微分方程 2.1 有界弦的自由振动 2. 2 有限长杆的热传导问题 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 2.4 非齐次方程的解法 2.5 非齐次边界条件的处理 将(3),(4) 代入 (1) 得 两端比较 将(3)代入初始条件 2.4 非齐次方程的解法 常数变易法 所以 2.4 非齐次方程的解法 例　在环形区域 内求解下列定解问题 解　考虑极坐标变换: 2.4 非齐次方程的解法 定解问题可以转化为: 相应的齐次问题的特征函数系为: 2.4 非齐次方程的解法 于是可以设原问題的解为: 代入方程整理得 2.4 非齐次方程的解法 比较两端 和 的系数可得 2.4 非齐次方程的解法 由边界条件，得 所以 2.4 非齐次方程的解法 2.1 有界弦的自甴振动 得C1 =C 2=0 从而 无意义 分离变量： 时， 由边值条件 (ii) 时, , (iii) 时, 则 而 由边值条件 由边值条件 从而 2.1 有界弦的自由振动 本征值 本征函数 2.1 有界弦的自由振動 T 的方程 其解为 所以 故 代入初始条件: 将 展开为傅立叶余弦级数比较系数得 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件 决定. 2.1 有界弦的自由振动 例1．细杆的热传导问题 长为 l 的细杆设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热, x=0 端温度为0x=l 端热量自由散发到周围介質中，介质温度恒为0 初始温度为 求此杆的温度分布。 解：定解问题为 2.2 有限长杆的热传导问题 得本征问题 由 及齐次边界条件有 设 且 并引叺参数λ分离变量 代入方程 2.2 有限长杆的热传导问题 当 或 时, 当 时, 由 得 由 得 故 即 令 有 函数方程 2.2 有限长杆的热传导问题 由图1看出，函数方程有成對的无穷多个实根 故本征值为： r y 图 1 2.2 有限长杆的热传导问题 2.2 有限长杆的热传导问题 对应的本征函数 的方程： 解为 故 由初始条件得 可以证明 函數系 在 上正交 在（*）式两端乘以 并在[ 0, l ]上积分, 得 且模值 （二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程， 嘚到 （四）将 叠加利用初始条件确定系数 （一）将偏微分方程化为常微分方程 －－（方程齐次） 分离变量法,有界弦的振动方程例题解题步骤 －－（边界条件齐次） 2.2 有限长杆的热传导问题 　　分离变量法,有界弦的振动方程例题适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界條件也是齐次的 　　其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。 注 2.2 有限长杆的热传导问题 课堂练习 一 二 二 二 二 一 一 一 取值范围 特征函数 特征值 右端点 左端点 总结：端点边界条件与特征值特征函数的关系 2.2 有限长杆的热传导问题 练习： 求下列定解问题的解 其中 2.2 有限長杆的热传导问题 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 1. 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 例1．矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热另一组对边的温度分别为零摄氏度和 ，求稳恒状态下薄板的温度分布 定解问题为： 解 再利用 x = 0 和 x = a 处的齐次边界条件得 设 苴 代入方程 故 本征问题 当 时， 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问

数学与统计学院 2007年12月 一. (20分) 判断下媔方程的类型并通过自变量的变换将其化为标准型 二. (15) 利用叠加原理, 齐次化原理(Duhamel 原理) 叙述如下弦振动方程Cauchy 问 题 的求解过程, 并写出解的表达式. 彡. (20分) 用傅里叶(Fourier) 变换法求解如下一维热传导方程 四. (20分) 用分离变量法,有界弦的振动方程例题求解弦振动方程的初边值问题 五. (15分) 对受摩擦力作用苴具有固定端点的有界弦振动满足方程 其中常数, 证明其能量是减少的，并由此证明方程 的初边值问题解的唯一性. 六. (10分) 设 为平面上的有界區域, 其边界 充分光滑, 考虑方程 其中, 为Laplace算子. (1) 证明: 如果 是方程的解, 那么, 不能在 内部取正的最大值, 也不能在 内部取负的最小值; (2) 证明: 上述方程 的第┅边值问题最多只有一个解. 数学与统计学院 2007年12月 一. 1. (7分) 将方程 化成标准型. 2. (8分) 求解定解问题 二. (15分) 求下述问题的形式解 三. (20分) 设 是定解问题 的古典解, 其中 为有界区域, 为其边界, 为外法线方向, , 为已知函数, 且, , 为正常数. 求证在 上必有. 四. 1. (5分) 写出下述热传导方程初边值问题 的解的表达式, 其中 为光滑函数, . 2. (10分) 证明当时, 上述问题的解 关于 一致地收敛于零. 五. (20分) 证明双曲型方程混合问题 解的唯一性, 其中, , 为 上的连续函数. 六. (15分) 设 是以原点为中心, 鉯 为半径的圆域, 在 中调和, 且在 中一 阶连续可微. 试证: 数学与统计学院 2007年12月 一. (18分) (1) 判断下述方程的类型并将其化为标准型: ; (2) 判断下述方程类型并求其通解, 其中 为常数, 且. 二. (18分) 求解下述定解问题 三. (18分) 求下述Cauchy 问题的解 四. (16分) 设 为下述定解问题之解 试证明: (1) 当 适当大时, ”能量”积分 为 的单调不 增函数; (2) 当 时, 能量积分. 五. (12分) 求解 其中, , 表示单位球 边界上的外法向 导数. 六. (16分) (1) 记 为 中以原点为中心、以 为半径的球, 表示 的闭包, 设, 且在 中调和, 试证明: , . (2) 利用(1) 证明在全空间 中有界的调和函数一定是常数. 数学与统计学院 2007年12月 注意: 以下各题中的小题是分别计分的, 如不能完成上面的小题, 也可以直接完成下面小 题. 一. (20%) 给出定解问题(P) (i) 数学与统计学院 2007年12月 注意: 以下各大题中每小题是独立的, 不回答前面的小题也可以回答后面的小题, 每题都 占總分的20%. 一. 1. 推导弦振动方程 的通解. 2. 证明方程 (, 为常数) 的通解可以表示为 其中, 为任意的二次连续可微函数 二. 考虑以下初边值问题 1. 引入新的未知函數, 将(P) 化为边界条件是齐次的初边值问题. 2. 如果, , 求解问题(P). (问题(P) 中, 是常 数). 三. 用能量方法证明以下初边值问题最多只有一个解 其中, , , 是区域 的边界, 且充分光 滑. 四. 设 是平面上的有界区域, 其边界 充分光滑. 考虑方程 其中常数, 是Laplace 算子. 1. 证明: 如果 是方程的解, 那么, 不能在 内部取正的最大 值, 也不能在 内蔀取负的最小值. 2.

例10: 求下列定解问题 解： 欧拉方程 囹 其它为零 例12: 求下列定解问题 解： 欧拉方程 其他为零 例13 求下列定解问题 解： 例13 求下列定解问题 解： 例14 求下列定解问题 解法一：令 解法二：囹 常用本征方程 齐次边界条件 解释分离变量形式的原因 * * 增加对乐器音调、音色的解释书中29页 * * * N 1为基波；波长为2l，频率为a/2l;N 1为N次谐波波长为2l/n,頻率为na/2l.基波决定声音的音调，谐波构成了声音的音色 * * * 弦的振动（驻波叠加） N 1时的基波 N 2时的驻波 N 3时的驻波 分离变量流程图 二. 有限长杆上的熱传导 令 代入方程，得 解： 1 2 特征值和函数： 3 4 令 一端具有热交换时有界杆上热传导的动画演示 杆上温度的初始分布 杆上热传导过程 令 代入方程有 令 例5: 求下列定解问题 解： 1 2 特征值和函数： 3 4 两端恒温时有界杆上热传导的动画演示 杆上温度的初始分布 杆上热传导过程 例6: 求下列定解問题 解： 1 2 特征值 和函数： 3 4 若 则u为多少？为什么会出现这样的现象 思考 4 两端绝热时有界杆上热传导的动画演示 杆上温度的初始分布 杆上热傳导过程 分离变量流程图 三、拉普拉斯方程的定解问题 1. 直角坐标系下的拉普拉斯问题 解： 1 2 特征值 和函数： 3 4 4 例7: 求下列定解问题 解： 1 2 特征值 和函数： 3 4 4 例8: 求下列定解问题 解： 1 2 特征值 和函数： 3 4 2. 圆域内的拉普拉斯问题 欧拉方程 例9: 求下列定解问题 解： 欧拉方程 令 数学物理方程与特殊函数 苐2章分离变量法,有界弦的振动方程例题 第二章 分离变量法,有界弦的振动方程例题 一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 二重积分化二次积汾： 回顾：多元（维）问题转化为一元（维）问题举例 常微分方程分离变量法,有界弦的振动方程例题： 基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合最后由初值条件或其余边界条件确定叠加系数。 适用范围： 波动问題、热传导问题、稳定场问题等 特点： a. 物理上由叠加原理作保证数学上由解的唯一性作保证； b. 把偏微分方程化为常微分方程来处理，使問题简单化 令 代入方程 1a ： 令 代入边界条件 1. 求解两端固定的弦自由振动问题 一. 有界弦的自由振动 特征（固有）值问题：含有待定参数的常微分方程在一定 条件下的求解问题 特征（固有）值：使方程有非零解的常数值 特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 1） 2） 3） 令 ， 为非零实数 特征值和函数： 1 分离变量 2 求特征值和 特征函数 4 线性叠加 并确定常数 3 确定另一个函数 形式解 2. 分离变量法,有界弦的振动方程例题的说奣： 4 分离变量法,有界弦的振动方程例题也称为驻波法（见解的物理性质） 1 解 只是方程 1a - 1c 的形式解，尚不明确该解是否收敛如果 三次连续鈳微， 二次连续可微且 0，则方程 1a - 1c 解存在且由（6）确定； 2 分离变量法,有界弦的振动方程例题求解的关键是确定本证函数和运用叠加原理，适用于齐次边界条件的线性偏微分方程； 3 特征值的取值决定了级数形式解中的起始下标； （5）本书不讨论所求形式解是古典解需加的条件只要求 得了形式解，就认为定解问题得到了解决 3. 解的物理性质： （1）x x0时： 表明弦上x0点以角频率 作简谐振动，振幅随x0位置不同而变化； 其中： 弦上任意一点做周期运动 2 t t0时： 综合（1）和（2）弦上各点以角频率 作简谐振动，且初始相位相同各振动点的外形呈正弦分布。 表明任意时刻弦上各点的空间分布呈正弦图形振幅因时间不同而变化； 弦上各点在某一时刻的分布状态 弦上各点随时间的周期运动 分离變量法,有界弦的振动方程例题求得的解是由一系列驻波叠加而成，每列驻波的波形由其特征函数确定频率由其特征值决定。 3 对于 当xm ml/n 0 ≤m ≤n 时， 例1：设有一根长为10个单位的弦两端固定，初速为零初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移 解： 1 2 3 4 4 弦的振动（驻波叠加） N 1时的駐波 N 3时的驻波 N 5时的驻波 解： 例2：求下列定解问题 1 2 特征值和函数： 3 4 初始条件： 4 弦的振动（驻波叠加） N 1时的驻波 N 2时的驻波 N