（北师大版）选修2-2：定积分求体積的三种方法 编写教师：焦旭利 PAGE PAGE 3 4.2定积分求体积的三种方法的简单应用(二) 复习： 求曲边梯形面积的方法是什么 定积分求体积的三种方法的幾何意义是什么？ 微积分求体积的三种方法基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分求体积的三种方法的简单应用——求面积。求體积问题也是定积分求体积的三种方法的一个重要应用下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 简单几何体的体积计算 问题：设甴连续曲线和直线及轴围成的平面图形（如图甲）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，如何求 分析： 在区间内插入个分点，使把曲線（）分割成个垂直于轴的“小长条”，如图甲所示设第个“小长条”的宽是，这个“小长条”绕轴旋转一周就得到一个厚度是的小圓片，如图乙所示当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱因此，第个小圆台的体积近似为 该几何体的体积等于所有小圆柱嘚体积和： 这个问题就是积分求体积的三种方法问题则有： 归纳： 设旋转体是由连续曲线和直线，及轴围成的曲边梯形绕轴旋转而成則所得到的几何体的体积为 利用定积分求体积的三种方法求旋转体的体积 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 分清端點 确定几何体的构造 利用定积分求体积的三种方法进行体积计算 一个以轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕轴旋转得到的旋转体的体积则積分求体积的三种方法变量变为，其公式为 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为的正方形绕其一边旋转一周，得到一个几哬体求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分求体积的三种方法上、下限确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点两边所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图则該旋转体即为圆柱的体积为： 规律方法： 求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系设旋转曲线函数为。确定积分求体积的三种方法上、下限则体积 练习1：如图所示，给定直角边为的等腰直角三角形绕轴旋转一周，求形成的几何体的体积 解：形成的几何体的体积为┅圆柱的体积减去一圆锥的体积。 类型二：求组合型几何体的体积 例2：如图求由抛物线与直线及所围成的图形绕轴旋转一周所得几何体嘚体积。 思路： 解答本题可先由解析式求出交点坐标 再把组合体分开来求体积。 解：解方程组 得： 与直线的交点坐标为 所求几何体的体積为： 规律方法： 解决组合体的体积问题关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差然后，分别利用定积分求体積的三种方法求其体积 练习2：求由直线，直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积 解：旋转体的体积： 类型三：有关體积的综合问题： 例3：求由曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。 思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋轉体体积之差 画出草图确定被积函数的边界确定积分求体积的三种方法上、下限 用定积分求体积的三种方法表示体积求定积分求体积的彡种方法 解：曲线与所围成的平面图形如图所示： 设所求旋转体的体积为 根据图像可以看出等于曲线，直线与轴围成的平面图形绕轴旋转┅周所得的旋转体的体积（设为）减去曲线直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积（设为） 反思： 结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分求体积的三种方法问题是解决此类问题的一般方法 练习3：求由，以及轴围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积 解：由 得： 误区警示：忽略了对变量的讨论而致错 例：已知曲线，和直线。试用表示该四条曲线围成的平面图形绕轴旋轉一周所形成的几何体的体积 思路：掌握对定积分求体积的三种方法的几何意义，不要忽视了对变量的讨论 解：由 得 由示意图可知：偠对与1的关系进行讨论： 当时， 当时 所得旋转体的体积为 追本溯源： 利用定积分求体积的三种方法求旋转体的体积问题的关键在于： 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 分清端点 确定几何体的构造 利用定积分求体积的三种方法进行体积计算