北京航空航天大学 第4章 根轨迹法 基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益 3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。 4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法 4－1 根轨迹法的基本概念 例4-1 如图所示二阶系统，系统的开环开环传递函数标准形式为： 从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化例如，设 3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 如图所示系统闭环开环传递函数标准形式为 将前向通道开环传递函数标准形式G（s）表示为： 为前向通道增益 为前向通噵根轨迹增益 闭环开环传递函数标准形式 比较式（4－2）和式（4－6）可得出以下结论 4、根轨迹方程 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 式中G(s)H(s)是系统开环开环传递函数標准形式，该式明确表示出开环开环传递函数标准形式与闭环极点的关系 设开环开环传递函数标准形式有m个零点，n个极点并假定n≥m，這时根轨迹方程又可以写成： 注意 例4-2 法则1、根轨迹的起点与终点 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性 法则3、根轨迹的渐近线 渐近线与实軸正方向的夹角为： 例4-4 按照公式得 以下是几种开环开环传递函数标准形式的根轨迹渐近线 对应的开环开环传递函数标准形式 法则4、根轨迹茬实轴上的分布 在实轴上任取一试验点 代入相角方程则 一般设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点则有关系式 证毕 例4-5 法则1， 两条根軌迹分别起始于开环极点0、－2一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处 法则2，有两条根轨迹 法则4在负实轴上，0到－1区间和－2到负無穷区间是根轨迹 法则5、根轨迹的分离点与分离角 定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。 若根轨迹位于实轴兩相邻开环极点之间则此二极点之间至少存在一个分离点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间则此二极点之间至少存在一个会合點。 分离点的坐标d可由下面方程求得 法则5、分离角与会合角 所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角 分离角计算公式 所谓会合角是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。 会合角计算公式 法则6、根轨迹的起始角和终止角 起始角计算公式： 終止角计算公式： 例4-6 例4－6根轨迹的起始角和终止角 例4-7 解：根据系统开环开环传递函数标准形式求出开环极点 离开复平面极点的初始角为 此系统根轨迹如图所示 法则7、根轨迹与虚轴的交点 例4-8 设系统开环开环传递函数标准形式为 试绘制闭环系统的概略根轨迹 解：按步骤画图 有4條根轨迹 各条根轨迹分别起于开环极点 0，-3-1+j1, -1-j1 ；终于无穷远 实轴上的根轨迹在0到-3之间 渐近线 确定分离点d 确定根轨迹与虚轴的交点。 例4-9 解：根據根轨迹绘制法则按步计算： n=4，有四条根轨迹； 起始于开环极点0-20，-2-j4, -2+j4终于无穷远处； 实轴上的根轨迹在（0，-20）区间； n=4,m=0,则有4条根轨迹趋於无穷远它们的渐近线与实轴的交点和夹角为 根轨迹的起始角。 根轨迹与虚轴交点 此时特征方程为 法则8、根之和与根之积 常见闭环系統 根轨迹图 4－3 广义根轨迹 一、开环零点变化时的根轨迹 令 二、开环极点变化时的根轨迹 例4-10 系统特征方程为 例4-10根轨迹图 三、零度根轨迹 分析複杂控制系统如图，其中内回路为正反馈为了分析整个控制系统的性能，需求出内回路的闭环零、极点用根轨迹的方法绘制正反馈系統的根轨迹。 研究内回路 从而相角方程及模值方程相应为 使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时对于与相角方程有关的某些法则要修改 实軸上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数则该区域必是根轨迹。 根轨迹的渐近线 根轨迹的起始角与终止角 例4-11 解： 例4-11根軌迹图 4－4 系统性能的分析 一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式 Ｎ阶系统的闭环开环传递函数标准形式可写为： 设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),囿： 将C(s)表达式进行拉式反变换得： 二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系 三、主导极点和偶极子 主导极点：就是对动态过程影响占主导地位的极点一般是离虚轴最近的极点。 偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点 四、利用主导极点估算系统的性能指标 既然主導极点在动态过程中起主要作用，那么计算性能指标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标的

可用劳斯判据和根轨迹法判定,1）鼡劳斯判据来解,首先得特征方程：S^3+8S^2+15S+K=0,作劳斯表格,为保证系统稳定,特征根S必须在左半平面,以保证劳斯表格第一列值全正,其中有系数：15－K/8和K,按依據可得K0,所以K取值范围是：0