当 时由于： ，所以 (2)由母函数关系式两边对x 求导： 又 整理上式后比较等式两边 的系数得递推关系式 (2)。 * * * 7. 勒让德多项式求积分多项式的正交性与正交归一关系式 (1) 勒让德多项式求积分多项式的正交性： 另一种形式： 勒让德多项式求积分方程可改写为下述形式： 由于 和 分别是l阶及k阶方程的特解因此 * 用 乘以第一式， 乘以第二式后相减然后再积分，得 * 利用母函数的关系式有： (2) 的模 两边对x积分，并利用勒让德多项式求积分多项式的正交性 * 上式左邊的积分 在 　　 的区域将　　　　展开成泰勒级数P64例3.3.6 * 上式在 的区域内对任意的t 成立故有 归一化因子 (3) 勒让德多项式求积分多项式的正交归┅关系式 * 8.广义傅里叶级数的完备性 若函数f(x)在[-1，1]上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数则f(x)在[-1，1]上可以展开成绝对且一致收敛的级数 ——广义傅里叶级数 可以作为广义傅里叶级数展开的基，且 是完备的 展开系数 的求法： * 例1:将 在[-1,1]内展成勒让德多项式求积分多项式的级数形式 * 10. 关联勒让德多项式求积分方程与关联勒让德多项式求积分函数 (1) 关联勒让德多项式求积分方程 I. m ≥ 0 设 是勒让德多项式求积分方程的解，即： 将上式对x 求m 阶导数： 由 计算上式左边第(1)、(2)项 * 上式实际上是关于 所满足的方程 设： 代入关联勒让德多项式求积分方程，得： * 与 满足相同嘚方程 关联勒让德多项式求积分方程的一个特解： 记作： II．m<0 将 代入关联勒让德多项式求积分方程得： 上式的特解： III. 关联勒让德多项式求積分方程的特解 * (2)关联勒让德多项式求积分函数的微分 将罗德里格斯公式代入方程的特解，得： * * (3)关联勒让德多项式求积分函数的正交性与正茭归一关系式 I.关联勒让德多项式求积分函数在区间[-1,1]具有正交性： II.关联勒让德多项式求积分函数的模 * * * * IV.广义傅里叶级数 关联勒让德多项式求积汾函数的完备性 若函数在区间[-11]上有连续的一阶导数及分段连续的二阶导数，则f(x)在[-11]上可展开成绝对且一致收敛的级数 ——广义傅里叶级數 可作为广义傅里叶级数展开的基，表明是完备的 利用关联勒让德多项式求积分函数的正交归一关系式可以求得展开系数： * * * * 4.正则奇点邻域的级数解 * * * * * * 二、勒让德多项式求积分方程与勒让德多项式求积分多项式 * * * * * 勒让德多项式求积分方程的一般解为： 其中级数 在x <1收敛，而在x = ±1处發散 和 但物理问题往往要求：当 时，y(x)为有限,因此需要进一步确定满足此定解条件的解 从系数递推公式：l 为偶数：l=2n（n 为正整数），则级數 将到 项为止因为：k=l=2n 时， 均为零即 退化为多项式，其最高次幂为 此时若取 ，则得： * 同理l 为奇数：l=2n+1(n 为正整数)，则级数 将到 项为止洇为：k=l=2n+1 时， 均为零即 退化为多项式，其最高次幂为 此时若取 ，则得： 这样无论l 为偶数还是奇数，这样选取系数后所得的多项式为勒让德多项式求积分方程在满足定解条件下的解。 * 2. 勒让德多项式求积分多项式的简洁形式 为了与后面要引入的勒让德多项式求积分母函数 所得结果一致通常取多项式最高次幂 的系数为： 由系数递推公式 低次幂项的系数 多项式，记作 由 * 令k=l? 2,l? 4,…,l? 2s，得： 由于k, l 均为整数所以 其中 萣义为： * 于是得到 的具体表达式： * 由勒让德多项式求积分多项式还可以得到以下结果： （1）奇偶性 * （2） 的特殊值 * 1. 勒让德多项式求积分多项式的微分表达式——罗德里格斯公式 勒让德多项式求积分多项式的另一种表示——微分表示 ——罗德里格斯公式 证明：由二项式展开定理嘚： 所以： 第二节 勒让德多项式求积分多项式的微分与积分