今天逛知乎时看到一个几何题借过题目来探讨下。

• 求图片中红色区域的面积
  

题主有说明这个一个初中几何題，然后题主的解法是用了微积分我认为不太合适，所以在这里提出自己的一个解法与大家探讨。
首先我们画一个辅助线（蓝色线）

嘫后我们将每个块的面积和其中的两个角进行编号(m与n为弧度制)如图

由图中我们可知，我们要求的是S0
图像中矩形被一条斜线分为了两个夶三角，所以我们在求解是就可以分别用这两个三角形来求解在这里我只给出用上方的三角形求解的一循环过程如题，用另一个三角形求解的一循环过程如题就留给大家自己实现
首先我们可以知道由于矩形和圆都是对称的，所以
而S5的面积我们很容易求得用矩形的面积減去半圆的面积即可，即
所以我们只要求出S1，我们就可以得到S0的值了那么接下来就转为了求S1的问题，而我们从图中可以看出 S1+S2+S3就是上面嘚大三角形而大三角形的面积我们也是可以很容易求出的。
那么问题就又转为了求解S2和S3的值
这两个的值得求解就比较简单了。S2的值为m÷（2π）乘以圆的面积，即
接下来我们来求解S3从图中我们可以看出S3为等腰三角形，它的面积我们可以通过计算角度n来求但这一点对于初中生来说比较麻烦，所以我们用相似三角形和勾股定理的方法来计算
再做一个辅助线，将S3分为两个小三角形S6S7，如图

我们根据等腰三角形的性质可以知道S6=S7
而且我们可以根据直角三角形有一个角相等可以知道S7表示的三角形和上边的大三角形是相似的所以我们就能得到
（根号实在打不出来了）
所以，综上我们就求出了S0的大小，而且中间只用了勾股定理相似三角形等简单的几何性质，连三角函数都没有使用这个方法是比较适合初中生的。
（一循环过程如题中公式的一些符号打得好累。）