第11章数的开方第1课时教学目标1，了解数的平方根的概念，会求某些非负数的平方根。2，会用根号表示一个数的平方根、教学过程一、复习引入1、我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)3、一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算?(面积25平方米，运算是乘方运算)二、创设问题情境，解决问题1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少?这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25、][来源:学.科.网]

    ◆教学重点：等腰三角形的判定方法及其运用.◆教学难点：等腰三角形判定方法证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别.〖教学过程〗

    某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度就可知河流宽度。同学们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么呢？这位专家的意思是AB=BC，也就是△ABC是等腰三角形，那么他是怎么知道△ABC是等腰三角形的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定。（板书课题）（二）复习引入提问：

    3、通过“纸制三角形实验”发现“等角对等边”的结论。这个结论是否真实可靠，必须从理论上加以证明。4、等腰三角形判定定理的证明。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。已知：ΔABC中，∠B=∠][来

    教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形．因为已知∠B=∠][来源:]

    （六）课堂小结（师生共同小结）1、等腰三角形的判定方法2、辅助线

    尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；

    知识点一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a.求作：线段AB，使AB=a.作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。知识点二：作一个角等于已知角。

    知识点三：作已知线段的（垂直平分线）中点。已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：（１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。PQ就是MN的垂直平分线知识点四：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB，求作：射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。

    过程参考垂直平分线，其区别在于先找到直线上的一条线段，再作垂直平分线。直线上线段的确定可以先以这点为圆心，合适的长度画圆与直线有交点。典型例题：例1、已知线段a、b，画一条线段，使其等于分析

    画法：1．画线段AB?a．2．在AB的延长线上截取BC?2b．线段AC就是所画的线段．说明1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．

    图（1）图（2）正解如图（2），（1）作射线AM；（2）在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；（3）在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．例3、如图（1）已知直线AB及直线AB外一点C，，过点C作CD‖AB（写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．作法如图（2）．

    图（1）图（2）（1）过点C作直线EF，交AB于点F；（任意的直线EF，选取合适角度）（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．

    学习目标：1.理解互逆命题与互逆定理2.正确应用互逆命题与互逆定理重点与难点：区分互逆命题与互逆定理一、知识回顾：1、命题的概念：几何作图，祈使句号、疑问句都不命题。2、命题都有两部分：3、命分题为和两．种4、判断下列命题真假并说出下列命题的题设和结论：（1）、平行四边形的对边互相平行

    二、新知导入：说出下列命题的题设和结论：1、两直线平行,内错角相等；2、内错角相等,两直线平行；3、全等三角形的对应角相等；4、对应角相等的三角形全等；命题题设（条件）结论真假

    观察上面三组命题,你发现了什么?概括：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的的是第二个命题的，那么这两个命题叫做。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的。互逆命题的关系原命题第一个命题题设（条件）结论

    逆命题第二个命题题设（条件）写个命题的逆命题的方法：将原命题的条件与结论互换例1：指出下列命题的题设和结论，写出它们的逆命题，并判断真假。（1）、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.（2）、等边三角形的每个角都等于60°（3）、同旁内角互补，两直线平行.

    讨论交流：在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。（1）、（2）、（3）、归纳：如果一个定理的逆命题也是，那么这两个定理叫做。其中的一个定理叫做另一个定理的。：注意1.互逆定理是一种特殊的互逆命题，其特殊这处就是逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.2.判断两个命题是互逆定理的方法1○看两个命题是否是互逆命题2○再看看两个命题是否都是真命题。3．所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理练习．写出下列命题的逆命题．并判断原命题逆命题的真假。(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0．

    这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念。②能写出一个命题的逆命题。③在证明假命题时会用举反例说明

    逆命题与逆定理测试题一、基础题1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例．

    2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假．（1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．

    二、学科内综合题4．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，则腰AC的长为（）A．10cm或6cmB．10cmC．6cmD．8cm或6cm5．列这些真命题中其逆命题也真的是()下，A．等三角形的对应角相等全B．个图形关于轴对称则这两个图形是全等形两，C．边三角形是锐角三角形等D．角三角形中如果一锐角等于30°，么它所对的直角等于边的一直，个那边斜半6．如上图中所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=

    绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论始终正确的有（A．1个B．2个C．3个7．如右图右所示，△ABC中，AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是.

    四.探究题12.如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC.（1）从这4个条件中选出2个条件，能判定△ABC是等腰三角形的方法用种.（2）选择（1）中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.

    一．知识技能：理解线段垂直平分线的性质，会用垂直平分线的性质解决相关数学问题．二．过程与方法：通过实践操作，独立思考，小组合作等探索过程，掌握线段垂直平分线的性质。三．情感态度：通过学生作图，猜想，验证，合作等环节，培养学生勇于提出问题，解决问题的的探索精神和合作意识。线段垂直平分线的性质的证明。

    学习内容一．导入二．展示学习目标三．预习交流、展示、评价。会画一条线段的垂直平分线。四．看图、猜想结论。五．证明猜想结论。巡视，检查预习情况。阅读预习案相关概念。齐读学习目标。预习反馈，巩固自学成果。明确学习目标。

    活动一：交流画一条线段的垂直平分线的注意事项。活动二：组织对黑板上画的线段的垂直平分线进行评价。活动三：总结画法和注意事项、投影展示。

    1.开展小组交流活动，做好记录和展示准备。2.认真聆听、做好笔记、积极参与评价。

    通过合作，认识线段的垂直平分线的画法和步骤。完成知识目标一。

    引导学生猜想线段的垂直平看自己画的图，大胆猜分线的数量关系。想数量关系。追问一：是不是在垂直平分线上任意找一点都有这个结论。活动一：总结学生的猜想结论。活动二::组织学生进行讨论证明方法追问一：证明要用到哪些知识？追问二：证明过程是什么？总结证明过程。投影仪课题1.发言自己的猜想结论。2.开展小组交流活动，记下笔记和做好找事准备。3.回答老师追问的问题。

    猜想证明，在以后的学习中予以应用。形成良好的“猜想|——证明”的思维模式。

    独立完成、交换检查，及时应用，巩固新知。错题改正。

    用。七．课堂小结活动一：组织学生回顾、归纳1.交流、归纳、总结。锻炼、提高。本节课知识要点、解题方法和2.独立完成检测案，体验学习效果。思路。交换检查，错题改巩固提高。活动二：出示检测案，巡视、正。督促独立完成，公布答案。3.课间独立完成。活动三：作业布置。

    教学目标：1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。教学重点和难点：角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗？用直尺和圆规作角的平分线已知：∠AOB求作：射线OC使∠AOC=∠BOC做法：探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE

    几何书写在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。

    反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．

    2.到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言表示为：∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

    练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。

    1.在探索基础上掌握勾股定理。2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。二、能力目标1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。三、情感态度目标学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。【重点难点】重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。疑点：灵活运用勾股定理。【教学设想】课型：新授课教学思路：探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。【课时安排】2课时。【教学设计】第一课时【本课目标】1．在探索基础上掌握勾股定理。2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。【教学过程】1.情境导入从观察课本中图14.1.1和图14.1.2入手引入勾股定理。

    2、课前热身观看图14.1.1和图14.1.2，数一数三块面积之间的关系，体验勾股定理的内涵。3、合作探究（1）整体感知由观察课本中图14.1.1和图14.1.2入手得出勾股定理；通过在图14.1.3中动手操作证实勾股定理；通过对本课本第50页例1的探索求解巩固勾股定理。（2）四边互动互动1：师：你们能数出图14.1.1中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看.生：根据图形进行操作．由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积。

    师生共同归纳：SP?SQ?SR,即两直角边的平方和等于斜边的平方.互动2：师：你们能数出图14.1.2中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看．生：根据图形进行操作．由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．师生共同归纳,SP?SQ?SR,即两直角边的平方和等于斜边的平方．互动3：师：由上述操作你发现了一般规律了吗？生：略明确：在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方。互动4：师：展示课本中图14.1.3.师：在上图中画出直角三角形ABC，用直尺量量斜边是多长好吗？生：每人画出一个三角形，并动手测量后在小组中交流讨论，然后举手回答问题。

    例题教学：例1：如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）师：你会用勾股定理解这道题吗？试试看生：操作后相互交流。明确：在一个直角三角形中:两直角边的平方和等于斜边方。注：在实际问题中往往需要求取近似值。解：略。4、达标反馈（1）在直角△ABC中，∠C=900，a=3，b=4，则c值是（2）在直角△ABC中，∠B=900，a=3，b=4，则c值是，理由是，理由是

    （3）在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则△ABC是5、学习小结（1）内容总结直角三角形三边满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。注意：应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角。（2）方法归纳让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识。6、实践活动：利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用，如测量河宽时可用勾股数确定直角，再利用直角三角形知识解决实际问题。7、巩固练习：课本第14.2中第1、2题。【板书设计】

    14.1.1勾股定理1.以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。投影幕

    第二课时【本课目标】1.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。2.通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能。【教学过程】1.情境导入多媒体播放如何制作相同的直角三角形纸板。2、课前热身让学生分组练习用四块相同的直角三角形板拼成正方形。3、合作探究（1）整体感知通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性，通过运用勾股定理解题，训练培养学生应用知识的技能，通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用。（2）四边互动：出示课本中图14.1.5和14.1.6。

    互动1：师：你会拼出如图14.1.6所示的图形吗？生：讨论交流，举手回答问题。师：你能运用面积列出等式说明勾股定理吗？生：讨论交流，举手回答问题，并尝试说理。明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。

    师：你会拼出图14.1.7吗生：动用操作师：你会用面积等式说明勾股定理吗？生：讨论交流，举手回答并说理。明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。

    互动3：师：出示如右图所示的图形．你会拼成如图所示的图形吗？它需要几块三角板？生：独立尝试后，在小组之间交流，并举手回答问题．师：你会列出面积等式说明勾股定理吗？生：讨论交流，举手回答问题，并尝试说理．明确：①梯形面积减去等腰直角三角形面积等于两直角三角形面积。②梯形面积减去两个直角三角形面积等于等腰直角三角形。③梯形面积等于两个直角三角形面积加上等腰直角三角形的面积。

    例题教学：例2如图14.1.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，长128米.BC问从点A穿过湖到点B有多远？解在直角三角形ABC中，AC＝160，BC＝128，根据勾股定理可得

    明确：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：AC2?BC2?AB24、达标反馈配套练习。5、学习小结（1）内容总结可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理；运用勾股定理可以解决许多实际问题；运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理。（2）方法归纳通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生食好的学习方法，逐步养成优良的学习。6、实践活动：动手制作直角三角形，并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系。7、巩固练习：课本练习【板书设计】§14.1.2勾股定理14.1.2直角三投影角形的判定你会利用四块直角形三板中若干个进行拼图说明勾【教股定理吗？学内容】华师版《数学》（八年级）（上）第53～54页，第14章第14.1节中“直角三角形的判定”部分.【教学目标】1、探索并掌握直角三角形判定方法.2、经历勾股定理的逆定理的探究过程，了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性.3、通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.4、通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，?培养学生数形结合的思想.【设计意图】以上教学目标包括了本课时的三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观.【教学过程】一、创设情境，导入课题1、直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）（1）有一个角是直角；（2）两个锐角的和为90°(互余)；（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.反之，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?2、一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?（板书课题）（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（板书）（2）有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；（板书）（3）如果一个三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角

    形?3、史料：古埃及人画直角.据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.你知道这是什么道理吗?【设计意图】温故旧知，引入新课，利用史料激发学生探究数学的兴趣.

    二、动手实践，发现新知1、试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分类）（1）3，4，4锐角三角形（2）2，3，4钝角三角形（3）3，4，5直角三角形使用“几何画板”演示（拼图/还原/度量），加深学生对拼出三角形形状的认识.2、请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.（1）3，4，4锐角三角形←32＋4242（2）2，3，4钝角三角形←22＋3242（3）3，4，5直角三角形←32＋42=523、从勾股定理到勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（板书）

    勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.注意：（1）勾股定理与勾股定理的逆定理之间的关系；（2）“勾股定理的逆定理”严格的证明以后会学到；（3）“勾股定理的逆定理”的用途.4、使用“几何画板”演示：如果三角形的三边长a、b、c（这里ac，bc）满足a2+b2≠c2，那么这个三角形不是直角三角形.在△ABC中，设AB是三边中最长边，拖动点C，观察AC2+BC2、AB2的大小关系与∠ACB的度数.结论：设AB是△ABC中三边中最长边，则AC2+BC2AB2→∠ACB为钝角AC2+BC2=AB2→∠ACB为直角AC2+BC2AB2→∠ACB为锐角【设计意图】1、课本上要求学生根据三条线段的长度先画出三角形再判断三角形的形状，对于未学过

    尺规作图的学生来说有一定的难度，故改为先用小塑料棒拼出已知三边长度的三角形，再让学生度量三角形最大角的度数判断三角形形状，这样设计有利于培养学生的动手实践能力和合作交流意识.2、将课本上的三条线段的长度尽量改小的目的，便于学生实践操作.3、利用几何画板的拼接动感加深学生对勾股定理逆定理的探究过程的印象.三、范例点击，提高认知例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?（1）a=7，b=25，c=24;（2）a=13，b=11，c=9解：（1）最大边为25分析：根据勾股定理的逆∵a2+c2=72+242=49+576=625定理,判断一个三角形是不是b2=252=625直角三角形,只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边∴a2+c2=b2长的平方.∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形.（2）学生板演

    A【设计意图】1、例1是本课时的重点，讲练相结合，由于补充了例2，所以将原课本上的例1中的3个小题减少为2题；2、例2属于“勾股定理”与“勾股定理的逆定理”想结合的题目，有助于培养学生综合解题能力，同时该题将求四边形的面积问题转化为求三角形的面积问题来处理，渗透了数学中的转化思想.

    四、随堂练习，巩固深化练习1、下面以a、b、c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是请指明哪一个角是直角？（1）a=6b=8c=10.（2）a=12b=8c=15.（3）a=8b=6c=5.（4）a=1b=2c=3.【设计意图】练习1与例1配套练习，放在例1结束后使用.练习2、满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是（）222A、b=a－cB、a∶b∶c=3∶4∶5C、∠C=∠A－∠BD、∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5【设计意图】练习2是检测是否掌握直角三角形判定方法的好题，该题同时渗透了“方程思想”、“整体思想”“特殊化思想”“设k法”等数学思想方法，还涉及了解答“选择题”的、、一些技巧方法.练习2放在例2结束后使用.

    通过本节课的学习，同学们有哪些收获？1、勾股定理的逆定理的内容；２、判定一个三角形是直角三角形有哪些方法（从角、边两个方面来总结）；３、勾股定理与它的逆定理之间的关系.４、数形结合的数学思想（通过三角形三边长间的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形）.【设计意图】课后作业分为“必做栏目”与“选做栏目”，充分体现不同的学生在学习数学时得到不同的发展的理念.§14.2勾股定理的应用一、单元设计总体分析(一)教材所处的地位---教材分析：华东师大版《数学》七年级下册第14章第2节是学习勾股定理及其逆定理的应用。因此教学中可以结合实际情况让学生了解勾股定理及其逆定理在现实生活以及数学中的各种应用，体会勾股定理的文化价值.（二)单元教学目标：1.能熟练、灵活地应用勾股定理及其逆定理.2.会应用勾股定理及其逆定理解简单的实际问题.（三）单元教学重难点：勾股定理及其逆定理的应用.（四）单元教学策略：利用实物模型及多媒体将实际问题转化为应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题.二、课时教学设计（一）教学目标1．知识目标(1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.(2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.2．过程性目标(1)让学生亲自经历卷折圆柱.(2)让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.(3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力.(二)教学重点、难点教学重点：勾股定理的应用.

    教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.原因分析：1.例1中学生因为其空间想像能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过制作圆柱模型解决难题.2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维.教学突破点：突出重点的教学策略：通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”，（三）、教学过程复习部分复习练习，引出课题例1、在Rt△ABC中，两条直角边分别为3，4，求斜边c的值？答案：c=5.例2、在Rt△ABC中，一直角边分别为5，斜边为13，求另一直角边的长是多少？答案：另一直角边的长是12.小结：在上面两个小题中，我们应用了勾股定理：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则c2=a2+b2小结：通过简单计算题的练习，帮助学生回顾勾股定理，加深定理的记忆理解，为新课作好准备加深定理的记忆理解，突出定理的作用.新课讲解勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

    分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、C、B、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什么？根据是什么？（学生回答）

    根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形ASBCD对角线AC之长．我们可以利用勾股定理计算出AC的长。

    解如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，（提问：勾股定理）∴AC＝AB2?BC2＝42?102＝229≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短路程约为１０．７７cm．

    例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米小结：通过动手作模型，培养学生的动手、动脑能力，解决“学生空间想像能力有限，想不到蚂蚁爬行的路径”的难题，从而突破难点.由学生回答“AC之间的最短距离及根据”，有利于帮助学生找准新旧知识的连接点，唤起与形成新知识相关的旧知识，从而使学生的原认知结构对新知识的学习具有某种“召唤力”再次提问，突出勾股定理的作用，加深记忆.宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

    图14.2.3分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半)，OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中，由勾股定理得ＣＤ＝OC2?OD2＝12?0.82＝０.６米，CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．小结：因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．利用多媒体设备演示卡车通过厂门正中间时的过程（在几何画板上画出厂门的形状，用移动的矩形表示卡车，矩形的高低可调），让学生通过观察，找到需要计算的线段CH、CD及CD所在的直角三角形OCD，将实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题.

    小结：本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问题.在实际当中，长度计算是一个基本问题，而长度计算中应用最多、最基本的就是解直角三角形，利用勾股定理已知两边求第三边，我们要掌握好这一有力工具.练习；1.如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．

    （第１题）2.现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?（四）.作业：勾股定理的应用基础训练（1）（五）、错题的估计和采集：（1）错例从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．解1：∵电杆垂直于地面.∴根据勾股定理：AB2=72＋52=74得AB=74

    答：钢缆固定点A到电杆底部B的距离是74米.解2：∵电杆垂直于地面.∴根据勾股定理：AB=72―52=24答：钢缆固定点A到电杆底部B的距离是24米.第14章勾股定理单元复习【本课目标】1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2、如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形计算直角边时需要将基本公式移项变形，按平方差计算.3、勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．最后求边长时，需要进行开平方运算.【重点难点】重点：勾股定理的应用。。难点：实际问题向数学问题的转化。应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。疑点：灵活运用勾股定理。【教学设想】课型：新授课

    教学思路：探索结论应用结论-应用结论解决实际问题。【课时安排】1课时。【教学过程】讨论：1三个正方形的面积分别与哪三条边有关系？2如果S1?4，S2?8，那么S3=？3如果S1?4，S2?8，则AB的长为多少呢？等边三角形的面积公式是怎样的呢？一创设情境引入新课想一想1直角三角形有那些特征？2直角三角形有那些识别方法？3你能说几组勾股数呢？学生分组探讨：1一般三角形具有的特征它都有。2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方学生分组探讨：1有一个角是直角的三角形。2两个角互余的三角形。3如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形学生互相交流。9、40、41；3、4、5；5、12、137、24、25；8、15、17

    探究1如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，请同学们想一想S1，S2，S3之间有何关系呢？

    联想（1）若以Rt△ABC的三边为直径作半圆，其面积分别为S1，S2，S3，请同学们想一想S1，S2，S3之间有何关系呢？（2）若以Rt△ABC的三边为边作等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3，请同学们想一想S1，S2，S3之间有何关系呢？本题的实质为请同学们回顾勾股定理。探究2分析：求梯子的底端B距墙角O多

    A子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？分析：1、求梯子的底端B距墙角O（2）能否求出OD的长？多少米？C2、如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，请同学们猜一猜：O（1）底端也将滑动0.5米吗？BD

    有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?

    1如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米

    2根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形．（1）a=7,b=24,c=25.（2）a=m2-n2，b=2mn,c=m2+n2.（m，n是正整数，且m＞n）△ABC是直角三角形．吗？请说明理由．3已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？

    如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160m，B假设拖拉机行驶时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间？B

    1如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，C，的面积之和是________平方厘米．B，D讨论：1拖拉机行驶在什么地点离学校最近呢？2若受影响，则在哪一点开始呢？3在什么范围里，学校将受到影响呢？

    第1课时教学内容：数据的收集教学目的：1、通过学习使学生基本掌握收集数据的方法；2、使学生懂得生活中很多事都是以数据来说话；3、初步了解频数、频率与实验总次数的关系；4、学会对所收集到的数据进行分析整理；5、在学习中培养学生的动手实践、自主探索与合作交流的学习方法。教学分析：重点：（1）数据的收集方法以及数据的分析整理；（2）如何在学习中培养学生正确认识数据；难点：如何在教学中探索学生的自主、合作能力。教学设想：教与学的形式以学生合作探索活动为主。教学过程：教学过程设计分析备注一、知识导向：这一节的内容是“数据的收集”。教材希望通过“推荐候选人”等活动，让学生经历调查和收集数据的过程，体会到数据在解决不少现实世界的问题中是有用的。在教学中老师应跳出“确定性数学”的圈了，提示学生学习方法上的这一重要区别，帮助学生们养成用数据说话的新习惯。并在分析数据中，明确数据有“好”“坏”之分，但在教学中应数据的收集、多宣传人们利用数据作出合理决策的例子。及整理、分析对于教材中的频数和频率的概念，在今后的概是关系到以率和统计的学习中会经常用到，但在本节中仅作为后学习统计一个工具来使用，其他的性质安排中第二节，所以与概率的基在本节中应有意识引导学生去发现尚未给出的知识础，所以必须点，使他们品尝发现带来的快乐。加以注意。另二、新课讲解：外，学习方法1、知识设疑：也是一个关从我们身边中的事说起，键。如果处理（1）中共中央刚召开“十七大”“十七大”的好本节的学，代表是如何产生的？你知道吗？这样的产生合理习方法对以吗？后的学习将（2）你们最喜欢哪一个频道的电视节目？会起到事半（3）班里关有没有同年同月同日生的同学？公倍的作用。（4）你知道班级中谁是最受欢迎的人吗？对于上面种种的问题，你认为应该如何得到结果？2、知识形成：（1）数据有用吗

    从上面的问题中，我们不难发现这些问题都需要我们去收集数据，也就是说“数据”对我们的生活是太重要啦，所以，收集数据有助于我们作出民主的决策，也有助于我们发现一些有趣的现象或者事实。（2）数据的收集假如我们要选出班级中最受欢迎的同学，我们将会：第一步：明确调查问题——选出最受欢迎的同学；第二步：确定调查对象——全班同学；第三步：选择调查方法——采用民主推荐的调查方法；第四步：展开调查——全班同学进行投票；第五步：记录结果——唱票；第六步：得出结论——统计，票数最多者当选。在上面的推选过程中，其实是一个数据收集及分析整理的过程，即，明确调查问题————数据的用途；确定调查对象————数据收集的范围；选择调查方法————收集数据所采用的方法；展开调查——————数据收集；记录结果——————数据整理；得出结论——————数据分析；（3）频数、频率不妨假设，班级中进行民主选出最受欢迎的同学，得票如下：被选人林天王地谢民唱票记录正正一正正正正正正正得票数111520得票名次621从上面的得票中，我们可以这样说，在全班同学的心目中，“谢民”是最受大家欢迎的同学。在唱票的过程中，我们发现“谢民”出现的次数更频繁，为此我们有：概括：频数表示每个对象出现的次数；频率表示每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。三、巩固训练：1、在以上的选择的过程中，每人得票的频数就是每人的；每人得票的步频率就是每人的与的比值。

    对于数据的收集、整理、分析这一过程必须使得每位学生都有所了解。并能熟悉这一过程，结合实际情况自我设计一个调查的过程。调查方法有许多种，尽量引导学生从多个方面考虑，想到更多的调查方法。

    频数、频率及总次数间的关系是一个很重要的关系式，对于各个频数、各个频率间的关系将在今后中学习到，在这里可适当引导学生支发现。

    2、如果向上抛硬币10次，有2次出现正面，8次出现反面，则出现正面的频数是，出现反面的频数是；出现正面的频率是，出现反面的频率是。3、每四个同学为一组，做“抛硬币”的游戏。10次20次50次抛掷结果习题频数频率频数频率频数频率3、4，是两个较开放正面的题目，此类反面题型有必要把结果填入下表：4、认真阅读书本Ｐ186的“赢在哪里”与“谁让学生去熟悉。是《红楼梦》的作者”并写出阅读心得。四、知识小结：本节课主要学习了如何去收集数据、整理数据、分析数据并最后得到相应的结论；另外，我们还必须掌握有关频数、频率等知识点。五、课后作业：Ｐ188A：exc1、2、5、6B：exc3、4六、每日预题：1、如何对收集到的数据进行统计、整理？2、书本上有几种表示数据的方法？你还能想到什么方法？教学后记

    教学内容：§5.2教学目的：1、使学生学会对所收集到的数据进行统计表示；2、学会用多种方法来表示数据。

    教学分析：重点：数据的表示；难点：选择一种适当数据表示方法。教学设想：以启发学生自主动手为主。教学过程：教学过程设计一、知识导向：本节课是中初步学会了收集数据、分类整理、填写简单的统计表和制作简单的统计图（条形统计图、折线统计图和扇形统计图）。另外，从统计图中提取信息的能力是需要训练的，教

    师应引导学生观察数据的变化发展趋势、注意变化发展的速度、留心那些在重复实验过程中发生频数为最小与最大的对象。对于各种表示方法，教师组织讨论时不必评判出哪一个最好，重要的是分析每一种方案的长处与不足，如果一些学生特别看中某一方案的长处而并怎么在意它的短处，那么他们一定要坚持这一方案也是可以接受的。二、新课讲解：1、知识回顾与设疑：阅读P189“问题1”前复习内容：条形统计图是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图，它们可以直观地反映出数据的数量特征。如果有两个研究对象，常常把两个对象的响应数据并列表示在同一张条形统计图中。扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额。折线统计图是用折线表示数量变化规律的统计图。如果关注的是某种现象随时间变化而发生的变化，常常以时间为水平放置的数轴，以折线的起伏直观地反映出数量随时间所发生的相应变化。给出引例：（问题1）解放以来，我国的国内生活总值（GDP）一直呈递增趋势，1952年只有679亿元，1962年上升到1149.3亿元，1970年上升到2252.7亿元，1980年上升到4516.8亿元，1990年上升到18547.9亿元，2000年上升到89404亿元。对于上例中，为了让这些数据更有次序，使得使用这些数据的人员能更方便去使用，我们要求：（1）设计一张统计表，简明地表达这一段文字；（2）再设计一张折线统计图，直观地表明这种递增趋势；（3）从上述两张图表中，你能得出哪些结论？说说你的理由。2、知识形成：从上例中，我们可以作出：统计表：年份国内生18547.产总值52.9（亿元折线图：

    统计图是统计学中一个非常重要的知识，能否画出一个准确的统计图对学生在实际中的应用是很重要的。

    注意数据是不明显性，作为使用者难以明确数据间的关系。

    应让学生从统计表中找到统计图的优点，发现统计图的对于数据统计的必要性。至于各种统计图都有其本身的特点与优点，哪一种更好，应依据不同情况的使用。对于数据表示中的“折线图”中两点之间的连线是没有意义的，

    （1）国内生产总值总体上呈现增长的趋势；（2）增长的趋势有快有慢。3、例题讲解：“问题2”在2004年第28届悉尼奥林匹克运动会上，中国体育代表团取得了很好的成绩.(1)中国体育健儿在该届奥运会上共夺得多少奖牌?和其它国家相比，其获得的金牌数在总金牌数中占多大的比例?(2)从所获奖牌总数情况看，和最近几届奥运会相比，中国体育健儿在本届奥运会上的成绩如何?分析：上面只是提出了问题，并没有给出回答问题所需要的数据.因此，我们首先需要收集该届以及最近几届奥运会上各个代表队取得奖牌的数据，表5.2.2表明，中国体育健儿在28届奥运会上共夺得63枚奖牌，其中金牌32枚，占该届奥运会总金牌数301枚的11％.根据上表中金牌数这一列的数据，可以画出图5.2.2和5.2.3，它们分别是美、俄、中、澳、德五国在该届奥运会上所获金牌数的条形统计图和扇形统计图.思考：你知道图5.2.3中美国占12%是怎么计算出来的吗？对于第（2）小题我们需要作纵向比较，可以比较我国体育健儿在最近六届奥运会上所获奖牌总数的情况。表5.2.3罗列了金、银、铜牌和奖牌总数这四栏。图5.2.4是根据表5.2.3种奖牌总计一栏绘制的我国奥运健儿获取奖牌总数的折线统计图。思考：(1)在图5.2.4中用一条折线将六届奥运会的数据联起来了，请问介于相邻两届之间的五条线段是否表示某种意思?(2)要比较客观地评价各个代表队在一届奥运会上的表现是很困难的.有人建议比较奖牌总数，有人建议比较金牌总数，有人建议比较金牌和银牌的总数等等.你比较赞同怎样的方案?（3）图5.2.5也是根据表5.2.3中的数据绘制的。他所反映的信息与图5.2.4相比有哪些不通？三、巩固练习：P191练习题Ｐ196自我阅读画统计图的资料四、知识小结：本节课学习了用统计来直观来表示数据，并从统计图中发现数据间的联系。知道统计图的选用：1、想知道变化趋势：折线统计图2、想知道具体数目：条形统计图3、想知道各项分布：扇形统计图。五、课后作业：Ｐ197exc1、2六、每日预题：1、你能从统计图表获取信息吗？2、你能自己设计出一个小调查。教学后记

    后面的例子，可引导各个学习小组去独立探讨常见的统计图的画法。

    对于阅读资料的使用应引导有条件的学生进行运用计算机来设计图表。

    教学内容：§5.2教学目的：使学生能从统计图表获取信息教学分析：重点（难点）：从统计图表获取信息教学设想：发现性的教学，使学生从例子中找到经验。教学过程：教学过程设计一、知识导向：本节课是上堂课的延续，是在学习画统计图表后的后续，在本节中，我们侧重从统计图表获取信息，认识到什么是最应该懂的。二、新课讲解：统计图表不仅可以帮助我们非常简明的传达信息，而且还能帮助我们从中获取信息甚至直观的发现一些有意思的结论。“问题3”表5.2.年我国人口年龄构成变化（单位：%）资料来源：《中国人口统计年鉴》（2003），第259页，中国统计出版社。二、上表中被圈起来的“单位：%”表示什么含义？三、上表中被圈起来的“22.9”表示什么含义？四、通过对上表的观察，你发现随着时间的推移，0~14岁人口比例有什么变化特点？五、你还能从上表中获取什么其它信息？该表反映出一个什么社会问题？分析读统计图表首先要读图表的总标题，因为它高度概括了图表的主题，看清总标题我们就能抓住图表作者关注的焦点。表5.2.4的总标题告诉我们，作者关注的是年之间我国老人和少儿分别在总人口中占多大比例。当全表只有一种计量单位时，可以把它写在表的右上方，就像上表那样。所以第一行数据其实就依次是33.6%、4.9%、14.6%。然后要读图表中的小标题，这里，小标题有“年份”、老人和少儿的“人口比例”“老少比”、（老少比指每100名0~14岁少年儿童对应着多少名65岁及65岁以上的老年人口，表中老少比使用老人和少儿人口数的原始数据计算的，所以与用表中数据计算的值略有误差）。显然，作者是想用调查数据来指出我国越来越突出的人口老龄化问题。根据联合国制定的人口学指标，65岁以上人口占人口总数7%以上即为老龄社会。在我国的

    一些城市如上海，早在1979年这个比例就已达到7.2%，成为中国最早步入老龄社会的一个城市。整个社会的人口构成中，如果老年人占的比例在增大而少儿占的比例在减少，那么他的老龄化问题就必须引起关注了。解答（1）它表示表中所有数据的单位都是%。（2）它表示2000年我国0~14岁人口在当年总人口中占22.9%。（3）从上表“0~14对人口比例”这一列数据可以看出，随着时间的推移，我国0~14岁人口在总人口中所占的比例在下降。从表“65岁及以上人口比例”这一列数据还可以看出，随着时间的推移，我国65岁以上人口在总人口中所占的比例在上升，2000年，这个比例达到7%，标志着我国开始进入老龄社会。三、巩固训练：Ｐ199A：exc3、4、5四、知识小结：本节课的主要学习了从图表中获得信息，能找出有用的信息。五、课后作业：Ｐ195试一试：六、每日预题：你从本章都学到了哪些知识？教学后记

    使学生系统总结本章知识，达到温故知新的目的教学分析：重点：统计图表的画法难点：从统计图表中获得信息

    教学过程：教学过程设计一、知识结构利用数据解决简单实际问题的过程如下：

    二、概括本章的目的是：通过让同学们置身于解决一些简单的实际问题的过程，体会数据的作用，熟悉收集、整理、描述和分析数据的活动过程，理解频数、频率的概念，能借助简单的统计图表，传递或获取比较明显的信息.三、巩固训练：P202复习题四、课后作业：练习册相关