同学们好!1《数学物理方法》信息工程(光电信息)系 09级 01/02班 - 学年 主讲教师: 邓冬梅 Mobile：135- email: 2教材：汪德新,《数学物理方法》,第三版, 科学出版社,2006年8月参考书：u［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版 社 出版u［2］胡嗣柱、倪光炯，《数学物理方法》， 第二版，高等教育出版社，复旦大学出版社， 2002；u［3］梁昆淼，《数学物理方法》，第三版， 高等教育出版社，1998；u［4］郭敦仁，《数学物理方法》，第二版， 人民教育出版社，1991。教材与参考书u［5］钟毓澍 ，数学物理方法习题指 导 ，北京大学出版社 出版u［6］姚端正,《数学物理方法 学习指 导》,第一版，科学出版社，2001； u［7］胡嗣柱，数学物理方法解题指 导，高等教育出版社1998年u［8］李惜雯，《数学物理方法 典型 题 解法.技巧.注释》，西安交通大学出 版社，2001；习题参考书序言将数学思想方法应用于现代高新技术专业领 域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题 的方法，从而形成了科学研究中实用性很强的 数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙的 数学思想，又联系了具体的研究任务和目标。 脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论 指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型） ，数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大 潜能。既非数学思想也非物理模型本身能达到 尽善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动 人类科学技术赖以发展的动力之源。5柯朗曾经描述：“从17世纪以来，物 理的直观，对于数学问题和方法是富有生 命力的根源，然而近年来的趋向和时尚， 已将数学与物理间的联系减弱了，数学家 离开了数学的直观根源，而集中推理精致 和着重于数学的公设方面，甚至有时忽视 数学与物理学以及其他科学领域的整体性 。而且在许多情况下，物理学家也不再体 会数学家的观点，这种分裂无疑地对于整 个科学界是一个严重的威胁。 科学发展 的6洪流可能逐渐分裂成为细小而又细小 的溪渠，以至于干涸，因此有必要引 导我们的努力转向于将许多有特点的 和各式各样的科学事实的共同点及其 相互关联加以阐明，以重新统一这种 分离的趋向” 或许我们今天所应做 的正是柯朗所指出的。数学物理方法 也正是将这种分裂进行重新统一并实 现有机结合的具体体现。7数学物理方法数学物理基础篇数学物理基础篇复变函数篇复变函数篇数学物理方程篇数学物理方程篇特殊函数篇特殊函数篇计算机仿真篇计算机仿真篇8第一篇 复变函数导论9《复变函数导论》 主要内容l第1章、复变函数与解析函数l第2章、复变函数的积分 l第3章、解析函数的级数表示l第4章、留数定理及其应用l第5章、解析延拓 多值函数及其黎曼面101.1. 复数 1.2.复变函数 复变函数的极限与连续 1.3.复变函数的导数 柯西黎曼条件 1.4. 解析函数第1章 复数与复变函数11复数的发展12复数的引入13l 需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负 数开方(参考：范德瓦尔登着《代数学》,丁石孙 译, 科学出版社，1963年). 至此，我们明白了这 样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念.l 卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地 位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识.“ 虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡 儿（Descartes）正式取定的.“虚数”代表的意思 是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人 “论证”虚数应该被排除在数的世界之外.由此给 虚数披上了一层神秘的外衣.14十八世纪，瑞士数学家欧拉十八世纪，瑞士数学家欧拉( (LeonhardLeonhard· Euler· Euler ，， 7-1783) ) 试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之 为为“ “幻想中的数幻想中的数” ”或或“ “不可能的数不可能的数” ”. .他在他在《《对代数的对代数的 完整性介绍完整性介绍》》(－－年在俄国出版，年在俄国出版，年年 在德国出版在德国出版) )一书中说：因为所有可以想象的数或一书中说：因为所有可以想象的数或 者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数 . . 所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有 序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就 其本性来说它是不可能的数其本性来说它是不可能的数. . 因为它们只存在于想因为它们只存在于想 象之中象之中. .因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是 EulerEuler首先引入符号作为虚数单位首先引入符号作为虚数单位. .15十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家 Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘（ Argand）以及德国的数学家高斯（Gauss ）等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何 解释，并使复数得到了实际应用.特别地, 在十九世纪，有三位代表性人物， 即柯西（Cauchy，1789－1857）、维尔斯 特拉斯（Weierstrass，1815－1897）、黎 曼（Rieman，1826－1866）.柯西和维尔斯 特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数， 黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的 不懈努力，终于建立了系统的复变函数论. 16自从有了复变函数论，实数领域中的禁区 或不能解释的问题，比如：l负数不能开偶数次方；l负数没有对数；l指数函数无周期性；l正弦、余弦函数的绝对值不能超过1；…… 等已经不复存在.17l 数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱 ，便会产生无可估量的创造力.哈密顿的四 元数的发明，使数学家们认识到如果可以 抛弃实数和复数的交换性(即抛弃复数的基 本性质)去构造一个有意义、有作用的新“ 数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏 离实数和复数的通常性质的代数构造，从 而使得另一通向抽象代数的大门被打开.我 们相信随着科学技术的不断发展，数学系 统理论将不断地完善和自洽.18l§1.1.1 复数的定义和基本概念l§1.1.2 复数的几何表示l§1.1.3 复数的运算规则§1.1 复数19§1.1.1 复数的定义和基本概念l在实数范围内，代数方程 z2+1=0 没有解．l如果把数域扩大，则可得到两个根， 我们把 * 称为虚数单位，并规定它与实数在一起可进行通常的四则运算．l这样，形如 z=x+iy 的数（其中x，y为实数）称为复数.实数x与y分别称为复数的实部与虚部，记作x=Rez， y=Imz* i 互为共轭复数。l常用z* 表示z的共轭复数。 (z* )* =zl例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。21复数不能比较大小?!22l问：复数为什么不能比较大小？l解释： 复数是实数的推广，若复数能比较大小，则 它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性 质. 23§1.1.2 复数的几何表示l复数可以用平面上的点来表示，称为 复数的平面表示法；l球面上的点来表示，称为球面表示法 。 241. 复数平面表示法l在复数平面中可以引入笛卡尔直角坐标，也可以引人平面极坐标l在使用直角坐标时，用平面上的点 (x, y) 表示复数z = x + iyl平面上的一点(x, y) 就与一个复数 z = x+iy 相对应，而平面上所有的点就与全体复数一一对应, xoy平面就称为复平面． l每一复数还可以用一个矢量来表示．矢量由坐标原 点指向点（x, y），如图1.1所示，称为复矢量 25l在使用平面极坐标时，复数平面上的点可用极坐标 (ρ，φ) 表示,它与x,y的关系为:? 从笛卡尔直角坐标变换 到平面极 坐标，就可从复数的代数表示式 变换到三角表示式:? 这里ρ为复矢量的长度，称为复数的模? j为复矢量与x轴的夹角，称为复数的辐角26l一个复数对应于无限多个辐角，设j0是其中的一 个，则l通常用argz表示辐角Argz的主值，主值的取值范围是l还应指出，复数z=0的辐角没有确定值，说 ”z=0”的辐角等于多少”是没有意义的。27（3）指数表示．l复数的指数表示为z＝ reij （1.1.10)l利用欧拉公式eij = cosj+isinj可以将复数的 三角表示变换为指数表示① z＝ reij = r(cosj+isinj) （1.1.11)①28下面举例说明从复数的代数表示式到三角表示 式的变换。 例1 求 的三角表示式与指数表示 式。 解本题的关键在于求出所给的复数的模与幅角，并注意到点位 于第二象限，故有292. 用复数球面表示复数无穷远点l正如复数平面上的 每一点与一个复数 一一对应，因而可 以用复数平面上的 点表示复数；复数 球面上的每一点也 可以与一个复数一 一对应，所以可以 用复数球面上的点 表示复数 。30l首先，过复数平面的坐标原点O作一个球面与复数 平面相切（图1. 2).然后过O作复数平面的垂线交球 面于N点，称为北极点．再作射线NP交球面于P’点 ．这样，球面上的P’点与平面上的P点一一对应， 因而球面上所有的点也与全体复数一一对应；l由图1.2可见，复数平面上以O为圆心的圆L上的点 与复数球面纬线L’上的点相对应；l圆L内部的点与球面纬线L’下方的点相对应;l圆L外部的点与球面纬线L’上方的点相对应;l当平面上圆L的半径ρ→∞时，球面上的纬线L’趋向 球顶并缩成一点N .l由此可见，复平面的无限远处，对应于球面上的一 点N. 在这个意义上, 把复平面无限远处看成一个“ 点”， 称为无穷远点．31§1.1.3 复数的运算规则l(1)加法 复数z1和z2 的和定义为z = z1+z2 = (x1+iy1)+(x2+iy2)= (x1+x2)+i(y1+y2)复数加法的几何意义是：两个复矢量的和遵守平行四边形法 则。从右图可以得到两个重要不等式：（三角形两边长之和不小于第三边 ）（三角形两边之差小于第三边 ）等号是在三角形变成直线时成立．这些不等式在导出复变函数积分的基本性质时要用到 ．32l (2）减法 复数的减法是作加法的逆运算来定义的．若 y2，即两共轭复数的乘积等于它们的模的平方（简称模方）33利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为方便两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角相加．l（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式证 将

原谅我用了一个夸张的标题，抱歉。这是一篇关于win10自定义的小白文，很多人都说win10丑，我就写这篇文章，不知能不能勉强为win10的丑挽回一点尊严。 前天晚上睡不着觉逛起了淘宝，一不小心就又被眼花缭乱的商品吸引住了，莫名的冲动下买了尊享版的小米笔记…