比较两边同类项的系数，得 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得 请同学们自己算 上式即 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 例 解 对应的齐方程的通解为 综上所述，原方程的通解为 * 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十讲 一元微积分的应用(六) —— 微积分在物理中的应用 第七章 常微分方程 本章学习要求： 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法： 了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法. 第五节 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐线性方程 二阶常系数非齐线性方程 特征方程 特征根 一、二阶常系数齐次线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， 即 特征方程 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 由求根公式 由刘维尔公式求另一个解： 于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 3) 特征方程有一对共轭复根： 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为 利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。 欧拉公式： 由线性方程解的性质： 均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的： 故当特征方程有一对共轭复根 时，原方程的通解可表示为 二阶常系数齐线性微分方程 特征方程 特 征 根 通 解 形 式 例 解 例 解 例 解 故所求特解为 例 解 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手， 开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 例 解 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手， 开始拉长， 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。 取 x 轴如如图所示。 由力学的虎克定理，有 （ 恢复力与运动方向相反 ） 由牛顿第二定律，得 它能正确描述我们的问题吗？ 记拉长后，突然放手的时刻为 我们要找的规律是下列初值问题的解： 从而，所求运动规律为 简谐振动 二、n 阶常系数齐线性微分方程 形如 的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程， n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为 特 征 根 通 解 中 的 对 应 项 例 解 例 解 在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程 试求此方程的通解。 三、二阶常系数非齐线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， 它对应的齐方程为 我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。 常系数非齐线性微分方程算子解法 参考书： 《常微分方程讲义》 王柔怀 伍卓群 编 人民教育出版社 方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为 单根 二重根 一对共轭复根 你认为方程应该有什么样子的特解？ 假设方程 有下列形式的特解： 则 代入方程 (2) ，得 即 方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。 由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解： 其中： 例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得

; *11 1 得 质量 m 体积 B 第十一节 备用题 有特 而对应齐次方程有解 微分方程的通解 . 解: 故所给二阶非齐次方程为 方程化为 1. 设二阶非齐次方程 一阶线性非齐次方程 故 再积分得通解 复习: 一阶线性微分方程 通解公式: 2. 设函数 在 r 0内满足 拉普拉斯方程 二阶可导, 试将方程化为以 r 为自变量的常微分 方程 , 并求 f r . 提示: 利用对称性, 即 欧拉方程 原方程可化为 且 解初值问题: 则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 微分方程 第七章 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 三个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令 高阶线性微分方程 线性齐次方程解的结构 线性非齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 叠加原理 定理1. 2 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 练习题: 题3只考虑方法及步骤 P353 题2 求以 为通解的微分方程. 提示: 故原方程通解 提示: 令 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA h, 一鸭子从点 A 游向点 二、解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件. 为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P x, y , 设鸭子 在静水中 的游速大小为b 求鸭子游动的轨迹方程 . O , 水流速度大小为 a , 两岸 则 关键问题是正确建立数学模型, 要点: 则鸭子游速 b 为 定解条件 由此得微分方程 即 鸭子的实际运动速度为 自己求解 齐次方程 思考: 能否根据草图列方程? 练习题: P354 题 5 , 6 P354 题5 . 已知某曲线经过点 1 , 1 , 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M x,y , 令 X 0, 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 P354 题6. 已知某车间的容积为 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? 提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 则在 内车间内 两端除以 并令 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 得微分方程 假定输入的新鲜空气 输入 , 的改变量为 t 30 时 解定解问题 因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 . 初始条件 得 k 作业 P304 3 , 7; P310 *4 2 ; P315 7 2 , 4 第六节 二阶微分方程的 习题课 二 二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 第七章 一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 令 令 逐次积分求解 2. 二阶线性微分方程的解法 常系数情形 齐次 非齐次