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全体正整数的的倒数平方和为多少?

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1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…… 这个问题莱布尼茨和伯努力都曾经研究过,但是没有结果,而欧拉运用他娴熟的数学技巧给出了如下的算法.已知sinZ=Z-Z^3/3!+Z^5/5!-Z^7/7!+……（在此,n!表示n的阶乘） 而sinZ=0的根为0,±π,±2π,……（π表示圆周率）

题目如下，A为自然数倒数平方和。

那么A等于多少呢？这个问题从数学家提出到首次被计算出相隔近百年。文章数学公式很多，小编费了不少劲，尽量让高中生就可以看懂。希望大家分享收藏，认证阅读，肯定能体会数学的奥秘。可以让更多人爱上数学。

故事是这样的，在十八世纪初叶，求所自然数平方的倒数和是一个非常有名的难题，被称为“贝塞尔问题”（the Basel Problem）,因为它难倒了大名鼎鼎的瑞士贝塞尔城的数学双雄——雅各布伯努利（Jakob Bernoulli）和弟弟约翰伯努利（Johann Bernoulli），他们兄弟俩堪称是当时欧洲大陆最富盛名的数学家，其赫赫威名在整个欧洲可以说无人不知，无人不晓。他求出很多以自然数相关的级数，而针对上面的求和，却致死无解。

在《无穷级数论稿》中他写道：

在当时，很多数学家投入研究计算这个无穷数列的工作之中，都没有结果，就连莱布尼茨和伯努力都曾经研究过，但是没有结果。

最先给出答案的是天才数学家欧拉，欧拉的天分很强，他的证明不是很严谨，但却给出了结果。

第一次见到这个等式，一定会惊讶得目瞪口呆吧，把所有自然数的平方的倒数全部加在一起，竟然正好等于圆周率平方的六分之一！太不可思议了！这简直不是数学而是魔术！

是的，这的确是一个十分神奇又优美得动人心魄的等式，任何一个凝视和思索它的人，都会深深地感到数的世界的神秘，一种深刻的和谐，一种天定的秩序，和超越凡俗、接近神祗的冷峻的美。

网上有很多方法来求，都用到了严谨的大学知识。

今天小编给出一个高中生也可以看懂的方法，重在培育探索思想。

细心的朋友应该发现了规律，其中2正好为f(x)的 x的系数。有人就是常数a肯定是f(x) 的x的系数，这个通过简单求导可证！

我们也可以发现，(很重要) f(x) 的

上述结论可以推广到无穷。

那么如何计算系数a呢，通过观察我们可以知道 x 的系数为 a*1*1*1*1….. = a;

还可以发现 x^3 的系数（设其为c）为

通过上述分析，如果我们能求出 sinπx 的 x的一次方的系数 a，和 x^3 的系数c 即可。

下面我们来求sinπx 的 x一次方的系数 a 和x二次方的系数 b.

终于大功告成，我们求出

大家发现没，太神奇了，只要我们知道sinπx 的x^2 的系数为多少，就可以了！

读者们应该也看到了规律，自然数倒数的N次方和，与π的N次方相关，当N为偶数时候。

也许您会说，当N为 奇数时是不是也和π的N次方有关系，比如

很遗憾的告诉你，这个连欧拉没有能够求出，直到今天也没有人能求出来，这就是数学无比奇妙，神鬼莫测的地方！

法国数学家阿佩里（Roger Apéry ）并没有求出B的精确值，只证明了它是无理数，就已经名扬天下了!

B从此就被称为阿佩里数! 求出它的具体指，可能需要未来更高级的数学来实现。

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