dy = f’(x) o dx
f’(x):导函数
y=f(u),u=g(x)
y=f[g(x)]的微分为 dy= f’(u)du= f’(u) g’(x)dx
y=f(x)满足下述三个条件
①在闭区间[a,b]上连续
②在开区间(a,b)内可导
③在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)
满足罗尔定理则在(a,b)区间内恒有x0使得f’(x0)=0，点x0为函数f(x)的驻点
拉格朗日中值定理（微分中值定理）
y=f(x)满足下述两个条件
①在闭区间[a,b]上连续
②在开区间(a,b)内可导
那么在(a,b)内至少有一点c（a
方程中未知函数导数的最高阶数，叫做微分方程的阶
如果函数f(x)满足一个微分方程，叫做该微分方程的解
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解
当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值，这种条件成为初始条件
满足给定初始条件的解，称为微分方程满足该初始条件的特解
可分离变量的微分方程（最简单的）
一阶线性微分方程
二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程，格式为y”+py’+qy=f(x)
解题思路：
微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分
本章包括导数概念、函数的求导法则、高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数、函数的微分
1、导数概念
微分学的基本概念—...
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的规律性进行研究。
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专升本高数学习总结——函数
本文针对我在学习高数的过程中遇到的个人感觉比较重要的问题所做的总结。
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专升本高数学习总结——导数（2）
洛必达法则
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计算函数单调性极值
计算函数凹凸性拐点洛必达法则在极限中使用已知函数，求某一点的斜率例如求某函数中的某一点的法线计算函数单调性、极值计算函数凹凸性、拐点主要都是一些...
专升本高数学习总结——极限
两个重要极限
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洛必达法则
极限化简的原则
左极限与右极限两个重要极限
无穷小特点lima b = N （a,b皆为同一趋向下的无穷小）
专升本高数学习总结——不定积分
啥是不定积分
求原函数的三种常用方法啥是不定积分
这就是不定积分
其中f(x)为F(x)的导函数，即F’(x)=f(x)求原函数的三种常用方法1.第一类换元法
即凑微分法，变化积分后的dx来实现...
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zhangsonglin_c
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题目有错误，(0,n)里面的n是什么？
就表示任意一个常数，取子区间（0，1）啊
n不是任意的吧？起码0&n&1,否则，没有意义。
不知道，老师抄的时候没有注明，但重点不在那儿吧
f(x)在（0,1）连续，应该成错误的，应该是在[0,1]连续，否则，f(0)=f(1)=0对解题无意义。假设要证明的关系成立，则移项得：f'(ξ)-1=λ[f(ξ)-ξ]这个式子是下列方程当x=ξ代入时的形式：f'(x)-1=λ[f(x)-x][f(x)-x]'=f'(x)-1代入[f(x)-x]'=λ[f(x)-x]两边同时除以[f(x)-x][f(x)-x]'/[f(x)-x]={ln[f(x)-x]}'=λ两边同时积分：ln[f(x)-x]=λx+C，（C是积分常数）f(x)-x=e^(λx+C)=e^Ce^(λx)=De^(λx),(D=e^C是常数）两边除以e^(λx)e^(-λx)[f(x)-x]=De^(-λx)[f(x)-x]-D=0设G(x)=e^(-λx)[f(x)-x]-DG(0)=e^(-λ0)[f(0)-0]-D=1[0-0]-D=-DG(1/2)=e^(-λ/2)[f(1/2)-1/2]-D=e^(-λ/2)[1-1/2]-D=(1/2)e^(-λ/2)-DG(1)=e^(-λ)[f(1)-1]-D=-e^(-λ)-D下面我们要找到另外一个点x=n，0&n&1，使得G(n)=-D,即:f(n)-n=0即f(n)=n这是函数y=f(x)与y=x&(45°斜线）的交点。显然n=0是一个交点，f(0)=0,x=1/2,f(x)=1,图像上y=f(x)的这个点，位于y=x的上方，y=x对应的点是x=1/2，y=1/2.x=1，f(x)=0,图像上y=f(x)的这个点，位于y=x的下方，y=x对应的点是x=1，y=1.y=f(x)与y=x都是连续的，因此在x=1/2与x=1，y=f(x)从y=x的上方连续走到y=x的下方，必然会与y=x有一个交点，设这个交点的坐标是x=n，则1/2&n&1该点：G(n)=e^(-λn)[f(n)-n]-D=-D根据罗尔定理在,存在ξ∈(0,n)，使得G'(ξ)=0,G(x)=e^(-λx)[f(x)-x]-DG'(x)=-λe^(-λx)[f(x)-x]+e^(-λx)[f'(x)-1]G'(ξ)=-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0两边约去e^(-λξ)-λ[f(ξ)-ξ]+[f'(ξ)-1]=0f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1得证
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观察结论 就是说f`(x)-1=k(f(x)-x)有根
且[f(x)-x]的导数是f`(x)-1令·g(x)=f(x)-x也就是g`(x)=kg(x) 有解所以可以令F(x)=e^(-kx)g(x)
再用roll定理就是了
为什么要令F(x)＝e∧(-kx)g(x)呢？而且f(x)是在（0，1）上可导啊，不是闭区间，怎么用罗尔定理啊？能发个详细过程吗？写下来发个图就好
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每年考研数学必有一道证明题，分值在10分左右，其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其应用。而微分中值定理及其应用最难的就是三个微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。它们是考研数学的重难点，现分别从涉及的知识点、考查方式、方法选择、真题链接等四个方面进行分析。
一、涉及的知识点及考查形式
可涉及微分中值定理及其应用的知识点有，微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分（数一、数二要求），曲率的概念（数一、数二要求），曲率圆与曲率半径（数一、数二要求）。
微分中值定理以间接考查或与其他知识点综合出题的比重很大，也可以直接出题，所以考查形式有多种。如利用导数的几何意义考查函数的特性，讨论导数零点存在性或方程根个数问题，不等式的证明，证明含中值的等式，求极限等。
二、方法选择
题目考查微分中值定理，那么选择哪一中值定理成为解题的关键。
针对题目的特点，可根据如下情况选择对应的微分中值定理：如果结论不包含端点，优先考虑罗尔定理；如果结论中包含端点，则考虑拉格朗日中值定理或柯西定理。那么选择拉式还是柯西定理，需要对结论做进一步的处理，化为定理的标准形式。如第一个标准，左边是只含端点，右边只含中值；第二个标准，左边进一步处理，分子分母减号，一侧只含右端点，一侧只含左端点。整理后，如果分母是端点相减，则选择拉格朗日定理；否则，选择柯西定理。
三个微分中值定理（条件与结论）的理解及其区别是复习的要点，而方法的选择是解题的关键。三个微分中值定理（条件与结论）的理解及其区别理解透了，才能正确使用方法进行求解。知识点的理解一定要结合一定量的习题才能真正掌握知识点，并应用于考研。
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拉格朗日(Lagrange)中值定理的构造性证明
　　摘要：本文采用探究式的教学方法，结合自己多年的教学实践，通过对罗尔定理与拉格朗日中值定理几何特性的比较，提出证明拉格朗日中值定理的辅助函数构造方法，使证明更加清晰易懂。 中国论文网 /9/view-4479334.htm　　关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；辅助函数 　　中图分类号：G642.0？摇 文献标志码：A 文章编号：（4-02 　　微分中值定理，作为微分学中的重要定理，是微分学应用的理论基础，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是微分学的核心理论。目前，对微分中值定理的证明方法，除了数学分析或高等数学课本上的之外，还有很多值得学习借鉴的方法。基于微分中值定理的重要意义，同时为了使学生都能更加全面、深入地理解微分中值定理，掌握构造辅助函数证明的技巧，本文从几何和分析角度加以分析证明。 　　一、罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入 　　我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数f（x）满足下列条件：①在闭区间[a，b]连续，②在开区间（a，b）可导，③f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f'（ξ）=0。 　　罗尔定理的几何意义大家都清楚了（如图1），现在我们把曲线y=φ（x）绕A在平面内的逆时针旋转α角，得到新的曲线（如图2），大家看看有什么不同？ 　　二、拉格朗日中值定理 　　（一）拉格朗日中值定理 　　如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ξ（a<ξ<b），使得等式f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）成立。 　　注：①深刻认识定理是两个条件，而罗尔定理是三个条件。②若加上f（a）=f（b），则f'（ξ）=■=■=0，即：f'（ξ）=0，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。 　　（二）拉格朗日（微分）中值定理的几何意义 　　我们从几何的角度看如下问题： 　　设连续函数y=f（x），a与b是它定义区间内的两点（a<b），假定此函数在（a，b）上处处可导，也就是在（a，b）内的函数图形上处处有不垂直于x轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商■=■就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点C（x=ξ）处成为曲线的切线，而切线的斜率为f'（ξ），由于切线与割线是平行的，因此f'（ξ）=■成立。 　　三、分析与证明 　　1.分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数φ（x），使它满足罗尔定理的条件。由前述分析，我们知道图2是在图1的基础上绕点A旋转了α角得到的，现进行逆变换，即将图2 曲线f（x）减去铅直量（x-α）tanα得到图1的曲线，而tanα=■。作辅助函数φ（x）=f（x）-■（x-a），注意 φ（x）满足罗尔定理的三个条件。 　　2.证明：作辅助函数φ（x）=f（x）-■（x-a），易知 φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，又φ（a）=φ（b），根据罗尔定理，φ（x）在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 φ'（ξ）=0，而φ'（x）=f'（x）-■，于是φ'（ξ）=f'（ξ）-■=0，即f'（ξ）-■=0，命题得证。 　　当设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导时，若x0，x0+Δx∈（a，b），则有f（x0+Δx）-f（x0）=f'（x0+θΔx）·Δx，（0<θ<1）；当y=f（x）时，也可写成Δy=f'（x0+θΔx）·Δx，（0<θ<1），试与微分dy=f'（x）·Δx比较：即微分dy=f'（x）·Δx是函数增量Δy的近似表达式，而Δy=f'（x0+θΔx）·Δx（0<θ<1）是函数增量Δy的精确表达式。所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式，拉格朗日中值定理又称有限增量定理。 　　它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用： 　　f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a），ξ∈（a，b） 　　f（b）-f（a）=f'[a+θ（b-a）]（b-a），θ∈（0，1） 　　f（a+h）-f（a）=f'（a+θh）h，θ∈（0，1） 　　注：①罗尔定理是拉格朗日中值定理f（a）=（b）时的特例。②几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线y=f（x）上至少存在一点C（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB。我们在证明中引入的辅助函数φ（x），正是曲线y=f（x）与铅直量（x-a）tanα之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于图形绕点A在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新x轴（φ（a）=φ（b））。本定理的证明是从几何角度提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范，同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是高等数学中的重要而常用的数学思维的体现。③拉格朗日中值定理的中值点ξ是开区间（a，b）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性”地指出了中值点ξ的存在性，而非“定量”地指明ξ的具体数值。④拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，该公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。 　　四、拉格朗日中值定理的两个重要推论 　　1.函数f（x）在区间I上可导且f'（x）≡0，？圯f（x）为I上的常值函数. 　　证明：任取两点x1，x2∈I（设x1<x2），在区间[x1，x2]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ∈（x1，x2）？奂I，使得f（x2）-f（x1）=f'（ξ）（x2-x1）=0.Qf'（x）≡0，∴f'（ξ）=0，即f（x1）=f（x2），因x1，x2是区间内的任意两点，得出f（x）为I上的常值函数。证毕。 　　2.函数f（x）和g（x）在区间I上可导且f'（x）≡g'（x）？圯f（x）=g（x）+C，x∈I。 　　（证明略） 　　五、拉格朗日中值定理的应用 　　简述：如何用拉式定理证明不等式，考虑注③，ξ点的不定，则f'（ξ）不定，但它毕竟在区间内导数的最大最小值之间，即引入不等式的概念。 　　例：证明arcsinx+arccosx=■（-1≤x≤1） 　　证明：设f（x）=arcsinx+arccosx，x∈[-1，1] 　　由于f'（x）=■+（-■）=0，所以f（x）≡C，x ∈[-1，1]. 　　又f（0）=arcsin0+arccos0=0+■=■，即C=■. 　　故arcsinx+arccosx=■。 　　六、结论 　　本文从几何角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明，不仅使学生掌握了定理的本质，并使学生积极主动参与到教学之中，较轻松地学会了定理的应用，而且对辅助函数的构造不再感到困惑，为后续课程利用拉格朗日中值定理解决实际问题打下了良好的理论基础。
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