三年级数学计算题300道题目了，求大佬解答
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时间：2018-08-14 15:05
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-85ff479aaa2_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-85ff479aaa2_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&a class=&video-box& href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/7446528& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic4.zhimg.com/80/v2-87f85f2593dcfbc6fb0ecb_b.jpg& data-lens-id=&7446528&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic4.zhimg.com/80/v2-87f85f2593dcfbc6fb0ecb_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/7446528&/span&
&p&数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&143& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&超人 微信：math（← 加我加我）&/b&&/p&&p&&b&vip通关卡：（微信扫描二维码）&/b&&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//ke.qq.com/course/package/9468%3Ftuin%3Db9fa5b68%26from%3Dshare_wexin_code_scan& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&ke.qq.com/course/packag&/span&&span class=&invisible&&e/9468?tuin=b9fa5b68&from=share_wexin_code_scan&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&
数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。超人 微信：math（← 加我加我）vip通关卡：（微信扫描二维码） (二维码自动识别)
&p&家长是孩子最好的老师。&/p&&p&这是奥数君第586天给出奥数题讲解。&/p&&p&今天的题目是数论问题，&/p&&p&所用知识不超过小学5年级。&/p&&p&&b&题目（5星难度）：&/b&&/p&&p&爪洼国只有两种面值的货币，一种是面值4元的，一种是面值7元的。这种货币很不方便，因为有些金额是凑不出的，比如5元就没法凑出。请问爪洼国的货币凑不出的最大金额是多少元？&/p&&p&&b&辅导办法:&/b&&/p&&p&题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长讲解。&/p&&p&&b&讲解思路：&/b&&/p&&p&这种类型的题目，&/p&&p&如果仅仅是填空题要得出答案，&/p&&p&可以采用列举法猜答案，&/p&&p&但这种方法不具备推广性。&/p&&p&本文中将给出一种严格的数学解法。&/p&&p&&b&步骤1：&/b&&/p&&p&先思考第一个问题，&/p&&p&如果某个金额a元能够凑出，&/p&&p&则a+4元是否一定能够凑出？&/p&&p&这个问题是显然的，&/p&&p&若m张4元和n张7元能凑出a元，&/p&&p&则a=4m+7n，&/p&&p&显然a+4=4(m+1)+7n，&/p&&p&m+1张4元和n张7元能凑出a+4元。&/p&&p&故只需考虑a+1,a+2,a+3三种情况。&/p&&p&&b&步骤2：&/b&&/p&&p&再思考第二个问题，&/p&&p&若m张4元和n张7元能凑出a元，&/p&&p&将a+1,a+2,a+3也想办法凑出来。&/p&&p&由于a=4m+7n，&/p&&p&显然a+1=4(m+2)+7(n-1),&/p&&p&a+2=4(m+4)+7(n-2)，&/p&&p&a+3=4(m-1)+7(n+1)。&/p&&p&因为4元和7元的张数最少是0张，&/p&&p&故m &= 1 且 n &= 2。&/p&&p&&b&步骤3：&/b&&/p&&p&综合上述两个问题。&/p&&p&将步骤2中的m和n最小值代入a，&/p&&p&有a=4*1+7*2=18。&/p&&p&当a &= 18 时，&/p&&p&a+1,a+2,a+3，a+4都能凑出，&/p&&p&即所有比a大的金额都能凑出。&/p&&p&而17元不能用4元和7元凑出，&/p&&p&所以17就是不能凑出的最大金额。&/p&&p&&b&思考题：&/b&&/p&&p&爪洼国只有两种面值的货币，一种是面值8元的，一种是面值15元的。这种货币很不方便，因为有些金额是凑不出的，比如5元就没法凑出。请问爪洼国的货币凑不出的最大金额是多少元？&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&获得思考题答案方法：&/b&&/p&&p&关注微信公众号“每天3道奥数题”(tiantianaoshu)&/p&&p&微信回复“”可获得思考题答案。&/p&&p&注：过4个月之后，关键词回复可能失效。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//weixin.qq.com/r/rDlaQm7ELDNTrSoh92y_& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&weixin.qq.com/r/rDlaQm7&/span&&span class=&invisible&&ELDNTrSoh92y_&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&&p&&/p&
家长是孩子最好的老师。这是奥数君第586天给出奥数题讲解。今天的题目是数论问题，所用知识不超过小学5年级。题目（5星难度）：爪洼国只有两种面值的货币，一种是面值4元的，一种是面值7元的。这种货币很不方便，因为有些金额是凑不出的，比如5元就没法凑出…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-aab9232eb8afff0b57e9_b.jpg& data-rawwidth=&1366& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1366& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-aab9232eb8afff0b57e9_r.jpg&&&/figure&&p&&b&摘要&/b&：本文将从自然数和公式开始，逐步推导出平方和、立方和以及更高次的自然数幂和公式。&/p&&p&首先，让我们来回顾一下自然数和公式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bi%7D+%3D1%2B2%2B...%2Bn%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&\sum_{i=1}^{n}{i} =1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&，这个公式的推导采用了一种叫做倒序求和的办法，这也是求解等差数列前n和的通用方法，自然数的序列方式就是后一项等于前一项加一，因此，它可以看成是最天然的等差数列。除此之外，自然数和公式还可以写成另一种形式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bi%7D+%3D1%2B2%2B...%2Bn%3DC_1%5E1%2BC_2%5E1%2B...%2BC_n%5E1%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&\sum_{i=1}^{n}{i} =1+2+...+n=C_1^1+C_2^1+...+C_n^1=C_{n+1}^2=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&，这里用到了组合数公式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C_1%5Ek%2BC_2%5Ek%2B...%2BC_n%5Ek%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bk%2B1%7D%28k%3Cn%29& alt=&C_1^k+C_2^k+...+C_n^k=C_{n+1}^{k+1}(k&n)& eeimg=&1&&，由此我们可以推测，组合数与自然数和之间可能存在着某种关系，我们的目标将是探讨出这种内在的关系。&br&&/p&&p&然后，我们再来看看自然数平方和公式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bi%5E2%7D+%3D1%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D& alt=&\sum_{i=1}^{n}{i^2} =1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}& eeimg=&1&&，这个公式我们在高中课本里也已然得知，只是没有给出推导过程，这里，我们先给出一种推导。&/p&&p&观察下面的等式：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%2B1%29%5E3-n%5E3%3D3n%5E2%2B3n%2B1& alt=&(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%29%5E3-%28n-1%29%5E3%3D3%28n-1%29%5E2%2B3%28n-1%29%2B1& alt=&(n)^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&……&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%5E3-2%5E3%3D3%5Ccdot+2%5E2%2B3%5Ccdot+2%2B1& alt=&3^3-2^3=3\cdot 2^2+3\cdot 2+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5E3-1%5E3%3D3%5Ccdot+1%5E2%2B3%5Ccdot+1%2B1& alt=&2^3-1^3=3\cdot 1^2+3\cdot 1+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&将以上n个等式相加，左边就可以消去中间项，右边提取公因式合并，于是可以得到：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%2B1%29%5E3-1%5E3%3D3%281%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%29%2B3%281%2B2%2B...%2Bn%29%2Bn& alt=&(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&将自然数之和公式代入上式，化简就可以得到：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D& alt=&1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}& eeimg=&1&&。&/p&&p&这个推导十分巧妙，并且还可以推广，在下面我们要讲的自然数立方和公式还要使用，不过在这里，我们想要说的是，既然自然数和与组合数有关，那么自然数平方和是不是也和组合数有关呢？答案是肯定的，请看下面的推导。&/p&&p&构造新的数列之和：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbecause+1%5Ctimes+2%2B2%5Ctimes+3%2B...%2Bn%28n%2B1%29& alt=&\because 1\times 2+2\times 3+...+n(n+1)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D2%28%5Cfrac%7B1%5Ctimes+2%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Ctimes+3%7D%7B2%7D%2B...%2B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%29& alt=&=2(\frac{1\times 2}{2}+\frac{2\times 3}{2}+...+\frac{n(n+1)}{2})& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D2%28C_2%5E2%2BC_3%5E2%2B...%2BC_%7Bn%2B1%7D%5E2%29& alt=&=2(C_2^2+C_3^2+...+C_{n+1}^2)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D2C_%7Bn%2B2%7D%5E3& alt=&=2C_{n+2}^3& eeimg=&1&&&br&&p&又&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbecause+1%5Ctimes+2%2B2%5Ctimes+3%2B...%2Bn%28n%2B1%29& alt=&\because 1\times 2+2\times 3+...+n(n+1)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%281%2B2%2B...%2Bn%29%2B%281%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%29& alt=&=(1+2+...+n)+(1^2+2^2+...+n^2)& eeimg=&1&&（直接展开每一项，重新组合）&br&&/p&&p&将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B...%2Bn%3DC_1%5E1%2BC_2%5E1%2B...%2BC_n%5E1%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&1+2+...+n=C_1^1+C_2^1+...+C_n^1=C_{n+1}^2=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&代入，便可以得到：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%3D2C_%7Bn%2B2%7D%5E3-C_%7Bn%2B1%7D%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D& alt=&1^2+2^2+...+n^2=2C_{n+2}^3-C_{n+1}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&发现自然数之和与组合数相关，有时候只是一种偶然的观察，需要一点点的联想，但一旦发现了这种联想，很自然地就能顺带到自然数平方和里，然后根据组合数的公式，将k从1到2，反过来就能推导出平方和了，这是一个惊喜，因为只要继续推导下去就可以求解自然数任意次幂的和啦！&/p&&p&接着，我们乘热打铁，再来看一看自然数立方和公式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bi%5E3%7D+%3D1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&\sum_{i=1}^{n}{i^3} =1^3+2^3+...+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&。&/p&&p&推导方法有很多，我们按顺序先来使用平方和的两种推导方法。&/p&&p&观察下面的等式序列：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%2B1%29%5E4-n%5E4%3D4n%5E3%2B6n%5E2%2B4n%2B1& alt=&(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5E4-%28n-1%29%5E4%3D4%28n-1%29%5E3%2B6%28n-1%29%5E2%2B4%28n-1%29%2B1& alt=&n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&……&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%5E4-2%5E4%3D4%5Ccdot+2%5E3%2B6%5Ccdot+2%5E2%2B4%5Ccdot+2%2B1& alt=&3^4-2^4=4\cdot 2^3+6\cdot 2^2+4\cdot 2+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5E4-1%5E4%3D4%5Ccdot+1%5E3%2B6%5Ccdot+1%5E2%2B4%5Ccdot+1%2B1& alt=&2^4-1^4=4\cdot 1^3+6\cdot 1^2+4\cdot 1+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&将以上n和式子相加，左边消去中间项，右边分组提取公因式，可得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%2B1%29%5E4-1%5E4%3D4%281%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%29%2B6%281%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%29%2B4%281%2B2%2B...%2Bn%29%2Bn& alt=&(n+1)^4-1^4=4(1^3+2^3+...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+...+n)+n& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&分别将自然数和公式与自然数平方和公式代入，可得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&1^3+2^3+...+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&继续看看组合数的推导：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbecause+1%5Ctimes+2%5Ctimes+3%2B2%5Ctimes+3%5Ctimes+4%2B...%2Bn%28n%2B1%29%28n%2B2%29& alt=&\because 1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+...+n(n+1)(n+2)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D3%21%5Ccdot+%28%5Cfrac%7B1%5Ctimes+2%5Ctimes+3%7D%7B3%21%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Ctimes+3%5Ctimes+4%7D%7B3%21%7D%2B...%2B%5Cfrac%7Bn+%28n%2B1%29+%28n%2B2%29%7D%7B3%21%7D%29& alt=&=3!\cdot (\frac{1\times 2\times 3}{3!}+\frac{2\times 3\times 4}{3!}+...+\frac{n (n+1) (n+2)}{3!})& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D3%21%5Ccdot+%28C_3%5E3%2BC_4%5E3%2B...%2BC_%7Bn%2B2%7D%5E3%29& alt=&=3!\cdot (C_3^3+C_4^3+...+C_{n+2}^3)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D3%21%5Ccdot+C_%7Bn%2B3%7D%5E4& alt=&=3!\cdot C_{n+3}^4& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%281%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%29%2B3%281%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%29%2B2%281%2B2%2B...%2Bn%29& alt=&=(1^3+2^3+...+n^3)+3(1^2+2^2+...+n^2)+2(1+2+...+n)& eeimg=&1&&&br&&p&将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B...%2Bn%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E2& alt=&1+2+...+n=C_{n+1}^2& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%3D2C_%7Bn%2B2%7D%5E3-C_%7Bn%2B1%7D%5E2& alt=&1^2+2^2+...+n^2=2C_{n+2}^3-C_{n+1}^2& eeimg=&1&&代入便可以得到：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%3D6C_%7Bn%2B3%7D%5E4-6C_%7Bn%2B2%7D%5E3%2BC_%7Bn%2B1%7D%5E2%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&1^3+2^3+...+n^3=6C_{n+3}^4-6C_{n+2}^3+C_{n+1}^2=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&在这里，我们继续给出另外的两个方法。&/p&&p&有时候，我们会无意中发现这样一个数字规律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%3D1& alt=&1^3=1& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5E3%3D3%2B5& alt=&2^3=3+5& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%5E3%3D7%2B9%2B11& alt=&3^3=7+9+11& eeimg=&1&&，……&/p&&p&一般的有：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5E3+%3D+%5B%28n-1%29n%2B1%5D%2B%5B%28n-1%29n%2B3%5D%2B...%2B%5B%28n-1%29n%2Bn%5D& alt=&n^3 = [(n-1)n+1]+[(n-1)n+3]+...+[(n-1)n+n]& eeimg=&1&&，&/p&&p&于是我们将这n个式子相加，便有：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3& alt=&1^3+2^3+...+n^3& eeimg=&1&&&br&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D1%2B3%2B5%2B...%2B%5B%28n-1%29%28n%2B1%29%2Bn%5D& alt=&=1+3+5+...+[(n-1)(n+1)+n]& eeimg=&1&&（一共有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B...%2Bn%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&项）&br&&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5Bn%28n%2B1%29%2B-1%5D& alt=&=\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\cdot [n(n+1)+-1]& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&&br&&p&这个方法直接表达了为什么自然数立方和是自然数和的平方。&/p&&p&再看一张数表：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ab19f967bf1d_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&382& class=&content_image& width=&277&&&/figure&观察可以得到：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%3D1%5E3& alt=&1=1^3& eeimg=&1&&，&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%2B4%2B2%3D2%5E3& alt=&2+4+2=2^3& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%2B6%2B9%2B6%2B3%3D3%5E3& alt=&3+6+9+6+3=3^3& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&……&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%2B2n%2B3n%2B...%2Bn%5E2%2B...%2B3m%2B2n%2Bn& alt=&n+2n+3n+...+n^2+...+3m+2n+n& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&于是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3& alt=&1^3+2^3+...+n^3& eeimg=&1&&是上面数表中所有数之和，我们按数表的行来分别求和，可得：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3& alt=&1^3+2^3+...+n^3& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D+%281%2B2%2B...%2Bn+%29%2B+2%281%2B2%2B...%2Bn%29%2B...%2Bn%281%2B2%2B...%2Bn%29& alt=&= (1+2+...+n )+ 2(1+2+...+n)+...+n(1+2+...+n)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%281%2B2%2B...%2Bn%29%281%2B2%2B...%2Bn%29& alt=&=(1+2+...+n)(1+2+...+n)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&&br&&p&这个推导方法也直指说了为什么自然数立方和是自然数和的平方。&br&&/p&&p&&b&总结&/b&：自然数幂和公式的推导有许多的方法，我们在这里给出了一些，有兴趣的读者可以继续探索别的巧妙方法，然后相互交流一下。除此之外，本文里通过次幂差和组合数推导的方法可以推广到自然数任意高次幂的求和中去，读者可以自己尝试着推导看看，然后对照分析公式之间的关系，这种关系可以观察代数表达式，也可以观察组合数公式，看一看这些公式之间是不是有一个通用的公式！我将会在日后的文章里给出答案！这里做一个期待！&/p&
摘要：本文将从自然数和公式开始，逐步推导出平方和、立方和以及更高次的自然数幂和公式。首先，让我们来回顾一下自然数和公式：\sum_{i=1}^{n}{i} =1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}，这个公式的推导采用了一种叫做倒序求和的办法，这也是求解等差数列前n和的通…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4d553bb5531_b.jpg& data-rawwidth=&933& data-rawheight=&434& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&933& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-4d553bb5531_r.jpg&&&/figure&&p&【已完成】&/p&&p&今天要解决一个问题，为什么全体自然数的和是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&-\frac{1}{12}& eeimg=&1&& 呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&写这篇文章的目的有两个：&/p&&p&一是我本学期在学复分析，写这篇的同时权当复习。&/p&&p&二是近来，我在知乎的若干回答下看到有人拿“全体自然数的和是负十二分之一”说事，说的那叫一个“有理有据”，钓到了大批的赞。据我观察，这些人大多只是听说过此结论，却并不知道其背后的意义、用到的方法，更不要提证明过程了。换言之，许多人不懂装懂，借此装B。写这篇文章，是希望让更多人明白，这个看似神奇的等式：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B3%2B%5Ccdots%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&&&/p&&p&其背后，是丰富、严格的数学内容，而不是什么“梗”或者网络迷因。（也顺便打一打装B犯的脸，劝诫你们踏实学习，少装B，不然会落到我这个境地……）&/p&&p&&br&&/p&&p&阅读本回答，你至少需要具备以下的数学水平：数学分析/高等数学、一些复数的基本知识（复变函数前三章即可）、知道Fourier级数、听说过Fourier变换、听说过 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&& 函数与 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数。&/p&&p&===============================&/p&&p&目录：&/p&&p&【第一部分：Riemann &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数】&/p&&p&【第二部分：Mellin变换】&/p&&p&【第三部分：Poisson求和公式】&/p&&p&【第四部分：这是最后的斗争】&/p&&p&===============================&/p&&p&【第一部分：Riemann &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数】&/p&&p&我们知道，一个级数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+a_n& alt=&\sum_{n=1}^\infty a_n& eeimg=&1&& 的值，定义为部分和的极限 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENa_n& alt=&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^Na_n& eeimg=&1&& 。因此自然数的和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENn%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7BN%28N%2B1%29%7D%7B2%7D%3D%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n=1}^\infty n=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^Nn=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{N(N+1)}{2}=+\infty& eeimg=&1&& ，是正无穷。所以 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty n=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&& 是错的，本文完结。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&骗你的。&/p&&p&数学上经常有这样的操作：如果定义不够使用，就推广定义；如果推广以后仍然不能满足数学家的野心，那就修改定义；如果还不行，就抛弃这个定义。现在我们就抛弃级数。&/p&&p&考虑Riemann &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ez%7D%5Cquad%28Re%28z%29%3E1%29& alt=&\zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^z}\quad(Re(z)&1)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=z%3Dx%2Biy& alt=&z=x+iy& eeimg=&1&& ，若 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%3E1& alt=&x&1& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cleft%7C%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ez%7D%5Cright%7C%5Cleq%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ex%7D%3C%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{1}{n^z}\right|\leq\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x}&+\infty& eeimg=&1&& ，故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29& alt=&\zeta(z)& eeimg=&1&& 收敛。且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29& alt=&\zeta(z)& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%3ARe%28z%29%3E1%5C%7D& alt=&\{z\in\mathbb{C}:Re(z)&1\}& eeimg=&1&& 的紧子集上一致收敛。（原因：对于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%3ARe%28z%29%3E1%5C%7D& alt=&\{z\in\mathbb{C}:Re(z)&1\}& eeimg=&1&& 的紧子集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& ，存在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3E0& alt=&\varepsilon&0& eeimg=&1&& ，使得在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上恒有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E1%2B%5Cvarepsilon& alt=&Re(z)&1+\varepsilon& eeimg=&1&& ，从而在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上有控制级数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B1%2B%5Cvarepsilon%7D%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1+\varepsilon}}& eeimg=&1&& ，用Weierstrass控制收敛定理。）&/p&&p&进一步地， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29& alt=&\zeta(z)& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%3ARe%28z%29%3E1%5C%7D& alt=&\{z\in\mathbb{C}:Re(z)&1\}& eeimg=&1&& 上解析。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们想知道 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29& alt=&\zeta(-1)& eeimg=&1&& 的值，因为按照“定义”， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29%5Csim%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B-1%7D%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n& alt=&\zeta(-1)\sim\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{-1}}=\sum_{n=1}^\infty n& eeimg=&1&& 。注意：这里及以后，用
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D& alt=&=& eeimg=&1&& 表示真正的相等，用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim& alt=&\sim& eeimg=&1&& 表示“形式上的”相等。目前， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数只对满足&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E1& alt=&Re(z)&1& eeimg=&1&& 的复数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&& 有定义， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29& alt=&\zeta(-1)& eeimg=&1&& 是没有定义的。我们接下来的目标，就是用合理的方式，把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数的定义扩展到整个复平面（肯定不能再按照 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ez%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^z}& eeimg=&1&& 定义，因为不收敛）。&/p&&p&===============================&/p&&p&【第二部分：Mellin变换】&/p&&p&首先回顾一下Fourier变换。设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 是一个函数，定义 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%28x%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7Bixt%7Ddt& alt=&\mathcal{F}f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{ixt}dt& eeimg=&1&& ，称 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathcal{F}f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的Fourier变换。&/p&&p&&br&&/p&&p&Mellin变换和Fourier变换类似，是一个积分变换。它把一个正实数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 上的函数变换为一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& 上的函数。设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 是一个函数，定义&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28s%29s%5Ez%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D& alt=&\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}f(s)s^z\frac{ds}{s}& eeimg=&1&& ，称 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%3A%5Cmathbb%7BC%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathcal{M}f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的Mellin变换。&/p&&p&&br&&/p&&p&为什么要这么定义呢？考虑复Fourier变换（注意与之前的Fourier变换的区别和联系）&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7Df%28z%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7Bzt%7Ddx& alt=&\hat{\mathcal{F}}f(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{zt}dx& eeimg=&1&& ，它把一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 变换为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7Df%3A%5Cmathbb%7BC%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\hat{\mathcal{F}}f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 。设&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=s%3D%5Cvarphi%28t%29%3De%5Et& alt=&s=\varphi(t)=e^t& eeimg=&1&&是从加法群 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 到乘法群 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 的群同构，它把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 上的测度推到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 上（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=dt%3D%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D& alt=&dt=\frac{ds}{s}& eeimg=&1&& ）。注意下面的图表：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4d7e8f7a5e9bc1b33d3bdb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&308& class=&content_image& width=&336&&&/figure&&p&我们可以计算 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7D%28f%5Ccirc%5Cvarphi%29%28z%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28%5Cvarphi%28t%29%29e%5E%7Bzt%7Ddt%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28s%29s%5Ez%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D%3D%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29& alt=&\hat{\mathcal{F}}(f\circ\varphi)(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\varphi(t))e^{zt}dt=\int_0^{+\infty}f(s)s^z\frac{ds}{s}=\mathcal{M}f(z)& eeimg=&1&& ，因此 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7D%28f%5Ccirc%5Cvarphi%29%3D%5Cmathcal%7BM%7Df& alt=&\hat{\mathcal{F}}(f\circ\varphi)=\mathcal{M}f& eeimg=&1&& 。这样看来，Mellin变换只不过是“ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 上函数的Fourier变换”而已。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们找几个函数，来算一算他们的Mellin变换把。&/p&&p&1、&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7B%5Clambda%7D%28s%29%3De%5E%7B-%5Clambda+s%7D& alt=&f_{\lambda}(s)=e^{-\lambda s}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Clambda+s%7Ds%5Ez%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D%3D%5Clambda%5E%7B-z%7D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-s%7Ds%5E%7Bz-1%7Dds%3D%5Clambda%5E%7B-z%7D%5CGamma%28z%29& alt=&\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}e^{-\lambda s}s^z\frac{ds}{s}=\lambda^{-z}\int_0^{+\infty}e^{-s}s^{z-1}ds=\lambda^{-z}\Gamma(z)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%3D1& alt=&\lambda=1& eeimg=&1&& 我们就得到了著名的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&& 函数。&/p&&p&2、&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28s%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+f_%7B%5Cpi+n%5E2%7D%28s%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D& alt=&f(s)=\sum_{n=1}^\infty f_{\pi n^2}(s)=\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%5Csim%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cmathcal%7BM%7Df_%7B%5Cpi+n%5E2%7D%28z%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%28%5Cpi+n%5E2%29%5E%7B-z%7D%5CGamma%28z%29%3D%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n%5E%7B-2z%7D%5CGamma%28z%29%5Csim%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29& alt=&\mathcal{M}f(z)\sim\sum_{n=1}^\infty\mathcal{M}f_{\pi n^2}(z)=\sum_{n=1}^\infty(\pi n^2)^{-z}\Gamma(z)=\pi^{-z}\sum_{n=1}^\infty n^{-2z}\Gamma(z)\sim\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&这里牵扯到收敛性的问题。对于第二个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim& alt=&\sim& eeimg=&1&& ，只要&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& 就能变成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D& alt=&=& eeimg=&1&& 。对于第一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim& alt=&\sim& eeimg=&1&& ，考虑 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cright%29s%5E%7Bz-1%7Dds%5Csim%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bz-1%7Dds%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cmathcal%7BM%7Df_%7B%5Cpi+n%5E2%7D%28z%29& alt=&\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds\sim\sum_{n=0}^\infty\int_0^{+\infty}e^{-\pi n^2s}s^{z-1}ds=\sum_{n=1}^\infty\mathcal{M}f_{\pi n^2}(z)& eeimg=&1&& ，这里的积分与极限实际上是可交换的。（原因：假设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3Dx%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)=x&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& ，那么 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bz-1%7D%5Cright%7Cds%5Cleq%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bx-1%7Dds& alt=&\int_0^{+\infty}\left|\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{z-1}\right|ds\leq\int_0^{+\infty}\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{x-1}ds& eeimg=&1&& ，而&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cleq+e%5E%7B-%5Cpi+s%7D%2B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Cpi+x%5E2s%7Ddx%5Cleq%5Cfrac%7BC_1%7D%7B%5Csqrt%7Bs%7D%7D%2B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-x%5E2%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi+s%7D%7D%5Cleq%5Cfrac%7BC%7D%7B%5Csqrt%7Bs%7D%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\leq e^{-\pi s}+\int_0^{+\infty}e^{-\pi x^2s}dx\leq\frac{C_1}{\sqrt{s}}+\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\frac{dx}{\sqrt{\pi s}}\leq\frac{C}{\sqrt{s}}& eeimg=&1&& ，故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bx-1%7Dds%5Cleq%5Cint_0%5E1%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bx-1%7Dds%2BC%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7Ds%5E%7Bx-1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Dds%3C%2B%5Cinfty& alt=&\int_0^{+\infty}\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{x-1}ds\leq\int_0^1\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{x-1}ds+C\int_1^{+\infty}s^{x-1-\frac{1}{2}}ds&+\infty& eeimg=&1&& ，控制收敛。）&/p&&p&这样我们就得到了这部分的最重要的等式，也是我们需要用到的结论：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cright%29s%5E%7Bz-1%7Dds& alt=&\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds& eeimg=&1&& （ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& ）。&/p&&p&===============================&/p&&p&【第三部分：Poisson求和公式】&/p&&p&再来看一下Fourier变换 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%28x%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7Bixt%7Ddt& alt=&\mathcal{F}f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{ixt}dt& eeimg=&1&& 。对于足够“好”的函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ，可以证明Poisson求和公式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7Df%28n%29& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(n)& eeimg=&1&& 。这部分我们就证明这个公式。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 足够“好”（要多好有多好），定义 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28t%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%2Bt%29& alt=&F(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n+t)& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 上周期为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 的函数，于是可以构造 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的Fourier级数：令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c_k%3D%5Cint_0%5E1F%28t%29e%5E%7B-2%5Cpi+ikt%7Ddt& alt=&c_k=\int_0^1F(t)e^{-2\pi ikt}dt& eeimg=&1&& 是第 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 个Fourier系数，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28t%29%5Csim%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_ke%5E%7B2%5Cpi+ikt%7D& alt=&F(t)\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_ke^{2\pi ikt}& eeimg=&1&& 。而这个系数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c_k%3D%5Cint_0%5E1F%28t%29e%5E%7B-2%5Cpi+ikt%7Ddt%3D%5Cint_0%5E1%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%2Bt%29e%5E%7B-2%5Cpi+ik%28n%2Bt%29%7Ddt%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7B-2%5Cpi+ikt%7Ddt%3D%5Cmathcal%7BF%7Df%28k%29& alt=&c_k=\int_0^1F(t)e^{-2\pi ikt}dt=\int_0^1\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n+t)e^{-2\pi ik(n+t)}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-2\pi ikt}dt=\mathcal{F}f(k)& eeimg=&1&&
，从而&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%29%3DF%280%29%5Csim%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_k%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7Df%28k%29& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=F(0)\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(k)& eeimg=&1&& ，就得到了Poisson求和公式形式上的“证明”。 &/p&&p&&br&&/p&&p&那么 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 究竟要满足什么条件呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&如果周期函数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%5Cin+C%5E2%5B0%2C1%5D& alt=&F\in C^2[0,1]& eeimg=&1&& ，就有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28t%29%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_ke%5E%7B2%5Cpi+ikt%7D& alt=&F(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_ke^{2\pi ikt}& eeimg=&1&& 。因此，我们要求 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 二阶连续可导，并且&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%7C%7Cf%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%3C%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}||f||_{[n.n+1],\infty}+||f'||_{[n.n+1],\infty}+||f''||_{[n.n+1],\infty}&+\infty& eeimg=&1&& ，使用导数一致收敛的判别法则，就得到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%5Cin+C%5E2%5B0%2C1%5D& alt=&F\in C^2[0,1]& eeimg=&1&& 啦。&/p&&p&&br&&/p&&p&也就是说，如果 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+C%5E2%28%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&f\in C^2(\mathbb{R})& eeimg=&1&& ，并且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%7C%7Cf%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%3C%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}||f||_{[n.n+1],\infty}+||f'||_{[n.n+1],\infty}+||f''||_{[n.n+1],\infty}&+\infty& eeimg=&1&& ，就有Poisson求和公式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7Df%28n%29& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(n)& eeimg=&1&& 。
&/p&&p&===============================&/p&&p&【第四部分：这是最后的斗争】&/p&&p&前面已经做了充分的准备工作，是时候向目标发起最后冲刺了。&/p&&p&&br&&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%3E0& alt=&\lambda&0& eeimg=&1&& ，令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28%5Clambda%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7De%5E%7B-%5Cpi+n%5E2%5Clambda%7D& alt=&\theta(\lambda)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2\lambda}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%28%5Clambda%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2%5Clambda%7D& alt=&\psi(\lambda)=\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2\lambda}& eeimg=&1&& ，很显然 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28%5Clambda%29%3D2%5Cpsi%28%5Clambda%29%2B1& alt=&\theta(\lambda)=2\psi(\lambda)+1& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&考虑 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28t%29%3De%5E%7B-%5Cpi+t%5E2%5Clambda%7D& alt=&f(t)=e^{-\pi t^2\lambda}& eeimg=&1&& ，计算得 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%7De%5E%7B-%5Cpi%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Clambda%7D%7D& alt=&\mathcal{F}f(x)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}e^{-\pi\frac{x^2}{\lambda}}& eeimg=&1&& ，而且满足相应条件，因此用Poisson求和公式， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7De%5E%7B-%5Cpi+n%5E2%5Clambda%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%7D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7De%5E%7B-%5Cpi%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B%5Clambda%7D%7D& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2\lambda}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi\frac{n^2}{\lambda}}& eeimg=&1&& ，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28%5Clambda%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%7D%5Ctheta%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Cright%29& alt=&\theta(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\theta\left(\frac{1}{\lambda}\right)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&换成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi& alt=&\psi& eeimg=&1&& 就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%5Cpsi%28%5Clambda%29%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D-1%7D%7B2%7D& alt=&\psi\left(\frac{1}{\lambda}\right)=\sqrt{\lambda}\psi(\lambda)+\frac{\sqrt{\lambda}-1}{2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&第二部分的最后，得到了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cright%29s%5E%7Bz-1%7Dds%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds& alt=&\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds=\int_0^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds& eeimg=&1&& 。因此&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%2A%7D+%26%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29%5C%5C+%3D%26%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%2B%5Cint_0%5E1%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%2B%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%29s%5E%7B1-z%7D%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%5E2%7D%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%2B%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Cpsi%28s%29%5Csqrt%7Bs%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bs%7D-1%7D%7B2%7D%5Cright%29s%5E%7B-1-z%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29%28s%5E%7Bz-1%7D%2Bs%5E%7B-z-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%29ds%2B%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bs%5E%7B-z-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D-s%5E%7B-z-1%7D%7D%7B2%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29%28s%5E%7Bz-1%7D%2Bs%5E%7B-z-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%29ds%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2z%282z-1%29%7D+%5Cend%7Balign%2A%7D& alt=&\begin{align*} &\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)\\ =&\int_0^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_0^1\psi(s)s^{z-1}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_1^{+\infty}\psi\left(\frac{1}{s}\right)s^{1-z}\frac{ds}{s^2}\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_1^{+\infty}\left(\psi(s)\sqrt{s}+\frac{\sqrt{s}-1}{2}\right)s^{-1-z}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)(s^{z-1}+s^{-z-\frac{1}{2}})ds+\int_1^{+\infty}\frac{s^{-z-\frac{1}{2}}-s^{-z-1}}{2}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)(s^{z-1}+s^{-z-\frac{1}{2}})ds+\frac{1}{2z(2z-1)} \end{align*}& eeimg=&1&&&/p&&p&以上计算的前提是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=w%3D2z& alt=&w=2z& eeimg=&1&& ，则当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28w%29%3E1& alt=&Re(w)&1& eeimg=&1&& 时，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-w%7D%5Czeta%28w%29%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7Bw%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29%28%5Csqrt%7Bs%7D%5E%7Bw-2%7D%2B%5Csqrt%7Bs%7D%5E%7B-w-1%7D%29ds-%5Cfrac%7B1%7D%7Bw%281-w%29%7D& alt=&\sqrt{\pi}^{-w}\zeta(w)\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)=\int_1^{+\infty}\psi(s)(\sqrt{s}^{w-2}+\sqrt{s}^{-w-1})ds-\frac{1}{w(1-w)}& eeimg=&1&&&/p&&p&现在观察：等号右边是一个亚纯函数（亚纯函数就是“能表示成两个解析函数的商 ”的函数，或者“没有本性奇点”的函数，两个亚纯函数经过四则运算仍然是亚纯函数），而等号左边的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-w%7D& alt=&\sqrt{\pi}^{-w}& eeimg=&1&& 、 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7Bw%7D%7B2%7D%5Cright%29& alt=&\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)& eeimg=&1&& 也都是亚纯函数。这样，上式相当于给出了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28w%29& alt=&\zeta(w)& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=w%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&w\in\mathbb{C}& eeimg=&1&& 上的定义！&/p&&p&&br&&/p&&p&这还没完，试试在等号右边把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=w& alt=&w& eeimg=&1&& 换为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1-w& alt=&1-w& eeimg=&1&& ，你会发现式子根本没变。这就说明：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-w%7D%5Czeta%28w%29%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7Bw%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7Bw-1%7D%5Czeta%281-w%29%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7B1-w%7D%7B2%7D%5Cright%29& alt=&\sqrt{\pi}^{-w}\zeta(w)\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)=\sqrt{\pi}^{w-1}\zeta(1-w)\Gamma\left(\frac{1-w}{2}\right)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&现在让 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=w%3D-1& alt=&w=-1& eeimg=&1&& ，就有&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5Czeta%28-1%29%5CGamma%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-2%7D%5Czeta%282%29%5CGamma%281%29& alt=&\sqrt{\pi}\zeta(-1)\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}^{-2}\zeta(2)\Gamma(1)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&我们知道 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%282%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D& alt=&\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%281%29%3D1& alt=&\Gamma(1)=1& eeimg=&1&& ，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D& alt=&\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%3D-2%5Csqrt%7B%5Cpi%7D& alt=&\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}=-2\sqrt{\pi}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&因此：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-2%7D%5Czeta%282%29%5CGamma%281%29%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5CGamma%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E3%28-2%29%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&\zeta(-1)=\frac{\sqrt{\pi}^{-2}\zeta(2)\Gamma(1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{\frac{\pi^2}{6}}{\sqrt{\pi}^3(-2)\sqrt{\pi}}=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&&&/p&&p&证明完结。&/p&
【已完成】今天要解决一个问题，为什么全体自然数的和是 -\frac{1}{12} 呢？ 写这篇文章的目的有两个：一是我本学期在学复分析，写这篇的同时权当复习。二是近来，我在知乎的若干回答下看到有人拿“全体自然数的和是负十二分之一”说事，说的那叫一个“有理…
&p&最让我惊呆的知识是概率，因为在投资中非常实用，尤其是用于风险控制的凯利公式。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-ee585c57eb9cc2653080_b.jpg& data-rawwidth=&484& data-rawheight=&300& data-caption=&& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-68a718f49f8c171e57895d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&484& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-ee585c57eb9cc2653080_r.jpg&&&/figure&&p&先从一个赌博游戏讲起：&/p&&p&假如有一天，马阿里突然要和你玩个抛硬币的投注游戏，规则是这样的:如果硬币正面朝上，马阿里就给你投注金额5倍的钱；如果硬币反面朝上，你所有下注的钱就归马阿里所有。问题的关键在于：下不下注？用多少钱下注？&/p&&p&要回答这个问题，必须从概率说起了。世界是由无数个偶然事件构成的，为了描述这种偶然性，数学家发明了概率。从某种意义上来说，人生就是一场概率游戏，投资的本质也是投概率。&/p&&ul&&li&&b&一、零概率事件也可能发生&/b&&/li&&/ul&&p&给定一根长度为1的线段，用一支无限小的针去扎这条线段，任何一个点都有可能被扎到，但扎到任何一个点的概率都是0。&/p&&p&因此，零概率事件也是可能发生的，反过来说，概率为100%的事件也有可能不发生。&/p&&p&为了不让小概率事件毁掉你的一切，你必须熟记理财中的那句经典名言：“不要把鸡蛋放在一个篮子里。”&/p&&p&由此引申出来的是：&/p&&ul&&li&用适当的钱买点保险很有必要，这是应对意外发生的最简单同时也是最好的办法；&br&&/li&&li&家里储藏一点实物黄金也是很有必要的，这是用来应对战乱、饥荒等极小概率事件的有效手段，但最好祈祷这些黄金永远用不到；&/li&&li&银行里随时备有可供家庭支出3个月左右的活期存款还是很有必要的，这是用来应付意外失业的；&/li&&li&理财的钱要分散的投资于银行定期存款、银行理财、房市、信托、股市、债市、网络理财平台等，这是用来应付像股灾那样的崩塌性小概率事件。&br&……&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&ul&&li&&b&二、数学期望决定了是否进行投资&/b&&/li&&/ul&&p&文章开头的抛硬币游戏，之所以看起来划算，是因为我们认为硬币正面朝上和反面朝上的概率是一样的，都是1/2，而正面朝上可以得到5倍回报，所以，回报是大于投入的。&/p&&p&回报到底有多大？数学期望就是这样一个衡量指标。通俗的来说，数学期望就是回报的平均值。如果回报为a(i)的概率是p(i),其计算公式就是：&/p&&p&E=a(1)*p(1)+a(2)*p(2)+…+a(n)*p(n)&/p&&p&在抛硬币游戏中，如果投入1元，回报的数学期望就是:&/p&&p&5*1/2-1*1/2=2元。&/p&&p&这个回报的数学期望是大于投入的，所以，参与游戏是能赚到钱的。&/p&&p&因此，判断一项投资是否划算，关键是计算数学期望与投入的关系，只有回报的数学期望大于投入时，才能进行投资。&/p&&p&从另一个角度看，数学期望可以用来估计资产的价格。比如有一项资产，有60%的概率挣到100万，有20%的概率挣到200万，有10%的概率不赚不赔，有10%的概率亏损500万，那这项资产值得用多少钱来购买？&/p&&p&由于其数学期望是：&/p&&p&100*60%+200*20%+0*10%-500*10%=50，&/p&&p&因此，只要价格不高于50万元，这项资产都是值得购买的。&/p&&ul&&li&&b&三、凯利公式告诉你投资的仓位&/b&&/li&&/ul&&p&我们已经知道，文章开头的抛硬币游戏是一项能赚到钱的投资。现在考虑一个问题:假如你有1万元，为了保证在有限次游戏中收益的最大化，你每次该用多少钱去参与？&/p&&p&要是全部投入，一把梭哈，那万一全亏了怎么办？&/p&&p&要是投资少了，机会难得，赚少了就只能自己后悔！&/p&&p&数学中， “凯利公式”就是用来解决这个问题的！这个公式是教你风险控制的方法，让你在确保不爆仓的前提下，得到收益最大化。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-1140418fca6a89a82ae425_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&358& data-caption=&& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-5be7fb7e49eee78ab4cbe_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-1140418fca6a89a82ae425_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&先给出凯利公式的表达式：&/p&&p&f=(ap-bq)/(ab),&/p&&p&其中f就是投入的最佳仓位，&/p&&p&a表示本金收益率（赌博中叫赔率），&/p&&p&b表示本金损失率（赌博中b为1），&/p&&p&p表示获得正收益的概率，&/p&&p&q表示获得亏损的的概率。&/p&&p&在抛硬币的游戏中，a=5,b=1,p=q=1/2，容易计算得到f=40%。&/p&&p&所以，每次用4成的仓位去玩抛硬币的游戏才可以使收益最大化。&/p&&p&凯利公式的证明非常复杂，需要用到中心极限定理和正态分布等概率学知识，而且证明的过程也特别数学，这里就不再啰嗦。&/p&&p&马阿里的抛硬币游戏在生活中不常见，但投资的机会在生活中比比皆是。在股票、期货等投资中，凯利公式常常被用来进行仓位控制。&/p&&p&量化基金的鼻祖，天才数学家索普，就曾将凯利公式应用的出神入化。他先是自学编程，利用早期的IBM大型机，开发了一套专门用于21点的算法，然后用其在拉斯维加斯大把吸金，甚至因为赢钱太多一度被多家大型赌场列入黑名单拒绝入内，电影《决胜21点》就是以此为原型拍摄的。后来，他又成立了著名的量化基金PNP(PrincetonNewport Partners），应用凯利公式，在资本市场大杀四方，下图就是PNP基金的净值曲线。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a4dfe823eb793ac46a96f_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&554& data-caption=&& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-cdfac10d64aec4c8e8dda_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a4dfe823eb793ac46a96f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&不过，应用凯利公式最大的问题就是要知道慨率。数学题目中，概率都是已知的，但资本市场是千变万化的，概率并不知道，这就需要用到数学中的另外一个大杀器——大数定律。&/p&&ul&&li&&b&四、大数定律告诉你怎么计算概率&/b&&/li&&/ul&&p&太阳底下没有新鲜事！&/p&&p&历史总是在不断的重复，从历史中我们能够得到足够多的样本数据。&/p&&p&大数定律告诉我们，当样本数据足够多的时候，频率总是无限的趋近于概率。因此，用历史频率代替概率是科学可行的。&/p&&p&比如在股票的量化交易中，一种最简单的投资模型如下：&/p&&p&假设过去一段时间的最高价为m,最低价为n，当前价格为k。&/p&&p&正收益率用a=(m-k)/k表示，&/p&&p&亏损率用b=(k-n)/k表示，&/p&&p&赚钱和亏钱的概率分别用过去5年来的5日盈亏情况的频率替代，&/p&&p&最佳仓位f就可以用凯利公式进行计算并实时调整了。&/p&&p&真实的量化交易模型，比上面的要复杂很多，也精细很多，但万变不离其宗，凯利公式都是风险控制的不二法门。&/p&&p&&br&&/p&&p&这篇文章原来发在我的个人公众号“每天3道奥数题”(tiantianaoshu)，免费教家长辅导奥数的，每天发布小学奥数题及详细解答，有需要辅导小孩的家长朋友欢迎关注。&/p&&p&&br&&/p&&p&谢谢你长这么帅还给我点赞。&/p&
最让我惊呆的知识是概率，因为在投资中非常实用，尤其是用于风险控制的凯利公式。先从一个赌博游戏讲起：假如有一天，马阿里突然要和你玩个抛硬币的投注游戏，规则是这样的:如果硬币正面朝上，马阿里就给你投注金额5倍的钱；如果硬币反面朝上，你所有下注的…
&p&古语有云：学而时习之，温故而知新。意思是说，学习，然后找一定的时间去复习它，通过复习旧的知识从而知道新的知识。这里强调的就是复习对于学习的重要作用。可见在古代，古人即已认识到：学与习是两回事。&/p&&p&所谓学习，&学&是指接受新知识，&习&就是指要复习，要进一步理解、归纳、总结和记忆已学过的知识。在学习过程中，只学不习，学习的东西很快就会遗忘。&/p&&p&为什么同一个班、同一个老师教出来的学生成绩却千差万别呢？&br&&/p&&p&有的学生，在上完新课后，主动复习，对知识点分类归纳，不断反复看，把内容深刻记在脑海中，所以考试时能从容应对。而有的学生，只是上课听听，下课既不写作业、练习，也不复习总结所学内容，时间一长遗忘了，到考试时自然不知道怎么做。&/p&&p&那为了帮助大家做好复习，今天我把小学数学所有的常考知识点做了个汇总整理，现在分享给大家，希望能帮助大家复习。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b5edf9bf6cac9f69e132d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&611& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b5edf9bf6cac9f69e132d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5cf10169fdce75d56bc0aa_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&518& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-5cf10169fdce75d56bc0aa_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-30e9bc928cac4cc8d37dc4f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&534& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-30e9bc928cac4cc8d37dc4f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4e222b95be90e86dbcb6cf298e7a404e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&531& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-4e222b95be90e86dbcb6cf298e7a404e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b984369baed33242bcb03_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b984369baed33242bcb03_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-29bfbbd07b471ee9f7890f3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&443& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-29bfbbd07b471ee9f7890f3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ea15c1d938a463a3bd89c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&556& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ea15c1d938a463a3bd89c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3c67d5b6352294def51f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&476& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3c67d5b6352294def51f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a48a04fdbbdbdb2297e6ec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&547& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a48a04fdbbdbdb2297e6ec_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ba3e72bf92cde5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&452& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ba3e72bf92cde5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-bcaa8b1fcf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&504& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-bcaa8b1fcf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b63f9c051b8ddea_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&496& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b63f9c051b8ddea_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-bd63de61ce9bf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&629& data-rawheight=&334& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&629& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-bd63de61ce9bf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b282ab6b10f0befa5a82a5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&581& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b282ab6b10f0befa5a82a5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-86e5cff2aaf74a245be8a42_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&635& data-rawheight=&494& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&635& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-86e5cff2aaf74a245be8a42_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8e967f0c56b93be93f11d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&486& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8e967f0c56b93be93f11d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fa0d2cba8b0bd8b81bdaca8bc39f4c29_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&635& data-rawheight=&563& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&635& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-fa0d2cba8b0bd8b81bdaca8bc39f4c29_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a0e5cb45de011dfd76b2d3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&575& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a0e5cb45de011dfd76b2d3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c1bbce7c6ea0e77b54e54_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&637& data-rawheight=&583& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&637& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c1bbce7c6ea0e77b54e54_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8ab0bebedf8b0ba2a04db96f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&456& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8ab0bebedf8b0ba2a04db96f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b72227c1bce41c6c7c0b33e5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&332& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b72227c1bce41c6c7c0b33e5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f889e142fb4c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&595& data-rawheight=&382& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&595& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f889e142fb4c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f7d685e1e7ec24be5d4cf37b64de89b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&577& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f7d685e1e7ec24be5d4cf37b64de89b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2f80b6dd7d3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&593& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-2f80b6dd7d3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-83333bebf5e9eb55ec27f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&659& data-rawheight=&204& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&659& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-83333bebf5e9eb55ec27f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-db495e8dcac3b8b199ed05_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&636& data-rawheight=&491& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&636& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-db495e8dcac3b8b199ed05_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-56f54dceec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&515& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-56f54dceec_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ea85dfc1ea3744ecb0d8ca_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&628& data-rawheight=&511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&628& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ea85dfc1ea3744ecb0d8ca_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a92ae9b232ec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&565& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a92ae9b232ec_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&h2&微课视频：&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.kt5u.com/course/course-show%3Fcourseid%3D2886& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&分数的乘除法&/a&&/h2&&p&&br&&/p&&p&这些就是全部内容，如果您有什么想说的，就写在这里吧，我会看的。我们一起探讨学习，一同成长。&/p&&p&&b&搜索关注公众号 课堂无忧（ID：kt5u21），听老师讲课，获取更多学习资料、方法。&/b&&/p&
古语有云：学而时习之，温故而知新。意思是说，学习，然后找一定的时间去复习它，通过复习旧的知识从而知道新的知识。这里强调的就是复习对于学习的重要作用。可见在古代，古人即已认识到：学与习是两回事。所谓学习，"学"是指接受新知识，"习"就是指要复习…
&p&&b&1&/b&&/p&&p&&b&正方体展开图&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&正方体有6个面，12条棱，当沿着某棱将正方体剪开，可以得到正方体的展开图形，很显然，正方体的展开图形不是唯一的，但也不是无限的，事实上，正方体的展开图形有且只有11种，11种展开图形又可以分为4种类型：&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&1141型&/b& 中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-77e138acb85ccecc9a11e639_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&271& data-rawheight=&93& class=&content_image& width=&271&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-62d51dccd5818b65effbfd97_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&272& data-rawheight=&93& class=&content_image& width=&272&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2231型 &/b&中间一行3个作侧面，共3种基本图形。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-23aadaeb5242305_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&279& data-rawheight=&95& class=&content_image& width=&279&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&3222型&/b& 中间两个面，只有1种基本图形。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4f5ef68cf3af28d97d2c5e06a29fa2a6_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&126& data-rawheight=&115& class=&content_image& width=&126&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&433型&/b&
中间没有面，两行只能有一个正方形相连，只有1种基本图形。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7c7cf3b95edddb_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&127& data-rawheight=&87& class=&content_image& width=&127&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2&/b&&/p&&p&&b&和差问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&已知两数的和与差，求这两个数。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&和加上差，越加越大；&/p&&p&除以2，便是大的；&/p&&p&和减去差，越减越小；&/p&&p&除以2，便是小的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&3&/b&&/p&&p&&b&鸡兔同笼问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&假设全是鸡，假设全是兔。&/p&&p&多了几只脚，少了几只足？&/p&&p&除以脚的差，便是鸡兔数。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&4&/b&&/p&&p&&b&浓度问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（1）加水稀释&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&加水先求糖，糖完求糖水。&/p&&p&糖水减糖水，便是加水量。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（2）加糖浓化&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&加糖先求水，水完求糖水。&/p&&p&糖水减糖水，求出便解题。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&有20千克浓度为15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为20%？&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）&/li&&li&水完求糖水，含17千克水在20%浓度下应有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）&/li&&li&糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，21.25-20=1.25（千克)&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&5&/b&&/p&&p&&b&路程问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（1）相遇问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&相遇那一刻，路程全走过。&/p&&p&除以速度和，就把时间得。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&甲乙两人从相距120千米的两地相向而行，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时，多少时间相遇？&/p&&p&&br&&/p&&p&相遇那一刻，路程全走过。即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米。&/p&&p&&br&&/p&&p&除以速度和，就把时间得。即甲乙两人的总速度为两人的速度之和40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为120/60=2（小时）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（2）追及问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&慢鸟要先飞，快的随后追。&/p&&p&先走的路程，除以速度差，时间就求对。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为3千米/小时，先走2小时后，弟弟骑自行车出发速度6千米/小时，几时追上？&/p&&p&&br&&/p&&p&先走的路程，为3X2=6（千米）&/p&&p&速度的差，为6-3=3（千米/小时）。&/p&&p&所以追上的时间为：6/3=2（小时）。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&6&/b&&/p&&p&&b&和比问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&已知整体求部分。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&家要众人合，分家有原则。&/p&&p&分母比数和，分子自己的。&/p&&p&和乘以比例，就是该得的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&甲乙丙三数和为27，甲;乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三数。&/p&&p&&br&&/p&&p&分母比数和，即分母为：2+3+4=9；&/p&&p&分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9，3/9，4/9。和乘以比例，所以甲数为27X2/9=6，乙数为：27X3/9=9，丙数为：27X4/9=12。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&7&/b&&/p&&p&&b&差比问题（差倍问题）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&我的比你多，倍数是因果。&/p&&p&分子实际差，分母倍数差。&/p&&p&商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&甲数比乙数大12，甲:乙=7：4，求两数。&/p&&p&&br&&/p&&p&先求一倍的量，12/（7-4）=4，&/p&&p&所以甲数为：4X7=28，乙数为：4X4=16。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&8&/b&&/p&&p&&b&工程问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&工程总量设为1，1除以时间就是工作效率。&/p&&p&单独做时工作效率是自己的，一齐做时工作效率是众人的效率和。&/p&&p&1减去已经做的便是没有做的，没有做的除以工作效率就是结果。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。甲乙同时做2天后，由乙单独做，几天完成？&/p&&p&&br&&/p&&p&[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&9&/b&&/p&&p&&b&植树问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&植树多少棵，要问路如何？&/p&&p&直的加上1，圆的是结果。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例1：&/b&在一条长为120米的马路上植树，间距为4米，植树多少棵？&/p&&p&&br&&/p&&p&路是直的。所以植树120/4+1=31（棵）。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例2：&/b&在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少棵？&/p&&p&&br&&/p&&p&路是圆的，所以植树120/4=30（棵）。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ce5f8de4cc_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&318& data-rawheight=&270& class=&content_image& width=&318&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&10&/b&&/p&&p&&b&盈亏问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&全盈全亏，大的减去小的；&/p&&p&一盈一亏，盈亏加在一起。&/p&&p&除以分配的差，结果就是分配的东西或者是人。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例1：&/b&小朋友分桃子，每人10个少9个；每人8个多7个。求有多少小朋友多少桃子？&/p&&p&&br&&/p&&p&一盈一亏，则公式为：}
&img class=&thumbnail& src=&https://pic4.zhimg.com/80/v2-87f85f2593dcfbc6fb0ecb_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/7446528&/span&
&p&数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&143& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&超人 微信：math（← 加我加我）&/b&&/p&&p&&b&vip通关卡：（微信扫描二维码）&/b&&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//ke.qq.com/course/package/9468%3Ftuin%3Db9fa5b68%26from%3Dshare_wexin_code_scan& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&ke.qq.com/course/packag&/span&&span class=&invisible&&e/9468?tuin=b9fa5b68&from=share_wexin_code_scan&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&
数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。超人 微信：math（← 加我加我）vip通关卡：（微信扫描二维码） (二维码自动识别)
&p&家长是孩子最好的老师。&/p&&p&这是奥数君第586天给出奥数题讲解。&/p&&p&今天的题目是数论问题，&/p&&p&所用知识不超过小学5年级。&/p&&p&&b&题目（5星难度）：&/b&&/p&&p&爪洼国只有两种面值的货币，一种是面值4元的，一种是面值7元的。这种货币很不方便，因为有些金额是凑不出的，比如5元就没法凑出。请问爪洼国的货币凑不出的最大金额是多少元？&/p&&p&&b&辅导办法:&/b&&/p&&p&题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长讲解。&/p&&p&&b&讲解思路：&/b&&/p&&p&这种类型的题目，&/p&&p&如果仅仅是填空题要得出答案，&/p&&p&可以采用列举法猜答案，&/p&&p&但这种方法不具备推广性。&/p&&p&本文中将给出一种严格的数学解法。&/p&&p&&b&步骤1：&/b&&/p&&p&先思考第一个问题，&/p&&p&如果某个金额a元能够凑出，&/p&&p&则a+4元是否一定能够凑出？&/p&&p&这个问题是显然的，&/p&&p&若m张4元和n张7元能凑出a元，&/p&&p&则a=4m+7n，&/p&&p&显然a+4=4(m+1)+7n，&/p&&p&m+1张4元和n张7元能凑出a+4元。&/p&&p&故只需考虑a+1,a+2,a+3三种情况。&/p&&p&&b&步骤2：&/b&&/p&&p&再思考第二个问题，&/p&&p&若m张4元和n张7元能凑出a元，&/p&&p&将a+1,a+2,a+3也想办法凑出来。&/p&&p&由于a=4m+7n，&/p&&p&显然a+1=4(m+2)+7(n-1),&/p&&p&a+2=4(m+4)+7(n-2)，&/p&&p&a+3=4(m-1)+7(n+1)。&/p&&p&因为4元和7元的张数最少是0张，&/p&&p&故m &= 1 且 n &= 2。&/p&&p&&b&步骤3：&/b&&/p&&p&综合上述两个问题。&/p&&p&将步骤2中的m和n最小值代入a，&/p&&p&有a=4*1+7*2=18。&/p&&p&当a &= 18 时，&/p&&p&a+1,a+2,a+3，a+4都能凑出，&/p&&p&即所有比a大的金额都能凑出。&/p&&p&而17元不能用4元和7元凑出，&/p&&p&所以17就是不能凑出的最大金额。&/p&&p&&b&思考题：&/b&&/p&&p&爪洼国只有两种面值的货币，一种是面值8元的，一种是面值15元的。这种货币很不方便，因为有些金额是凑不出的，比如5元就没法凑出。请问爪洼国的货币凑不出的最大金额是多少元？&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&获得思考题答案方法：&/b&&/p&&p&关注微信公众号“每天3道奥数题”(tiantianaoshu)&/p&&p&微信回复“”可获得思考题答案。&/p&&p&注：过4个月之后，关键词回复可能失效。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//weixin.qq.com/r/rDlaQm7ELDNTrSoh92y_& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&weixin.qq.com/r/rDlaQm7&/span&&span class=&invisible&&ELDNTrSoh92y_&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&&p&&/p&
家长是孩子最好的老师。这是奥数君第586天给出奥数题讲解。今天的题目是数论问题，所用知识不超过小学5年级。题目（5星难度）：爪洼国只有两种面值的货币，一种是面值4元的，一种是面值7元的。这种货币很不方便，因为有些金额是凑不出的，比如5元就没法凑出…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-aab9232eb8afff0b57e9_b.jpg& data-rawwidth=&1366& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1366& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-aab9232eb8afff0b57e9_r.jpg&&&/figure&&p&&b&摘要&/b&：本文将从自然数和公式开始，逐步推导出平方和、立方和以及更高次的自然数幂和公式。&/p&&p&首先，让我们来回顾一下自然数和公式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bi%7D+%3D1%2B2%2B...%2Bn%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&\sum_{i=1}^{n}{i} =1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&，这个公式的推导采用了一种叫做倒序求和的办法，这也是求解等差数列前n和的通用方法，自然数的序列方式就是后一项等于前一项加一，因此，它可以看成是最天然的等差数列。除此之外，自然数和公式还可以写成另一种形式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bi%7D+%3D1%2B2%2B...%2Bn%3DC_1%5E1%2BC_2%5E1%2B...%2BC_n%5E1%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&\sum_{i=1}^{n}{i} =1+2+...+n=C_1^1+C_2^1+...+C_n^1=C_{n+1}^2=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&，这里用到了组合数公式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C_1%5Ek%2BC_2%5Ek%2B...%2BC_n%5Ek%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bk%2B1%7D%28k%3Cn%29& alt=&C_1^k+C_2^k+...+C_n^k=C_{n+1}^{k+1}(k&n)& eeimg=&1&&，由此我们可以推测，组合数与自然数和之间可能存在着某种关系，我们的目标将是探讨出这种内在的关系。&br&&/p&&p&然后，我们再来看看自然数平方和公式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bi%5E2%7D+%3D1%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D& alt=&\sum_{i=1}^{n}{i^2} =1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}& eeimg=&1&&，这个公式我们在高中课本里也已然得知，只是没有给出推导过程，这里，我们先给出一种推导。&/p&&p&观察下面的等式：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%2B1%29%5E3-n%5E3%3D3n%5E2%2B3n%2B1& alt=&(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%29%5E3-%28n-1%29%5E3%3D3%28n-1%29%5E2%2B3%28n-1%29%2B1& alt=&(n)^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&……&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%5E3-2%5E3%3D3%5Ccdot+2%5E2%2B3%5Ccdot+2%2B1& alt=&3^3-2^3=3\cdot 2^2+3\cdot 2+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5E3-1%5E3%3D3%5Ccdot+1%5E2%2B3%5Ccdot+1%2B1& alt=&2^3-1^3=3\cdot 1^2+3\cdot 1+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&将以上n个等式相加，左边就可以消去中间项，右边提取公因式合并，于是可以得到：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%2B1%29%5E3-1%5E3%3D3%281%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%29%2B3%281%2B2%2B...%2Bn%29%2Bn& alt=&(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&将自然数之和公式代入上式，化简就可以得到：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D& alt=&1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}& eeimg=&1&&。&/p&&p&这个推导十分巧妙，并且还可以推广，在下面我们要讲的自然数立方和公式还要使用，不过在这里，我们想要说的是，既然自然数和与组合数有关，那么自然数平方和是不是也和组合数有关呢？答案是肯定的，请看下面的推导。&/p&&p&构造新的数列之和：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbecause+1%5Ctimes+2%2B2%5Ctimes+3%2B...%2Bn%28n%2B1%29& alt=&\because 1\times 2+2\times 3+...+n(n+1)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D2%28%5Cfrac%7B1%5Ctimes+2%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Ctimes+3%7D%7B2%7D%2B...%2B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%29& alt=&=2(\frac{1\times 2}{2}+\frac{2\times 3}{2}+...+\frac{n(n+1)}{2})& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D2%28C_2%5E2%2BC_3%5E2%2B...%2BC_%7Bn%2B1%7D%5E2%29& alt=&=2(C_2^2+C_3^2+...+C_{n+1}^2)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D2C_%7Bn%2B2%7D%5E3& alt=&=2C_{n+2}^3& eeimg=&1&&&br&&p&又&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbecause+1%5Ctimes+2%2B2%5Ctimes+3%2B...%2Bn%28n%2B1%29& alt=&\because 1\times 2+2\times 3+...+n(n+1)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%281%2B2%2B...%2Bn%29%2B%281%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%29& alt=&=(1+2+...+n)+(1^2+2^2+...+n^2)& eeimg=&1&&（直接展开每一项，重新组合）&br&&/p&&p&将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B...%2Bn%3DC_1%5E1%2BC_2%5E1%2B...%2BC_n%5E1%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&1+2+...+n=C_1^1+C_2^1+...+C_n^1=C_{n+1}^2=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&代入，便可以得到：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%3D2C_%7Bn%2B2%7D%5E3-C_%7Bn%2B1%7D%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D& alt=&1^2+2^2+...+n^2=2C_{n+2}^3-C_{n+1}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&发现自然数之和与组合数相关，有时候只是一种偶然的观察，需要一点点的联想，但一旦发现了这种联想，很自然地就能顺带到自然数平方和里，然后根据组合数的公式，将k从1到2，反过来就能推导出平方和了，这是一个惊喜，因为只要继续推导下去就可以求解自然数任意次幂的和啦！&/p&&p&接着，我们乘热打铁，再来看一看自然数立方和公式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bi%5E3%7D+%3D1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&\sum_{i=1}^{n}{i^3} =1^3+2^3+...+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&。&/p&&p&推导方法有很多，我们按顺序先来使用平方和的两种推导方法。&/p&&p&观察下面的等式序列：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%2B1%29%5E4-n%5E4%3D4n%5E3%2B6n%5E2%2B4n%2B1& alt=&(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5E4-%28n-1%29%5E4%3D4%28n-1%29%5E3%2B6%28n-1%29%5E2%2B4%28n-1%29%2B1& alt=&n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&……&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%5E4-2%5E4%3D4%5Ccdot+2%5E3%2B6%5Ccdot+2%5E2%2B4%5Ccdot+2%2B1& alt=&3^4-2^4=4\cdot 2^3+6\cdot 2^2+4\cdot 2+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5E4-1%5E4%3D4%5Ccdot+1%5E3%2B6%5Ccdot+1%5E2%2B4%5Ccdot+1%2B1& alt=&2^4-1^4=4\cdot 1^3+6\cdot 1^2+4\cdot 1+1& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&将以上n和式子相加，左边消去中间项，右边分组提取公因式，可得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28n%2B1%29%5E4-1%5E4%3D4%281%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%29%2B6%281%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%29%2B4%281%2B2%2B...%2Bn%29%2Bn& alt=&(n+1)^4-1^4=4(1^3+2^3+...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+...+n)+n& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&分别将自然数和公式与自然数平方和公式代入，可得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&1^3+2^3+...+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&继续看看组合数的推导：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbecause+1%5Ctimes+2%5Ctimes+3%2B2%5Ctimes+3%5Ctimes+4%2B...%2Bn%28n%2B1%29%28n%2B2%29& alt=&\because 1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+...+n(n+1)(n+2)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D3%21%5Ccdot+%28%5Cfrac%7B1%5Ctimes+2%5Ctimes+3%7D%7B3%21%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Ctimes+3%5Ctimes+4%7D%7B3%21%7D%2B...%2B%5Cfrac%7Bn+%28n%2B1%29+%28n%2B2%29%7D%7B3%21%7D%29& alt=&=3!\cdot (\frac{1\times 2\times 3}{3!}+\frac{2\times 3\times 4}{3!}+...+\frac{n (n+1) (n+2)}{3!})& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D3%21%5Ccdot+%28C_3%5E3%2BC_4%5E3%2B...%2BC_%7Bn%2B2%7D%5E3%29& alt=&=3!\cdot (C_3^3+C_4^3+...+C_{n+2}^3)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D3%21%5Ccdot+C_%7Bn%2B3%7D%5E4& alt=&=3!\cdot C_{n+3}^4& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%281%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%29%2B3%281%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%29%2B2%281%2B2%2B...%2Bn%29& alt=&=(1^3+2^3+...+n^3)+3(1^2+2^2+...+n^2)+2(1+2+...+n)& eeimg=&1&&&br&&p&将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B...%2Bn%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E2& alt=&1+2+...+n=C_{n+1}^2& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%3D2C_%7Bn%2B2%7D%5E3-C_%7Bn%2B1%7D%5E2& alt=&1^2+2^2+...+n^2=2C_{n+2}^3-C_{n+1}^2& eeimg=&1&&代入便可以得到：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%3D6C_%7Bn%2B3%7D%5E4-6C_%7Bn%2B2%7D%5E3%2BC_%7Bn%2B1%7D%5E2%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&1^3+2^3+...+n^3=6C_{n+3}^4-6C_{n+2}^3+C_{n+1}^2=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&在这里，我们继续给出另外的两个方法。&/p&&p&有时候，我们会无意中发现这样一个数字规律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%3D1& alt=&1^3=1& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5E3%3D3%2B5& alt=&2^3=3+5& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%5E3%3D7%2B9%2B11& alt=&3^3=7+9+11& eeimg=&1&&，……&/p&&p&一般的有：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5E3+%3D+%5B%28n-1%29n%2B1%5D%2B%5B%28n-1%29n%2B3%5D%2B...%2B%5B%28n-1%29n%2Bn%5D& alt=&n^3 = [(n-1)n+1]+[(n-1)n+3]+...+[(n-1)n+n]& eeimg=&1&&，&/p&&p&于是我们将这n个式子相加，便有：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3& alt=&1^3+2^3+...+n^3& eeimg=&1&&&br&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D1%2B3%2B5%2B...%2B%5B%28n-1%29%28n%2B1%29%2Bn%5D& alt=&=1+3+5+...+[(n-1)(n+1)+n]& eeimg=&1&&（一共有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B...%2Bn%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&项）&br&&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5Bn%28n%2B1%29%2B-1%5D& alt=&=\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\cdot [n(n+1)+-1]& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&&br&&p&这个方法直接表达了为什么自然数立方和是自然数和的平方。&/p&&p&再看一张数表：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ab19f967bf1d_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&382& class=&content_image& width=&277&&&/figure&观察可以得到：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%3D1%5E3& alt=&1=1^3& eeimg=&1&&，&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%2B4%2B2%3D2%5E3& alt=&2+4+2=2^3& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=3%2B6%2B9%2B6%2B3%3D3%5E3& alt=&3+6+9+6+3=3^3& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&……&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n%2B2n%2B3n%2B...%2Bn%5E2%2B...%2B3m%2B2n%2Bn& alt=&n+2n+3n+...+n^2+...+3m+2n+n& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&于是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3& alt=&1^3+2^3+...+n^3& eeimg=&1&&是上面数表中所有数之和，我们按数表的行来分别求和，可得：&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3& alt=&1^3+2^3+...+n^3& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D+%281%2B2%2B...%2Bn+%29%2B+2%281%2B2%2B...%2Bn%29%2B...%2Bn%281%2B2%2B...%2Bn%29& alt=&= (1+2+...+n )+ 2(1+2+...+n)+...+n(1+2+...+n)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%281%2B2%2B...%2Bn%29%281%2B2%2B...%2Bn%29& alt=&=(1+2+...+n)(1+2+...+n)& eeimg=&1&&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5B%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5D%5E2& alt=&=[\frac{n(n+1)}{2}]^2& eeimg=&1&&&br&&p&这个推导方法也直指说了为什么自然数立方和是自然数和的平方。&br&&/p&&p&&b&总结&/b&：自然数幂和公式的推导有许多的方法，我们在这里给出了一些，有兴趣的读者可以继续探索别的巧妙方法，然后相互交流一下。除此之外，本文里通过次幂差和组合数推导的方法可以推广到自然数任意高次幂的求和中去，读者可以自己尝试着推导看看，然后对照分析公式之间的关系，这种关系可以观察代数表达式，也可以观察组合数公式，看一看这些公式之间是不是有一个通用的公式！我将会在日后的文章里给出答案！这里做一个期待！&/p&
摘要：本文将从自然数和公式开始，逐步推导出平方和、立方和以及更高次的自然数幂和公式。首先，让我们来回顾一下自然数和公式：\sum_{i=1}^{n}{i} =1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}，这个公式的推导采用了一种叫做倒序求和的办法，这也是求解等差数列前n和的通…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4d553bb5531_b.jpg& data-rawwidth=&933& data-rawheight=&434& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&933& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-4d553bb5531_r.jpg&&&/figure&&p&【已完成】&/p&&p&今天要解决一个问题，为什么全体自然数的和是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&-\frac{1}{12}& eeimg=&1&& 呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&写这篇文章的目的有两个：&/p&&p&一是我本学期在学复分析，写这篇的同时权当复习。&/p&&p&二是近来，我在知乎的若干回答下看到有人拿“全体自然数的和是负十二分之一”说事，说的那叫一个“有理有据”，钓到了大批的赞。据我观察，这些人大多只是听说过此结论，却并不知道其背后的意义、用到的方法，更不要提证明过程了。换言之，许多人不懂装懂，借此装B。写这篇文章，是希望让更多人明白，这个看似神奇的等式：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B3%2B%5Ccdots%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&&&/p&&p&其背后，是丰富、严格的数学内容，而不是什么“梗”或者网络迷因。（也顺便打一打装B犯的脸，劝诫你们踏实学习，少装B，不然会落到我这个境地……）&/p&&p&&br&&/p&&p&阅读本回答，你至少需要具备以下的数学水平：数学分析/高等数学、一些复数的基本知识（复变函数前三章即可）、知道Fourier级数、听说过Fourier变换、听说过 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&& 函数与 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数。&/p&&p&===============================&/p&&p&目录：&/p&&p&【第一部分：Riemann &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数】&/p&&p&【第二部分：Mellin变换】&/p&&p&【第三部分：Poisson求和公式】&/p&&p&【第四部分：这是最后的斗争】&/p&&p&===============================&/p&&p&【第一部分：Riemann &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数】&/p&&p&我们知道，一个级数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+a_n& alt=&\sum_{n=1}^\infty a_n& eeimg=&1&& 的值，定义为部分和的极限 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENa_n& alt=&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^Na_n& eeimg=&1&& 。因此自然数的和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENn%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7BN%28N%2B1%29%7D%7B2%7D%3D%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n=1}^\infty n=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^Nn=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{N(N+1)}{2}=+\infty& eeimg=&1&& ，是正无穷。所以 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty n=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&& 是错的，本文完结。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&骗你的。&/p&&p&数学上经常有这样的操作：如果定义不够使用，就推广定义；如果推广以后仍然不能满足数学家的野心，那就修改定义；如果还不行，就抛弃这个定义。现在我们就抛弃级数。&/p&&p&考虑Riemann &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ez%7D%5Cquad%28Re%28z%29%3E1%29& alt=&\zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^z}\quad(Re(z)&1)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=z%3Dx%2Biy& alt=&z=x+iy& eeimg=&1&& ，若 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%3E1& alt=&x&1& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cleft%7C%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ez%7D%5Cright%7C%5Cleq%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ex%7D%3C%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{1}{n^z}\right|\leq\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x}&+\infty& eeimg=&1&& ，故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29& alt=&\zeta(z)& eeimg=&1&& 收敛。且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29& alt=&\zeta(z)& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%3ARe%28z%29%3E1%5C%7D& alt=&\{z\in\mathbb{C}:Re(z)&1\}& eeimg=&1&& 的紧子集上一致收敛。（原因：对于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%3ARe%28z%29%3E1%5C%7D& alt=&\{z\in\mathbb{C}:Re(z)&1\}& eeimg=&1&& 的紧子集 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& ，存在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3E0& alt=&\varepsilon&0& eeimg=&1&& ，使得在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上恒有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E1%2B%5Cvarepsilon& alt=&Re(z)&1+\varepsilon& eeimg=&1&& ，从而在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上有控制级数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B1%2B%5Cvarepsilon%7D%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1+\varepsilon}}& eeimg=&1&& ，用Weierstrass控制收敛定理。）&/p&&p&进一步地， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29& alt=&\zeta(z)& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%3ARe%28z%29%3E1%5C%7D& alt=&\{z\in\mathbb{C}:Re(z)&1\}& eeimg=&1&& 上解析。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们想知道 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29& alt=&\zeta(-1)& eeimg=&1&& 的值，因为按照“定义”， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29%5Csim%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B-1%7D%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n& alt=&\zeta(-1)\sim\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{-1}}=\sum_{n=1}^\infty n& eeimg=&1&& 。注意：这里及以后，用
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D& alt=&=& eeimg=&1&& 表示真正的相等，用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim& alt=&\sim& eeimg=&1&& 表示“形式上的”相等。目前， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数只对满足&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E1& alt=&Re(z)&1& eeimg=&1&& 的复数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&& 有定义， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29& alt=&\zeta(-1)& eeimg=&1&& 是没有定义的。我们接下来的目标，就是用合理的方式，把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数的定义扩展到整个复平面（肯定不能再按照 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ez%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^z}& eeimg=&1&& 定义，因为不收敛）。&/p&&p&===============================&/p&&p&【第二部分：Mellin变换】&/p&&p&首先回顾一下Fourier变换。设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 是一个函数，定义 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%28x%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7Bixt%7Ddt& alt=&\mathcal{F}f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{ixt}dt& eeimg=&1&& ，称 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathcal{F}f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的Fourier变换。&/p&&p&&br&&/p&&p&Mellin变换和Fourier变换类似，是一个积分变换。它把一个正实数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 上的函数变换为一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& 上的函数。设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 是一个函数，定义&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28s%29s%5Ez%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D& alt=&\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}f(s)s^z\frac{ds}{s}& eeimg=&1&& ，称 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%3A%5Cmathbb%7BC%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathcal{M}f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的Mellin变换。&/p&&p&&br&&/p&&p&为什么要这么定义呢？考虑复Fourier变换（注意与之前的Fourier变换的区别和联系）&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7Df%28z%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7Bzt%7Ddx& alt=&\hat{\mathcal{F}}f(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{zt}dx& eeimg=&1&& ，它把一个函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 变换为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7Df%3A%5Cmathbb%7BC%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\hat{\mathcal{F}}f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 。设&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=s%3D%5Cvarphi%28t%29%3De%5Et& alt=&s=\varphi(t)=e^t& eeimg=&1&&是从加法群 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 到乘法群 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 的群同构，它把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 上的测度推到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 上（ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=dt%3D%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D& alt=&dt=\frac{ds}{s}& eeimg=&1&& ）。注意下面的图表：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4d7e8f7a5e9bc1b33d3bdb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&308& class=&content_image& width=&336&&&/figure&&p&我们可以计算 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7D%28f%5Ccirc%5Cvarphi%29%28z%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28%5Cvarphi%28t%29%29e%5E%7Bzt%7Ddt%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28s%29s%5Ez%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D%3D%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29& alt=&\hat{\mathcal{F}}(f\circ\varphi)(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\varphi(t))e^{zt}dt=\int_0^{+\infty}f(s)s^z\frac{ds}{s}=\mathcal{M}f(z)& eeimg=&1&& ，因此 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7D%28f%5Ccirc%5Cvarphi%29%3D%5Cmathcal%7BM%7Df& alt=&\hat{\mathcal{F}}(f\circ\varphi)=\mathcal{M}f& eeimg=&1&& 。这样看来，Mellin变换只不过是“ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 上函数的Fourier变换”而已。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们找几个函数，来算一算他们的Mellin变换把。&/p&&p&1、&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7B%5Clambda%7D%28s%29%3De%5E%7B-%5Clambda+s%7D& alt=&f_{\lambda}(s)=e^{-\lambda s}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Clambda+s%7Ds%5Ez%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D%3D%5Clambda%5E%7B-z%7D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-s%7Ds%5E%7Bz-1%7Dds%3D%5Clambda%5E%7B-z%7D%5CGamma%28z%29& alt=&\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}e^{-\lambda s}s^z\frac{ds}{s}=\lambda^{-z}\int_0^{+\infty}e^{-s}s^{z-1}ds=\lambda^{-z}\Gamma(z)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%3D1& alt=&\lambda=1& eeimg=&1&& 我们就得到了著名的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&& 函数。&/p&&p&2、&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28s%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+f_%7B%5Cpi+n%5E2%7D%28s%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D& alt=&f(s)=\sum_{n=1}^\infty f_{\pi n^2}(s)=\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%5Csim%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cmathcal%7BM%7Df_%7B%5Cpi+n%5E2%7D%28z%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%28%5Cpi+n%5E2%29%5E%7B-z%7D%5CGamma%28z%29%3D%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n%5E%7B-2z%7D%5CGamma%28z%29%5Csim%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29& alt=&\mathcal{M}f(z)\sim\sum_{n=1}^\infty\mathcal{M}f_{\pi n^2}(z)=\sum_{n=1}^\infty(\pi n^2)^{-z}\Gamma(z)=\pi^{-z}\sum_{n=1}^\infty n^{-2z}\Gamma(z)\sim\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&这里牵扯到收敛性的问题。对于第二个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim& alt=&\sim& eeimg=&1&& ，只要&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& 就能变成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D& alt=&=& eeimg=&1&& 。对于第一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim& alt=&\sim& eeimg=&1&& ，考虑 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cright%29s%5E%7Bz-1%7Dds%5Csim%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bz-1%7Dds%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cmathcal%7BM%7Df_%7B%5Cpi+n%5E2%7D%28z%29& alt=&\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds\sim\sum_{n=0}^\infty\int_0^{+\infty}e^{-\pi n^2s}s^{z-1}ds=\sum_{n=1}^\infty\mathcal{M}f_{\pi n^2}(z)& eeimg=&1&& ，这里的积分与极限实际上是可交换的。（原因：假设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3Dx%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)=x&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& ，那么 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bz-1%7D%5Cright%7Cds%5Cleq%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bx-1%7Dds& alt=&\int_0^{+\infty}\left|\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{z-1}\right|ds\leq\int_0^{+\infty}\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{x-1}ds& eeimg=&1&& ，而&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cleq+e%5E%7B-%5Cpi+s%7D%2B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Cpi+x%5E2s%7Ddx%5Cleq%5Cfrac%7BC_1%7D%7B%5Csqrt%7Bs%7D%7D%2B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-x%5E2%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi+s%7D%7D%5Cleq%5Cfrac%7BC%7D%7B%5Csqrt%7Bs%7D%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\leq e^{-\pi s}+\int_0^{+\infty}e^{-\pi x^2s}dx\leq\frac{C_1}{\sqrt{s}}+\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\frac{dx}{\sqrt{\pi s}}\leq\frac{C}{\sqrt{s}}& eeimg=&1&& ，故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bx-1%7Dds%5Cleq%5Cint_0%5E1%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bx-1%7Dds%2BC%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7Ds%5E%7Bx-1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Dds%3C%2B%5Cinfty& alt=&\int_0^{+\infty}\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{x-1}ds\leq\int_0^1\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{x-1}ds+C\int_1^{+\infty}s^{x-1-\frac{1}{2}}ds&+\infty& eeimg=&1&& ，控制收敛。）&/p&&p&这样我们就得到了这部分的最重要的等式，也是我们需要用到的结论：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cright%29s%5E%7Bz-1%7Dds& alt=&\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds& eeimg=&1&& （ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& ）。&/p&&p&===============================&/p&&p&【第三部分：Poisson求和公式】&/p&&p&再来看一下Fourier变换 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%28x%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7Bixt%7Ddt& alt=&\mathcal{F}f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{ixt}dt& eeimg=&1&& 。对于足够“好”的函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ，可以证明Poisson求和公式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7Df%28n%29& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(n)& eeimg=&1&& 。这部分我们就证明这个公式。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 足够“好”（要多好有多好），定义 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28t%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%2Bt%29& alt=&F(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n+t)& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 上周期为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 的函数，于是可以构造 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的Fourier级数：令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c_k%3D%5Cint_0%5E1F%28t%29e%5E%7B-2%5Cpi+ikt%7Ddt& alt=&c_k=\int_0^1F(t)e^{-2\pi ikt}dt& eeimg=&1&& 是第 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 个Fourier系数，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28t%29%5Csim%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_ke%5E%7B2%5Cpi+ikt%7D& alt=&F(t)\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_ke^{2\pi ikt}& eeimg=&1&& 。而这个系数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=c_k%3D%5Cint_0%5E1F%28t%29e%5E%7B-2%5Cpi+ikt%7Ddt%3D%5Cint_0%5E1%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%2Bt%29e%5E%7B-2%5Cpi+ik%28n%2Bt%29%7Ddt%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7B-2%5Cpi+ikt%7Ddt%3D%5Cmathcal%7BF%7Df%28k%29& alt=&c_k=\int_0^1F(t)e^{-2\pi ikt}dt=\int_0^1\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n+t)e^{-2\pi ik(n+t)}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-2\pi ikt}dt=\mathcal{F}f(k)& eeimg=&1&&
，从而&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%29%3DF%280%29%5Csim%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_k%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7Df%28k%29& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=F(0)\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(k)& eeimg=&1&& ，就得到了Poisson求和公式形式上的“证明”。 &/p&&p&&br&&/p&&p&那么 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 究竟要满足什么条件呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&如果周期函数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%5Cin+C%5E2%5B0%2C1%5D& alt=&F\in C^2[0,1]& eeimg=&1&& ，就有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28t%29%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_ke%5E%7B2%5Cpi+ikt%7D& alt=&F(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_ke^{2\pi ikt}& eeimg=&1&& 。因此，我们要求 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 二阶连续可导，并且&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%7C%7Cf%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%3C%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}||f||_{[n.n+1],\infty}+||f'||_{[n.n+1],\infty}+||f''||_{[n.n+1],\infty}&+\infty& eeimg=&1&& ，使用导数一致收敛的判别法则，就得到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%5Cin+C%5E2%5B0%2C1%5D& alt=&F\in C^2[0,1]& eeimg=&1&& 啦。&/p&&p&&br&&/p&&p&也就是说，如果 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+C%5E2%28%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&f\in C^2(\mathbb{R})& eeimg=&1&& ，并且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%7C%7Cf%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%3C%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}||f||_{[n.n+1],\infty}+||f'||_{[n.n+1],\infty}+||f''||_{[n.n+1],\infty}&+\infty& eeimg=&1&& ，就有Poisson求和公式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7Df%28n%29& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(n)& eeimg=&1&& 。
&/p&&p&===============================&/p&&p&【第四部分：这是最后的斗争】&/p&&p&前面已经做了充分的准备工作，是时候向目标发起最后冲刺了。&/p&&p&&br&&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%3E0& alt=&\lambda&0& eeimg=&1&& ，令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28%5Clambda%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7De%5E%7B-%5Cpi+n%5E2%5Clambda%7D& alt=&\theta(\lambda)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2\lambda}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%28%5Clambda%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2%5Clambda%7D& alt=&\psi(\lambda)=\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2\lambda}& eeimg=&1&& ，很显然 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28%5Clambda%29%3D2%5Cpsi%28%5Clambda%29%2B1& alt=&\theta(\lambda)=2\psi(\lambda)+1& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&考虑 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28t%29%3De%5E%7B-%5Cpi+t%5E2%5Clambda%7D& alt=&f(t)=e^{-\pi t^2\lambda}& eeimg=&1&& ，计算得 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%7De%5E%7B-%5Cpi%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Clambda%7D%7D& alt=&\mathcal{F}f(x)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}e^{-\pi\frac{x^2}{\lambda}}& eeimg=&1&& ，而且满足相应条件，因此用Poisson求和公式， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7De%5E%7B-%5Cpi+n%5E2%5Clambda%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%7D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7De%5E%7B-%5Cpi%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B%5Clambda%7D%7D& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2\lambda}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi\frac{n^2}{\lambda}}& eeimg=&1&& ，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28%5Clambda%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%7D%5Ctheta%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Cright%29& alt=&\theta(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\theta\left(\frac{1}{\lambda}\right)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&换成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi& alt=&\psi& eeimg=&1&& 就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%5Cpsi%28%5Clambda%29%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D-1%7D%7B2%7D& alt=&\psi\left(\frac{1}{\lambda}\right)=\sqrt{\lambda}\psi(\lambda)+\frac{\sqrt{\lambda}-1}{2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&第二部分的最后，得到了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cright%29s%5E%7Bz-1%7Dds%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds& alt=&\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds=\int_0^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds& eeimg=&1&& 。因此&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%2A%7D+%26%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29%5C%5C+%3D%26%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%2B%5Cint_0%5E1%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%2B%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%29s%5E%7B1-z%7D%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%5E2%7D%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%2B%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Cpsi%28s%29%5Csqrt%7Bs%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bs%7D-1%7D%7B2%7D%5Cright%29s%5E%7B-1-z%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29%28s%5E%7Bz-1%7D%2Bs%5E%7B-z-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%29ds%2B%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bs%5E%7B-z-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D-s%5E%7B-z-1%7D%7D%7B2%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29%28s%5E%7Bz-1%7D%2Bs%5E%7B-z-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%29ds%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2z%282z-1%29%7D+%5Cend%7Balign%2A%7D& alt=&\begin{align*} &\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)\\ =&\int_0^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_0^1\psi(s)s^{z-1}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_1^{+\infty}\psi\left(\frac{1}{s}\right)s^{1-z}\frac{ds}{s^2}\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_1^{+\infty}\left(\psi(s)\sqrt{s}+\frac{\sqrt{s}-1}{2}\right)s^{-1-z}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)(s^{z-1}+s^{-z-\frac{1}{2}})ds+\int_1^{+\infty}\frac{s^{-z-\frac{1}{2}}-s^{-z-1}}{2}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)(s^{z-1}+s^{-z-\frac{1}{2}})ds+\frac{1}{2z(2z-1)} \end{align*}& eeimg=&1&&&/p&&p&以上计算的前提是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=w%3D2z& alt=&w=2z& eeimg=&1&& ，则当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28w%29%3E1& alt=&Re(w)&1& eeimg=&1&& 时，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-w%7D%5Czeta%28w%29%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7Bw%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29%28%5Csqrt%7Bs%7D%5E%7Bw-2%7D%2B%5Csqrt%7Bs%7D%5E%7B-w-1%7D%29ds-%5Cfrac%7B1%7D%7Bw%281-w%29%7D& alt=&\sqrt{\pi}^{-w}\zeta(w)\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)=\int_1^{+\infty}\psi(s)(\sqrt{s}^{w-2}+\sqrt{s}^{-w-1})ds-\frac{1}{w(1-w)}& eeimg=&1&&&/p&&p&现在观察：等号右边是一个亚纯函数（亚纯函数就是“能表示成两个解析函数的商 ”的函数，或者“没有本性奇点”的函数，两个亚纯函数经过四则运算仍然是亚纯函数），而等号左边的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-w%7D& alt=&\sqrt{\pi}^{-w}& eeimg=&1&& 、 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7Bw%7D%7B2%7D%5Cright%29& alt=&\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)& eeimg=&1&& 也都是亚纯函数。这样，上式相当于给出了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28w%29& alt=&\zeta(w)& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=w%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&w\in\mathbb{C}& eeimg=&1&& 上的定义！&/p&&p&&br&&/p&&p&这还没完，试试在等号右边把 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=w& alt=&w& eeimg=&1&& 换为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1-w& alt=&1-w& eeimg=&1&& ，你会发现式子根本没变。这就说明：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-w%7D%5Czeta%28w%29%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7Bw%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7Bw-1%7D%5Czeta%281-w%29%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7B1-w%7D%7B2%7D%5Cright%29& alt=&\sqrt{\pi}^{-w}\zeta(w)\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)=\sqrt{\pi}^{w-1}\zeta(1-w)\Gamma\left(\frac{1-w}{2}\right)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&现在让 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=w%3D-1& alt=&w=-1& eeimg=&1&& ，就有&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5Czeta%28-1%29%5CGamma%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-2%7D%5Czeta%282%29%5CGamma%281%29& alt=&\sqrt{\pi}\zeta(-1)\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}^{-2}\zeta(2)\Gamma(1)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&我们知道 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%282%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D& alt=&\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%281%29%3D1& alt=&\Gamma(1)=1& eeimg=&1&& ，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D& alt=&\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%3D-2%5Csqrt%7B%5Cpi%7D& alt=&\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}=-2\sqrt{\pi}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&因此：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-2%7D%5Czeta%282%29%5CGamma%281%29%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5CGamma%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E3%28-2%29%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&\zeta(-1)=\frac{\sqrt{\pi}^{-2}\zeta(2)\Gamma(1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{\frac{\pi^2}{6}}{\sqrt{\pi}^3(-2)\sqrt{\pi}}=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&&&/p&&p&证明完结。&/p&
【已完成】今天要解决一个问题，为什么全体自然数的和是 -\frac{1}{12} 呢？ 写这篇文章的目的有两个：一是我本学期在学复分析，写这篇的同时权当复习。二是近来，我在知乎的若干回答下看到有人拿“全体自然数的和是负十二分之一”说事，说的那叫一个“有理…
&p&最让我惊呆的知识是概率，因为在投资中非常实用，尤其是用于风险控制的凯利公式。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-ee585c57eb9cc2653080_b.jpg& data-rawwidth=&484& data-rawheight=&300& data-caption=&& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-68a718f49f8c171e57895d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&484& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-ee585c57eb9cc2653080_r.jpg&&&/figure&&p&先从一个赌博游戏讲起：&/p&&p&假如有一天，马阿里突然要和你玩个抛硬币的投注游戏，规则是这样的:如果硬币正面朝上，马阿里就给你投注金额5倍的钱；如果硬币反面朝上，你所有下注的钱就归马阿里所有。问题的关键在于：下不下注？用多少钱下注？&/p&&p&要回答这个问题，必须从概率说起了。世界是由无数个偶然事件构成的，为了描述这种偶然性，数学家发明了概率。从某种意义上来说，人生就是一场概率游戏，投资的本质也是投概率。&/p&&ul&&li&&b&一、零概率事件也可能发生&/b&&/li&&/ul&&p&给定一根长度为1的线段，用一支无限小的针去扎这条线段，任何一个点都有可能被扎到，但扎到任何一个点的概率都是0。&/p&&p&因此，零概率事件也是可能发生的，反过来说，概率为100%的事件也有可能不发生。&/p&&p&为了不让小概率事件毁掉你的一切，你必须熟记理财中的那句经典名言：“不要把鸡蛋放在一个篮子里。”&/p&&p&由此引申出来的是：&/p&&ul&&li&用适当的钱买点保险很有必要，这是应对意外发生的最简单同时也是最好的办法；&br&&/li&&li&家里储藏一点实物黄金也是很有必要的，这是用来应对战乱、饥荒等极小概率事件的有效手段，但最好祈祷这些黄金永远用不到；&/li&&li&银行里随时备有可供家庭支出3个月左右的活期存款还是很有必要的，这是用来应付意外失业的；&/li&&li&理财的钱要分散的投资于银行定期存款、银行理财、房市、信托、股市、债市、网络理财平台等，这是用来应付像股灾那样的崩塌性小概率事件。&br&……&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&ul&&li&&b&二、数学期望决定了是否进行投资&/b&&/li&&/ul&&p&文章开头的抛硬币游戏，之所以看起来划算，是因为我们认为硬币正面朝上和反面朝上的概率是一样的，都是1/2，而正面朝上可以得到5倍回报，所以，回报是大于投入的。&/p&&p&回报到底有多大？数学期望就是这样一个衡量指标。通俗的来说，数学期望就是回报的平均值。如果回报为a(i)的概率是p(i),其计算公式就是：&/p&&p&E=a(1)*p(1)+a(2)*p(2)+…+a(n)*p(n)&/p&&p&在抛硬币游戏中，如果投入1元，回报的数学期望就是:&/p&&p&5*1/2-1*1/2=2元。&/p&&p&这个回报的数学期望是大于投入的，所以，参与游戏是能赚到钱的。&/p&&p&因此，判断一项投资是否划算，关键是计算数学期望与投入的关系，只有回报的数学期望大于投入时，才能进行投资。&/p&&p&从另一个角度看，数学期望可以用来估计资产的价格。比如有一项资产，有60%的概率挣到100万，有20%的概率挣到200万，有10%的概率不赚不赔，有10%的概率亏损500万，那这项资产值得用多少钱来购买？&/p&&p&由于其数学期望是：&/p&&p&100*60%+200*20%+0*10%-500*10%=50，&/p&&p&因此，只要价格不高于50万元，这项资产都是值得购买的。&/p&&ul&&li&&b&三、凯利公式告诉你投资的仓位&/b&&/li&&/ul&&p&我们已经知道，文章开头的抛硬币游戏是一项能赚到钱的投资。现在考虑一个问题:假如你有1万元，为了保证在有限次游戏中收益的最大化，你每次该用多少钱去参与？&/p&&p&要是全部投入，一把梭哈，那万一全亏了怎么办？&/p&&p&要是投资少了，机会难得，赚少了就只能自己后悔！&/p&&p&数学中， “凯利公式”就是用来解决这个问题的！这个公式是教你风险控制的方法，让你在确保不爆仓的前提下，得到收益最大化。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-1140418fca6a89a82ae425_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&358& data-caption=&& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-5be7fb7e49eee78ab4cbe_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-1140418fca6a89a82ae425_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&先给出凯利公式的表达式：&/p&&p&f=(ap-bq)/(ab),&/p&&p&其中f就是投入的最佳仓位，&/p&&p&a表示本金收益率（赌博中叫赔率），&/p&&p&b表示本金损失率（赌博中b为1），&/p&&p&p表示获得正收益的概率，&/p&&p&q表示获得亏损的的概率。&/p&&p&在抛硬币的游戏中，a=5,b=1,p=q=1/2，容易计算得到f=40%。&/p&&p&所以，每次用4成的仓位去玩抛硬币的游戏才可以使收益最大化。&/p&&p&凯利公式的证明非常复杂，需要用到中心极限定理和正态分布等概率学知识，而且证明的过程也特别数学，这里就不再啰嗦。&/p&&p&马阿里的抛硬币游戏在生活中不常见，但投资的机会在生活中比比皆是。在股票、期货等投资中，凯利公式常常被用来进行仓位控制。&/p&&p&量化基金的鼻祖，天才数学家索普，就曾将凯利公式应用的出神入化。他先是自学编程，利用早期的IBM大型机，开发了一套专门用于21点的算法，然后用其在拉斯维加斯大把吸金，甚至因为赢钱太多一度被多家大型赌场列入黑名单拒绝入内，电影《决胜21点》就是以此为原型拍摄的。后来，他又成立了著名的量化基金PNP(PrincetonNewport Partners），应用凯利公式，在资本市场大杀四方，下图就是PNP基金的净值曲线。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a4dfe823eb793ac46a96f_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&554& data-caption=&& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-cdfac10d64aec4c8e8dda_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a4dfe823eb793ac46a96f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&不过，应用凯利公式最大的问题就是要知道慨率。数学题目中，概率都是已知的，但资本市场是千变万化的，概率并不知道，这就需要用到数学中的另外一个大杀器——大数定律。&/p&&ul&&li&&b&四、大数定律告诉你怎么计算概率&/b&&/li&&/ul&&p&太阳底下没有新鲜事！&/p&&p&历史总是在不断的重复，从历史中我们能够得到足够多的样本数据。&/p&&p&大数定律告诉我们，当样本数据足够多的时候，频率总是无限的趋近于概率。因此，用历史频率代替概率是科学可行的。&/p&&p&比如在股票的量化交易中，一种最简单的投资模型如下：&/p&&p&假设过去一段时间的最高价为m,最低价为n，当前价格为k。&/p&&p&正收益率用a=(m-k)/k表示，&/p&&p&亏损率用b=(k-n)/k表示，&/p&&p&赚钱和亏钱的概率分别用过去5年来的5日盈亏情况的频率替代，&/p&&p&最佳仓位f就可以用凯利公式进行计算并实时调整了。&/p&&p&真实的量化交易模型，比上面的要复杂很多，也精细很多，但万变不离其宗，凯利公式都是风险控制的不二法门。&/p&&p&&br&&/p&&p&这篇文章原来发在我的个人公众号“每天3道奥数题”(tiantianaoshu)，免费教家长辅导奥数的，每天发布小学奥数题及详细解答，有需要辅导小孩的家长朋友欢迎关注。&/p&&p&&br&&/p&&p&谢谢你长这么帅还给我点赞。&/p&
最让我惊呆的知识是概率，因为在投资中非常实用，尤其是用于风险控制的凯利公式。先从一个赌博游戏讲起：假如有一天，马阿里突然要和你玩个抛硬币的投注游戏，规则是这样的:如果硬币正面朝上，马阿里就给你投注金额5倍的钱；如果硬币反面朝上，你所有下注的…
&p&古语有云：学而时习之，温故而知新。意思是说，学习，然后找一定的时间去复习它，通过复习旧的知识从而知道新的知识。这里强调的就是复习对于学习的重要作用。可见在古代，古人即已认识到：学与习是两回事。&/p&&p&所谓学习，&学&是指接受新知识，&习&就是指要复习，要进一步理解、归纳、总结和记忆已学过的知识。在学习过程中，只学不习，学习的东西很快就会遗忘。&/p&&p&为什么同一个班、同一个老师教出来的学生成绩却千差万别呢？&br&&/p&&p&有的学生，在上完新课后，主动复习，对知识点分类归纳，不断反复看，把内容深刻记在脑海中，所以考试时能从容应对。而有的学生，只是上课听听，下课既不写作业、练习，也不复习总结所学内容，时间一长遗忘了，到考试时自然不知道怎么做。&/p&&p&那为了帮助大家做好复习，今天我把小学数学所有的常考知识点做了个汇总整理，现在分享给大家，希望能帮助大家复习。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b5edf9bf6cac9f69e132d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&611& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b5edf9bf6cac9f69e132d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5cf10169fdce75d56bc0aa_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&518& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-5cf10169fdce75d56bc0aa_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-30e9bc928cac4cc8d37dc4f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&534& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-30e9bc928cac4cc8d37dc4f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4e222b95be90e86dbcb6cf298e7a404e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&531& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-4e222b95be90e86dbcb6cf298e7a404e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b984369baed33242bcb03_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b984369baed33242bcb03_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-29bfbbd07b471ee9f7890f3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&443& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-29bfbbd07b471ee9f7890f3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ea15c1d938a463a3bd89c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&556& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ea15c1d938a463a3bd89c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3c67d5b6352294def51f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&476& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3c67d5b6352294def51f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a48a04fdbbdbdb2297e6ec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&547& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a48a04fdbbdbdb2297e6ec_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ba3e72bf92cde5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&452& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ba3e72bf92cde5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-bcaa8b1fcf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&504& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-bcaa8b1fcf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b63f9c051b8ddea_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&496& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b63f9c051b8ddea_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-bd63de61ce9bf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&629& data-rawheight=&334& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&629& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-bd63de61ce9bf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b282ab6b10f0befa5a82a5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&581& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b282ab6b10f0befa5a82a5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-86e5cff2aaf74a245be8a42_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&635& data-rawheight=&494& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&635& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-86e5cff2aaf74a245be8a42_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8e967f0c56b93be93f11d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&486& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8e967f0c56b93be93f11d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fa0d2cba8b0bd8b81bdaca8bc39f4c29_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&635& data-rawheight=&563& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&635& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-fa0d2cba8b0bd8b81bdaca8bc39f4c29_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a0e5cb45de011dfd76b2d3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&575& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a0e5cb45de011dfd76b2d3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c1bbce7c6ea0e77b54e54_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&637& data-rawheight=&583& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&637& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c1bbce7c6ea0e77b54e54_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8ab0bebedf8b0ba2a04db96f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&456& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8ab0bebedf8b0ba2a04db96f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b72227c1bce41c6c7c0b33e5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&332& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b72227c1bce41c6c7c0b33e5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f889e142fb4c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&595& data-rawheight=&382& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&595& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f889e142fb4c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f7d685e1e7ec24be5d4cf37b64de89b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&577& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f7d685e1e7ec24be5d4cf37b64de89b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2f80b6dd7d3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&593& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-2f80b6dd7d3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-83333bebf5e9eb55ec27f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&659& data-rawheight=&204& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&659& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-83333bebf5e9eb55ec27f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-db495e8dcac3b8b199ed05_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&636& data-rawheight=&491& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&636& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-db495e8dcac3b8b199ed05_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-56f54dceec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&515& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-56f54dceec_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ea85dfc1ea3744ecb0d8ca_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&628& data-rawheight=&511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&628& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ea85dfc1ea3744ecb0d8ca_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a92ae9b232ec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&565& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a92ae9b232ec_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&h2&微课视频：&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.kt5u.com/course/course-show%3Fcourseid%3D2886& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&分数的乘除法&/a&&/h2&&p&&br&&/p&&p&这些就是全部内容，如果您有什么想说的，就写在这里吧，我会看的。我们一起探讨学习，一同成长。&/p&&p&&b&搜索关注公众号 课堂无忧（ID：kt5u21），听老师讲课，获取更多学习资料、方法。&/b&&/p&
古语有云：学而时习之，温故而知新。意思是说，学习，然后找一定的时间去复习它，通过复习旧的知识从而知道新的知识。这里强调的就是复习对于学习的重要作用。可见在古代，古人即已认识到：学与习是两回事。所谓学习，"学"是指接受新知识，"习"就是指要复习…
&p&&b&1&/b&&/p&&p&&b&正方体展开图&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&正方体有6个面，12条棱，当沿着某棱将正方体剪开，可以得到正方体的展开图形，很显然，正方体的展开图形不是唯一的，但也不是无限的，事实上，正方体的展开图形有且只有11种，11种展开图形又可以分为4种类型：&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&1141型&/b& 中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-77e138acb85ccecc9a11e639_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&271& data-rawheight=&93& class=&content_image& width=&271&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-62d51dccd5818b65effbfd97_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&272& data-rawheight=&93& class=&content_image& width=&272&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2231型 &/b&中间一行3个作侧面，共3种基本图形。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-23aadaeb5242305_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&279& data-rawheight=&95& class=&content_image& width=&279&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&3222型&/b& 中间两个面，只有1种基本图形。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4f5ef68cf3af28d97d2c5e06a29fa2a6_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&126& data-rawheight=&115& class=&content_image& width=&126&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&433型&/b&
中间没有面，两行只能有一个正方形相连，只有1种基本图形。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7c7cf3b95edddb_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&127& data-rawheight=&87& class=&content_image& width=&127&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2&/b&&/p&&p&&b&和差问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&已知两数的和与差，求这两个数。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&和加上差，越加越大；&/p&&p&除以2，便是大的；&/p&&p&和减去差，越减越小；&/p&&p&除以2，便是小的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&3&/b&&/p&&p&&b&鸡兔同笼问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&假设全是鸡，假设全是兔。&/p&&p&多了几只脚，少了几只足？&/p&&p&除以脚的差，便是鸡兔数。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&4&/b&&/p&&p&&b&浓度问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（1）加水稀释&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&加水先求糖，糖完求糖水。&/p&&p&糖水减糖水，便是加水量。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（2）加糖浓化&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&加糖先求水，水完求糖水。&/p&&p&糖水减糖水，求出便解题。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&有20千克浓度为15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为20%？&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）&/li&&li&水完求糖水，含17千克水在20%浓度下应有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）&/li&&li&糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，21.25-20=1.25（千克)&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&5&/b&&/p&&p&&b&路程问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（1）相遇问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&相遇那一刻，路程全走过。&/p&&p&除以速度和，就把时间得。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&甲乙两人从相距120千米的两地相向而行，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时，多少时间相遇？&/p&&p&&br&&/p&&p&相遇那一刻，路程全走过。即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米。&/p&&p&&br&&/p&&p&除以速度和，就把时间得。即甲乙两人的总速度为两人的速度之和40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为120/60=2（小时）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（2）追及问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&慢鸟要先飞，快的随后追。&/p&&p&先走的路程，除以速度差，时间就求对。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为3千米/小时，先走2小时后，弟弟骑自行车出发速度6千米/小时，几时追上？&/p&&p&&br&&/p&&p&先走的路程，为3X2=6（千米）&/p&&p&速度的差，为6-3=3（千米/小时）。&/p&&p&所以追上的时间为：6/3=2（小时）。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&6&/b&&/p&&p&&b&和比问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&已知整体求部分。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&家要众人合，分家有原则。&/p&&p&分母比数和，分子自己的。&/p&&p&和乘以比例，就是该得的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&甲乙丙三数和为27，甲;乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三数。&/p&&p&&br&&/p&&p&分母比数和，即分母为：2+3+4=9；&/p&&p&分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9，3/9，4/9。和乘以比例，所以甲数为27X2/9=6，乙数为：27X3/9=9，丙数为：27X4/9=12。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&7&/b&&/p&&p&&b&差比问题（差倍问题）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&我的比你多，倍数是因果。&/p&&p&分子实际差，分母倍数差。&/p&&p&商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&甲数比乙数大12，甲:乙=7：4，求两数。&/p&&p&&br&&/p&&p&先求一倍的量，12/（7-4）=4，&/p&&p&所以甲数为：4X7=28，乙数为：4X4=16。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&8&/b&&/p&&p&&b&工程问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&工程总量设为1，1除以时间就是工作效率。&/p&&p&单独做时工作效率是自己的，一齐做时工作效率是众人的效率和。&/p&&p&1减去已经做的便是没有做的，没有做的除以工作效率就是结果。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例：&/b&一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。甲乙同时做2天后，由乙单独做，几天完成？&/p&&p&&br&&/p&&p&[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&9&/b&&/p&&p&&b&植树问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&植树多少棵，要问路如何？&/p&&p&直的加上1，圆的是结果。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例1：&/b&在一条长为120米的马路上植树，间距为4米，植树多少棵？&/p&&p&&br&&/p&&p&路是直的。所以植树120/4+1=31（棵）。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例2：&/b&在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少棵？&/p&&p&&br&&/p&&p&路是圆的，所以植树120/4=30（棵）。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ce5f8de4cc_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&318& data-rawheight=&270& class=&content_image& width=&318&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&10&/b&&/p&&p&&b&盈亏问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【口诀】&/b&&/p&&p&全盈全亏，大的减去小的；&/p&&p&一盈一亏，盈亏加在一起。&/p&&p&除以分配的差，结果就是分配的东西或者是人。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&例1：&/b&小朋友分桃子，每人10个少9个；每人8个多7个。求有多少小朋友多少桃子？&/p&&p&&br&&/p&&p&一盈一亏，则公式为：}
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