极限问题:lim分子是ln(1+x)分母是x=? (x趋于0),
为啥等于ln（1+x）的1/x次
为啥等于ln（1+x）的1/x次方，不是ln（1+x）乘以1/x吗？1/x怎么成指数了
极限问题:lim分子是ln(1+x)分母是x=? (x趋于0)
将x=0带入，发现分子分母都是0 这种结构的用洛必塔法则：即分子，分母分别求导数，再求极限。ln（1+x）的导数为1/(1+x),带入x=0，等于1.x的倒数是1 1/1= 1.所以lim ln(1+x)/x = 1
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不定型极限的计算问题
基本不定型：00、1∞
00型常用的计算方法：等价无穷小替换法、洛必达法则、麦克劳林公式
出现u(x)h(x),化为eh(x)?lnu(x)
出现ln(1+Δ),使用ln(1+Δ)~Δ
出现Δ-1,使用eφ-1~φ、(1+φ)a-1~aφ
limx→0ax-1x~lna
1∞型常用计算方法：凑(1+Δ)1Δ再恒等变形
当x→∞时，极限式中含有sinx、cosx不能使用洛必达法则
00型，无穷小的相乘相加还是无穷小，无穷小相减不能使用等价无穷小替换
∞∞型，先使用洛必达法则，然后再使用变量替换转化成00型
若x→∞的极限中含有ax,arctanx一定要分别求出x→-∞,x→+∞的极限，判断极限是否存在先
∞-∞型，转化成00,∞∞,具体方法：通分、根式有理化、变量替换
0?∞型，通过下放或者上放转化成00,∞∞
00,∞0转化成0?∞型
1.limx→0tanx-xx2ln(1+2x);
分析：ln(1+2x)~2x, 洛必达法则
原式 = 12limx→0tanx-xx3=16limx→0sec2x-1x2=16limx→0tan2xx2=16
2.limx→01+tanx√-1+sinx√x3;
分析：分子有开根号，要去掉，同时乘以1+tanx-------√+1+sinx-------√试试;分母如果是x2，那么分子要想办法变成1-cosx
原式 = limx→0tanx-sinxx3(1+tanx√+1+sinx√)=12limx→0tanx-sinxx3=12limx→0tanxx?1-cosxx2=14
3.limx→0ex2-cosxx2;
分析：看到ex,cosx在一起，可以通过添加一个1来利用这两个等价无穷小：ex-1~x,1-cosx~x22
原式 = limx→0ex2-1x2+limx→01-cosxx2=32
4.limx→0ex2-esin2xx4;
分析：这个题就要提取esin2x来利用ex-1~x.无穷小相加是我们愿意看到的，而无穷小相减不能直接计算，而是要通过洛必达法则来变形。
原式 = limx→0esin2xex2-sin2x-1x4=limx→0ex2-sin2x-1x4=limx→0(x+sinx)(x-sinx)x4=limx→0x+sinxx?x-sinxx3=2limx→0x-sinxx3=23limx→01-cosxx2=13
5.limx→0arctanx-arcsinxx3;
分析：添加一个x，然后分开这个式子（有点神来之笔），利用(1+x)a-1~ax;利用洛必达法则，如果发现求导不好求，可以用式子代替原来的x;
分母如果是x3,直觉告诉我们应该可以用洛必达加等价无穷小解决。
原式 = limx→0arctanx-xx3+limx→0x-arcsinxx3
limx→0arctanx-xx3=13limx→011+x2-1x2=13limx→0(1+x2)-1-1x2=-13
limx→0x-arcsinxx3=x=sintlimt→0sint-tsin3t=limt→0sint-tt3=13limt→0cost-1x2=-16
原式 = -13-16=-12
6.limx→01x3[(2+cosx3)x-1];
分析：看到u(x)g(x)要利用这个变形：eg(x)lnu(x);看到ln(A)做分子分母的时候想办法变成ln(1+B)这种形式
原式 = limx→0exln2+cosx3-1x3=limx→0ln2+cosx3x2=limx→0ln(1+cosx-13)x2=13limx→0cosx-1x2=-16
7.limx→01-cosx?cosx√x2;
分析：添加一个cosx使得其中一部分利用等价无穷小求出来，同时，把另一部分提取一个cosx,limx→0cosx=1.
原式 = limx→01-cosxx2+limx→0cosx1-cosx√x2=12+limx→01-cosxx2?(1+cosx√)=12+12limx→01-cosxx2=34
8.limx→0[sinx-sin(sinx)]sinxx4;
分析：使sinx=x,变形式子，即可求得。
原式 = limt→0t-sintsin4t=limt→0t-sintt3=16
9.limx→0lnsinxx(1+x)sin2x-1;
分析：利用前面说的技巧就可以做出来了。
原式 = limx→0lnsinxxesin2xln(1+x)-1=limx→0ln(1+sinx-xx)2x2=12limx→0sinx-xx3=-112
10.limx→0cosx-e-x2xx3sinx;
11.limx→∞ex-xarctanxex+x;
12.limx→-∞x+2+4x2+4x+2√x2-2x+4√;
13.limx→0+lnxln(1-x);
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函数极限的性质
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第一章　函数与极限
　1.1　复习笔记
　1.2　课后习题详解
　　习题1-1　映射与函数
　　习题1-2　数列的极限
　　习题1-3　函数的极限
　　习题1-4　无穷小与无穷大
　　习题1-5　极限运算法则
　　习题1-6　极限存在准则　两个重要极限
　　习题1-7　无穷小的比较
　　习题1-8　函数的连续性与间断点
　　习题1-9　连续函数的运算与初等函数的连续性
　　习题1-10　闭区间上连续函数的性质
　　总习题一
　1.3　考研真题详解
第二章　导数与微分
　2.1　复习笔记
　2.2　课后习题详解
　　习题2-1　导数概念
　　习题2-2　函数的求导法则
　　习题2-3　高阶导数
　　习题2-4　隐函数及由参数方程所确定的函数的导数　相关变化率
　　习题2-5　函数的微分
　　总习题二
　2.3　考研真题详解
第三章　微分中值定理与导数的应用
　3.1　复习笔记
　3.2　课后习题详解
　　习题3-1　微分中值定理
　　习题3-2　洛必达法则
　　习题3-3　泰勒公式
　　习题3-4　函数的单调性与曲线的凹凸性
　　习题3-5　函数的极值与最大值最小值
　　习题3-6　函数图形的描绘
　　习题3-7　曲　率
　　习题3-8方程的近似解
　　总习题三
　3.3　考研真题详解
第四章　不定积分
　4.1　复习笔记
　4.2　课后习题详解
　　习题4-1　不定积分的概念与性质
　　习题4-2　换元积分法
　　习题4-3　分部积分法
　　习题4-4　有理函数的积分
　　习题4-5　积分表的使用
　　总习题四
　4.3　考研真题详解
第五章　定积分
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　　习题5-1　定积分的概念与性质
　　习题5-2　微积分基本公式
　　习题5-3　定积分的换元法和分部积分法
　　习题5-4　反常积分
　　习题5-5　反常积分的审敛法&G函数
　　总习题五
　5.3　考研真题详解
第六章　定积分的应用
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　　习题6-1　定积分的元素法
　　习题6-2定积分在几何学上的应用
　　习题6-3　定积分在物理学上的应用
　　总习题六
　6.3　考研真题详解
第七章　微分方程
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　　习题7-1　微分方程的基本概念
　　习题7-2　可分离变量的微分方程
　　习题7-3　齐次方程
　　习题7-4　一阶线性微分方程
　　习题7-5　可降阶的高阶微分方程
　　习题7-6　高阶线性微分方程
　　习题7-7　常系数齐次线性微分方程
　　习题7-8　常系数非齐次线性微分方程
　　习题7-9　欧拉方程
　　习题7-10　常系数线性微分方程组解法举例
　　总习题七
　7.3　考研真题详解
&&本书特别适用于参加研究生入学考试指定考研参考书目为同济大学数学系《高等数学》（第7版）（上册）的考生。也可供各大院校学习同济大学数学系《高等数学》（第7版）（上册）的师生参考。
本书是同济大学数学系《高等数学》（第7版）（上册）的配套电子书，主要包括以下内容：
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（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对同济大学数学系《高等数学》（第7版）（上册）的课后习题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
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&All rights reserved. 京ICP备号 京公网安备号 新出发（京）批字第直110028号做不到这点，零极限是无法发挥威力的
浩然在以前的文章中专门介绍了有关“零极限”的文章。近年来，我常给身边的人积极推荐零极限，也在“跟谁学”平台中介绍这个方法，通过推广，有越来越多的人在践行零极限后，确实收到了良好的效果，进而也影响了更多的人。但是在这期间，依然还有些人对零极限不是很了解，还有些人反馈说采用零极限方法后收效不大，为什么会出现这些问题呢？今天，浩然就给大家再谈谈零极限方面的内容。
“零极限”的来源
“零极限”来源于古代夏威夷人传统的一种解决问题的方法。过去，在夏威夷部族内部出现纷争时，由一位长老出面主持，用这种方法来解决问题，当问题从根本上被解决时，人们也就释然了。
这个流传了400多年历史的方法，在近代被夏威夷传统医疗专家莫娜女士，发展成可用在现代社会的“荷欧波诺波诺大我意识法”。这个疗法中的“荷欧”是目标的意思，“波诺波诺”是完美的意思，合起来就是“以完美为目标，清理记忆与神性智慧沟通，回归到本真的生活”的意思。
1992年，莫娜女士去世后，她的继承者美国爱荷华大学心理学教育博士伊贺列卡拉·修·蓝，从“荷欧波诺波诺大我意识法”中总结出了一套清理潜意识、获得神性智慧指引的方法，这个方法就是我们现在运用的“四句真言”：对不起、请原谅、谢谢你、我爱你。现在，人们也将这种疗法称作为“零极限”。
“零极限”能干什么
莫娜和修蓝博士一致认为，人生遇到的所有不幸与痛苦，都是因为个人的记忆而引发的，是记忆妨碍了我们接收来自神性智慧的灵感，从而做出了错误的决定或产生了不良的情绪，只有通过清除潜意识的记忆，人们才能在神性智慧的指引下，找到正确的生活，开启人生的新局面。
所以，生活中当你正遭受疾病折磨、官司是非缠身、和人发生矛盾、家庭不和、贫穷困顿等等，各种不如意不顺心的事时，我们都可以用零极限的方法去解决这些问题。
目前，修蓝博士已将零极限传播到了世界很多个国家，在他出版的零极限系列丛书中，就记录了来自各个国家的许多人们在运用零极限后，生活、人生取得巨大改变的真实案例。
“零极限”的使用前提
虽然零极限的效用已经得到全世界人们的认可，但为什么你在运用时效果不佳，或者说没有效果呢？这是因为你不了解零极限的一个最重要“原则”，只有明白了这个原则才会见效。
这个原则就是：我们首先要在内心里认可一个观念“一切我们遇到的各种痛苦、病痛、灾难等不好的事情，我们都应该百分之百的负责任。”也就是说，百分百地负责任才是解决问题的第一步。
譬如你和别人发生了矛盾，你受了对方的伤害，虽然你认为你也有点不对，但只有1%的错，而对方要承担99%的错，或者你认为你一点也没有错，全是对方的错，那么在这种认识下做“零极限”，几乎是不起什么作用的！
唯有你把所有的责任全部承担起来，认为对方一点也没错，错都在自己，那么，这时再去做“零极限”，往往就能收到不可思议的效果，获得你意想不到的结果！
为什么我们要把错全揽到自己身上？世界上有四种人，分别是任何人、每个人、某个人、没有人。我们假定有一个非做不可的重要工作，如果那个工作是"任何人"都会做的，那么大家就会认为其他的"某个人"可能去做，而其结果是最终"没有人"去做。因为"每个人"都以为别人会去做。谁都能做的事情如果谁都不做，那结果肯定是你指责我，或者我指责你了。
所以说，不把周围存在的问题视为自己的问题，并对它采取放任不管的态度是解决不了问题的。只有大家认识到自己要百分百对问题负起责任才行，否则解决问题这件事根本无从谈起。
其次，发生问题时都有一个共性：你碰巧在场！为什么你会在现场？因为你正是问题的一部分，你内在的记忆吸引来另一个人，他跟你有着同样的记忆。
这点和我们平时所说的“感召”、“吸引力”其实是相通的，你内心有什么样的“种子”，在你的生命中就会出现什么样的事情。它也和佛教中的“一切唯心造”是同一个意思，即：一切出现在我们生命世界中的事物，都是我们内心造作出来的，与他人无关。所以，我们要对之百分百负责。
如何去做零极限
通过“零极限”就是让我们清除掉潜意识中的记忆，当这颗代表记忆的“种子”越来越小，直至消失后，那么与这个种子相关的事物就会越来越少，乃至完全从你的外在世界中消失了。
在做零极限时，常会有很多人会问：“零极限”清理的对象是谁？也就是这四句话是说给谁听的？
“零极限”清理的对象就是自己潜意识中的记忆，这四句话不是说给别人听的，而是说给自己心中的那个“大我”听的。这个“大我”其实就是佛教中常说的“佛性”、“真如”、“菩提”等，通过向我们本具的“大我”或“真如”说这四句话去做清理，就可以一点点地去除妄想、颠倒与执着，最终证获般若。
每次在做“零极限”时是这样说的：“我的内在发生了什么从而造成了这个问题，我如何纠正这个内在的问题？祈请神性将我潜意识中的错误记忆归零。”然后，再接着说那四句话“对不起，请原谅，谢谢你、我爱你”。
最后，提醒大家的是，在做“零极限”时也不能抱有任何愿望和目的，你不是要通过这个方法去获得什么，而是真心知道自己错了，出于本能般自动去清理和忏悔。
赞赏随心，您的支持是我们继续前行的动力！
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