已知点A（2,0）,B（4,0）,动点P在抛物线y^2=-4x运动,则使向量AP乘以向量BP取得最小值的点P的坐标是?
问题描述：
已知点A（2,0）,B（4,0）,动点P在抛物线y^2=-4x运动,则使向量AP乘以向量BP取得最小值的点P的坐标是?
问题解答：
设p坐标（x,y）AP=（2-x,-y）,BP=（4-x,-y）AP*BP=（2-x)(4-x）+y^2=8-6x+x^2-4x=x^2-10x+8=(x-5)^2-17 又x>=0所以最小时x=0,y=2,p(0,0)
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设点P为（-y^2/4,y）(y=0向量AP*向量BP=(m+2)(m+4)+4m=m^2+10m+8易知m=0时,取得最小值此时,x=0,y=0
设p（y^2/-4,y）向量AP=(-0.25y^2-2,y)向量BP=(-0.25y^2-4,y)向量AP*向量BP=y^4/16+2.5y^2+8=1/16(y^2-20)^2-17当P为(-5,2根号5)或(-5,-2根号5)时,向量AP*向量BP取得最小值
F2(1,0)设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0).左焦点为F1(-1,0)则c=1,PF1=5/2,PF2=3/2.所以PF1+PF2=4.即2a=4,所以a=2所以b²=a²-c²=3即椭圆方程为x²/4+y²
y=-x²+4x+c=-（x²-4x+4）+c+4=-（x-2）²+（c+4）（1）x2≤2时,y2>y1,x1≥2时,y2
由直线经过点P(2,0),斜率为4/3,得直线方程为x=t+2y=4/3t代入抛物线y^2=2x中,得16/9t^2=2*(t+2)化简得8t^2-9t-18=0从而得t1+t2=9/8线段AB的中点M的坐标为(x1+x2)/2=(t1+t2)/2+2=9/16+2=41/16(y1+y2)/2=4/3*(t1+t2)
设直线AB与x轴交于T(m,0) (m≠0)那么直线AB的方程可以设为x=ty+mx=ty+m与y²=2px联立消去x得y²=2pty+2pm即y²-2pty-2pm=0根据韦达定理y1+y2=2pty,y1y2=-2pm∴x1x2=(y²1/2p)*(y²2/2p)&
P（2,5）、Q（4,5）的纵坐标相等都为5∴P（2,5）、Q（4,5）两点关于对称轴对称∴对称轴x = (xP+xQ)/2 = (2+4)/2 = 3
证明：反证法.设只有两个相等的实数根(或没有实数根),则此实数根为此交点,且b^2-4ac=0 (或者b^2-4ac
1>已知点A(-2,0),B(2,0)设P点=(x,y)所以,向量AP=(x+2,y),向量BP=(x-2,y)故,量AP乘以向量BP=x²+y²-4=-3,即x²+y²=1所以,曲线C的方程：x²+y²=1已知定点M=(0,-2),所以设直线l：y=kx-2
已知点A(2,0)B(4,0)动点P在抛物线y^2=-4x上运动,使向量AP乘以向量BP取得最小值的点P的坐标是 P（-y＾/4,y） 向量AP=[（-y＾/4）-2,y] 向量BP=[（-y＾/4）-4,y] 向量AP●向量BP=[（-y＾/4）-2][（-y＾/4）-4]+y＾ =（1/16）y＾+（5/2）y＾+
设P点坐标为(x,y),则y²=-4x则AP=(2-x,-y),BP=(4-x,-y)∴AP*BP=(2-x)(4-x)+(-y)(-y)=x²-6x+8+y²=x²-6x+8-4x=x²-10x+8=(x-5)²-17∵x∈(-∞,0]则当x=0时,(x-5
设,点P坐标为(X,Y),向量AP=(X,Y-2),向量BP=(X,Y+2),向量PC=(2-X,-Y),向量AP*向量BP=X^2+(Y^2-4),|PC|^2=(2-X)^2+Y^2,向量AP乘以向量BP＝m|PC|的平方,则有X^2+(Y^2-4)=m*[(2-X)^2+Y^2],x^2=m(2-x)^2,(y^
解1.因A、B在在抛物线y^2=2px上,故设A（m²/2p,m）,B(n²/2p,n) ∵OA⊥OB,∴向量OA●OB=0. ∴（m²/2p）（n²/2p）+mn=0,∴mn=-4p²,（m²/2p）（n²/2p）=4p²即A,B横坐标之
由对称知另两个顶点的横坐标相同,纵标为相反数设另两顶点坐标分别为(y^2/2p y) (y^2/2p -y) （y>0)三角形为等边三角形2y=根号[(y^2/2p)^2+y^2]解得 y=（2根号3）p故三角形的边长为(4根号3）p
4√3p答案补充 画图象,然后可以看出与抛物线交点坐标可以是（√3t,t）代入,求t,然后边长为2t
答：圆P的圆心(1,1)抛物线y=-x²+2x+3y=-(x-1)²+4开口向下,对称轴x=1显然,圆心P在对称轴x=1上根据对称性知道：A和C关于x=1对称则B和D关于x=1对称点B为(0,3),则点D为(2,3)
设P（x1,y1）,AP的中点为M（x,y）,则 x1+(-2)=2x ,y1+0=2y ,所以 x1=2x+2,y1=2y .因为 P 在抛物线上,因此,y1=1/2*(x1-2)^2,即 2y=1/2*(2x+2-2)^2,化简得 y=x^2 .
由2BF=AF+CF据抛物线的定义AF=x1+p/2,BF=x2+p/2,CF=x3+p/2易得2x2=x1+x3而y^2=2px所以2y2^2=y1^2+y3^2
线l过点A(-3p/2,p)且与抛物线y2=2pxY=KX+(2P+3PK)/2[KX+(2P+3PK)/2]^2=2PX判别=0(3k^2+2k-2)^2=k^2(2+3k)^23k^2+2k-2=-k(2+3k)k=1/3,k=-1y=x/3+3p,y=-x-p
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