2016考研数学线性代数类型题一：行列式的运算
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之前我们分析了线性代数的命题特点，接下来，我们就对线性代数考研题目的第一类题目做一下总结，那就是第一章行列式的运算。行列式的计算灵活多变,需要较强的技巧,一直是学生不易领会和掌握的,本文在已经学过行列式的计算方法的基础上总结出如下一些常用方法。
计算行列式的主要方法:
一、降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。用到的知识点是代数余子式的性质：
展开行列式计算方法一般适用于行列式当中有很多的零元素。一般情况下，在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开，对于n阶行列式，一般情况下是有规律可循的，或者展开后由归纳法得出。
二、化为三角形行列式
一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算。
行列式的重要公式：
四、利用范德蒙行列式(再次就不再举例)
五、加边法(升阶法)
加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。要求：1&保持原行列式的值不变;&2&新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行(列)有一个相同的字母外，也可用于其第&列(行)的元素分别为&n-1&个元素的倍数的情况。
六、利用方阵特征值
在线形变换的研究中,矩阵的特征多项式非常重要,由矩阵的特征多项式，再根据根与系数的关系式可知矩阵全体特征值的积为相应行列式的值.因此,我们可以用这个办法来计算行列式.
计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面是文都考研数学老师介绍的计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。重要的是同一道题不仅仅局限于某一种计算方法,而是要用多种方法综合起来才能完成。
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题名/责任者:
/李汉龙，缪淑贤主编
出版发行项:
北&#x4:&#x56防工业&#x51版社,2012.5
ISBN及定价:
978-7-118-08083-4/CNY39.90
载体形态项:
362页;26cm
个人责任者:
主编
个人责任者:
主编
-高等学校-解题
中图法分类号:
大学数学学习辅&#x5丛书
封面题：5版
有书&#x76{第362页}
提要文摘附注:
本书以&#x7性代数&#x8程教材的内容为准，按题型归类，&#x8行分析、解答与评注，归纳总结具有共性题&#x76的解题方法，解题简捷、新颖，具有技巧性而又道理显然，内容涵盖行列式、矩阵、矩阵的初等变换与&#x7性方程组、向&#x91组的&#x7性相关性等。 
使用对象附注:
本书&#x53作为理工院校本科各专业学生的&#x7性代数&#x8程学习指&#x5书或考研参考书，也&#x53以作为相关&#x8程教学&#x4员的教学参考资料。
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问题描述：
线性代数中怎么求四阶行列式,遇到题目时我总是不知道用哪种方法算,有什么规律能快速辨认出来吗?
问题解答：
可用定义或按某一行（列）展开,一般先用初等变换化为上（下）三角,再求对角线的乘积.也可利用性质进行化简.
我来回答：
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可用定义或按某一行（列）展开,一般先用初等变换化为上（下）三角,再求对角线的乘积.也可利用性质进行化简.
刘老师的答案说的不够清楚而已,我作小小补充.1、逆序数跟有几项无关的,没有因果关系.2、含有a11a23的项 就是a11a23a3ia4j &每项的第一个下标是一个顺序1234 &第二个下标是13ij,这里只剩2和4可选了.3、正负就是-1的逆序数次方.例如：当i=2 j=4时 逆序数 t(1324
D=-1*(-1)^(3+1)*5+2*(-1)^(3+2)*3+0*(-1)^(3+3)*(-7)+1*(-1)^(3+4)*4=-5-6-4=-15
注意恒等式A+B^{-1} = A * (A^{-1}+B) * B^{-1}
一阶矩阵的行列式就是其元素值（不需要证明,就是定义）,其逆矩阵的元素值就是他元素值的倒数（也不需要证明,A* A^(-1)就可以看出 一阶矩阵不
这种类型的题目,就是运用行列式的定义相当于把原来行列式的第四行换成2,-3,0,1形成一个新的行列式,题目就是求这个新的行列式新的有两行相等,行列式则为0题中行换成列也一样
你这个问题到现在没人回答, 是因为行列式的变化太多了, 无法一次性解决如果你真是小白, 建议你找本线性代数的教材, 从行列式的定义出发, 到行列式的性质, 到行列式按行列展开定理, 一步一步学才好, 只靠在这里提问, 是得不到完整系统的解决的.在看书的过程中, 如果遇到问题, 那怕是例题不明白, 都可到这里来提问. 这
题目写得不太清楚,应当按照下面的写法更好.经济数学团队帮你解答,请及时评价.谢谢!135…(2n-1)246…(2n)从前往后看：3与后面的2构成逆序,有1个; 5与后面的24构成逆序,有2个; …. ,(2n-1)与后面的246…(2n-2)都构成逆序,有n-1个; 所以逆序数为1+2+…+(n-1)=n(n-1)/
可以按第3列展开,也可以看作分块矩阵的行列式A 00 B= |A||B|D = (2-a) [ (-1-a)(3-a) + 4]= (2-a) (a^2-4a+4)= (2-a)(a-1)^2,
构造两个其次线性方程组：（1）Ax=0,(2)A'Ax=0 如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(A'A)=n-基础解系中向量个数.现在来证明它们同首先,如果x1是（1）的解,那么它肯定也是（2）的解,因为将其代入（2）：A'Ax1=A'(Ax1)=A'*0=0 其次证明（2）的解也是（
矩阵和行列式的区别是,行列式只是一个数,是一组数按一定规则进行代数运算的值,而矩阵在本质上并不单单是一个数,它是一个二维的数据表格.只有方阵才有对应的行列式!具体看下面这几点：　　1.矩阵是一个表格,行数和列数可以不一样；而行列式是一个数,且行数必须等于列数.只有方阵才可以定义它的行列式,而对于非方阵不能定义它的行列式
1.求向量组的秩的方法:将向量组按列向量构造矩阵(a1,...,as)对此矩阵用初等行变换(列变换也可用)化为梯矩阵非零行数即向量组的秩.2.求矩阵的秩对矩阵实施初等行变换化为梯矩阵非零行数即矩阵的秩.3.二次型的秩即二次型的矩阵的秩
根据定义求解,定义如下：设有向量组A（A可以含有限个向量,也可以含无限多个向量）,如果在A中能选出r个向量a1,a2,...ar,满足（1）a1,a2,...ar线性无关（2）A中任意r+1个向量线性相关则向量组a1,a2,...,ar称为向量组A的最大线性无关向量组（简称最大无关组）,数r称为向量组A的秩,只含零向量
1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3=1*[3*(1*3-2*2)-4*(4*3-2*1)+1*(4*2-1*1)]-2*[2*(1*3-2*2)-4*(3*3-2*4)+1*(3*2-1*4)]+3*[2*(4*3-2*1)-3*(3*3-2*4)+1*(3*1-4*4)]-4*[2*(4*2-1
最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n,则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底.矩阵的行秩等于列秩.来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型,发现该矩阵的秩为3.那么,这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底,这个矩阵只有3个行向量,那这三个行向量就是基底.然后看列空间
解: D =r1+ar2 0 1+ab a 0-1 b 1 0 0 -1 c 1 0 0 -1 dr1+(1+ab)r3 0 0 a+c+abc 1+ab-1 b 1 0 0 -1 c 1 0 0 -1 dr1+(c+abc)r4 0 0 0 1+ab+d(a+c+abc)-1 b 1 0 0 -1 c 1 0 0 -
3-r2 ,r4-r1D4=|1² 2² 3² 4²|2² 3² 4² 5²5 7 9
33=0 【∵ r4 ：r3 =3】 再问： лл???????????? 再答： ???????????????????????
因为按照行列式的定义展开后,不是只有两个主对角线元素相乘、副对角线元素相乘非零,还有非零的项!例如4阶行列式D4＝a 0 0 b0 a b 00 c d 0c 0 0 d展开后,主对角线元素相乘aadd,符号为＋；副对角线元素相乘bbcc,符号为＋；除此之外,四行元素分别选a、b、c、d,乘积也非0,符号为－四行元素分
第一个 a 0 0 0 1 b 0 02 4 c 0 3 5 6 d 值为abcd,因为这是典型的下三角形,对角线直接相乘就OK第二个,2 4 c 0;1 b 0 02a 0 0 03 5 6 d 值为2abd.因为把第四行和第三行交换,之后又和第二行交换,再之后和第一行交换,使之换为上三角形.注意没交换一次要变号,和
解: D =r1-2r2, r4-r20 7 -5 -101 -3 0 90 2 -1 -50 7 -7 -9按第1列展开 D = (-1)*1 -2 52 -1 -50 -2 1r2-2r11 -2 50 3 -150 -2 1按第1列展开 D = (-1)*3 -15-2 1D = - (3 - 25*2) = 2
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