关于几个世界数学难题的求解_论文_百度文库
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关于几个世界数学难题的求解
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大家好，我是北京大学允小熙！师弟师妹们叫我小熙师姐就好。
很多学弟学妹们向我反映，导数好难啊，做题总错。导数这个题如果是刚接触的话，之后几问没有思路是很正常的。但是后来的学习过程中你们老师应该会给你们做一些基本的题型总结的，比如极值问题，零点问题，极值点偏移，不等式证明etc...
然后你需要做的就是，一类一类的进行攻克，并且一定要积累常见的极值结论。
导数高考考查范围：
1、了解导数概念的某些实际背景；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2、熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
；会求一些实际问题的最大值和最小值。
考点一：导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
考点二：曲线的切线
1、关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
2、关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
典型例题1：
考点三：导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题：
1、求函数的解析式;
2、求函数的值域;
3、解决单调性问题;
4、求函数的极值（最值）;
5、构造函数证明不等式.
考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力，求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法。
考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力。
典型例题2：
考点四：导数的实际应用
建立函数模型,利用函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
典型例题3：
导数实际应用不仅考查了函数的导数、函数的极值的判定、闭区间上二次函数的最值、函数与方程的转化等基础知识的综合应用,还会考查应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力。
进入暑假的学弟学妹们，一定不要玩过了头，忘记复习！毕竟提升成绩是关键，考个好大学更重要！在这个暑假，学弟学妹们复习有什么疑问都可以来找我，学姐来为你解答！
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经典趣味数学题—分油问题一般性求解.doc 10页
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经典趣味数学题—分油问题一般性求解
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经典趣味数学题—分油问题的一般性求解
分油问题是一道非常经典的初等数学趣味题。它有很多种表述版本。例如，
版本1：日本分油问题。有一个装满油的8公升容器，另有一个5公升及3公升的空容器各 一个，且三个容器都没有刻度，试将此8公升油分成4公升。.
版本2：法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题：
某人有12品脱美酒，想把一半赠人，但没有6品脱的容器，而只有一个8品脱和一个5品 脱的容器，问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中。
版本3：我国的韩信分油问题：韩信遇到两个路人争执不下，原因是两人有装满10斤的油 ¨和两个3斤、7斤的空油¨，无法平均分出两份，每份5斤油。韩信是如何解决这个难题的？
版本4：史泰因豪斯在《数学万花筒》中的表述：有装有14千克酒的容器，另外有可装5 千克和9千克酒的容器，要把酒平分，该如何办？
版本5：别莱利曼在《趣味几何学》中表述：一只水桶，可装12杓水，还有两只空桶，容 量分别为9杓和5杓，如何把大水桶的水分成两半？
解决这类问题通常有尝试法、几何坐标法和不定方程法。
这里将详细讨论用不定方程来解这类题的基本思路和步骤拆分。
（一）分析思路
我们注意到这类题有几个共同的特点：
（1）三个容器N!，N2，N按容积由小到大排列，分别为自然数N1,N2,N；得到 的油M是小于N的自然数。
（2）两个较小容器的容积数N1,N2互素的（不是互素的要简单一些）。
（3）由于容器没有刻度，倒油过程中，较小容器总需要倒空或者填满。
（4）小容器倒油的次数X、Y是整数，最后需要得到的油M也是正整数。
（5）在小容器里得到数量较少的油，如容器N1得到小于等于N1的油；容器N2得到大 于N1小于等于N2的油
所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程。
N2·X+N1·Y=M
其中，N=N1+N2,M=（N1+N2）/2，则是平均分油问题，是分油问题的一个 特例。
与一般不定方程有所不同的是，在倒油问题上，这里X和Y取正值，也可取负值。正值表示 倒满某个小容器的次数且首先将此容器倒满，负值表示从满油小容器倒出的次数。
如果方程有多解，需要寻找一个最优解。
X和Y的绝对值越小，表明倒油的次数越少，表明是一个最优解。
有了这个解，就可以用来帮助我们完成分油过程。
中间倒油的过程为了满足某个较小容器倒满或者清空而倒来倒去。
具体如何实现只需要费一点点脑筋。
（二）平均分油实例
（1）日本分油问题的不定方程是：5X+3Y=4 解为：X=2，Y=-2
步 数 8升容器 5升容器 3升容 器
1 3 5（+1） 0
2 3 2 3（-1）
5 1 5（+1） 2
6 1 4 3（-1）
7步完成日本分油问题。
（2）我们来解泊松分酒问题。列方程8X+5Y=6
我们得到的解为：X=2,Y=-2，这是一个最优解。
也就是从最大容器倒满8升容器2次，5升容器装满后倒出2次进入最大的容器，就会得到 来两个6升。
步 数 12品脱容器 8品脱容器 5品 脱容器
1 4 8（+1） 0
2 4 3 5（-1）
5 1 8（+1） 3
6 1 6 5（-1）
由此，7步解决分油问题。
（3）韩信分油的不定方程是：7X+3Y=5;解为：X=2,Y=-3
步 数 10斤油¨ 7斤油¨ 3斤 油¨
1 3 7（+1） 0
2 4 4 3（-1）
4 6 1 3（-1）
7 2 7（+1） 1
8 2 5 3（-1）
9步完成韩信分油问题。
（4）史泰因豪斯问题的不定方程为：9X+5Y=7，解为：X=3,Y=-4
步 数 14千克容器 9千克容器 5千 克容器
1 5 9（+1） 0
2 5 4 5（-1）
5 1 9（+1） 4
6 1 8 5（-1）
8 6 3 5（-1）
11 2 9（+1） 3
12 2 7 5（-1）
共13步完成分油问题
注意，在大容器等于两小容器且均分的案例中，分油步骤等于X绝对值与Y绝对值之 和的2倍减1。
这可以判断出实际操作中你是否完成了最简的分油步骤。
（5）别莱利曼问题的不定方程为：9X+5Y=6，解为：X=-1,Y=3
步 数 12千克容器 9千克容器 5千 克容器
1 7 0 5（+1）
4 5 2 5（+1）
7 1 9（-1） 2
8 1 6 5（+1）
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