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为什么一个集合与空集的并集是它自己空集不能说是任何集合的真子集？
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因为空集是任何非空集合的真子集所以该集合和空集的并集是这个集合(它自己)不能说空集不是空集的真子集啊 所以说是所有非空集合的真子集
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因为空集是任何集合的子集。所以并集是它自己。
对，这就好像1+0=1一样
并集的意思就是把两个集合的所有元素放到一个新的集合里，组成一个新的集合。空集不含有任何元素，所以一个集合与空集的并集是它自己
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一个有元素的集合跟空集有没有交集或是并集?
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交集是空集 并集是那个有元素的集合
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交集为空集，并集为原集合
扫描下载二维码必修一第一章集合与函数概念
摘要第一章集合与函数概念__〖11〗集合__【111】集合的含义与表示__（一）集合的概念__一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简__称集。__（1）关于集合的元素的特征__①确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是__A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。__②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。__③无序性__（2）常用数集及其记法__N表示自然数集，N?或N?表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表__示实数集__（3）集合与元素间的关系__对象a与集合M的关系是a?M，或者a?M，两者必居其一__（二）集合的表示法__①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合__②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合__说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。__③描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。{x|x具有的性__质}，其中x为集合的代表元素__具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变__化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。__如：{x|x-32}，{x，y|y=2x+1}，{直角三角形}，…；__强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素__④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合__{x，y|y=x+3x+2}与{y|y=x+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也__可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。__辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。__说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一__般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。__（三）集合的分类__①含有有限个元素的集合叫做有限集②含有无限个元素的集合叫做无限集③不含有__任何元素的集合叫做空集?__【技能方法】__1研究一个集合必须明确集合的元素：对于描述法表示集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x的含义例如{x|y=fx}表示函数的定义域；{y|y=fx}表示函数的值域；{（x，y|y=fx}表示函数图象上的点集等。__例1已知集合，下面答案正确的是（）__A．N＝MBCD．__【答案】D__【解析】集合M表示的是函数y=lg2x-8的定义域，即M=（3，+∞）；而集合N表示的是函数__故选D。的值域，即N＝[3，+∞）于是__，所以．，__【点评】此题首先在明确两个集合里面元素具体含义后，然后化简所给集合，根据集合运算的有关性质进行化简、分析判定即可。__2集合元素的特性：__集合元素具有确定性、无序性和互异性。因此利用元素的性质解题是集合问题常用的一方面。要特别注意元素的互异性的应用，这是经常忽略的一方面。__例2设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，│2a－1│}，CUA＝{5}，求实数a的值。__【解析】因为CUA＝{5}，所以5A，且5∈U．所以a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4．当a＝2时，A＝{2，3}，符合条件；当a＝－4时，A＝{2，9}，而9U，不符合条件。所以a＝2。__【点评】__因为题设中的集合中含有参数，所以根据条件求出参数的值之后，一定要代回原集合中检验经检验发现当a＝－4时与全集的概念矛盾，从而舍去。____【112】集合间的基本关系__（1）子集、真子集、集合相等__①子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：A?B或B?A，读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A，当集合A不包含于集合B时，记作A?B__②真子集：若集合A?B，存在元素x∈B且x?A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A?B（或B?A），读作：A真包含于B（或B真包含A）__③空集：不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：?（规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。）__nnn1已知集合A有nn?1个元素，则它有2个子集，它有2?1个真子集，它有2?1个__非空子集，它有2?2非空真子集__2常用集合关系的结论__；，n__3与空集有关的结论__；____；__；__；____要注意到“极端”情况：__（3）空集的应用：____空集是一个特殊且重要的集合，它不含有元素，是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集要掌握有空集参与的集合间的关系或运算，特别是根据两个集合的包含关系来讨论参数的值或范围时，不要忽视空集的特殊性__例A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若，求实数a的值。__【解析】A={x|x2-8x+15=0}={3，5}，若____注意到，满足，∴a3-1=0或a5-1=0，解得a=13或15，得到a=0所以实数a的值为，，。__【点评】在求解ax-1=0的根时，要特别注意对a是否为零的讨论，若a=0则仍然满足题意，故不要忽略。__（4）归纳小结，强化思想__两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法。____【113】集合的基本运算__（1）交集、并集、补集__1并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）。记作：A∪B，读作：“A并B”，即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。__说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。__2交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：A∩B，读作：“A交B”。即：A∩B={x|∈A，且x∈B}。__说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。__3补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset）_简称为集合A的补集，记作：CUA，即：CUA={x|x∈U且x∈A}__全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。__说明：补集的概念必须要有全集的限制__若A∪B=B，则A?B，反之也成立__若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B__若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B____（2）【技能方法】__1．并集、交集、补集的简单运算__集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再根据交、并、补的定义进行运算．此类题目首先应看清集合中的元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集、补集的定义直接观察或用图表示集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可以借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不再集合中时，应该用“空心圈”表示．__例1（1）若集合A={2，4，6，7}，B={3，4，5，7}，则A∩B=____．__（2）集合__则A∩B=_____，A∪B=______，（__CRA）∩B=______．__【答案】（1）{4，7}；（2）A∩B={x|1＜x≤2}，__A∪B={x|x＜-3或x≥-2}，（CRA）∩B={x|-2≤x≤1}__【解析】（1）A、B的共同元素为4、7，所以A∩B={4，7}__（2）因为A={x|x-1x+3＞0}={x|x＜-3或x＞1}__B={x|4-x2≥0}={x|-2≤x≤2}在数轴上画出A、B，____所以，A∩B={x|1＜x≤2}，A∪__B={x|x＜-3或__x≥-2}，__（CRA）∩B={x|-2≤x≤1}．__【点评】集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再利用数轴，根据交、并、补的定义进行运算．__2．已知集合的交并集求参数的取值范围__依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关集合交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．__例2已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜-1或x＞5}，若__【解析】由__（1）若__（2）若，有2a＞2+3，所以a＞3．，如下图：，求a的取值范围．____综上所述，的取值范围是__【点评】由，则要考虑两种情形，这样才不会漏解．__3．交并集性质的应用__在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B=A，A∪B=B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关系去分析，如，____例3设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2a+1x+a2-1=0}．__（1）若A∩B=B，求a的值．__（2）若A∪B=B，求a的值．__【解析】A={-4，0}．__（1）∵A∩B=B，∴．__①若0∈B，则．__当a=1时，B=A；当a=-1时，B={0}；__②若-4∈B，则__当a=7时，B={-12，-4}，__．③若__由①②③得，a=1或a≤-1__（2）∵A∪B=B，∴__∵A={-4，0}，又因为B中最多只有两个元素，__∴A=B．__由（1）知a=1．__【点评】要注意条件等价转化的运用，常见转化有__4．补集的思想的应用__对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解答时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探索已知与未知之间的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．__例4若集合A={x|ax2+3x+2=0}中最多有一个元素，求实数a的取值范围．__【解析】假设集合A中含有两个元素，即ax2+3x+2=0__有两个不相等的实数根，则__，解得a＜98且a≠0，则a的取值范围是{a|a＜98且a≠0}__在全集U=R中，集合{a|a＜98且a≠0}的补集是{a|a≥98或a=0}__所以满足题意的a的取值范围是{a|a≥98或a=0}．__【点评】集合A中的元素包含0个或1个，若采取分类讨论的策略，所分情况比较多，求解比较麻烦，构造其“补集”：集合A中含有两个元素，然后再求其补集，问题就得到了简化．____课堂练习__（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=?__（2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z__3集合A={n|∈Z}，B={n|∈Z}则A∩B=____________4集合A={x|-4≤x≤2}，B={x|-1≤x≤3}，C={x|x≤0，或x≥}，那么A∩B∩C=________________A∪B∪C=_______________课堂练习__（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=?__（2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z__3集合A={n|∈Z}，B={n|∈Z}则A∩B=____________4集合A={x|-4≤x≤2}，B={x|-1≤x≤3}，C={x|x≤0，或x≥}，那么A∩B∩C=________________A∪B∪C=_________________【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法__2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（__3、等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都1／n，这种事件叫等可能性事件，其事件A的概率____4、互斥事件的概念不可能同时发生的个事件叫做互斥事件A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，这时PAoB=0，PA+B=P（A）+PB。若事件A与B不是互斥，运用__进行计算__5、对立事件的概念事件Ａ和事件B必有一个发生的互斥事件A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生，__6、事件的和的意义事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“__B发生而A不发生”构成的，因此当A__和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有=P（A）+=1__7、相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立__相互独立事件同时发生的概率：??__8、独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p_那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了k次的概率__9、解答概率问题的三个步骤：__（1）确定事件的性质：事件是等可能，互斥，独立还是重复独立事件；__（2）判断事件的运算：所求事件是由哪些基本事件通过怎样运算而得；__（3）运用公式计算其事件的概率：等可能事件：__互斥事件：P（A+B）=P（A）+P（B），对立事件：P（A）=1－，独立事件：____〖12〗函数及其表示__【121】函数的概念__（1）函数与映射的概念__①设A、B是非空的数集_如果按照某个确定的对应关系f_使对于集合A中的任意一个数__x_在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应_那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数记作y=fx_x∈A其中_x叫做自变量_x的取值范围A叫做函数的定义域与x的值相对应的y值叫做函数值_函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域__一般地_设A、B是两个非空的集合_如果按某一个确定的对应法则f_使对于集合A中的任意一个元素x_在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应_那么就称对应fA→B为从集合A到集合B的一个映射_记作“fA→B”（注意：在映射f：A→B中满足两个允许_两不允许：允许B中有剩余元素_不允许中有剩余元素A；允许多对一_不允许一对多）__②函数的三要素定义域、值域和对应法则．__③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．__（2）区间的概念及表示法__①设a_b是两个实数，且a?b，满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a_b]；满足a?x?b的实数x的集合叫做开区间，记做a_b；满足a?x?b，或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a_b，a_b]；满足x?a_x?_ax?_b?x的实数bx的集合分别记做[a_??_a_??_??_b]_??_b．注意：对于集合{x|a?x?b}与区间a_b，前者a可以大于或等于b，而后者必须a?b．__（2）函数的定义域__①自然型指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如分式函数的分母不为零___偶次根式函数的被开方数为非负数_对数函数的真数为正数_等等）__②限制型指命题的条件或人为对自变量x的限制_这是函数学习中重点_往往也是难点___因为有时这种限制比较隐蔽_容易犯错误__③实际型解决函数的综合问题与应用问题时_应认真考察自变量x的实际意义求函数的定义域时，一般遵循以下原则：__①fx是整式时，定义域是全体实数．__②fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．__③fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．__④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．__⑤y?tanx中，x?k???2k?Z__．__⑥零（负）指数幂的底数不能为零．__⑦若fx是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．__⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知fx的定义域为[a_b]，其复合函数f[gx]的定义域应由不等式a?gx?b解出．__⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．__（4）求函数的值域或最值__求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：__①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．__②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．__③判别式法：若函数y?fx可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程__ayx2?byx?cy?0，则在ay?0时，由于x_y为实数，故必须有__??b2y?4ay?cy?0，从而确定函数的值域或最值．__④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．__⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．__⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．__⑧函数的单调性法．__（5）【技能方法】__1判断两个函数是否相同__例1试判断以下各组函数是否表示同一函数？__（1__）____（3__）__22（2__）；（4__）（5）fx=x-2x-1_gt=t-2t-1__【解析】（1）由于__同_所以它们不是同一函数_故它们的值域及对应法则都不相__（2）由于函数的定义域为（－∞_0）∪（0_+∞）_而__的定义域为R_所以它们不是同一函数__（3）由于当n∈N时_2n±1为奇数______它们的定义域、值域及对应法则都相同___所以它们是同一函数__（4）由于函数的定义域为{x|x≥0}_而的定义域为{x|x≤－1或x≥0}_它们的定义域不同_所以它们不是同一函数__（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同_所以它们是同一函数__【点评】__对于两个函数y=f（x）和y=g（x）_当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时_y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数_则它们的图象完全相同_反之亦然__（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数_原因是对函数的概念理解不透_要知道_在函数的定义域及对应法则f不变的条件下_自变量变换字母_以至变换成其他字母的表达__222式_这对于函数本身并无影响_比如f（x）=x+1_f（t）=t+1_f（u+1）=（u+1）+1都可视__为同一函数__（2）对于两个函数来讲_只要函数的三要素中有一要素不相同_则这两个函数就不可能是同一函数__2配凑法、换元法、待定系数法、方程组法是求函数解析式的基本方法__例2（1）已知_求fx__（2）已知_求fx__（3）已知fx是一次函数_且满足3fx+1-2fx-1=2x+17_求fx__（4）已知fx满足求fx．__【解析】（1）∵__3∴fx=x-3x（x≥2或x≤-2）．___（2）令，则__（3）设fx=ax+ba≠0，则3fx+1-2fx-1=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17_∴a=2_b=7_∴fx=2x+7．__（4）①_把①中的x换成②___①×2-②得__【点评】①已知函数类型_求函数的解析式时常用待定系数法②已知fx求f[gx]或已知[gx]求fx用换元法、配凑法__3已知函数在一个区间上的解析式_求函数在另一个区间上的解析式__例3已知函数y＝fx的图象关于直线x＝－1对称_且当x∈0_＋∞时_有_求当x∈－∞_－2时_fx的解析式__【解析】__设x＜－2_则－x－2＞0_由函数y＝fx的图象关于x＝－1对称___得____【点评】__已知函数在一个区间上的解析式_求函数在另一个区间上的解析式的基本方法是在待求解析式的区间上任取x_然后找到一个含x的简单式子_使该式子的范围在已知解析式的区间上_把该式子代入已知解析式_再利用函数性质进行转化__4已知函数解析式求函数定义域__【例4】求下列函数的定义域__（1）__22（2）fxlgx-ka+lgx-a__【解析】__（1）_解得函数定义域为____（2）（先对a进行分类讨论_然后对k进行分类讨论）___①当a=0k∈R时_函数定义域为0_+∞__②当a＞0时_得__1）当时_函数定义域为ka_+∞___2）当__3）当时_函数定义域为a_+∞_时_函数定义域为ka_-a∪a_+∞___③当a＜0时_得__1）当__2）当时_函数定义域为ka_+∞_时_函数定义域为-a_+∞____3）当时_函数定义域为ka_a∪-a_+∞__【点评】__给出解析式求函数定义域就是求使解析式有意义的自变量的范围_注意第（2）小题的解析式中含有参数_要对参数的取值进行讨论__4复合函数定义域__例4（1）已知_求ffx的定义域__（2）已知函数fx定义域为0_2_求__【解析】的定义域__因为_所以__解得x≠-1且x≠-2_所以函数fx定义域是-∞_-2∪-2_-1∪-1_+∞__（2）由解得_所以所求函数的定义域为__【点评】若已知fx的定义域[a_b]_其复合函数f[gx]的定义域可由a≤gx≤b求出若复合函数f[gx]的定义域为[a_b]_则fx的定义域为gx在[a_b]上的值域．__5实际问题中的函数解析式与定义域问题__例5在△ABC中_BC=2_AB+AC=3_中线AD的长为y_AB的长为x_建立y与x的函数关系式_并指出其定义域______【解析】__设∠ADC＝θ_则∠ADB＝π－θ__222根据余弦定理得1＋y－2ycosθ＝（3－x）___222①1＋y－2ycos（π－θ）＝x___
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