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线性代数题目
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线性代数题目
关注微信公众号问题一：两向量组等价，那这两个向量组里的向量维数是否相等？
问题二：向量空间的维数与该向量空间中向量的维数有什么关系？是否相等？谢谢
问题一：相等。这个很直观
问题二：没有关系。设a1,a2为两个三维向量，{a1,a2}组成一个向量空间，那么此向量空间的维数为2维，只取决于包含的向量个数，有几个向量，就为几维，随便想一个简单的例子就明白了。
其他答案（共1个回答）
不知道你所看的教材是怎么来安排前后内容的，一般是先定义矩阵的等价。两个矩阵等价是指，一个矩阵经过初等变换能够变成另外一个矩阵（还可以细分为行等价（只用初等行变换...
修改一下吧，——我把“充分性”、“必要性”几个字擦掉了：
两个向量方向大小都相同。
1. D。其他三个都不充分。
3. 作满秩变量替换消去交叉项：
y_1=x_1-x_2/2
则原二次型化为只含平方项...
"V的维数就是向量组的秩"这是定义.
V的维数就是向量组的秩=最大无关组中的向量的个数.
(这个个数固定.)
假设y1,y2,...,yn为A的特征...
答: 万的字母计量单位是什么
答: 对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评
答: 友情帮顶,祝楼主早日找到自己想要的答案.
祝你身体健康,笑口常开!!!
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
无锡至少有两所正规大学：
1、江南大学
2、南京农业大学无锡渔业学院。由于它不直接在无锡召本科生，所以许多人不知道这个学校：它位于山水东[西？]路九号，拥有约20位正教授/研究员，80位副教授/副研究员，和多位首席科学家。去年还有中国工程院的院士一名。
1、江南大学坐落于太湖之滨的江南名城——江苏省无锡市，是教育部直属的国家“211工程”重点建设高校。
　　享有“轻工高等教育明珠”美誉的江南大学，有着久远的历史渊源和深厚的文化底蕴。在1902年创建的三江师范学堂基础上发展起来的中央大学（现南京大学）是江南大学办学的前身。1952年全国高校院系调整时，南京大学食品工业系、浙江大学农化系、江南大学食品工业系以及复旦大学、武汉大学的有关系科合并组建成南京工学院（现东南大学）食品工业系。1958年该系整建制东迁无锡，成立无锡轻工业学院，1995年更名为无锡轻工大学，1998年由隶属中国轻工总会划转直属教育部。2001年1月，经教育部批准，无锡轻工大学、江南学院、无锡教育学院合并组建江南大学。
　　学校学科涉及经济学、法学、教育学、文学、理学、工学、农学、医学、管理学等九大门类，设有生物工程学院、食品学院、纺织服装学院、化学与材料工程学院、设计学院、机械工程学院、通信与控制工程学院、信息工程学院、商学院、法政学院、文学院、师范学院、理学院、外国语学院、土木工程系、医学系、艺术系、体育系等18个院（系），共56个本科专业，全日制在校本科学生18500余人。成人学历教育在籍学生5000余人，网络学历教育在籍学生1万余人。还有经教育部批准的中外合作办学的莱姆顿学院及与社会力量合作办学的江南大学太湖学院。
　　学校设有轻工技术与工程、食品科学与工程等2个博士后流动站和10个博士点，覆盖发酵工程等16个二级博士学科专业和39个硕士学科专业，基本包涵了轻工、纺织、食品的全部领域。现有在校各类硕士研究生、博士研究生2500余人。学校拥有4个国家级和部省级重点学科，建有教育部、国家计委批准的“国家生命科学与技术人才培养基地”，培养本硕连读、本硕博连读的高层次人才。食品科学、发酵工程等2个国家重点学科在国内同类学科中具有独特优势，实力雄厚，处于领先地位，在国际上有较大影响。经近50年的建设与发展，江南大学已成为一所规模结构较为合理，教学质量优异，科研水平上乘，社会服务盛誉，各方面均得到社会公认，在国内外具有较高知名度的多科性大学。
　　学校师资力量雄厚，现有专任教师1519名，其中中国工程院院士3名（2名为双聘院士），教授160名，副教授456名。由300多名博士生导师、硕士生导师组成的学术带头群体，为高层次人才培养、科技创新和社会服务奠定了厚实的基础。学校始终坚持社会主义办学方向，坚持以育人为本，把为经济建设和社会发展培养高质量的人才作为学校的根本任务。经过多年努力，形成了具有自身特点的人才培养体系和教学质量保障体系，做到人才培养与市场需求紧密结合，培养高素质创新型的专门人才。学校注重学生综合素质、基础知识和实践能力的培养，如在本科教学中，将相对狭窄的专业对口教育转到本科通识加特色教育；推进多样化的人才培养方式，学生通过辅修、第二专业、第二学位等途径培养复合型人才；让学生早期介入科研活动，从科研实践中感受和理解知识产生和发展过程，培养学生科学素养、科学精神、创新能力。学校十分重视校园精神文明建设。一年一度的江南之春文化艺术节、科技节、金秋体育节等活动精彩纷呈，暑期社会实践、校园文化生活丰富多彩。在大学生数学建模竞赛、数学竞赛、电子制作竞赛、机器人竞赛、艺术设计竞赛等全国性比赛中，学生连年获得大奖。建校以来，学校已为国家输送了数万名毕业生，许多毕业生已成为各条战线的科技精英和领导骨干。
　　作为我国轻工、食品、生物技术高科技的摇篮与依托单位之一，“九五”期间，学校承担并完成了大批国家重大科技攻关项目及省部级应用基础研究课题，其中有70多项研究成果填补了国内空白，并达到了国际先进水平，30多项科研成果荣获国家和省级科技进步奖。“十五”以来，学校科研实力进一步增强，科技项目和科技成果逐年增多。2003年取得国家、部省级以上科技成果奖励20项，其中有国家科学技术发明二等奖（一等奖空缺）一项，中国石油和化学工业科学技术一等奖一项等。2004年，科技总经费9000多万元，获准立项的纵向科研项目97项，横向科研270多项；鉴定或验收科技成果86项，其中30%以上成果达到国际领先或国际先进水平。全校教职工共发表各类论文2700多篇，出版专著130多部，被国际三大检索收录论文143篇。学校承担的国家“十五”科技攻关“农产品深加工”、“发酵工程关键技术”课题全面通过结题验收并进入后期滚动；国家自然科学基金项目获资助13项；获部省级以上科技成果奖励8项，其中1项科研成果获得江苏省科技进步一等奖；全年申请专利356项，学校专利申请量位居全国高校第7名、江苏省第1名；人文社科领域承担的项目、层次、经费等方面都有较大增长。
　　学校重视面向经济建设主战场，加快科技创新，推进科技成果产业化，建有科技部、国家计委批准的“发酵技术国家工程研究中心”等10个国家级、省部级研究中心、实验室。建立了由海尔集团、茅台酒集团、青岛啤酒集团、北京燕京啤酒集团、绍兴黄酒集团、江苏小天鹅集团等100多家企事业单位加盟的董事会，注重学校与企业、社会之间的联系，促进了产学研的结合和为社会各方面的服务。各院（系）还建有二级董事会，共有400余家企事业单位参加。学校十分重视发挥在轻工、食品、艺术设计、纺织、环境、化工、生物医药等方面的科技优势，积极为全国轻工纺织行业的科技进步、产品开发、人才知识更新服务，积极参与国家西部大开发和为江苏省沿江发展战略、苏北发展战略及海上苏东发展战略服务，积极适应无锡市支柱产业的创新发展、科技和人才需求，在科研开发、技术服务、人才培养等方面与企业开展全面合作，推动企业的技术改造和产品更新换代。与地方政府合资建立的省级大学科技园，成为高科技研究项目的重要孵化基地，为国民经济和社会发展作出贡献。由于学校的优质服务，中国电信、丹尼斯克（中国）有限公司、嘉里粮油（深圳）商务拓展有限公司、东海粮油工业（张家港）有限公司、国民淀粉上海化学有限公司、三得利（中国）投资有限公司、青岛啤酒集团、重庆啤酒集团、杰能科生物工程有限公司、广州天赐高新材料科技有限公司、国际特品（ISP）（香港）有限公司、东洋之花化妆品有限公司等大型企业都在学校设立各类奖学、奖教金，每年发放的奖学金总额达600多万元。
　　学校与国内外的教学科研交流合作频繁，是教育部批准的首批接受外国留学生和港澳台学生的高校。自六十年代开始，就接受和培养来自世界各国的留学生，现有本科、硕士、博士等各级各类留学生260余人。学校已与20多个国家和地区的44所大学建立了紧密的校际交流关系，并与美国、加拿大、日本等近20个国家的高校、机构开展办学、科研等方面的合作。目前正在执行的校际合作与交流项目有17个，其中与澳大利亚、英国一流大学之间的“2+2”学分互认合作项目受到学生的欢迎。学校聘请了50多位国外著名的学者和教授担任学校的名誉教授或客座教授，每年举办国际及双边学术交流会，已逐步成为轻纺、食品、艺术设计等领域的国际交流中心。
　　学校图书馆现有藏书152.76万余册、电子图书37.40万册，中外文期刊3100余种，建有教育部科技查新工作站。学校编辑出版自然科学、人文社会科学、食品与生物技术、教育科学等4种学报及《冷饮与速冻食品工业》和《电池工业》杂志，向国内外公开发行。
　　在教育部、省、市政府的大力支持下，地处无锡蠡湖新城、太湖之畔，占地3100多亩的学校新校区已建成面积36万平方米。新校区以“生态校园•曲水流觞”为设计理念，融青瓦白墙的江南建筑风格与小溪、树林、草坪的多层次园林空间为一体，展现绿色、水乡、文化韵味。设施先进、功能齐全、环境优美的现代化校园，为莘莘学子学习研究提供了良好的条件。
　　钟灵毓秀的江南山水，造就了江南校园开拓进取的学术氛围；蕴涵深厚的人文传统，赋予了江南学子锐意求新的创造精神。迈入新世纪，学校迎来了改革、发展的良好机遇，“211工程”将重点建设和发展工业生物技术、食品科学工程和安全、工业设计创新系统、纤维制品现代加工技术、中小企业管理与发展、轻工过程信息化科学与工程等6个优势和特色明显的学科群，进一步提升学校在轻纺、食品等学科领域的优势地位，使学校的整体办学水平和人才培养质量得到全方位的提高。
　　积百载跬步，创世纪辉煌。江南大学提出的发展总体目标是，经过五至十年时间的努力，把学校建成以工为主、理工结合、工理文交融，科技教育与人文教育协调发展，具有鲜明特色、先进水平，在国内有较大影响的教学研究型开放式多科性大学；通过不断创特色、上水平、求发展、增实力，力争在本世纪中叶，把学校建成国内一流、国际有影响、部分学科达到国际先进水平的综合性大学。
2、南京农业大学无锡渔业学院是南京农业大学与中国水产科学研究院淡水渔业研究中心，在多年联合办学的基础上于1993年7月成立的，她依托南京农业大学雄厚的基础教学条件，和淡水渔业研究中心优越的专业教学条件，为我国及国际水产事业的发展培养了一大批优秀的专业技术人员和管理人才。
学院的宗旨是以推进我国和发展中国家的渔业科学和渔业生产，使渔业产品在当今人类改革食物结构，提高营养水平，创造经济财富方面起重要作用。通过努力，使该院成为一个国际性的渔业科学教育和研究中心。
学院座落在风景秀丽的太湖之滨，中国著名的旅游城市－－无锡的西南角上，与中央电视台太湖影视基地相邻，离市区仅10公里之遥，依山傍水，环境十分幽美，交通便利，有1路和820路公交车直达。学院占地面积26公顷，建筑面积达35000多平方米。
南京农业大学从1984年开始和淡水渔业研究中心联合办学，设淡水渔业专业（专科）。学院于1994年新开设了“淡水渔业”本科专业。现设水产养殖本、专科专业，水产养殖博士点和硕士点，每年招收博士生、硕士、本科、专科各种层次。
该院长期招收外国留学生，为亚太地区名国培养淡水渔业的技术人才，今后还将进一步提高留学生的办学层次，招收硕士研究生，在招收留学生方面曾受到联合国FAO和UNDP、亚洲水产养殖中心网（NACA）的大力支持。
设有以中国工程院院士夏德全研究员为主的淡水鱼类遗传育种生物技术研究室、营养与饲料、特种水产养殖室、水产品病害研究室、渔业环境保护、渔业经济与信息中心、内陆水域增养殖等7个教研室。学院现有教职员工340名，其中具中高级职称的教师有80名。有突出贡献的农业部中青年专家和享受政府特殊津贴的18人。现有博士3人，硕士25人。
在科学研究方面，先后承担和圆满完成了国家自然科学基金、“八六三”、国家攻关和省、部级课题190多项，获得各类奖励成果85项，其中国家科技进步二等奖1项，国家科技进步三等奖4项。92年获农业部农业机构综合科研能力奖。
在多年的联合办学的实践中，南京农业大学无锡渔业学院的领导非常重视提高学院的教学质量，办学条件逐年得到改善，教学管理趋于完善，教风好、学风正，经过多年的努力，学院的各项办学条件已得到改善，教学手段已基本实现了现代化，配备了语音室、电脑房和先进的电教中心。
学院非常重视发展工作。依托淡水渔业研究中心，综合利用经贸部TCDC培训项目的人力、财力、物力。扎实提高教学质量，改善教学条件，学院领导在经费许可的情况下，投入大量的资金，进行教学设施的改造和教学仪器、设备的添置，积极改善学院的办学备件。建院六年来，学院不断改进教学设施，提高教学质量，目前已拥有教学楼、实验室、图书馆、学生宿舍楼、语音室、电脑房、活动健身房、学生食堂、足球场、蓝球场、大客车、教学实习基地等设施，为国家培养水产专业人才创造了较好的条件。
铝属于两性金属，遇到酸性或碱性都会产生不同程度的腐蚀，尤其是铝合金铸件的孔隙较多，成分中还含有硅和几种重金属，其防腐蚀性能比其他铝合金更差，没有进行防护处理的铝铸件只要遇到稍带碱性或稍带酸性的水，甚至淋雨、水气、露水等就会受到腐蚀，产生白锈。
解决的办法。
铝铸件完成铸造后，在机械加工前，先要进行表面预处理，如预先对铸件进行喷砂，涂上一道底漆（如锌铬黄底漆），在此基础上再进行机械加工，以避免铸铝件在没有保护的情况下放久了被腐蚀。
嫌麻烦就把你洗衣机的型号或断皮带，拿到维修点去买1个，自己装上就可以了（要有个小扳手把螺丝放松，装上皮带，拉紧再紧固螺丝）。
考虑是由于天气比较干燥和身体上火导致的，建议不要吃香辣和煎炸的食物，多喝水，多吃点水果，不能吃牛肉和海鱼。可以服用（穿心莲片，维生素b2和b6）。也可以服用一些中药，如清热解毒的。
确实没有偿还能力的，应当与贷款机构进行协商，宽展还款期间或者分期归还； 如果贷款机构起诉到法院胜诉之后，在履行期未履行法院判决，会申请法院强制执行； 法院在受理强制执行时，会依法查询贷款人名下的房产、车辆、证券和存款；贷款人名下没有可供执行的财产而又拒绝履行法院的生效判决，则有逾期还款等负面信息记录在个人的信用报告中并被限制高消费及出入境，甚至有可能会被司法拘留。
第一步：教育引导
不同年龄阶段的孩子“吮指癖”的原因不尽相同，但于力认为，如果没有什么异常的症状，应该以教育引导为首要方式，并注意经常帮孩子洗手，以防细菌入侵引起胃肠道感染。
第二步：转移注意力
比起严厉指责、打骂，转移注意力是一种明智的做法。比如，多让孩子进行动手游戏，让他双手都不得闲，或者用其他的玩具吸引他，还可以多带孩子出去游玩，让他在五彩缤纷的世界里获得知识，增长见识，逐渐忘记原来的坏习惯。对于小婴儿，还可以做个小布手套，或者用纱布缠住手指，直接防止他吃手。但是，不主张给孩子手指上“涂味”，比如黄连水、辣椒水等，以免影响孩子的胃口，黄连有清热解毒的功效，吃多了还可导致腹泻、呕吐。
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1、搜索引擎营销：分两种SEO和PPC，即搜索引擎优化，是通过对网站结构、高质量的网站主题内容、丰富而有价值的相关性外部链接进行优化而使网站为用户及搜索引擎更加友好，以获得在搜索引擎上的优势排名为网站引入流量。
良工拥有十多位资深制冷维修工程师，十二年生产与制造经验，技术力量雄厚，配有先进的测试仪器，建有系列低温测试设备，备有充足的零部件，包括大量品牌的压缩机，冷凝器，蒸发器，水泵，膨胀阀等备品库，能为客户提供迅捷，优质的工业冷水机及模温机维修和保养。
楼主，龙德教育就挺好的，你可以去试试，我们家孩子一直在龙德教育补习的，我觉得还不错。
成人可以学爵士舞。不过对柔软度的拒绝比较大。　　不论跳什么舞，如果要跳得美，身体的柔软度必须要好，否则无法充分发挥出理应的线条美感，爵士舞也不值得注意。在展开暖身的弯曲动作必须注意，不适合在身体肌肉未几乎和暖前用弹振形式来做弯曲，否则更容易弄巧反拙，骨折肌肉。用静态方式弯曲较安全，不过也较必须耐性。柔软度的锻炼动作之幅度更不该超过疼痛的地步，肌肉有向上的感觉即可，动作(角度)保持的时间可由10馀秒至30-40秒平均，时间愈长对肌肉及关节附近的联结的组织之负荷也愈高。
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线性代数向量空间的练习题
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从我自己经历过的题目中筛选出来的有意思或者有难度的线性代数题，希望能开个好头。大家如果有什么难题、趣题之类的，也可以发出来互相交流一下。这个贴子不作为回答线性代数题目使用，请不要发只含题目而没有解析的题。同时，也不要随意占楼，大家对于题目的解法有意见或者有疑问的话，可以随时指正。
证明：AX=0与A^TAx=0同解。当X满足AX=0时，等式两边同时左乘A^T，得A^TAX=0，所以AX=0的解都是A^TAX=0的解；当X满足A^TAX=0时，等式两边同时左乘X^T，得X^TA^TAX=(AX)^TAX=0，因为AX是列向量，所以(AX)^TAX=||AX||=0，由范数的非负性可知，当且仅当AX=0时||AX||=0，所以A^TAX的解都是AX=0的解；因此AX=0与A^TAx=0同解PS：这个结论在某些题目里面可以直接作为已知条件使用。
因为a,b,c是方程的解，所以(x-a)(x-b)(x-c)=0.展开后得到x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x+abc=0.因为在已知方程中x^2项的系数为0，所以a+b+c=0.然后将行列式的第二三行加到第一行，可以得到行列式的值为0.
如果单独计算某一行的代数余子式之和Ai1+Ai2+...+Ain，可以发现，除了第一行的代数余子式之和不为零之外，其他行的代数余子式之和全为零（因为错配的结果是零）。因此A的全部代数余子式之和等于第一行的代数余子式之和，也就是行列式的值，所以结果为1。
解析：如果将行列式沿最后一行展开，那么其代数余子式全是三角矩阵！
设向量组Ⅰ：α1，α2，...，αr与向量组Ⅱ：α1，α2，...，αr，α(r+1)，...，αs有相同的秩，证明：两个向量组等价。设两个向量组的秩都为n，那么在向量组Ⅰ中存在含n个向量的极大无关组(αi，...，αj).而线性无关的向量组(αi，...，αj)属于向量组Ⅱ，且秩与向量组Ⅱ相同，那么(αi，...，αj)也是向量组Ⅱ的极大无关组。因此向量组Ⅰ和向量组Ⅱ同时等价于(αi，...，αj)，那么向量组Ⅰ和向量组Ⅱ之间也等价。
设A为n阶非零矩阵，若A*=A^T，证明：A为满秩阵。起初，我用的是一个不太完美的证明方法，只能在一定条件下适用。因为A*=A^T，所以r(A*)=r(A^T)=r(A).而根据r(A)与r(A*)的关系:（若r(A)=n,则r(A*)=n；若r(A)=n-1,则r(A*)=1；若r(A)&n-1,则r(A*)=0）在n&2的情况下，r(A*)=r(A)只有在r(A)=r(A*)=n的情况下成立，所以A一定是满秩阵。但是，这个方法受限于n&2。所以我用了一种更复杂的。因为A^TAX=0与AX=0同解，那么A*AX=0与AX=0同解，而A*AX=|A|X=0.若|A|=0，那么对于任意X来说A*AX=0恒成立，即AX=0恒成立，所以A=0，与已知条件相悖。所以|A|不可能等于0，即A满秩。
设η是非齐次线性方程组AX=b的一个解，ξ1，ξ2，...，ξ(n-r)是对应的齐次方程组AX=0的一个基础解析，证明：η，ξ1，ξ2，...，ξ(n-r)线性无关。设存在一组系数k0，k1，k2，...，k(n-r)，使得：k0η+k1ξ1+k2ξ2+...+k(n-r)ξ(n-r)=0.当k0不等于0时，等式两边同时除以k0，得η+k1/k0ξ1+k2/k0ξ2+...+k(n-r)/k0ξ(n-r)=0.注意到等式左边其实是非齐次方程AX=b的解，而非齐次方程不存在零解，所以这个等式不可能成立，k0不可能不等于0，即k0=0.而在k0=0的情况下要使k1ξ1+k2ξ2+...+k(n-r)ξ(n-r)=0成立，那么只有在k1=k2=...=k(n-r)=0的情况下可行。所以结论就是：当且仅当k0=k1=k2=...=k(n-r)=0时，k0η+k1ξ1+k2ξ2+...+k(n-r)ξ(n-r)=0成立，η，ξ1，ξ2，...，ξ(n-r)线性无关
设A是实对称矩阵，证明：对于任意正奇数k，均存在矩阵B，使A=B^k.因为A是实对称矩阵，所以存在可逆矩阵Q^-1AQ=diag(λ1，λ2，...，λn).设存在矩阵B，使A=B^k，那么Q^-1AQ=Q^-1B^kQ=Q^-1BQ*Q^-1*BQ*...=(Q^-1BQ)^k.所以(Q^-1BQ)^k=diag(λ1，λ2，...，λn)，对等式两边开k方（k为奇数，所以任何实数都可以开k方），得到Q^-1BQ=diag(λ1^1/k，λ2^1/k，...，λn^1/k).所以存在矩阵B=Q*diag(λ1^1/k，λ2^1/k，...，λn^1/k)*Q^-1,使得A=B^k.
设A是3阶方阵，三维向量α1，α2，α3线性无关，其中Aα1=α2+α3；Aα2=α1+α3；Aα3=α1+α2.证明：A可对角化。可以将方程组写成：A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)*B
0 1 1B=[1 0 1].
1 1 0因为α1，α2，α3线性无关，所以(α1,α2,α3)可逆，那么(α1,α2,α3)^-1A(α1,α2,α3)=B，即A与B相似，而B是实对称矩阵，必可对角化，所以A可对角化。
设A为4阶矩阵，且A^3-6A^2+11A-6E=0，则|A|不可能等于______.(这道题本来是道选择题，但它涉及的内容不是选择题能讲清楚地，所以没有给选项)将A^3-6A^2+11A-6E=0因式分解得到(A-E)(A-2E)(A-3E)=0.r(A-E)+r(A-2E)+r(A-3E)-4-4&=r(0);4-r(A-E)+4-r(A-E)+4-r(A-E)&=4;注意，当1不是A的特征值时，4-r(A-E)=0；当1是A的特征值时，4-r(A-E)代表了λ=1的几何重数。那么4-r(A-E)+4-r(A-E)+4-r(A-E)就代表了某些特征值的几何重数之和。而特征值的几何重数小于等于代数重数，那么特征值的几何重数之和也小于等于代数重数之和。同时，|A-λE|=0是一个四次方程，它有且仅有4个解（包括重根和虚数根）。所以A的所有特征值的代数重数之和必然等于4。在不知道A有没有除了1、2、3之外的其他特征值之时，它们的代数重数和小于等于4。因此，4&=几何重数之和(1、2、3)&=代数重数之和(1、2、3)&=4，得到几何重数之和(1、2、3)=代数重数之和(1、2、3)=4，所以A的特征值只能取自(1、2、3)。那么|A|=1^a*2^b*3^c，a+b+c=4，a、b、c为自然数。扩展：因为几何重数之和(1、2、3)=代数重数之和(1、2、3)=4，那么A的各个特征值的几何重数也必然等于其代数重数，所以A必可对角化。
设A，B为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且A，B拥有相同的特征向量，证明：AB=BA。设X是A、B的特征向量，那么ABX=Aλ(B)X=AXλ(B)=λ(A)λ(B)XBAX=Bλ(A)X=λ(A)BX=λ(A)λ(B)X所以ABX=BAX。因为A有n个互不相同的特征值，所以A有n个线性无关的特征向量ξ1，ξ2，...，ξn.那么AB(k1ξ1+k2ξ2+...+knξn)=BA(k1ξ1+k2ξ2+...+knξn)注意到k1ξ1+k2ξ2+...+knξn是n个线性无关的n维向量的线性组合，因此可以表示n维空间的任何向量。所以取k1ξ1+k2ξ2+...+knξn=(1,0,...,0)^T，则ABX表示AB的第一列元素，BAX表示BA的第一列元素，而ABX=BAX，所以AB的第一列元素等于BA的第一列元素。以此列推，可以得到AB中每列元素都等于BA中的对应列的元素，那么AB=BA。
设A、B均为正定矩阵，证明det(λA-B)=0全是正数解。因为A为正定矩阵，那么存在可逆矩阵Q，使Q^TAQ=E.|λA-B|=0，等式左右同时左乘|Q^T|，右乘|Q|，得|λE-Q^TBQ|=0.又，B是正定矩阵，因此Q^TBQ也正定。所以|λE-Q^TBQ|=0的解全是正数。
设A为m*n的实矩阵，B=kE+A^TA，试证：k&0时，矩阵B是正定的。设X为任意n维非零列向量，则X^TBX=kX^TX+X^TA^TAX=k||X||+||AX||。由范数的非负性可知，||X||&0，||AX||&=0，所以当k&0时，k||X||+||AX||&0即，当k&0时，对于任意n维非零列向量X，X^TBX&0，所以B正定。
设A为n阶实对称矩阵，且A^2=0，证明：A=0.因为A为实对称矩阵，所以A^T=A，A^2=A^TA=0.设X为任意n维列向量，则X^TA^TAX=0，即||AX||=0，所以AX=0.而X为任意n维列向量，所以当X=(1,0,....0)时，AX表示A的第一列，所以A的第一列全为0.依次类推可知，A的所有元素全为0，所以A=0.
已知A是任一n阶方阵，证明：若有n维向量X，使A^nX=0但A^(n-1)X≠0，则向量组X，AX，A^2X，...，A^(n-1)X必然线性无关。设存在k0,k1,...,k(n-1),使得k0X+k1AX+...+k(n-1)A^(n-1)X=0.等式两边同时左乘A^(n-1)，得k0A^(n-1)X=0，因为A^(n-1)X≠0，所以k0=0.等式两边同时左乘A^(n-2)，得k1A^(n-1)X=0，因为A^(n-1)X≠0，所以k1=0.依次类推，可以得到：当且仅当k0=k1=...=k(n-1)=0时，k0X+k1AX+...+k(n-1)A^(n-1)X=0成立。所以向量组X，AX，A^2X，...，A^(n-1)X线性无关。
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