我们都知道对于十进制数，只要这个数能除尽3/9则他个位数字之和也能除尽3/9,以前只知道用没有证明过，下面来简单证明一下。
对于十进制数，举个简单的例子，这个数是abcd,他表示的大小就是 x=1000*a+100*b+10*c+d ,
我们对他进行转化 x=999*a+99*b+9*c+(a+b+c+d)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& x=9(99*a+9b+c)+(a+b+c+d)
因为9一定能除尽3和9，所以对于x，只要(a+b+c+d)能除尽3和9，则x也能除尽3和9.
上面只是举了一个数，下面来针对任意进制P(P&2)证明,
假设一个n位的P进制数x是&& anan-1an-2.......a3a2a1
则x=an*Pn-1+an-1*Pn-2+an-2*Pn-3+......+a3*P2+a2*P1+a1*P0.
类似于上面的操作，我们凑出来一个各位数之和，
x=(an*(Pn-1-1)+an-1*(Pn-2-1)+an-2*(Pn-3-1)+......+a3*(P2-1)+a2*(P1-1))+(a1+a2+a3+......an-2+an-1+an)
观察发现Pn-1=(Pn-1-1)*P+(P1-1)& (n&=2) 展开后发现所有的项都含有(P-1),也就是说Pn-1一定能除尽(P-1),所以也能除尽P-1的因子，
所以对于任意的(P-1)得因子q，只要各位数之和(a1+a2+......+an)能除尽q，那么x也能除尽q。
学习了同余方程后发现，也能用同余来解释，
例如 417≡4*10*10+1*10+7≡4*1*1+1*1+7≡4+1+7 & && (mod 3)
对于P进制数anan-1......a2a1≡an*P^n-1+an-1*P^n-2......+a2*P+a1& (mod B)
对于上面的式子显然，当P mod B为1的时候，上式就可化简为≡an*1*1...+an-1*1*1....+a2*1+a1& mod(B)
所以此时这个P进制数模B后的值就等于各位数字和模B后的值，前提是P%B=1--&(P-1)%B=0,也就是P-1的因子
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1.主要针对小学3-6年级学生；2.对语文感兴趣的爱好者（本班已有成人、老师报名学习）；3.想增加文学知识储备，提高语文素养的人；4.成绩不好，或者语文素养欠佳的学生。
张军新老师
陈佳祺老师
姜文秀老师
北京大学数学科学院学士、硕士，14年竞赛数学教育教学经验。高思尖子班资深教师。全国高中数学联赛黑龙江省第2名，入选1993年全国数学奥林匹克冬令营。刘老师近几年的工作主要集中于小学中低年级儿童的数学课外培训，在08年的两岸三地华罗庚金杯数学邀请赛中，代表北京赛区和各培训学校参赛的多名获奖者都曾在刘老师班级中接受过启蒙教育。
毕业于北京理工大学数学系统计学专业。大学期间曾获高教社杯全国大学生数学建模竞赛北京市二等奖、新华都奖学金和综合测评奖学金。授课思路清晰，思维缜密，幽默风趣，拥有年轻的活力、激情和感染力。能充分调动学生的积极性和思考的欲望，让同学积极的投入到所学知识中，对奥数有快乐的理解，快乐的学习。辅导过的同学成绩均有明显提高。
北京大学元培学院物理学学士，北京大学工学院硕士。高中阶段多次荣获三好学生、优秀班团干部称号。江苏省高中生学科竞赛数、理、化三科一等奖，全国高中生化学竞赛一等奖，并进入国家集训队。大学阶段获北京大学波音奖学金。2006年起从事小学奥数的教学辅导，教学经验丰富，注重思维方式的引导，寓教于乐，深受学生喜爱。
毕业于中央民族大学，5年竞赛数学教学经验，曾多次组织数学竞赛活动。授课方式灵活多样，语言风趣幽默，富有激情，思路清晰流畅。善于发现学生在数学学习过程中的不足，对小学数学知识体系重点、难点了解透彻。熟悉学生心理，善于启发学生思维，引导学生独立思考。教学经验丰富，培训学生年均人数近700名，大部分学生升入重点中学。
三年级数学思维训练（上册）
加减法巧算
基本应用题
字典排列法与树形图法
01-加减法巧算（1）
02-加减法巧算（2）
03-加减法巧算（3）
04-基本应用题（1）
05-基本应用题（2）
06-间隔问题（1）
07-间隔问题（2）
08-间隔问题（3）
09-简单枚举（1）
10-简单枚举（2）
11-简单枚举（3）
12-字典排列法与树形图法（1）
13-字典排列法与树形图法（2）
14-字典排列法与树形图法（3）
15-找规律（1）
16-找规律（2）
和倍问题与差倍问题
和差问题与多个对象的和差倍
简单加减法竖式
妙用假设法
分组与画图
17-和倍问题与差倍问题（1）
18-和倍问题与差倍问题（2）
19-和倍问题与差倍问题（3）
20-和差问题与多个对象的和差倍（1）
21-和差问题与多个对象的和差倍（2）
22-和差问题与多个对象的和差倍（3）
23-简单加减法竖式（1）
24-简单加减法竖式（2）
25-简单加减法竖式（3）
26-周期问题初步（1）
27-周期问题初步（2）
28-周期问题初步（3）
29-周期问题初步（4）
30-周期问题进阶（1）
31-周期问题进阶（2）
32-周期问题进阶（3）
33-妙用假设法（1）
34-妙用假设法（2）
35-妙用假设法（3）
36-分组与画图（1）
37-分组与画图（2）
38-分组与画图（3）
平面图形认知
立体图形认知
基本盈亏问题
智巧趣题一
旅行中的数学
39-等差数列初步（1）
40-等差数列初步（2）
41-等差数列初步（3）
42-等差数列进阶（1）
43-等差数列进阶（2）
44-等差数列进阶（3）
45-平面图形认知（1）
46-平面图形认知（2）
47-平面图形认知（3）
48-立体图形认知（1）
49-立体图形认知（2）
50-立体图形认知（3）
51-基本盈亏问题（1）
52-基本盈亏问题（2）
53-智巧趣题一（1）
54-智巧趣题一（2）
55-智巧趣题一（3）
56-旅行中的数学（1）
57-旅行中的数学（2）
三年级数学思维训练（下册）
乘除法巧算
和差倍中的隐藏条件
线段图解复杂和差倍关系
简单乘法竖式
02-乘除法巧算1
03-乘除法巧算2
04-乘除法巧算3
05-乘除法巧算4
06-归一问题1
07-归一问题2
08-分类计数1
09-分类计数2
10-和差倍中的隐藏条件1
11-和差倍中的隐藏条件2
12-线段图解复杂和差倍关系1
13-线段图解复杂和差倍关系2
14-简单乘法竖式1
15-简单乘法竖式2
16-简单乘法竖式3
简单除法竖式
假设法综合提高
分组法综合提高
四则混合运算
17-简单除法竖式1
18-简单除法竖式2
19-假设法综合提高1
20-假设法综合提高2
21-分组法综合提高1
22-分组法综合提高2
23-四则混合运算1
24-四则混合运算2
25-阵列问题1
26-阵列问题2
27-巧填算符1
28-巧填算符2
29-巧填算符3
算符和数字
盈亏条件的转化
复杂盈亏问题
角度的计算
30-算符与数字1
31-算符与数字2
32-盈亏条件的转化1
33-盈亏条件的转化2
34-盈亏条件的转化3
35-复杂盈亏问题1
36-复杂盈亏问题2
37-长度计算1
38-长度计算2
39-长度计算3
40-角度的计算1
41-角度的计算2
42-角度的计算3
43-找位置1
44-找位置2
火柴棍算式与生活趣题
三年级期末复习与检测
45-火柴棍算式与生活趣题1
46-火柴棍算式与生活趣题2
47-三年级期末复习与检测1
48-三年级期末复习与检测2
49-三年级期末复习与检测3
50-三年级期末复习与检测4
四年级数学思维训练（上册）
整数计算综合
数阵图初步
几何图形简拼
路程、时间、速度
01-整数计算综合（1）
02-整数计算综合（2）
03-还原问题（1）
04-还原问题（2）
05-数阵图初步（1）
06-数阵图初步（2）
07-竖式问题（1）
08-竖式问题（2）
09-竖式问题（3）
10-竖式问题（4）
11-几何图形简拼（1）
12-几何图形简拼（2）
13-几何图形简拼（3）
14-几何图形简拼（4）
15-路程、时间、速度（1）
16-路程、时间、速度（2）
17-路程、时间、速度（3）
18-路程、时间、速度（4）
行程中的线段图
简单抽屉原理
基本直线形面积公式
底、高的选取与组合
和差倍中的分组比较
19-行程中的线段图（1）
20-行程中的线段图（2）
21-行程中的线段图（3）
22-行程中的线段图（4）
23-简单抽屉原理（1）
24-简单抽屉原理（2）
25-简单抽屉原理（3）
26-基本直线形面积公式（1）
27-基本直线形面积公式（2）
28-基本直线形面积公式（3）
29-基本直线形面积公式（4）
30-底、高的选取与组合（1）
31-底、高的选取与组合（2）
32-底、高的选取与组合（3）
33-底、高的选取与组合（4）
34-变倍问题（1）
35-变倍问题（2）
36-变倍问题（3）
37-和差倍中的分组比较（1）
38-和差倍中的分组比较（2）
数列数表规律
复杂数表估算
加法原理与乘法原理
乘法原理进阶
39-年龄问题（1）
40-年龄问题（2）
41-年龄问题（3）
42-数列数表规律（1）
43-数列数表规律（2）
44-数列数表规律（3）
45-数列数表规律（4）
46-复杂数表估算（1）
47-复杂数表估算（2）
48-复杂数表估算（3）
49-复杂数表估算（4）
50-加法原理与乘法原理（1）
51-加法原理与乘法原理（2）
52-加法原理与乘法原理（3）
53-乘法原理进阶（1）
54-乘法原理进阶（2）
55-乘法原理进阶（3）
56-火车行程（1）
57-火车行程（2）
58-火车行程（3）
59-统筹规划（1）
60-统筹规划（2）
61-统筹规划（3）
62-游戏对策（1）
63-游戏对策（2）
64-游戏对策（3）
四年级数学思维训练（下册）
小数的运算技巧
多位数巧算
简单平均数
多组对象的平均数
02-小数的运算技巧1
03-小数的运算技巧2
04-小数的运算技巧3
05-小数的运算技巧4
06-多位数巧算1
07-多位数巧算2
08-多位数巧算3
09-多位数巧算4
10-简单平均数1
11-简单平均数2
12-多组对象的平均数1
13-多组对象的平均数2
14-复杂竖式1
15-复杂竖式2
16-复杂竖式3
17-复杂竖式4
18-横式问题1
19-横式问题2
格点图形计算
割补法巧算面积
多人多次的相遇与追及
排列组合公式
排列组合应用
分段计算的行程问题
20-格点图形计算1
21-格点图形计算2
22-格点图形计算3
23-格点图形计算4
24-割补法巧算面积1
25-割补法巧算面积2
26-割补法巧算面积3
27-多人多次的相遇与追及1
28-多人多次的相遇与追及2
29-多人多次的相遇与追及3
30-排列组合公式1
31-排列组合公式2
32-排列组合公式3
33-排列组合公式4
34-排列组合应用1
35-排列组合应用2
36-排列组合应用3
37-分段计算的行程问题1
38-分段计算的行程问题2
39-分段计算的行程问题3
多次往返相遇与追及
从洛书到幻方
复杂数阵图
有特殊要求的挑选
捆绑法与插空法
最值问题一
40-多次往返相遇与追及1
41-多次往返相遇与追及2
42-多次往返相遇与追及3
43-多次往返相遇与追及4
44-从洛书到幻方1
45-从洛书到幻方2
46-从洛书到幻方3
47-从洛书到幻方4
48-从洛书到幻方5
49-复杂数阵图1
50-复杂数阵图2
51-复杂数阵图3
52-有特殊要求的挑选1
53-有特殊要求的挑选2
54-有特殊要求的挑选3
55-捆绑法与插空法1
56-捆绑法与插空法2
57-捆绑法与插空法3
58-最值问题一1
59-最值问题一2
逻辑推理一
四年级期末复习与检测
60-逻辑推理一1
61-逻辑推理一2
62-四年级期末复习与检测1
63-四年级期末复习与检测2
64-四年级期末复习与检测3
65-四年级期末复习与检测4
66-四年级期末复习与检测5
五年级数学思维训练（上册）
分数计算与比较大小
质数与合数
流水行船问题
环形路线问题
01-分数计算与比较大小（1）
02-分数计算与比较大小（2）
03-分数计算与比较大小（3）
04-分数计算与比较大小（4）
05-分数计算与比较大小（5）
06-整除问题初步（1）
07-整除问题初步（2）
08-整除问题初步（3）
09-整除问题进阶（1）
10-整除问题进阶（2）
11-整除问题进阶（3）
12-质数与合数（1）
13-质数与合数（2）
14-质数与合数（3）
15-容斥原理（1）
16-容斥原理（2）
17-流水行船问题（1）
18-流水行船问题（2）
19-环形路线问题（1）
20-环形路线问题（2）
21-环形路线问题（3）
牛吃草问题
约数与倍数
分数与循环小数
比较与估算
数论巧解数字谜
22-牛吃草问题（1）
23-牛吃草问题（2）
24-牛吃草问题（3）
25-几何计数（1）
26-几何计数（2）
27-几何计数（3）
28-约数与倍数初步（1）
29-约数与倍数初步（2）
30-约数与倍数初步（3）
31-约数与倍数初步（4）
32-约数与倍数进阶（1）
33-约数与倍数进阶（2）
34-约数与倍数进阶（3）
35-分数与循环小数（1）
36-分数与循环小数（2）
37-分数与循环小数（3）
38-比较与估算（1）
39-比较与估算（2）
40-比较与估算（3）
41-数论巧解数字谜（1）
42-数论巧解数字谜（2）
43-数论巧解数字谜（3）
包含分数、小数的数字谜
分数应用题
巧解不确定性问题
倍数关系求解直线形
巧连辅助线解直线形
44-包含分数、小数的数字谜（1）
45-包含分数、小数的数字谜（2）
46-包含分数、小数的数字谜（3）
47-分数应用题之量率对应（1）
48-分数应用题之量率对应（2）
49-分数应用题之单位&1&的转化（1）
50-分数应用题之单位&1&的转化（2）
51-分数应用题之单位&1&的转化（3）
52-巧解不确定性问题（1）
53-巧解不确定性问题（2）
54-巧解不确定性问题（3）
55-倍数关系求解直线形（1）
56-倍数关系求解直线形（2）
57-倍数关系求解直线形（3）
58-巧连辅助线解直线形（1）
59-巧连辅助线解直线形（2）
60-巧连辅助线解直线形（3）
五年级数学思维训练（下册）
计算综合一
圆与扇形初步
圆与扇形中的重叠与旋转
余数的性质与计算
物不知数与同余
02-计算综合一(1)
03-计算综合一(2)
04-计算综合一(3)
05-分数裂项1
06-分数裂项2
07-分数裂项3
08-圆与扇形初步1
09-圆与扇形初步2
10-圆与扇形中的重叠与旋转1
11-圆与扇形中的重叠与旋转2
12-圆与扇形中的重叠与旋转3
13-余数的性质与计算1
14-余数的性质与计算2
15-余数的性质与计算3
16-物不知数与同余1
17-物不知数与同余2
18-物不知数与同余3
复杂抽屉原理
工程问题初步
工程问题进阶
比例关系求解直线形
平行线相关比例与勾股定理
19-复杂抽屉原理1
20-复杂抽屉原理2
21-工程问题初步1
22-工程问题初步2
23-工程问题进阶1
24-工程问题进阶2
25-工程问题进阶3
26-钟表问题1
27-钟表问题2
28-比例关系求解直线形1
29-比例关系求解直线形2
30-平行线相关比例与勾股定理1
31-平行线相关比例与勾股定理2
32-平行线相关比例与勾股定理3
构造论证一
行程问题中的变速问题
行程问题中分段与比较
数论相关的计数
33-构造论证一(1)
34-构造论证一(2)
35-构造论证一(3)
36-行程问题中的变速问题1
37-行程问题中的变速问题2
38-行程问题中的变速问题3
39-行程问题中分段与比较1
40-行程问题中分段与比较2
41-行程问题中分段与比较3
42-行程问题中分段与比较4
43-位值原理1
44-位值原理2
45-数字问题1
46-数字问题2
47-数字问题3
48-数论相关的计数1
49-数论相关的计数2
50-数论相关的计数3
数字谜中的计数
五年级期末复习与检测
51-数字谜中的计数1
52-数字谜中的计数2
53-五年级期末复习与检测1
54-五年级期末复习与检测2
55-五年级期末复习与检测3
六年级数学思维训练（上册）
比例计算与列表分析
正反比例的概念与应用
方程解应用题
01-计算综合二（1）
02-计算综合二（2）
03-计算综合二（3）
04-计算综合二（4）
05-比例计算与列表分析（1）
06-比例计算与列表分析（2）
07-比例计算与列表分析（3）
08-正反比例的概念与应用（1）
09-正反比例的概念与应用（2）
10-正反比例的概念与应用（3）
11-方程解应用题（1）
12-方程解应用题（2）
13-方程解应用题（3）
14-浓度问题（1）
15-浓度问题（2）
16-浓度问题（3）
17-经济问题（1）
18-经济问题（2）
19-经济问题（3）
复杂直线形计算
几何综合问题
20-逻辑推理二（1）
21-逻辑推理二（2）
22-逻辑推理二（3）
23-最值问题二（1）
24-最值问题二（2）
25-最值问题二（3）
26-不定方程（1）
27-不定方程（2）
28-不定方程（3）
29-不定方程（4）
30-立体几何（1）
31-立体几何（2）
32-立体几何（3）
33-复杂直线形计算（1）
34-复杂直线形计算（2）
35-复杂直线形计算（3）
36-复杂直线形计算（4）
37-几何综合问题（1）
38-几何综合问题（2）
39-几何综合问题（3）
行程问题中的比例关系
复杂行程问题
数论综合与简单代数式
数字谜综合
40-递推计数（1）
41-递推计数（2）
42-递推计数（3）
43-递推计数（4）
44-对应计数（1）
45-对应计数（2）
46-对应计数（3）
47-行程问题中的比例关系（1）
48-行程问题中的比例关系（2）
49-行程问题中的比例关系（3）
50-复杂行程问题（1）
51-复杂行程问题（2）
52-复杂行程问题（3）
53-数论综合与简单代数式（1）
54-数论综合与简单代数式（2）
55-数论综合与简单代数式（3）
56-数字谜综合二（1）
57-数字谜综合二（2）
58-数字谜综合二（3）
应用题综合
59-应用题综合一（1）
60-应用题综合一（2）
61-应用题综合一（3）
62-应用题综合二（1）
63-应用题综合二（2）
64-应用题综合二（3）
65-应用题综合二（4）
66-应用题综合二（5）
六年级数学思维训练（下册）
构造论证二
进位制与取整符号
计数综合提高
数论与方程
计算综合练习
几何综合练习
02-构造论证二(1)
03-构造论证二(2)
04-构造论证二(3)
05-进位制与取整符号1
06-进位制与取整符号2
07-进位制与取整符号3
08-计数综合提高1
09-计数综合提高2
10-计数综合提高3
11-数论与方程1
12-数论与方程2
13-数论与方程3
14-计算综合练习1
15-计算综合练习2
16-计算综合练习3
17-计算综合练习4
18-几何综合练习1
19-几何综合练习2
20-几何综合练习3
21-几何综合练习4
应用题综合练习
数字谜综合练习
数论综合练习
计数综合练习
组合综合练习
小升初总复习模拟测试一
22-应用题综合练习1
23-应用题综合练习2
24-应用题综合练习3
25-应用题综合练习4
26-数字谜综合练习1
27-数字谜综合练习2
28-数字谜综合练习3
29-数字谜综合练习4
30-数论综合练习1
31-数论综合练习2
32-数论综合练习3
33-计数综合练习1
34-计数综合练习2
35-计数综合练习3
36-计数综合练习4
37-组合综合练习1
38-组合综合练习2
39-组合综合练习3
40-组合综合练习4
41-小升初总复习模拟测试一(1)
42-小升初总复习模拟测试一(2)
43-小升初总复习模拟测试一(3)
小升初总复习模拟测试二
小升初总复习模拟测试三
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&&&&& 沪江网校学习资料精华文章》》》143为什么和3是同余啊！！！模是7_百度知道
143为什么和3是同余啊！！！模是7
我搞不懂啊，3除7的结果都是个小数，哪来余数啊。
因为143除以7余3，3除以7也余3，余数相同，所以就是同余咯。
我小学数学忘光了。。。大侠，告诉我为什么3除7会余3的啊！！！！！3 不是比7小么，不是一个小数么。。。我以为都是一个整数的商加一个整数的余数。这是什么道理啊
整数范围内的除法定义：给定整数（可以是负的）m以及自然数（不是0）p，必定存在唯一的整数n和自然数q，使得以下等式成立：m = p*n + q，其中q小于p。此时，m称为被除数，p称为除数，n是商，q是余数。当q=0时，称m被p整除。m = 3，p = 7时，n = 0，q = 3。换句话说，当谈到同余，一定是要求商在整数范围内取值，才会有余数的事情。如果允许商取有理数，就不会有余数这种东西出现。换句话说，你的理解偏差在于各项的取值范围问题。
讲解好清晰！ 那我问下，2除以7，商是不是0，余数是2啊。。
是。再举个栗子，-4 除以 3，商是-2，余数是2。
啊，那这些个商和余数是怎么求出来的，比如-4除以3，比如2除以7。麻烦讲下运算过程哦谢谢
就是按定义啊。- 4 = ? * 3 + ??，??是自然数且小于3，所以 ? = -2，?? = 2。2除以7是一样的。
采纳率：50%
143÷7=20…73÷7=0…7因余数一样,故称为同余！
我小学数学忘光了，告诉我为什么3除7的商是0，，，，然后余数是7.。。。哭求！
3除以7不够除的只能商为零、余数为3被除数=商×除数+余数
143＝20×7+3
我小学数学忘光了，告诉我为什么3除7的商是0，，，，然后余数是7.。。。哭求！
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o???? 提问：
高一数学的余数问题
求2的100次方除以9,余数为?算法是2^100={(2^3)^33}*2=(8^33)*2={(9-1)^33}*2&& =&从这开始不懂 更多： =(9n-1)*2=9(2n-1)+7=9m+7为什么(9-1)^33可以变成9n-1
Carl 回答：
您好:&我的解答:这题要用所谓的同余的观念来解释比如说像4^2除以3的余数，很简单就是1。但若是4^15除以3的余数呢?当然不能直接乘出来除掉，要用同余来解。他的原理就是说(a+b)^k展开后就是a^k+a^(k-1)*b+....+b^k，若加以展开，除了b^k这项以外，其他的每一项均有a乘在里面，所以可以加以应用在上面提到的题目:把4^15拆成(3+1)^15展开后每一项都有3乘在里面，因为是算余数，所以可以直接省去不看只留最后的1^15=1即可。再来看你的算式其实我感觉有点累赘就直接(9-1)^33*2看成(-1)^33*2=-2因为余数没有负的所以再加上9-2+9=7因此余数就是7
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