复变函数｜解析函数
这学期还是由姑姑给大家带来 复变函数与积分变换 的讲解，不定期更新，但是肯定会照顾到绝大多数人的课本内的知识点，这两门（某些学校是一门）课程在某些学校又统称为 工程数学，课程很难，比高数难多了，所以平时也请大家上课注意听讲，就算听不懂，混个耳熟也好
今天给大家继续带来解析函数章节的内容，请随着姑姑的节奏，尽量把视频看全看透，相信期末应该没有问题。
看姑姑给你细致讲解！
解析函数（第二章）
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关于复变函数化成只含z的形式的问题有一道常规的复变函数例题：已知解析函数f(z)的实部u=y^3-3(x^2)y,求虚部v(x,y)及f(z)这道题利用C-R条件可以解得：f(z)=y^3-3(x^2)y+i(x^3-3(y^2)x+C)然后令x=z,y=0可化成只含z的形式：i(z^3+C)但是这种化法并不通用,例如f(z)=x^2-iy显然不能化成z^2,那么为什么只在该例题的题型下可以这样化,本质是什么呢?
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然后令x=z,y=0可化成只含z的形式：这话没有任何道理应该是根据Z=X+iyf(z)=i(x+iy)^3+iC=i(z^3+C)至于你说的后面一个是不成立的所谓复变函数f(z)应该是复变量z的函数 肯定是可以用z表示的 而x,y只是用来分离实部虚部用的 只有复平面z取值的意义 不是真正的变量
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扫描下载二维码1、在原点解析，在{1/n}上取值1/2,1/2,1/4,1/4,1/6,1/6...
请问这样的函数存在吗？（我现在已经证明出了在复变函数里根据唯一性定理证明出不存在，我想问在数学分析里面这样的函数存在吗？在数学分析里面我可以写出这样的分段函数，这个可不可以以作为理由答存在
1、在原点解析，在{1/n}上取值1/2,1/2,1/4,1/4,1/6,1/6...
请问这样的函数存在吗？（我现在已经证明出了在复变函数里根据唯一性定理证明出不存在，我想问在数学分析里面这样的函数存在吗？在数学分析里面我可以写出这样的分段函数，这个可不可以以作为理由答存在?)
2、在原点解析，在点列{1/n}上依次取值为1/2,2/3,
3/4,4/5,5/6,6/7....
这样的f(z)我已经证明出存在，且在数学分析里面也存在，现在问他是否唯一？
全部答案（共1个回答）
z=π是函数f(z)=(cos z + 1)^100的200阶零点。
点击图片可以看到清晰大图。
本题关键是正确写出后三个函数的实部、虚部，与第一个函数的实部、虚部的关系，再验证解析的充要条件C-R方程。
答: 证：kC(n,k)=k*n!/[k!(n-k)!]
=n!/[(k-1)!(n-k)!]
=n*(n-1)!/{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!
答: 解答在下面，不过需要说明一点的是：二元函数极值存在充分条件那个定理里，Uxx*Uyy-(Uxy)^2>0是充分条件，在Uxx*Uyy-(Uxy)^2=0时也有可...
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嫌麻烦就把你洗衣机的型号或断皮带，拿到维修点去买1个，自己装上就可以了（要有个小扳手把螺丝放松，装上皮带，拉紧再紧固螺丝）。
关于三国武将的排名在玩家中颇有争论，其实真正熟读三国的人应该知道关于三国武将的排名早有定论，头十位依次为：
头吕（吕布）二赵（赵云）三典韦，四关（关羽）五许（许楮）六张飞，七马（马超）八颜（颜良）九文丑，老将黄忠排末位。
关于这个排名大家最具疑问的恐怕是关羽了，这里我给大家细细道来。赵云就不用多说了，魏军中七进七出不说武功，体力也是超强了。而枪法有六和之说，赵云占了个气，也就是枪法的鼻祖了，其武学造诣可见一斑。至于典韦，单凭他和许楮两人就能战住吕布，武功应该比三英中的关羽要强吧。
其实单论武功除吕布外大家都差不多。论战功关羽斩颜良是因为颜良抢军马已经得手正在后撤，并不想与人交手，没想到赤兔马快，被从后背赶上斩之；文丑就更冤了，他是受了委托来招降关羽的，并没想着交手，结果话没说完关羽的刀就到了。只是由于过去封建统治者的需要后来将关羽神话化了，就连日本人也很崇拜他，只不过在日本的关公形象是扎着日式头巾的。
张飞、许楮、马超的排名比较有意思，按理说他们斗得势均力敌都没分出上下，而古人的解释是按照他们谁先脱的衣服谁就厉害！有点搞笑呦。十名以后的排名笔者忘记了，好象第11个是张辽。最后需要说明的是我们现在通常看到的《三国演义》已是多次修改过的版本，笔者看过一套更早的版本，有些细节不太一样。
1、以身作则，如果连自己都做不好，还怎么当班长？
2、人缘好，我就是由于人缘不好，才改当副班长的。
3、团结同学，我们班有一个班长就是由于不团结同学才不当班长的，他现在是体育委员。
4、要有管理能力，首先要有大嗓门，我们班有位学习委员就是由于声音太轻才以3票之差当不了班长；其次要口齿清楚，让同学能听得懂你说的话；第三要说出有道理的话,让吵闹或打架的同学心服口服；第四，不能包庇好朋友，公正；第五，要搞好师生关系；第六，要严以律己，宽以待人，我们班的第一任班长就是因为“严以待人，宽以律己”才不能继续当下去的。
5、要坚持，我们班的纪律委员就是由于没有恒心，原来的大组长、卫生委员、劳动委员、体育委员、学习委员、小组长等（每个学期都加起来）都被免除了，现在的才当1天的纪律委员要不要免除都在考虑中，还要写说明书。
6、提醒班干部做自己要做的事，要有责任心。我们班的纪律委员就是没有责任心，班长的职务都被罢免了。
7、不要拿出班长的架子，要虚心。
8、关心同学（包括学习）。
9、要及早发现问题,自己可以解决的自己解决；自己不能解决的，早日让班主任解决。
10、要发现班级的好的地方，及时表扬。让全班都照做。
11、不要太担心学习，当个班干部，对以后工作有好处，这是个锻炼的机会，好好当吧，加油！
在高中阶段，学校和老师的规定一般都是为了学生的成绩着想，执行老师的话，其实也是为了大家好。即使有时候打点小报告，只要你的心态的好的，也不是坏事。比如A学习不专心，你用个适当的办法提醒老师去关心他，其实也是为了他好。
总的方针：和同学们组成一个团结的班集体，一切以班集体利益为上（当然不冲突国家、社会和学校利益为前提）。跟上面领导要会说话，有一些不重要的东西能满就满，这对你的同学好，也对你的班好。
再说十五点
一，以德服人
也是最重要的，不靠气势，只靠气质，首先要学会宽容（very important）你才能与众不同，不能和大家“同流合污”（夸张了点），不要有这样的想法：他们都怎么样怎样，我也。如果你和他们一样何来让你管理他们，你凭什么能管理他们？
二，无亲友
说的绝了点，彻底无亲友是不可能，是人都有缺点，有缺点就要有朋友帮助你。不是说，不要交友，提倡交友，但是不能把朋友看的太重，主要不能对朋友产生依赖感，遇到事情先想到靠自己，而不是求助！
三，一视同仁
上边说的无亲友也是为了能更好的能一视同仁，无论是什么关系，在你眼里都应是同学，可能比较难作到，但没有这点，就不可能服众。
四，不怕困难
每个班级里都会一些不听话的那种，喜欢摆谱的那种，不用怕，他们是不敢怎么样的！知难而进才是一个班长应该有的作风。
五，带头作用
我想这点大家都有体会就不多说了
六，打成一片
尽量和大家达成共识，没有架子，不自负不自卑，以微笑面对每一个人，不可以有歧视心理，不依赖老师，有什么事情自己解决，老师已经够累的了。
七，“我是班长”
这句话要随时放在心底，但是随时都不要放在嘴上，有强烈的责任心，时刻以班级的荣誉为主，以大家的荣誉为主。什么事情都冲在最前面。遇事镇定。
八，帮助同学
帮助同学不是为了给大家留下一个好的印象等利益方面的事，是你一个班长的责任，是你应该做的，只要你还是一个班长，你就要为人民服务（夸张）为同学服务。
九，诚实守信
大家应该都知道这个，是很容易作到的，也是很不容易作到，然这两句话并不是矛盾的，不是为了建立一个好的形象，和班级责任也没有什么关系，只是一个人应该有的道德品质。但你必须作到，连这样都做不到，就不可能做成一个好的班长。
十，拿的起放的下
学会放弃也同样重要，学会辨别好与坏。知道什么是该做的，什么是不该做的。
十一，谦虚
认真分析同学给你提的意见，不管是有意的，还是无意的。提出来就有他的想法，有他的动机。要作到一日三醒我身。
十二，心态端正
总之要有一个好的心态，积极向上的心态，把事情往好里想，但同时要知道另一面的危机，遇到事情首先想到的应该是解决问题，而不是别的！
十三,合理的运用身边的人和事
主动,先下手为强,遇到不能够管理的,就可以和其他班干部一起对付,实在不行,就迅速找到老师陈述自己的观点,免得他倒打一耙(尽量少打小报告.)
十四,和老师同学搞好关系.
威信可以提高,你说的话老师也比较相信,可以简单一点的拿到老师的一些特殊授权,而这些授权往往对你的帮助很大.
十五,合理的运用自己的权利和魄力
对付难管理的,权利在他的眼中已经不存在的,就运用你的魄力,用心去交流,努力感动身边的人,感动得他们铭记于心,你就成功了.
一点要加油哦
冷凝水出水口堵，用铁丝通一下，再倒杯水试一下，是否畅通？如果不行就把冰箱拉出来，看冰箱后背下部有一个塑料小管，把管子摘下来用水冲干净，再通一下连接塑料管的出水口，就可以了．
考虑是由于天气比较干燥和身体上火导致的，建议不要吃香辣和煎炸的食物，多喝水，多吃点水果，不能吃牛肉和海鱼。可以服用（穿心莲片，维生素b2和b6）。也可以服用一些中药，如清热解毒的。
确实没有偿还能力的，应当与贷款机构进行协商，宽展还款期间或者分期归还； 如果贷款机构起诉到法院胜诉之后，在履行期未履行法院判决，会申请法院强制执行； 法院在受理强制执行时，会依法查询贷款人名下的房产、车辆、证券和存款；贷款人名下没有可供执行的财产而又拒绝履行法院的生效判决，则有逾期还款等负面信息记录在个人的信用报告中并被限制高消费及出入境，甚至有可能会被司法拘留。
第一步：教育引导
不同年龄阶段的孩子“吮指癖”的原因不尽相同，但于力认为，如果没有什么异常的症状，应该以教育引导为首要方式，并注意经常帮孩子洗手，以防细菌入侵引起胃肠道感染。
第二步：转移注意力
比起严厉指责、打骂，转移注意力是一种明智的做法。比如，多让孩子进行动手游戏，让他双手都不得闲，或者用其他的玩具吸引他，还可以多带孩子出去游玩，让他在五彩缤纷的世界里获得知识，增长见识，逐渐忘记原来的坏习惯。对于小婴儿，还可以做个小布手套，或者用纱布缠住手指，直接防止他吃手。但是，不主张给孩子手指上“涂味”，比如黄连水、辣椒水等，以免影响孩子的胃口，黄连有清热解毒的功效，吃多了还可导致腹泻、呕吐。
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IF?4求复数的实部与虚部?W四证明题20分1函数在区域内解析证明如果在内为常数，那么它在内ZFD||ZFD为常数2试证在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,1FZ??0RE1?并求出支割线上岸取正值的那支在的值0RE?Z??复变函数考试试题（二）一判断题（20分）1若函数在D内连续，则UX,Y与VX,Y都在D内连续,,YXIVUZF??2COSZ与SINZ在复平面内有界3若函数FZ在Z0解析，则FZ在Z0连续4有界整函数必为常数5如Z0是函数FZ的本性奇点，则一定不存在LIM0FZ?6若函数FZ在Z0可导，则FZ在Z0解析7若FZ在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C0??DZF8若数列收敛，则与都收敛}{N}{RENZINZ9若FZ在区域D内解析，则|FZ|也在D内解析10存在一个在零点解析的函数FZ使且01??N,21,2?NF二填空题20分1设，则I??_,ARG_,|2设，则________CIYXZYXIXYZF????SN122???LIM1ZFZ3_________（为自然数）????1||00ZNZD4幂级数的收敛半径为__________0N???5若Z0是FZ的M阶零点且M0，则Z0是的_____零点 F6函数EZ的周期为__________7方程在单位圆内的零点个数为________08325???8设，则的孤立奇点有_________21ZFZF9函数的不解析点之集为________|10_,RES4Z三计算题40分1求函数的幂级数展开式2SIN32在复平面上取上半虚轴作割线试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的Z点及右沿的点处的值I?3计算积分，积分路径为（1）单位圆（）??IZID|1|?Z的右半圆4求DZZ???22SIN?四证明题20分1设函数FZ在区域D内解析，试证FZ在D内为常数的充要条件是在ZFD内解析2试用儒歇定理证明代数基本定理复变函数考试试题（三）一判断题20分1COSZ与SINZ的周期均为?K22若FZ在Z0处满足柯西黎曼条件,则FZ在Z0解析3若函数FZ在Z0处解析，则FZ在Z0连续4若数列收敛，则与都收敛}{N}{RENIMN5若函数FZ是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数FZ在区域D内为常数6若函数FZ在Z0解析，则FZ在Z0的某个邻域内可导7如果函数FZ在上解析,且,则}1|{??1|||??ZF（1|||?F）8若函数FZ在Z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数9若Z0是的M阶零点,则Z0是1/的M阶极点ZF10若是的可去奇点，则F0,RES?二填空题20分1设，则FZ的定义域为___________12??ZF2函数EZ的周期为_________3若，则__________NNI????NLIM4___________??Z22COSI5_________（为自然数）????1||00ZNDN6幂级数的收敛半径为__________???0NX7设，则FZ的孤立奇点有__________12??ZF8设，则?E_9若是的极点，则0F_LIM0??FZ10,RES?NZ三计算题40分1将函数在圆环域内展为LAURENT级数12ZFE0Z??2试求幂级数的收敛半径N????3算下列积分，其中是??CZE9D21|?Z4求在|Z|1内根的个数08269???ZZ四证明题20分1函数在区域内解析证明如果在内为常数，那么FD||FD它在内为常数2设是一整函数，并且假定存在着一个正整数N，以及两个正数R及ZFM，使得当时R?|，NZMF|||?证明是一个至多N次的多项式或一常数。ZF复变函数考试试题（四）一判断题20分1若FZ在Z0解析，则FZ在Z0处满足柯西黎曼条件（）2若函数FZ在Z0可导，则FZ在Z0解析（）3函数与在整个复平面内有界（）SINCO4若FZ在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有0??DZF（）5若存在且有限，则Z0是函数的可去奇点（）LIM0FZ?6若函数FZ在区域D内解析且，则FZ在D内恒为常数（） ?F7如果Z0是FZ的本性奇点，则一定不存在（）LIM0Z?8若，则为的N阶零点（,?NF）9若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则ZFG（DZF??,）10若在内解析，则???|0Z（,RES,ES??FF）二填空题20分1设，则IZ1_IM,?Z2若，则______________????NLIM???NZNLI213函数EZ的周期为__________4函数的幂级数展开式为__________2F?5若函数FZ在复平面上处处解析，则称它是___________6若函数FZ在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________7设，则1|?C_???CDZ8的孤立奇点为________ZSIN9若是的极点，则0FLIM0?ZFZ10_____________?0,RESNZ三计算题40分1解方程13?Z2设，求2??ZEF,R?ZFS392|2???ZDI4函数ZEZ1?有哪些奇点各属何类型（若是极点，指明它的阶数）F四证明题20分1证明若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析FZF2证明方程在内仅有3个根0364???Z2|1?Z复变函数考试试题（五）一判断题（20分）1若函数FZ是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数（）2若函数FZ在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数（）3若FZ在区域D内解析，则|FZ|也在D内解析（）4若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析（）5若函数FZ在Z0处满足CAUCHYRIEMANN条件，则FZ在Z0解析（）6若存在且有限，则Z0是FZ的可去奇点（LIM0FZ?）7若函数FZ在Z0可导，则它在该点解析（）8设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数（ZF）9若是的一级极点，则0ZF（LIM,RES000ZFZ???）10若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则FGD（ZF??,）二填空题（20分）1设，则IZ31??_,AR_,|??Z2当时，为实数_ZE3设，则Z4的周期为___E5设，则1|?ZC_???CDZ60,RS7若函数FZ在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。8函数的幂级数展开式为_________21F??9的孤立奇点为________ZSIN10设C是以为A心，R为半径的圆周，则（为自_1???CNDZAN然数）三计算题40分1求复数的实部与虚部1??Z2计算积分，ZILDRE??在这里L表示连接原点到的直线段1I?3求积分，其中0A1I?????202COSA4应用儒歇定理求方程，在|Z|1内根的个数，在这里在Z?Z?上解析，并且1|?Z1|?四证明题20分1证明函数除去在外，处处不可微2|ZF?02设是一整函数，并且假定存在着一个正整数N，以及两个数R及M，使得当时R?|，NZMF|||?证明是一个至多N次的多项式或一常数ZF复变函数考试试题（六）一、判断题（30分）1若函数在解析，则在连续（）FZ0FZ02若函数在处满足CAYCHYRIEMANN条件，则在解析（）FZ03若函数在解析，则在处满足CAYCHYRIEMANN条件（）FZ0FZ04若函数在是区域内的单叶函数，则（）DFZD????5若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（FZC0FZD??）6若在区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（）FCF7若，则函数在是内的单叶函数（）0ZD????FZD8若是的阶零点，则是的阶极点（）0ZFM0Z1FM9如果函数在上解析，且,则（F??D??1FZ??1FZ?）10（）SIN1ZC???二、填空题（20分）1若，则___________2NNI???LIMNZ?2设，则的定义域为____________________________21FZF3函数的周期为_______________________SI4_______________________22NCO??5幂级数的收敛半径为________________0NZ???6若是的阶零点且，则是的____________零点FM1?0ZF?7若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________Z8函数的不解析点之集为__________F?9方程在单位圆内的零点个数为___________53280Z??10公式称为_____________________COSINIXEX三、计算题（30分）1、2LIM6NNI?????????2、设，其中，试求2371CFZDZ??????3CZ?1FI??3、设，求2ZEFR,SFI4、求函数在内的罗朗展式36SINZ0??5、求复数的实部与虚部1WZ???6、求的值3IE??四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为6763910ZZ???2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒,,FUXYIVD,VXYFZD等于常数3、若是的阶零点，则是的阶极点0ZFM0Z1FM复变函数考试试题（七）一、判断题（24分）1若函数在解析，则在的某个领域内可导（）FZ0FZ02若函数在处解析，则在满足CAUCHYRIEMANN条件（）3如果是的可去奇点，则一定存在且等于零（）0ZF0LIMZF?4若函数是区域内的单叶函数，则（）D0ZD????5若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（）FZ6若函数在区域内的解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数（）7若是的阶零点，则是的阶极点（）0ZFM0Z1FM二、填空题（20分）1若，则___________1SINNZI???LINZ?2设，则的定义域为____________________________2FFZ3函数的周期为______________ZE4_______________22SINCO??5幂级数的收敛半径为________________20NZ???6若是的阶零点且，则是的____________零点0ZFM1?0ZF?7若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________8函数的不解析点之集为__________FZ?9方程在单位圆内的零点个数为___________830??10_________________RE,0ZNS?三、计算题（30分）1、求221II????????2、设，其中，试求237CFZDZ??????3CZ?1FI??3、设，求2ZEFR,0SF4、求函数在内的罗朗展式1Z??2Z?5、求复数的实部与虚部WZ?6、利用留数定理计算积分，20COSDXA???1?四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为ZZ??2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等,,FUXYIV?DFZFZD于常数3、若是的阶零点，则是的阶极点0ZFM0Z1FM五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的Z??1,I0ZZ??W单位圆盘??1W?复变函数考试试题（八）一、判断题（20分）1、若函数在解析，则在连续（）FZ0FZ02、若函数在满足CAUCHYRIEMANN条件，则在处解析（）FZ03、如果是的本性奇点，则一定不存在（）0ZF0LIMZF?4、若函数是区域内解析，并且，则是区域的单叶函数DZD????FZD（）5、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（）FZ6、若函数是单连通区域内的每一点均可导，则它在内有任意阶导数（）7、若函数在区域内解析且，则在内恒为常数（）FZD0FZ??FZD8存在一个在零点解析的函数使且（）1N?1,2,2N??9如果函数在上解析，且，则FZ??Z??FZ?1FZ?（）10是一个有界函数（）SIN二、填空题（20分）1、若，则___________21NNZI???LIMNZ?2、设，则的定义域为____________________________LFF3、函数的周期为______________SIZ4、若，则_______________LMN????12LINNZZ????5、幂级数的收敛半径为________________50NZ????6、函数的幂级数展开式为______________________________21F7、若是单位圆周，是自然数，则______________CN01NCDZ???8、函数的不解析点之集为__________FZ?9、方程在单位圆内的零点个数为___________、若，则的孤立奇点有_________________2FZFZ三、计算题（30分）1、求13SIN14ZZDEDI???????2、设，其中，试求237CFZZ???3CZ?1FI??3、设，求21ZEF??R,SF?4、求函数在内的罗朗展式20Z?Z??5、求复数的实部与虚部1WZ?四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为776350???2、若函数在区域内连续，则二元函数与都在,,FZUXYIVD,UXY,V内连续D4、若是的阶零点，则是的阶极点0ZFM0Z1FM五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘Z4ARG5Z????????W??1W?复变函数考试试题（九）一、判断题（20分）1、若函数在可导，则在解析（）FZ0FZ02、若函数在满足CAUCHYRIEMANN条件，则在处解析（）FZ03、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大（）0ZF0LIMZF?4、若函数在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有DC0FZD??（）5、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数（）FZ06、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域FZ内恒为常数（）D7、若是的阶零点，则是的阶极点（）0ZFM0Z1FM8、如果函数在上解析，且，则（F??D??1FZ??1FZ?）9、（）LIZE??10、如果函数在内解析，则（）F1Z?11MAX{}AX{}ZZFF??二、填空题（20分）1、若，则___________2SINNZI???LIN2、设，则的定义域为____________________________1IFZF3、函数的周期为______________SINZ4、_______________22CO??5、幂级数的收敛半径为________________0NZ???6、若是的阶零点且，则是的____________零点FM1?0ZF?7、若函数在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________Z8、函数的不解析点之集为__________F?9、方程在单位圆内的零点个数为___________8320150ZZ??10、_________________2RE,S?三、计算题（30分）1、LIM6NNI?????????2、设，其中，试求2371CFZDZ??????3CZ?1FI??3、设，求2ZEFR,SFI?4、求函数在内的罗朗展式1Z?2Z?5、求复数的实部与虚部WZ??6、利用留数定理计算积分24109XDX????四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为67639ZZ??2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒,,FUXYIVD,UXYFZD等于常数7、若是的阶零点，则是的阶极点0ZFM0Z1FM五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位ZIM2Z????????W圆盘??1W?复变函数考试试题（十）一、判断题（40分）1、若函数在解析，则在的某个邻域内可导（）FZ0FZ02、如果是的本性奇点，则一定不存在（）00LIMZF?3、若函数在内连续，则与都在内连续（,,FZUXYIV??D,UXY,VD）4、与在复平面内有界（）COSIN5、若是的阶零点，则是的阶极点（）0ZFM0Z1/FM6、若在处满足柯西黎曼条件，则在解析（）Z07、若存在且有限，则是函数的可去奇点（）0LIZF?0Z8、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（DC0FXDZ??）9、若函数是单连通区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（）FZD10、若函数在区域内解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数（）二、填空题（20分）1、函数的周期为_________________ZE2、幂级数的和函数为_________________0N????3、设，则的定义域为_________________21FZ??FZ4、的收敛半径为_________________0N????5、_________________RE,ZNS三、计算题（40分）1、29ZDZI???2、求2RE,IZS3、1NNII????????4、设求，使得为解析函数，且满2,LUXYY?,VXY,,FZUXYIV??足。其中（为复平面内的区域）1NFI?ZD?5、求，在内根的个数40Z?1?复变函数考试试题（十一）一、判断题（正确者在括号内打√，错误者在括号内打，每题2分）1．当复数时，其模为零，辐角也为零（）0Z?2．若是多项式的根，则也是的根（10NNPAZA???N?0ZP）3．如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数（FZMREF?F）4．设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的1F2FD，有（）ZD?Z?5．若是函数的可去奇点，则（）??FRE0ZSF??二、填空题（每题2分）1．_____________________23456II??2．设，且，当时，0ZXY???ARG,ARCTN22YZX????????0,Y??________________ARGCTN3．函数将平面上的曲线变成平面上的曲线______________1WZ21XY??W4．方程的不同的根为________________40A???5．___________________1I6．级数的收敛半径为____________________201NNZ?????7．在（为正整数）内零点的个数为_____________________COSZ?8．函数的零点的阶数为_____________________366SIFZ??0Z?9．设为函数的一阶极点，且，则AF???,0,AA??????_____________________REZAFS??10．设为函数的阶极点，则_____________________FZMREZAFS??三、计算题（50分）1．设。求，使得为解析函数，且21,LNUXYY??,VXY,,FZUXYIV?满足其中（为复平面内的区域）（15分）FIZD?2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）（10分）（1）；（5分）（2）（5分）2TANZ1ZE?3．计算下列积分（15分）（1）（8分），192434ZDZ???（2）（7分）20COSD??4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数（10分）74250Z???1Z?四、证明题（20分）1．设是上半复平面内的解析函数，证明是下半复平面内的,,FZUXYIV??FZ解析函数（10分）2．设函数在内解析，令。证明在区FR?MAX,0ZRMFRR???MR间上是一个上升函数，且若存在及（），使，则0,R121212?常数（10分）FZ?复变函数考试试题（十二）二、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打，每题2分）1．设复数及，若或，则称与是相等的复数。11ZXIY??22ZXIY12X?1Y1Z（）2．函数在复平面上处处可微。（）REF3．且。（）2SINCO1Z??SIN,COS1ZZ?4．设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则FDD???存在，使得对任意的，有。（）0M?Z?FZM?5．若函数是非常的整函数，则必是有界函数。（）FZ二、填空题。（每题2分）1．_____________________。23456II???2．设，且，当时，0ZXY??ARG,ARCTN22YZX????????0,Y??________________。ARGCTN3．若已知，则其关于变量的表达式为2211FZXIYX??Z__________。4．以________________为支点。NZ?5．若，则_______________。L2I?Z6．________________。1ZD??7．级数的收敛半径为________________。246Z??8．在（为正整数）内零点的个数为_______________。COSN?N9．若为函数的一个本质奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则是ZA?FZAZA?的________________奇点。1F10．设为函数的阶极点，则_____________________。AFZNREZAFS??三、计算题（50分）1．设区域是沿正实轴割开的平面，求函数在内满足条件的单值DZ5WZD51??连续解析分支在处之值。（10分）1ZI??2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分）（1）的各解析分支在各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（102NLFZ1Z?分）（2）求。（5分）10REZNS??3．计算下列积分。（15分）（1）（8分），72321ZDZ???（2）（7分）。20XA????4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。（10分）61Z??Z?四、证明题（20分）1．讨论函数在复平面上的解析性。（10分）ZFE?2．证明。212NZNCDI????此处是围绕原点的一条简单曲线。（10分）C复变函数考试试题（十三）一、填空题．（每题２分）１．设，则_____________________．COSINZR???1Z?２．设函数，，，则的充,,FUXYV0AUIV?00ZXIY?0LIMZFA??要条件是_______________________．３．设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积FZDFZDC分_________________________．CD??４．设为的极点，则____________________．ZAFZLIMZAF??５．设，则是的________阶零点．SINF0６．设，则在的邻域内的泰勒展式为_________________．21Z??FZ７．设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_________________．AB?,AZ８．设，则的三角表示为_________________________．SINCOS6Z?Z９．___________________________．40D???１０．设，则在处的留数为________________________．2ZEF?F0Z?二、计算题．１．计算下列各题．（９分）1；23COSILN23I??3I?2．求解方程．（７分）380Z?３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使之2UXYUFZUIV??．（８分）1FII??４．计算积分．（10分）1，其中是沿由原点到点的曲线．2CXIYDZ?C2YX?1ZI??2，积分路径为自原点沿虚线轴到，再由沿水平方向向右120IIDZ??I到．I５．试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级12FZZ?01Z?2Z?数．（８分）６．计算下列积分．（８分）1；2．2251ZDZ???A24SIN1ZDZ???A７．计算积分．（８分）4X???８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）1；2．1NZ????1NZ????９．讨论的可导性和解析性．（６分）2F三、证明题．１．设函数在区域内解析，为常数，证明必为常数．（５分）FZDFZFZ２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分）0AB??AB复变函数考试试题（十四）一、填空题．（每题２分）１．设，则___________________．COSINZR???NZ?２．设函数，，，则的充,,FUXYV0AUIV?00ZXIY?0LIMZFA??要条件______________________．３．设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积FZDFZDC分_________________________．CD??４．设为的可去奇点，____________________．ZAFZLIMZAF??５．设，则是的________阶零点．21ZFE?0６．设，则在的邻域内的泰勒展式为_________________．2?FZ７．设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_________________．ZAB?,AZ８．设，则的三角表示为_________________________．SINCOS?Z９．___________________________．10ZED??１０．设，则在处的留数为________________________．21SIFZF0Z?二、计算题．１．计算下列各题．（９分）1；2334LNI??16IE???1I??2．求解方程．（７分）20Z?３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使1UXYUFZUIV??之．（８分）FI?４．计算积分，其中路径为（１）自原点到点的直线段；120IXYIDZ??1I2自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到．（10分）1I?５．试将函数在的邻域内的泰勒展开式．（８分）2FZ??Z６．计算下列积分．（８分）1；2．22SINZDZ????A243ZDZ???A７．计算积分．（６分）053COS???８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）1；2．1NNIZ???21NNZ???９．设为复平面上的解析函数，试确定，，的3232FMYXILXY?LMN值．（６分）三、证明题．１．设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数．（５分）FZDFZDFZ２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分）0AB??AB试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一）参考答案一．判断题1．2．√３．√４．√５．√6．√７．８．９．10．二．填空题1；21；3，；4；5120IN??????2K?Z?ZI??6整函数；7；8；90；10?1N??三．计算题1解因为所以01,Z?0Z?122F????0012NNZZ?????2解因为,2221RELIMLICOSSNZZZSF????????222ELILI1CSSZZZSF???????所以2221RE0OZZZDIFF????????3解令,则它在平面解析,由柯西公式有在内,37???3Z?CFZDZI???所以ZIIII?????????4解令,则ZAB??222ABIABW??故,211REZ???2IM1ZB??四证明题1证明设在内DFZC令22,FZUIVUVC????则两边分别对求偏导数,得XY01XY????因为函数在内解析,所以代入2则上述方程组变为D,XXUV?消去得,0XUV??????X20X?1若,则为常数2FZ?2若,由方程12及方程有,0XV?CR?0,XU?Y0YV?所以为常数12UC12,C所以为常数FZI?2证明的支点为于是割去线段的平面内变点就1FZZ??0,1Z?0RE1Z?不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时,只有的幅角增加所以Z?的幅角共增加由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分FZZ??2?支在上岸之幅角为0,因而此分支在的幅角为,故1Z??2?21IFE???复变函数考试试题（二）参考答案一判断题1．√２．３．√４．√５．6．７．８．√９．10．二填空题11，，；2；3；41；52??I31SIN2??0IN??????1M?6，70；8；9；100KIZ?I?R三计算题1解SIN2NNNZZZ?????????2解令IRE?则2,,1KIFZ???又因为在正实轴去正实值，所以0?所以4IFE??3单位圆的右半圆周为,IZ?2???所以22IIIZDEI?????????4解ZZ???22SIN?2SIN???Z2COS??ZI0四证明题1证明必要性令,则为实常数12FZCI?12FI?1,令则1,,UXYCV0XYXUV即满足,且连续,故在内解析CR?XYFZD充分性令,则,FZUI?FZI?因为与在内解析,所以D,且,XYXUV,XYYXXVUV???比较等式两边得从而在内均为常数,故在内为常数0YFZD2即要证“任一次方程有且只有个N110NNAZAZA?????N根”证明令,取,当101NNFZ?????10MXNR???????????在上时,有ZCR11110NNNNNAAAA???????????FZ由儒歇定理知在圆内,方程与有相Z101NNZZ????0NAZ同个数的根而在内有一个重根因此次方程在0N?RR?内有个根N复变函数考试试题（三）参考答案一判断题1．２．３．√４．√５．√6．√７．√８．√９．√10．√二填空题123415??,ZIZC???且2KIZ??1EI??210IN??????6178910IK????三计算题1解122201NZZEZ????????2解111LIMLILIMLINNNNNCE?????????所以收敛半径为E3解令,则29ZF??200RE9ZZESF???故原式0REZIISF???4解令,962FZ?8Z?则在上均解析,且,故由儒歇定理有C1F与68FZ???即在内,方程只有一个根,,1NFCF???Z?四证明题1证明证明设在内DFZC?令22,FZUIVUVC???则两边分别对求偏导数,得XY01XY????因为函数在内解析,所以代入2则上述方程组变为D,XXUV?消去得,0XUV??????X20X?1,则为常数2FZ2若,由方程12及方程有,0XV?CR?0,XU?Y0YV?所以为常数12UC12,C所以为常数FZI?2证明取,则对一切正整数时,RR?KN?102NKKKZRFMRFDZ??????于是由的任意性知对一切均有F?故,即是一个至多次多项式或常数0NKFZC??FZ复变函数考试试题（四）参考答案一判断题1．√２．３．４．５．6．√７．８．９．√10．√二填空题1,2345整函数2?2KIZ??2011NZ?????6亚纯函数7089100?N?三计算题1IIZIIZKKKZ2315SN3COS2,213?????????????解2解,11REZZEF?11R2ZZESF???故原式12ZZISFI??3解原式22RE95ZIZISFI???????4解Z1?Z，令01ZE，得IKZ?2,?，?,21?而ZZZZZEE??????LIMLILIM002LI0???ZZ0??为可去奇点当IK?2时，1,0???ZE而??21???IKIZEZZ?IKZ?2?为一阶极点四证明题1证明设,在下半平面内任取一点,是下半平面内异于的点,考虑FF0Z0Z000000LIMLILIMZZZFF???????而,在上半平面内,已知在上半平面解析,因此,从而F00FZF???在下半平面内解析FF?2证明令,,则与在全平面解析,63Z?4Z?FZ?且在上,,12C156F???故在内?1,,NC在上,,2Z?FZZ??故在内22,F??所以在内仅有三个零点,即原方程在内仅有三个根F112Z?复变函数考试试题（五）参考答案一判断题1．√２．√３．４．√５．6．７．８．√９．√10．√二填空题12,,23??I?2,AKIZA???为任意实数3,450602KKZ?,7亚纯函数NZ?????210IN??????三计算题1解令,则ZABI??ABIABW??????故,2REZ?2IMZB2解连接原点及的直线段的参数方程为,1I10ITT??故??00E1CZDTIDT??????3令,则当时IE?ZI0A?,21211COSZAZAAZ????????故,且在圆内只以为一级极点,1ZDII???FAZ?在上无奇点,故,由残数定理有2RE,011ZAZASF????22,0ZAIISF????4解令则在内解析,且在上,,,?FZ?CZ?1ZFZ???所以在内,,即原方程在内只有一个根1?1NCF?1四证明题1证明因为,故2,,0UXYVXY??2,,0XYXYUV这四个偏导数在平面上处处连续,但只在处满足条件,故只在除了ZZ?R?FZ外处处不可微0Z?2证明取,则对一切正整数时,RR?KN?12NKKKZRMRFD??????于是由的任意性知对一切均有0F故,即是一个至多次多项式或常数0NKFZC??FZ复变函数考试试题（六）参考答案一、判断题1√23√4√5√6√78√9√10二、填空题EI??1Z??2?6阶7整函数89010欧拉公式MA三、计算题1解因为25,6936I??故LI0NN???2解12,???CFFZDIZ??????2371?因此2FI???故371ZZ??IFIZII?????????3解2ZZEI??RE,2IESFZ??4解3130IN,N?????36360SI21NNZZ??5．解设,则ZXIY?2211XIYXYIWZ????222RE,IM1XY???6．解31COSIN3II??????四、1证明设679,6,FZZ??则在上，即有1Z?18?FZ??根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点FZFZFZ个数为6，故在单位圆内的根的个数为6763910???2证明设，则,由于在内解析，因此,VXYABIXYVFZUIV??D有,,XYD??XYU0XU?于是故，即在内恒为常数,UCDI??FZCDI??FZ3证明由于是的阶零点，从而可设0M，0FZGZ?其中在的某邻域内解析且，GZ0?于是011MFZGZ???由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，0GZ?01D0?1GZ1D故为的阶极点01FZM复变函数考试试题（七）参考答案一、判断题1√2√34√5√6√7√8二、填空题Z??2I?6阶7整函数89010M?AN?三、计算题1解2210III??2解3,I??12CFFZDIZ??????7?因此231FI???故7ZZ??IFIZII?????????3解022,NZEZ????因此R,1SF4解11222ZZZ????由于，从而Z?1,Z?因此在内12有1000122NNNNZZZZ???
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