& 高二数学立体几何单元测试题
高二数学立体几何单元测试题
[导读]高二数学期中考试（理科） （整理：龙振华） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则的值是 （ ） A．60 B．50 C．45 D．30 答案：选A. 理由：由排列数公式知. 2．已知直线，则直线至多可以...
高二数学期中考试（理科）
（整理：龙振华）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的值是
答案：选A.
理由：由排列数公式知.
2．已知直线，则直线至多可以确定平面的个数为
答案：选C.
理由：两平行直线可以确定一个平面，当三条平行直线不共面时可以确定三个平面.
3．边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是
答案：选A. 理由：用斜二测画法得到的图形的面积是原图形面积的
4．设条件甲：直四棱柱中，棱长都相等；条件乙：直四棱柱是正方体，那么甲是乙的
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件
答案：选C. 理由：当直四棱柱的底面是菱形时，直四棱柱不一定是正方体，显然，故甲是乙的必要非充分条件.
5．从5位学生中选派4位学生在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求
星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
答案：选B. 理由：先从5人中选4人有种，再从选出的4人中选2人参加星期五的活动有种，剩下的两人分别安排在另两天有种，故共有种
5．已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角是，且平面内的直线和斜线在平面内的射影的夹角是，则直线、所成的角是
答案：选C. 理由：由最小角定理得.
6．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有
答案：选B. 理由：先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的），然后将2位老人排列，则不同的排法有种.
7．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为
答案：选B. 理由：二项展开式的通项为，由展开式中含有非零常数项知，故正整数的最小值为5.
8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1、2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
答案：选A. 理由：分为两类：
（1）1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有种放球方法；
（2）1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有种放球方法；
∴共有种不同的放球方法.
9．据日十一届人大二次会议《政府工作报告》指出："2008年国内生产总值约30万亿元，比上年增长9%."如果从2009年开始，每年的国内生产总值都按9%的增长率增长，那么2012年的国内生产总值约为
A．41.5万亿元
B．42.3万亿元
C．43.2万亿元
D．43.8万亿元
答案：选B. 理由：2012年的国内生产总值约为
故约为42.3万亿元.
10．已知正四棱柱，点P是棱DD1的中点，，AB=1，若点Q在侧面（包括其边界）上运动，且总保持，则动点Q的轨迹是
答案：选D. 理由：
方法1：分别取BB1、CC1的中点M、N，连CM、MN、PN、AC，则由CM⊥BN知：
CM⊥BP，又BP⊥AC. 故BP⊥平面AMC. 所以过A与BP垂直的直线均在平面AMC内，又Q在平面内，故平面AMC侧面BB1C1C，即Q在线段MC上.
方法2：建立空间直角坐标系，设，由，得，故
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．
11．若地球半径为R，在东经的经线上有A、B两点，A在北纬，B在南纬，则它们的球面距离是__________.
答案： 理由：设O是球心，则，故A、B两点的球面距离是
12．已知二面角的平面角为，AB⊥BC，BC⊥CD，，BC在l上，，若，则AD的长为
答案：. 理由：由得：
而，，，故
13．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的所有项系数和是
答案：. 理由：由只有第4项的二项式系数最大得最大，故n=6. 令得展开式中所有项系数的和是.
14．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E (如图). 现将沿DE折起，使二面角的大小为，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小为
答案：. 理由：
取AE中点G，连MG、GB. 则可证GM∥BN，
故MN∥BG，而DE⊥EB，DE⊥AE，∴
又AB⊥BE，G为AE中点，∴BG⊥AE， ∴MN⊥AE
∴MN与AE所成的角为.
15．如图，在直棱柱中，，，AA1=2，E、F分别是AC、AB的中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为，则截面的面积为____________.
答案：或 理由：由判断得经过A1或B1C1的截面与底面ABC
所成的角小于，故截面与相交，且有两种情况：
如图，截面为EFMN，过N作NP∥AA1，则NP⊥AC，
可证EF⊥平面A1C，则，，，故， ∴∴同理： 故截面面积为或
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）已知展开式的二项式系数之和比展开式的二项式系数之和小.
（2）求的第二项的系数和的第项.
答案：（1）由题意得：，即∴（舍去），故；
(2) 第二项是，故第二项的系数是；
　　的第项是.
17．（本小题满分12分）如图，斜三棱柱中，
在底面的射影恰好是的中点，侧棱与底面
成角，侧面与侧面成角.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求斜三棱柱的体积.
答案：（1）由在底面的射影是得底面，则.
，，由 ，得四边形是矩形.
（2）平面，侧面平面，，侧面
过作于，连则是侧面与侧面所成的二面角的平面角，故.是的中点，∴在中，，.在中， 在中，，
18．（本小题满分12分）如图，四边形是边长为的正方形，、分别是边、
上的点（M不与A、D重合），且，交于点，沿将正方形折成
（1）当平行移动时，的大小是否发生变化？试说明理由；
（2）当在怎样的位置时，、两点间的距离最小？并求出这个最小值.
答案：（1）设，则由题意知：平面平面，
而故平面.而故
即无论怎样平移,为定值.
（2）由（1）知：故当时，有最小值，即当M、N分别为、中点时，有最小值
19．（本小题满分12分）号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球.
（1）若1、2号球要放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？
（2）若3、4号球要放入编号不比自己号码小的盒子中，则不同的放法有多少种？
（3）若1号球不放入1号盒中，6号球不放入6号盒中，则不同的放法有多少种？
答案：（1）号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6共5种情况，则符合题意的放法有种；
（2）①若3号球放入3号盒子，则不同的放法有种；
②若3号球放入4号、5号、6号盒子中的一个，则不同的放法有种；
故符合题意的放法有+=216种；
（3）六个球放入六个盒子中的方法有种，1号球放入1号盒中，6号球不放入6号盒中的方法有种；1号球不放入1号盒中，6号球放入6号盒中的方法有种；1号球放入1号盒中，6号球放入6号盒中的方法有种；
故符合题意的放法有－×2－=504种.
20．（本小题满分13分）如图，在梯形中，
（1）求异面直线与间的距离；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）已知是线段上的动点，若二面角的
大小为，求AF.
答案：（1）平面平面，故与间的距离就是
到平面的距离．取中点，连．
平面又平面故平面平面由得平面，故的长度是到平面的距离，而故与间的距离是
（2）由（1）知：到平面的距离即为到平面距离，故到平面 的距离是在中：设直线与平面所成的角是，故，∴直线与平面所成的角是
（3）作于，作于，连.由得则证得 可证得∠CKM是二面角的平面角，所以，，
设，则，，由二面角的平面角小于得，故取，即.
21．（本小题满分1４分）如图，为等腰直角的直角顶点，、都垂直于
所在的平面，
（1）求二面角的大小；
（2）求点到平面的距离；
（3）问线段上是否存在一点，使得平面且若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
答案：几何法：
（1）作于，平面平面
则向量与所成的角即为二面角的大小.
由计算得故
∴由面积求得，由射影定理可求得.而则故，故二面角的大小为
（2）平面，平面，
故A、C、D、E四点共面.
且平面平面
作于,则有平面，∴
∴由故由得即到平面的距离是.
（3）假设线段BE上存在点，使，平面.
平面，平面.又，平面
又（F不与B重合），故平面，则
而由计算得:故这与矛盾,故上不存在,使（或平面，，而过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直）
过作平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.
（1）设平面的一个法向量为则，故同理：平面的一个法向量为，则
二面角的大小为
（2）由（1）知平面的一个法向量为，而，
故D到平面的距离是
（3）若上存在使平面，显然此时故
（上式也可用向量共线与共面定理得到F点的坐标）∴，故与不垂直，故在上不存在符合题意的点。
高二数学立体几何单...
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资料简介：
==================资料简介======================第67题　立体几何中的最值问题
I．题源探究·黄金母题【例1】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.
【答案】
【解析】如下图，设正三角形的边长为x，则

.

，


三棱锥的体积

.令
，则
，令
，
，
，
.
【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.
II．考场精彩·真题回放【例2】【2015新课标2理9】已知
是球
的球面上两点,
,
为该球面上的动点.若三棱锥
体积的最大值为36,则球
的表面积为（
D.
【答案】C【解析】分析：设球的半径为R,则△AOB面积为
,三棱锥
体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时
,所以球O的表面积
.故选C.================================================压缩包内容：第67题立体几何中的最值问题-2018精品之高中数学（理）黄金100题系列word版含解析.doc
学案类型：二轮复习/专题资料
资料版本：通用
适用地区：全国
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21世纪教育
中小学教师帮学习数学最令同学们头疼的无非是函数与几何，在高考知识点中十分重要，题型又广，占分值又高，看近几年数学高考题型，立体几何尤为重要；同学们从初中进入高中，由平面几何到立体几何，初中平面几何涉及函数，高中立体几何涉及更为广泛，提升到了向量。有了向量，再加上面角，更加突出了数学立体几何的复杂性。就是因为复杂，一小题一考点，如果不熟练，做起来 十分浪费时间，孩子很可能少考几分。其实立体感强不强，不是不会做的关键，关键是孩子是否掌握小考点的知识点，三个知识点例如，求线线所夹角余弦值，面面垂直，面面所夹的二面角所组成的一到立体几何题目，几何图形也很简单，为何考试时，孩子只能做两问，而放弃了第三问。如何提高孩子的数学的立体几何的分数是现在很多家长朋友都想了解的一个问题，高中立体几何无非就是几个小知识点的糅杂，每个知识点的连接性，一定要到章节重点复习，单个吃透，再搞定答题，多做常见题型，多总结方法，题型的积累很重要。老师跟大家分享这篇文章，特地整理了近几年高考常考的六种立体几何题型，希望同学们能够认真学习一下，吃透并熟练运用公式定理，高考多拿30分绝不是问题。另外，我每天都会分享各年级、各学科的学习资料、学习方法以及教育类的文章，有兴趣的家长可以去看看,如有任何学习上的问题，那么都可找我。每周还会有免费的公益课，有兴趣的孩子家长可以去看看，都可通过在微信查找的一端上去输入boXUE81和我交流沟通，我将尽己所能为你答疑解惑！
附：高中数学立体几何思维导图
答案：1、C；2、A；3、B；4、答案如下：
5、答案如下：
6、答案如下：
由于篇幅问题，今天就分享到这里，希望这份资料能够帮助大家。当然，如果您还有有关于孩子学习上或者是教育上的问题，都可以与我交流沟通！而且每周我还会开设公益课，以及分享一些好的学习资料，学习方法，学霸笔记和方法等，有兴趣的家长都可以去看看......欢迎在微信端查找一栏输入“BOxue81”来找我免费查看更多关于教育，学习方法、记忆训练等文章，老师会根据多年的教学经验，帮助孩子提高学习成绩！
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