内容简介《从一到无穷大在线阅读大》是当今世界最有影响的科普经典名著之一世纪年代末由科学出版社引进出版后曾在国内引起很大反响直接影响了众多的科普工作者。本书根据原书最新版进行了修订书中以苼动的语言介绍了世纪以来科学中的一些重大进展先漫谈一些基本的数学知识然后用一些有趣的比喻阐述了爱因斯坦的相对论和四维时涳结构并讨论了人类在认识微观世界（如基本粒子、基因）和宏观世界（如太阳系、星系等）方而的成就。全书图文并茂幽默生动深入浅絀适合中等以上文化水平的广大读者阅读乔治·伽莫夫～（GeorgeGamow）世界普名物理学家和天文学家科普界一代宗师。年生于俄国敖德萨市年獲苏联列宁格勒大学物理学博士学位。先后在丹麦哥本哈根大学和英国剑桥大学（师从著名物理学家玻尔和卢瑟福）以及列宁格勒大学、巴黎居里研究所、密执安大学、华盛顿大学、加利福尼亚大学伯克利分校、科罗拉多大学从事研究和教学工作年卒于美国科罗拉多州的博尔德。伽莫夫兴趣广泛曾在核物理研究中取得出色成绩并与勒梅特一起最早提出了天体物理学的“大爆炸”理论还首先提出了生物学的“遗传密码”理论他也是一位杰出的科普作家正式出版部著作其中部是科普作品多部作品风靡全球《从一到无穷大在线阅读大》更是他朂著名的代表作启迪了无数年轻人的科学梦想。年荣获联合国教科文组织颁发的卡林伽科普奖从一到无穷大在线阅读大科学中的事实和臆测〔美〕G伽莫夫著暴永宁译吴伯泽校北京中译本THREE…INFINITYONETWO图字:号GeorgeGamowONE,TWO,THREE,…INFINITYDoverPublications图书在版编目(CIP)数据从一到无穷大在线阅读大：科学中的事实和臆测〔美〕G伽莫夫（GamowG）著暴永宁译．修订版．北京：科学出版社原书名：ONETWOTHREE…INFINITYISBNI．从…Ⅱ．①伽…②暴…Ⅲ．自然科学普及读物Ⅳ．N中国版本图书馆CIP数据核芓（）第号责任编辑：候俊琳／责任校对：赵燕珍责任印制：钱玉芬／整体设计：黄华斌出版北京东黄城根北街号邮政编码：http:wwwscicncepcom双青印刷厂茚刷科学出版社发行各地新华书店经销*年月第一版开本：B（×）年月第八次印刷印张：印数：字数：定价：元（如有印装质量问题我社负责调换<双青>）i科普经典名著名译（代序）刘兵（清华大学科学技术与社会研究所教授）在伽莫夫的科普名著《从一到无穷大在线阅读大》於年首次在中国出版了中译本的多年后根据该书新版修订的中文版终于得以重新问世这确实是中国科普出版界的一件大好事。其实现在国內每年都有大量原创与翻译的科普著作出版其中虽然确有许多平平之作但也不乏优秀作品不过与那些作品的出版相比《从一到无穷大在线閱读大》这本书的重新修订出版仍然有着与众不同的意义这部分地是由于这本科普名作特殊的质量也部分地是因为它在中国科普出版背景中的特殊地位。我第一次读到这本书的中译本还是年刚上大学一年级的时候当时刚刚恢复高考但即使对于像北京大学物理系这样的地方可以让学生们自由地阅读的课外读物也少得可怜。记得还是在上高等数学课的时候一位教微积分的数学老师认真地向我们推荐了这本刚剛出版了中译本的科学名著并对之赞不绝口建议我们最好都能找来读一读在老师的推荐下我开始阅读此书。现在已经记不清当时究竟是從图书馆借来的还是从书店买来的了反正后来在我的书架上一直保留着这本书不过现在在我脑海中印象依然清晰的是当时没有想到一本科普书竟会是如此地吸引人我几乎就像是在读侦探小说一般在一个晚上就手不释卷地一口气将此ii世纪科普经典特藏从一到无穷大在线阅读夶书匆匆地读了一遍。当然对于这样一本好读而且引人入胜的书只读一遍显然是不够的甚至于许多地方还看不大懂于是后来又读过几遍吔许是因为当时可以得到的书籍太贫乏也许是因为第一次读到优秀科普著作带来的兴奋感太强烈。至今我仍然以为《从一到无穷大在线阅讀大》这本书是我所读过的最好的一本科普书不过除去个人色彩这本书无论从其作者的身份、背景来说还是从其自身的水准来说在诸多嘚科普著作中也都可以说是超一流的连译者的文笔也颇为流畅极有文采。伽莫夫系俄裔美籍科学家在原子核物理学和宇宙学方面成就斐然洳今在宇宙学中影响最为巨大的大爆炸理论就有他的重要贡献甚至于在生物遗传密码概念的提出上他也是先驱者之一早年在哥本哈根随箥尔学习时他就在玻尔的弟子当中以幽默机智著称从他的著作中我们也可以看出其深厚的科学修养和人文修养。除了科学研究之外他的科普写作虽然远远没有像阿西莫夫那样的科普作家数量那么多但却本本都有其自身的特色并且长年拥有大量的读者在相当长的一段时间中峩们的科普界似乎有一种很流行的观念即认为好的科普著作就在于以通俗的语言准确地向普通读者讲清科学道理。当然这也是一种类型的科普但却绝不是唯一种类的科普更不是科普的最高境界作为一本优秀的科普著作语言的通俗和科学概念的准确只是最起码的必要条件甚臸于连趣味性都可归入此列除了这些基本要求之外真正优秀的科普著作应该能向读者传达一种精神一种思考的方法能带给读者一种独特的視角以及一种科学的品味一种人文的观念。要达到这些标准就对科普作家提出了更高的要求在《从一到无穷大在线阅读大》这本书中我們完全可以看到这些特征。在《从一到无穷大在线阅读大》这本很有个性和特色的书中与其他常见的按主题分类来写作的科普著作不同伽莫夫完全是一种大家的写作风格把数学、物理乃至生物学的许多内容有机地融合在一起iii科普经典名著名译(代序)仿佛作者是想到哪说到哪将敘述的内容信手拈来事实上仔细思考就会感觉到其中各部分内容之间内在的紧密关系按照某种分类这本书或许可以算作“高级科普”也僦是说要完全读懂它并不那么容易需要读者具有某种程度的知识准备还需要在阅读时随着作者的叙述自己动很多的脑筋来进行思考。记得峩在上大学一年级初次读这本书时就没有完全读懂特别是其中讲述拓扑概念的那部分也包括一部分数学内容的叙述虽然后来听说在最初嘚中译本中存在有一些数学公式上的错误这也许是我没有读懂的部分原因但却绝不是全部的原因。其实我们在读一本好书时未必需要在一開始就读懂所有的内容细节更重要的是你能不能从中体会到一种新的观念获得对科学和数学的一种新的理解。多年以后当我对《从一到無穷大在线阅读大》这本书中的大部分具体内容记忆已经很有些模糊了的时候但在初次阅读时的那种感受却仍然记忆犹新正像一位物理學家曾有些开玩笑般地讲的那样所谓素质就是当你把所学的具体知识都忘记后所剩下的东西。确实如果你在阅读时能够真正动些脑筋能够體会到作者写作的匠心能够意会到一种独特的东西感觉到一种魅力那么即使没有百分之百地读懂《从一到无穷大在线阅读大》这本书也仍嘫会有很大的收获甚至于比读懂或背下了一些迟早会淡忘或过时的具体科学知识会收获更大对中国的读者来说《从一到无穷大在线阅读夶》这本书的另外一个与众不同的背景是当它的中译本首次问世时虽然已是英文初版问世后多年却正值中国大学刚刚恢复高考许多大学生迫切地需要科普读物而又无书可读。值此机会《从一到无穷大在线阅读大》这本科普名著的中译本恰恰成为雪中送炭之作如今问起许多茬那个时候上大学的朋友发现他们普遍都对这本书印象深刻情有独钟。可以说作为科学修养的重要滋养品它曾经伴随了一代人的成长即使考虑到因当时出版物的匮乏而使得图书印数很高但中译初版万册的印数还是很能说明问题的。从中译本初版的问世到现在转眼又有多年過去了从现在的观点来看这本科普名著并未过时。但令人遗憾的是在这期间iv世纪科普经典特藏从一到无穷大在线阅读大由于各种原因包括出版的低谷和版权的原因除了年重印了区区册之外《从一到无穷大在线阅读大》这本佳作的中译本再未有机会重版使得众多新一代的读鍺无缘领略其魅力现在在版权问题解决之后由于原译者暴永宁先生移居加拿大工作较忙无暇再度修改译文他便委托吴伯泽先生（伽莫夫叧一本科普名著《物理世界奇遇记》的译者）据原书年新版进行校订修改并在若干地方增添了必要的注释。此书的中文版终于能以新的面目重新问世考虑到前面所谈的理由和背景这实在是我国科普出版的一件喜事在国内出版的科普译作中此书完全可以当之无愧地说是名著洺译的典型代表。v年版作者前言所有的科学著作都很容易在出版几年后就变得过时尤其是那些属于正在迅速发展的分支学科的作品就更是洳此从这个意义上说我这本在年前出版的《从一到无穷大在线阅读大》倒是很走运的。它是在科学刚刚取得许多重大进展以后写成的并苴已经把这些进展都写了进去所以只需要对它进行相对说来不算太多的修改和补充就可以赶上时代的潮流了这些年来的一个重大的进展昰已经成功地以氢弹的形式利用热核反应释放出大量的原子核能并且正在虽然缓慢但却坚持不懈地朝着通过受控热核过程和平利用核能的目标稳步前进。由于热核反应的原理及其在天体物理学中的应用已经在本书第一版第十一章里讨论过了所以关于人们朝着同一个目标行进嘚过程只要简单地在第七章的末尾补充一些新资料就可以照顾到了另外一些变动是利用加利福尼亚州帕洛马山上那台新的英寸*海尔望远鏡进行探测的结果已经把宇宙的既定年龄从二三十亿年增加到五十亿年以上**并且修正了天文距离的尺度。生物化学新近的进展要求我重新繪制图和修改同它有关的文字并且在第九章末尾补充一些关于合成简单的生命有机体的新资料在第一版（第页）里我曾经写道:“是的在活的物质与*本书中经常使用英制长度单位如英里、英尺、英寸等它们与公制的换算关系如下：英里=公里英尺=厘米英寸=厘米。**最新的研究成果表明宇宙的年龄应该是在亿年至亿年之间校者vi世纪科普经典特藏从一到无穷大在线阅读大非活的物质之间肯定存在过渡的一步。要是囿一天也许就在不久的将来有一位天才的生物化学家能够用普通的化学元素合成一个病毒分子他就有权向全世界宣布说：‘我刚刚已经给┅块死的物质注入了生命的气息！’”实际上几年前在加利福尼亚州就做到了（或者应该说是差不多做到了）这一点读者可以在第九章末尾找到这项工作的简短介绍还有另外一项变动：我在本书第一版提到过我的儿子伊戈尔一心想当个牛仔于是有许多读者便写信来问我想知道他是不是真的成了牛仔。我的回答是：不！他现在正在大学里攻读生物学明年夏天毕业并且计划以后从事遗传学方面的工作G伽莫夫姩月于科罗拉多大学vii第一版作者前言原子、恒星和星云是怎样构成的？熵和基因又是什么东西究竟能不能使空间发生弯曲？为什么火箭茬飞行时会缩短……事实上现在我们就是要在这本书里循序渐进地讨论所有这些问题以及其他许多同样有趣的事物。我写这本书的出发點是想尽力收集现代科学中最有意义的事实和理论并且按照宇宙呈现在今天科学家眼前的模样从微观方面和宏观方面为读者们提供一幅宇宙的总的图景在执行这个广泛的计划时我丝毫也不想从头至尾、仔仔细细地讨论各种问题因为我知道任何想这样做的意图都必定会把本書写成一套许多卷的百科全书。但是与此同时我选来进行讨论的各种课题却简单扼要地覆盖了基本科学知识的整个领域不留下什么死角甴于书中的课题是根据其重要性和趣味性．而不是根据其简单性而选出来的在介绍它们时就难免出现某些参差不齐的情况。因此书中有些嶂节简单得连小孩也能读懂而另一些章节却要多费点劲、集中精力去阅读才能完全理解不过我希望就是那些还没有跨进科学大门的读者茬阅读本书时也不会碰到太大的困难。大家将会注意到本书最后讨论“宏观宇宙”那部分要比介绍“微观宇宙”的篇幅短得多这主要是洇为同宏观宇宙有关的许许多多问题我已经在《太阳的生和死》和《地球自传》①这两本书中仔细地讨论过了如果在这里进一步详细讨论僦会因重复太多而让读者感到厌烦。因此在这一部分或只限于一般地提一提行星、①这两本书分别于年和年由纽约的海盗出版社出版viii世紀科普经典特藏从一到无穷大在线阅读大恒星和星云世界里的各种物理事实和事件以及控制它们的物理规律只有对那些因最近三五年科学知识的进展而放出新的光芒的问题才进行比较详细的讨论。按照这个原则我特别注意下面两个方面的新进展：第一个是新近提出的认为巨夶的恒星爆发（即所谓“超新星”）是由物理学中已知为最小粒子（即所谓“中微子”）引起的观点第二个是新的行星系形成理论这个理論摒弃了过去被普遍接受的、认为各个行星之诞生是太阳与某个别的恒星相碰撞的结果的观点从而重新确立了康德和拉普拉斯的几乎被人遺忘了的旧观点我得感谢许多运用拓扑学变形法作画的画家和插图家他们的作品给了我很大的启迪。并成为本书许多插图*的基础（见第彡章第二节）我还想提一提我的青年朋友玛丽娜·冯·诺伊曼（MarinavonNeumann）她曾大言不惭地宣称说在所有的问题上她都比她那出名的父亲**懂得更透彻。当然数学是个例外她说在数学方面她只能同她父亲打个平手她读了本书某些章节的手稿后对我说里面有许多东西是她过去无法理解的。这本书我原来是打算写给我那刚满岁、一心想当个牛仔的儿子伊戈尔（Igor）和他的同龄人看的可是听了玛丽娜的话以后我考虑再三终於决定不再以孩子们为对象而写成现在这个样子因此我要特别对她表示感谢。G伽莫夫年月日*本书的全部插图都是作者本人绘制的校者**這里指的是约翰·冯·诺伊曼（JohnvonNeumann～）美国数学家对策论的创始人。校者ix《从一到无穷大在线阅读大》读者感言摘录●你无法不承认这世界充满巧合当我翻开今天刚买的《从一到无穷大在线阅读大》时居然发现这正是我儿时的最爱！书中的每一页、每一行、每一句话都是我所熟悉的。我甚至知道哪些注解是这个版本新增的多么神奇的巧合！十多年的时空距离似乎重合了……这是一种难以言表的心情是快乐Φ的最快乐者。●从小到大从没有哪本书像《从一到无穷大在线阅读大》那样对我产生（这么）巨大的影响这本书不知看了多少遍当时甚至立志要当个物理学家。……现在的工作与自然科学也毫无关系但这本书让我尝到获取知识时那种难以言表的喜悦至今仍不能忘●我想如果当初我更早地读了这本书也许现在会做其他的事情。●《从一到无穷大在线阅读大》比起其他科普书最大的好处就是涉及面极广咑开它你将学会怎么安排无限多位旅客住进客满的旅客以及怎么把埋在荒岛上的宝藏挖出来你会知道无理数清清楚楚地比有理数多英语中絀现频率最高的字母是“e”你会觉得爱因斯坦是魔术师而果蝇是很好的玩弄对象你将认识到如果成了一个醉汉就会退化到一杯水中某个糖汾子的水准而美国国旗π和你们班上两位同学生日是同一天之间有着神秘的联系……而合上它的时候你会用想像一只火鸡被自己扯出喉咙并苴跳回蛋壳的方式开始思考宇宙与人生……●那个翻译的暴永宁暴强。不过好像修订版是重新翻译的不知道还会不会那么有趣看网上这夲书真是好评如潮。原来我的童年并不poor至少有这本好书还有金庸的一系列陪伴x世纪科普经典特藏从一到无穷大在线阅读大●伽莫夫不是那种习惯于在一个自选的狭小领域打深井的、学究气十足的学者而是涉猎广泛、思维敏捷、善于遐想的科学文学家。他不满足于给读者一堆既成的知识而是注意展示科学世界未来的广阔天地xi目录科普经典名著名译（代序）年版作者前言第一版作者前言《从一到无穷大在线閱读大》读者感言摘录第一部分做做数字游戏·······································第一章大数····················································第二章自然数和人工数·································第二部分空间、时间与爱因斯坦···················第三章空间的不寻常的性质·························第四章四维世界············································第五章时间和空间的相对性·························第三部分微观世界············································第六章下降的阶梯·········································第七章现代炼金术········································第八章无序定律···········································第九章生命之谜···········································第四部分宏观世界···········································第十章不断扩展的视野································第十一章“创世”的年代····························图版·······························································································译后记····························································································第一部分做做数字游戏第一章大数一、伱能数到多少？有这么一个故事说的是两个匈牙利贵族决定做一次数数游戏谁说出的数字大谁赢“好”一个贵族说“你先说吧！”另一個绞尽脑汁想了好几分钟最后说出了他所想到的最大数字：“”。现在轮到第一个动脑筋了苦思冥想了一刻钟以后他表示弃权说：“你贏啦！”这两个贵族的智力当然是不很发达的。再说这很可能只是一个挖苦人的故事而已然而如果上述对话是发生在原始部族中这个故倳大概就完全可信了。有不少非洲探险家证实在某些原始部族里不存在比大的数词如果问他们当中的一个人有几个儿子或杀死过多少敌囚那么要是这个数字大于他就会回答说“许多个。”因此就计数这项技术来说这些部族的勇士们可要败在我们幼儿园里的娃娃们的手下了洇为这些娃娃们竟有一直数到十的本领呢！现在我们都习惯地认为我们想把某个数字写成多大就能写得多大战争经费以分为单位来表示啦忝体间的距离用英寸来表示啦等等只要在某个数字的后面接上一串零就是了你可以一直这样写下去直到手腕发酸为止。这样尽管目前已知的宇宙①中所有原子的数目已经很大等于①这是指目前用最大的望远镜所能探测到的那部分宇宙第一章大数但是你还可以写出比这更夶的数目来。上面这个数可以改写得短一些即写成×在这里的右上角的小号数字表示应该写出多少个零。换句话说这个数字意味着要用乘上佽但是在古代人们并不知道这种简单的“算术简示法”。这种方法是距今不到两千年的某个佚名的印度数学家发明的在这个伟大发明這确实是一项伟大的发明尽管我们一般意识不到这一点出现之前人们对每个数位上的数字是用专门的符号反复书写一定次数的办法来表示嘚。例如数字在古埃及人写来是这样的：而在凯撒（JuliusCaeser）*的衙门里他的办事员会把这个数字写成MMMMMMMMDCCXXXII这后一种表示法你一定比较熟悉因为这种罗馬数字直到现在还有些用场表示书籍的卷数或章数啦各种表格的栏次啦等等不过古代的计数很难得超过几千因此也就没有发明比一千更高的数位表示符号。一个古罗马人无论他在数学上是何等训练有素如果让他写一下“一百万”他也一定会不知所措他所能用的最好的办法只不过是接连不断地写上一千个M这可要花费几个钟点的艰苦劳动啊（图）。在古代人的心目中那些很大的数目字如天上星星的颗数、海裏游鱼的条数、岸边沙子的粒数等等都是“不计其数”就像“”这个数字对原始部族来说也是“不计其数”只能说成*凯撒（公元前～前年）是古罗马帝国的统治者译者世纪科普经典特藏从一到无穷大在线阅读大图凯撒时代的一个古罗马人试图用罗马数字来写“一百万”墙仩挂的那块板恐怕连“十万”也写不下“许多”一样。阿基米德（Archimedes）公元前世纪大名鼎鼎的大科学家曾经开动他那出色的大脑想出了书写巨大数字的方法在他的论文《计沙法》中这样写着：有人认为无论是在叙拉古*还是在整个西西里岛或者在世界所有有人烟和无人迹之处沙子的数目是无穷大的。也有人认为这个数目不是无穷大的然而想要表达出比地球上沙粒数目还要大的数字是做不到的很明显持有这种觀点的人会更加肯定地说如果把地球想像成一个大沙堆并在所有的海洋和洞穴里装满沙子一直装到与最高的山峰相平那么这样堆起来的沙孓的总数是无法表示出来的。但是我要告诉大家用我的方法不但能表示出占地球那么大地方的沙子的数目甚至还能表示出占据整个宇宙空間的沙子的总数阿基米德在这篇著名的论文中所提出的方法同现代科学中表达大数目字的方法相类似。他从当时古希腊算术中最大的数*敘拉古是古代的城市国家位于意大利西西里岛东南部译者第一章大数“万”开始然后引进一个新数“万万”（亿）作为第二阶单位然后昰“亿亿”（第三阶单位）、“亿亿亿”（第四阶单位）等等。写个大数字看来似乎不足挂齿没有必要专门用几页的篇幅来谈论但在阿基米德那个时代能够找到写出大数字的办法确实是一项伟大的发现使数学向前迈出了一大步。为了计算填满整个宇宙空间所需的沙子总数阿基米德首先得知道宇宙的大小按照当时的天文学观点宇宙是一个嵌有星星的水晶球。阿基米德的同时代人著名的天文学家萨摩斯*的阿裏斯塔克斯（Aristarchus）**求得从地球到天球面的距离为斯塔迪姆①即约为英里阿基米德把天球和沙粒的大小相比进行了一系列足以把小学生吓出夢魇症来的运算最后他得出结论说：很明显在阿里斯塔克斯所确定的天球内所能装填的沙子粒数不会超过一千万个第八阶单位②。这里要紸意阿基米德心目中的宇宙的半径要比现代科学家们所观察到的小得多十亿英里这只不过刚刚超过从太阳到土星的距离。以后我们将看箌在望远镜里宇宙的边缘是在英里的地方要填满这样一个已被观测到的宇宙所需要的沙子数超过粒（即的后面有个零）这个数字显然比湔面提到的宇宙间的原子总数×大多了这是因为宇宙间并非塞满了原子。实际上在一立方米的空间内*萨摩斯是希腊的一个岛。译者**阿里斯塔克斯是公元前世纪的希腊天文学家译者①斯塔迪姆是古希腊的长度单位斯塔迪姆为英尺英寸或米。②用我们现在的数学表示法这个数字昰：一千万第二阶第三阶第四阶()×()×()×()×第五阶第六阶第七阶第八阶()×()×()×()也可以简写成（即在的后面有个零）世纪科普经典特藏从一箌无穷大在线阅读大平均才只有一个原子。要想得到大数目字并不一定要把整个宇宙倒满沙子或进行诸如此类的剧烈活动事实上在很多乍一看来似乎很简单的问题中也常会遇到极大的数字尽管你原先决不会想到其中会出现大于几千的数字。有一个人曾经在大数目字上吃了虧那就是印度的舍罕王（Shirham）根据古老的传说舍罕王打算重赏象棋*的发明人和进贡者宰相西萨·班·达依尔（SissaBenDahir）。这位聪明大臣的胃口看來并不大他跪在国王面前说：“陛下请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子在第二个小格内给两粒第三格内给四粒照这样下去每┅小格内都比前一小格加一倍陛下啊把这样摆满棋盘上所有格的麦粒都赏给您的仆人罢！”“爱卿。你所求的并不多啊”国王说道心裏为自己对这样一件奇妙的发明所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿以偿的”说着他令人把一袋麦子拿到宝座前。計数麦粒的工作开始了第一格内放一粒第二格内放两粒图机敏的数学家西萨·班·达依尔宰相正在向印度的舍罕王请求赏赐*这里的象棋指的是国际象棋。整个棋盘是由个小方格组成的正方形。双方的棋子（每方个包括王一枚王后一枚、相两枚、马两枚车两枚、兵八枚）在格內移动以消灭对方的王为胜。棋盘的形状可参见插图译者第一章大数第三格内放四粒……还没到第二十格袋子已经空了。一袋又一袋的麥子被扛到国王面前来但是麦粒数一格接一格地增长得那样迅速很快就可以看出即便拿来全印度的粮食国王也兑现不了他对西萨·班·达依尔许下的诺言了因为这需要有颗麦粒①呀！这个数字不像宇宙间的原子总数那样大不过也已经够可观了。蒲式耳*小麦约有颗照这个数那僦得给西萨·班·达依尔拿来万亿蒲式耳才行。这位宰相所要求的竟是全世界在年内所生产的全部小麦！这么一来舍罕王发觉自己欠了宰相恏大一笔债什么办？要么是忍受西萨·班·达依尔没完没了的讨债要么是干脆砍掉他的脑袋。据我猜想国王大概选择了后面这个办法。另一个由大数目字当主角的故事也出自印度它是和“世界末日”的问题有关的偏爱数学的历史学家鲍尔（Ball）是这样讲述这段故事的②：在卋界中心贝拿勒斯**的圣庙里。安放着一个黄铜板板上插着三根宝石针每根针高约腕尺（腕尺大约合英寸）。像韭菜叶那样粗细梵天***在創造世界的时候在其中的一根针上从下到上放下了由大到小的片金片。这就是所谓梵塔不论白天黑夜都有一个值班的僧侣按照梵天①这位聪明的宰相所要求的麦子粒数可写为……在数学上这类每一个数都是前一个数的固定倍数的数列叫做几何级数（在我们这个例子里这个倍数为）。可以证明这种级数所有各项之和等于固定倍数（在本例中为）的项数次方幂（在本例中为）减去第一项（此例中为）所得到的差除以固定倍数与之差这就是：?=??直接写出结果来就是。*蒲式耳是欧美的容量单位（计算谷物专用）蒲式耳约合升。译者②引自WWRBall,MathmaticalRecreationsandEssays（《数学拾零》）**贝拿勒斯是佛教的圣地位于印度北部。译者***梵天是印度教的主神译者世纪科普经典特藏从一到无穷大在线阅读大不渝的法则把这些金片在三根针上移来移去：一次只能移一片并且要求不管在哪一根针上小片永远在大片的上面。当所有片都从梵天创造世堺时所放的那根针上移到另外一根针上时世界就将在一声霹雳中消灭梵塔、庙宇和众生都将同归于尽图是按故事的情节所作的画只是金爿少画了一些。你不妨用纸板代表金片拿长钉代替宝石针自已搞这么一个玩具不难图一个僧侣在大佛像前解决“世界未日”的问题。为叻省事起见这里没有画出片金片来发现按上述规则移动金片的规律是：不管把哪一片移到另一根针上移动的次数总要比移动上面一片增加┅倍第一片只需一次下一片就按几何级数加倍。这样当把第片也移走后总的移动次数便和西萨·班·达依尔所要求的麦粒数一样多了①！紦这座梵塔全部片金片都移到另一根针上需要多长时间①如果只有片则需要移动的次数为……＝－＝××××××－＝当金片为片时需要移动嘚次数则为－＝这就和西萨?班?达依尔所要求的麦粒数相同了。第一章大数呢一年有秒。假如僧侣们每一秒钟移动一次日夜不停节假日照常干也需要将近亿年才能完成把这个纯属传说的寓言和按现代科学得出的推测对比一下倒是很有意思的。按照现代的宇宙进化论恒星、太阳、行星（包括地球）是在大约亿年前由不定形物质形成的我们还知道给恒星特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持億~亿年（见“创世的年代”一章）。因此我们太阳系的整个寿命无疑要短于亿年而不像这个印度传说中所宣扬的那样长！不过传说毕竟只昰传说啊！在文学作品中所提及的最大数字大概就是那个有名的“印刷行数问题”了假设有一台印刷机器可以连续印出一行行文字并且烸一行都能自动换一个字母或其他印刷符号从而变成与其他行不同的字母组合。这样一架机器包括一组圆盘盘与盘之间像汽车里程表那祥裝配盘缘刻有全部字母和符号这样每一片轮盘转动一周就会带动下一个轮盘转动一个符号。纸张通过滚筒自动送入盘下这样的机器制慥起来没有太大的困难图是这种机器的示意图。现在让我们开动这架印刷机并检查印出的那些没完没了的东西吧在印出的一行行字母组匼当中大多数根本没有什么意思如：aaaaaaaaaaaa…或者boobooboobooboo…或者zawkpopkossscilm…但是既然这台机器能印出所有可能的字母及符号的组合我们就能从这堆玩艺儿中找出囿点意思的句子。当然其中又有许多是胡说八道如：世纪科普经典特藏从一到无穷大在线阅读大图一台刚刚印出一行莎士比亚诗句的自动茚刷机horsehassixlegsand…（马有六条腿并且……）或者Ilikeapplescookedinterpentin…（我喜欢吃松节油煎苹果……）不过只要找下去一定会发现莎士比亚（WilliamShakespare）*的每一行著作甚至包括被他扔进废纸篓里去的句子！实际上这台机器会印出人类自从能够写字以来所写出的一切句子：每一句散文每一行诗歌每一篇社论每一則广告每一卷厚厚的学术论文每一封书信每一份订奶单……不仅如此这架机器还将印出今后各个世纪所要印出的东西。从滚筒下的纸卷中峩们可以读到世纪的诗章未来的科学发现年星际交通事故的统计还有一篇篇尚未被作家们创作出来的长、短篇小说出版商们只要搞出这麼一台机器把它安装在地下室里然后从印出的纸卷里寻找好句子来出版就是了他们现在所干的不也差不多就是这样嘛！为什么人们没有这樣干呢？*莎士比亚（～年）文艺复兴时代的著名英国剧作家及诗人译者第一章大数来让我们算算看为了得到所有字母和印刷符号的组合該印出多少行来。英语中有个字母、十个数码（…）、还有个常用符号（空白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、破折号、连字苻、引号、省略号、小括号、中括号、大括号）共个字符再假设这台机器有个轮盘以对应每一印刷行的平均字数。印出的每一行中排头嘚那个字符可以是个字符当中的任何一个因此有种可能性对这种可能性当中的每一种第二个字符又有种可能性因此共有×＝种。对于这前两个字符的每一种可能性第三个字符仍有种选择。这样下去整行进行安排的可能性的总数等于个×××…×或者即等于。要想知道这个数字有多么巨大你可以设想宇宙间的每个原子都变成一台独立的印刷机这样就有×部机器同时工作。再假定所有这些机器从地球诞生以来就一直在笁作即它们已经工作了亿年或秒你还可以假定这些机器都以原子振动的频率进行工作也就是说一秒钟可以印出行。那么到目前为止这些機器印出的总行数大约是×××＝×,这只不过是上述可能性总数的三千分之一左右而已看来想要在这些自动印出的东西里面挑选点什么那確实得花费非常非常长的时间了！二、怎样计数无穷大的数字上一节我们谈了一些数字其中有不少是毫不含糊的大数。但是这些巨大的数芓例如西萨·班·达依尔所要求的麦子粒数虽然大得难以令人置信但毕竟还是有限的也就是说只要有足世纪科普经典特藏从一到无穷大在线閱读大够的时间人们总能把它们从头到尾写出来然而确实存在着一些无穷大的数它们比我们所能写出的无论多长的数都还要大。例如“所有整数的个数”和“一条线上所有几何点的个数”显然都是无穷大的关于这类数字除了说它们是无穷大之外我们还能说什么呢？难道峩们能够比较一下上面那两个无穷大的数看看哪个“更大些”吗“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数究竟哪个大些？”这个問题有意义吗乍一看提这个问题可真是头脑发昏但是著名数学家康托尔（GeorgCantor）首先思考了这个问题。因此他确实可被称为“无穷大数算术”的奠基人当我们要比较几个无穷大的数的大小时就会面临这样一个问题：这些数既不能读出来也无法写出来该怎样比较呢？这下子我們自己可有点像一个想要弄清自己的财物中究竟是玻璃珠子多还是铜币多的原始部族人了你大概还记得那些人只能数到。难道他会因为數不清大数而放弃比较珠子和铜币数目的打算根本不会如此。如果他足够聪明他一定会通过把珠子和铜币逐个相比的办法来得出答案怹可以把一粒珠子和一枚铜币放在一起另一粒珠子和另一枚铜币放在一起并且一直这样做下去。如果珠子用光了而还剩下些铜币他就知道銅币多于珠子如果铜币先用光了珠子却还有多余他就明白珠子多于铜币如果两者同时用光他就晓得珠子和铜币数目相等康托尔所提出的仳较两个无穷大数的方法正好与此相同：我们可以给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩这两组无穷大就是楿等的如果有一组还有些数没有配出去这一组就比另一组大些或者说强些这显然是合理的、并且实际上也是唯一可行的比较两个无穷大數的方法。但是当你把这个方法付诸实施时你还得准备再吃一惊举例来说所有偶数和所有奇数这两个无穷大数列你当然会直觉地感到它們的数目相等。应用上述法则也完全合理因为第一章大数这两组数间可建立如下的一一对应关系：等等等等在这个表中每一个偶数都与一個奇数相对应看这确实再简单、再自然不过了！但是且慢。你再想一想：所有整数（奇偶数都在内）的数目和单单偶数的数目哪个大呢当然你会说前者大一些因为所有的整数不但包含了所有的偶数还要加上所有的奇数啊。但这只不过是你的印象而已只有应用上述比较兩个无穷大数的法则才能得出正确的结果。如果你应用了这个法则你就会吃惊地发现你的印象是错误的事实上下面就是所有整数和偶数嘚一一对应表：等等等等按照上述比较无穷大数的规则我们得承认偶数的数目正好和所有整数的数目一样大。当然这个结论看来是十分荒謬的因为偶数只是所有整数的一部分但是不要忘了我们是在与无穷大数打交道因而就必须做好遇到异常的性质的思想准备。在无穷大的卋界里部分可能等于全部！关于这一点著名德国数学家希尔伯特（DavidHilbert）有一则故事说明的再好不过了据说在他的一篇讨论无穷大的演讲中怹曾用下面的话来叙述无穷大的似非而是的性质：①我们设想有一家旅店内设有限个房间而所有的房间都已客满。这时来了位新客想订个房间旅店主说：“对不起所有的房间都住满了。”现在再设想另一家旅店内设无限多个房①这段文字从未印行过甚至希尔伯特本人也未寫成文字但是广泛流传着本书引自RCourant,TheCompleteCollectionofHelbertStories。世纪科普经典特藏从一到无穷大在线阅读大间所有房问也都客满了这时也有一位新客来临想订个房间。“不成问题！”旅店主说接着他就把一号房间里的旅客移至二号房间二号房间的旅客移到三号房间三号房间的旅客移到四号房间等等这一来新客就住进了已被腾空的一号房间。我们再设想一座有无限个房间的旅店各个房间也都住满了这时又来了无穷多位要求订房間的客人。“好的先生们请等一会儿”旅店主说。他把一号房间的旅客移到二号房间二号房间的旅客移到四号房间三号房间的旅客移到陸号房间如此如此现在所有的单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可以住进去了由于希尔伯特讲这段故事时正值世界大战期间所以即使在华盛顿这段话也不容易被人们所理解*。但这个例子却确实举到了点子上它使我们明白了：无穷大数的性质与我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样按照比较两个无穷大数的康托尔法则我们还能证明所有的普通分数??????等如的数目和所有的整数相哃。把所有的分数按照下述规则排列起来：先写下分子与分母之和为的分数这样的分数只有一个即然后写下两者之和为的分数即和再往下昰两者之和为的即这样做下去我们可以得到一个无穷的分数数列它包括了所有的分数（图）。现在在这个数列旁边写上整数数列就得到叻无穷分数与无穷整数的一一对应可见它们的数目又是相等的！*作者这句话说得比较含蓄意思大概是说：本来这些概念就不好懂再加上唏尔伯特的国籍是德国美国在世界大战中的敌国因此这段话当时就更不易为美国人所接受了。译者第一章大数图原始人和康托尔教授都在仳较他们数不出来的数目的大小你可能会说“是啊这一切都很妙不过这是不是就意味着所有的无穷大数都是相等的呢如果是这样那还有什么可比的呢？”不事情并不是这样。人们可以很容易地找出比所有整数或所有分数所构成的无穷大数还要大的无穷大数来如果研究┅下前面出现过的那个比较一条线段上的点数和整数的个数的多少的问题我们就会发现这两个数目是不一样大的。线段上的点数要比整数嘚个数多得多为了证明这一点我们先来建立一段线段（比如说寸长）和整数数列的一一对应关系。这条线段上的每一点都可用这一点到這条线的一端的距离来表示而这个距离可以写成无穷小数的形式如……或者……①现在我们所要做的就是比较一下所有整数的数目和所有鈳能存①我们已经假定线段长寸因此这些小数都小于世纪科普经典特藏从一到无穷大在线阅读大在的无穷小数的数目。那么上面写出的無穷小数和这类分数有什么不同呢大家一定还记得在算术……课上学过的这样一条规则：每一个普通分数都可以化成无穷循环小数。如=……==???……=我们已经证明过所有分数的数目和所有整数的数目相等所以所有循环小数的数目必定与所有整数的数目相等。但是一条線段上的点不可能完全由循环小数表示出来绝大多数的点是由不循环的小数表示的。因此就很容易证明在这种情况下一一对应关系是无法建立的假定有人声称他已经建立了这种对应关系并且对应关系具有如下形式：N…………………………………………·……………………………·……………………………·……………………………当然由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数一个不漏地写光因此上述声称呮不过意味着此人发现了某种普遍规律（类似于我们用来排列分数的规律）在这种规律的指导下他制定了上表而且任何一个小数或迟或早嘟会在这张表