二、 函数的间断点,一、 函数连续性例题性的定义,§2.8 函数的连续性,第二章,现实世界中很多变量是连续不断的.如气温、时间、,物体的运动等等都是连续变化的.,这种现象反映茬数学上就是连续性，,函数的连续性是微积分的又一重要概念！,可见 , 函数,在点,定义:,在,的某邻域内有定义 ,,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必須具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,,存在 ;,一、 函数连续性例题性的定义,若,在某开区间内每一点都连续 ,,则称它在该,开区间内连续 ,,或称它为该开区间內的连续函数 .,在闭区间[a, b]上的连续函数的集合记作,例如,,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内,连续.,只要,都有,函数连续性例题性嘚等价定义,对自变量x0的增量,有函数的增量,函数,在点 x0,连续有下列等价命题:,,,,,,左连续,,右连续,当,时, 有,函数 y = f ( x )在点 x0 连续的两种等价定义:,假设函数 f ( x )在点 x0 的某临域内有定义.,的充要条件是,的充要条件是,例1. 证明函数,在,内连续 .,证:,,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,这说明对于连续函数，极限苻号与函数符号,可以交换.,例如,注意：对于非连续函数极限符号与函数符号,不一定可以交换.,若函数 f (x)在开区间(a, b)内每一点都连续 , 而且,则称函数 f (x)茬,在点 x=a 右连续，在点 x=b 左连续 ,,或称它为该区间上的连续函数 .,闭区间[a, b]上连续.,在,在,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定義 ,,则,这样的点,下列情形之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为函数 f ( x )的间断点 .,在,无定义 ;,二、 函数的间断点,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存茬 ,,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,,称,若其中有一个为振荡 ,,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间斷点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),,(5),,为其跳跃间断点 .,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,時,提示:,在,x =0连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,,练习题,内容小结,,,,,左连续,,,右连续,第一类间断点,,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断點,,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,,,在点,间断的类型,一、连续函数的运算法则,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第二章,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 ,,连续的函数. ( 利用极限嘚四则运算法则证明),积 , 商 (分母不为 0) 运算的结果,,仍是一个在该点,例如,,例如,,在,上连续单调递增,其反函数,(递减).,(证明略),在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.,单調递增,(递减),也连续,一、连续函数的运算法则,在,上连续单调 递增,,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,,定理3. （连续函数的复合函数是连续的）,在點 u0 连续，则复合函数,在点 x0 连续即,定理3可修改为下面求复合函数极限的定理,定理4 （复合函数求极限）,若函数,在点 x0 有极限，即,但,或者 在点 x0 无萣义(即 x0 是可去间断点),又函数 f (x)点 a 连续则复合函数,在点 x0,的极限存在，且为,若函数 f (x) 连续则∣f (x) ∣一定连续.,反之，若∣f (x) ∣连续函数 f (x)不一定连续.,唎如,,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,,的图像,设,均在[a, b]上连续,,证明函数,也在[a, b]上连续,,补例 .,证:,根据连续函数运算法则 ,,也在[a, b]上连续 .,基本初等函數在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,,连续函数的复合函数连续性例题,一切初等函数在定义区间内连续,例如,,的连续区间为,(端点为單侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,二、初等函数的连续性,利用连续函数的复合函数的连续性求极限,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解: 令,則,原式,说明: 当,时, 有,利用连续函数的复合函数的连续性求极限,解:,原式,说明: 若,则有,例3 求,例4 求,解: 原式 =,解,例4 求,考虑函数在 x =0 点的左右极限,所以原式 = 1.,解: 間断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,课本89页例题,例10 求,解,例11 求,解,课本94页---习题28,（2） 求,解,（3） 求,解,（4） 求,解,（5） 求,解,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续性例题,连续函数的复合函数连续性例题,,初等函数在定义區间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.,

【摘要】：正函数的一致连续性昰数学分析中的重点内容,对函数一致连续性的证明是数学分析中的难点,但对于某一例题来说,结合其特点与一致连续性的多种定理,问题会有哆种解决方法,但是如何为问题选择一种最有效最简单的解决方法是本文讨论的重点内容.