微分方程的通解公式表解

点击联系发帖人 时间：2018-07-01 07:16

微分方程的通解公式表

这里的非齐次方程解法的方法很哆包括很多辅导书都有介绍，个人感觉都不怎么详细所以这里对这部分我用个人感觉好的方法说一下

二阶常系数线性非齐次方程的形式如下
基本求解思路如下，我们先要有一个总的思路用于解题

一.特解求法一：待定系数法

优点：简单易懂不易错

缺点：计算量相比其他較大
二阶常系数非齐次方程的非齐次项f(x)与特解的关系如下，该表需要记住才能用于解题
这里小编把例题的详细过程已经写出来了，一般輔导书不会有详细的解答如果还没有明白，请联系小编

一.特解求法二：微分算子法

优点：简单快捷，适合处理2次以上微分方程
要学习微分算子我们先引入以下几个符号
那么，该如何表示特解呢
不知道同学们能否理解？其实不理解也没关系和小编一起做下面这道题基本就没问题了。这道题{}符号里的在具体解题时不用写出因为那是小编为了你们更好理解才写出来的，公式的变化和推导要多做才会
所以上面一题原方程的通解为

有兴趣的可以一起研究，这里就不作说明了

解法比较长却不难，都是公式的锅
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我以前一直很奇怪为什么三次方程求根公式有两部分构成四次三个部分...

如果五次是不是四个部分? 这意味着什么? 看起来很像线性结构?

最近看到一种很有趣的五次方程解法.

┅定程度上解决了我的这个疑惑

这个方程不可因式分解，其伽罗瓦群是亚循环群M₂₀

一个简单的线性常微分解之得：

这就很有趣了...这个同解微分方程怎么得到的呢?

顶级数学家的计算力自己看着办吧……

让我们从布林杰拉德正规式开始计算

因为所有的五次方程都能转化为布林杰拉德正规式：

我们把 x 看成 t 的函数，也就是考虑函数方程：

你这个对齐能不能再烂一点

我们希望它同解于一个微分方程：

接下来我们对(2)式反複求导

然后把(4)式代入(3)式

重新代入(5)式中反复代入直到没有任何项次数高于5

注意到第3项系数是求不出的，这意味着线性无关(无关紧要)直接设為1即可

于是我们成功地求出了同解微分方程！

然后求解这个方程...不说了太长了

软件计算时间大概一分钟不到吧...

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