H一一譬■一‘iI■譬■■-一一■●彡重积分计算法的一种直观理解

(重庆电力高等专科学校重庆400053)

摘要:本文从高等数学教学实戢出发,借助三童积分为“非均匀聱度立体的质量”嘚物理模型,同时结合穿针法和裁平面法,给三重积分的计算方法以一种全新的理解,有助于教学中学生更形象地理解和掌握三重积分的计算方法

关键词:三重积分质量非均匀密度

牛顿——莱布尼兹公式给出了定积分的计算方法,由此而演生的定积分元素法解决了计算已知平行截面媔积的立体体积,进而又解决了曲顶柱体的体积计算,给二重积分化为二次积分以一个易理解的几何解释。但由于三重积分的积分区域已是一個空间的立体,无直观的几何模型来辅助理解,因而往往需借助物理模型来作解释,如非均匀密度的立体的质量,虽然利用分割、取近似、求和、取极限的元素法不难理解的,可对于三重积分的计算要化为三次定积分,为什么必须只需化为三次定积分,且在化为三次定积分的过程中可以先求一个定积分,结果再求一个二重积分呢(穿针法)?或者先求一个二重积分,再求一个定积分(截平面法)?怎样理解这里的定积分和二重积分是理解三偅积分计算法的关键所在,那么除元素法外有没有更为直观的方法可以帮助我们理解呢?

既然三重积分没有恰当的空间几何模型帮助我们理解,對于它的计算过程,习惯上我们也使用三重积分的物理模型如非均匀立体的质量来认识它,而且我们已经利用定积分和二重积分很好地解决了悝想的非均匀密度的直线段和平面薄片的质量,那么为何不将空间立体的质量问题化为平面薄片或直线段质量问题,如果可以的话,这不正好是彡重积分计算过程中的二重积分与定积分吗?

定义:设空间立体o,在某一平面上的垂直投影区域为质平面D;若它在某一直线上的垂直投影为质线段L质平面上任一点为过该点且垂直于质平面的直线被立体所截得的位于立体内部的质点,质线段上任一点为过该点且垂直于质线段的平面截竝体所得的截面的质点。

图1Q上连续且大于零,平行于z轴的且穿过0

内部的直线与Q至多有两个交点将Q投

影到XOY面上得一平面闭区域D,以D的边

乔曲线為准线作母线平行于Z轴的柱面分

轴的直线必从Sl穿入S2穿出Q,设与S,,

设想将立体Q作垂直压缩成投影平面

薄片,即质平面。这样立体的质量也就是投

影岼面的质量,即饩=M而对于D上任

一点C(x,y)实际上也是由线段BA压缩而

成,故其质量也就是线段BA的质量,即

又当X,Y取定时,线段BA的密度为z的

因为点(X。Y)为质线段BA嘚质点,所以

就平面薄片D来说,函数F(x,Y)也就是点

(X,Y)处的密度,故根据二重积分应用于求

非均匀密度的平面薄片的质量可知:

影到其它坐标面上可得其余幾种积分顺序

的计算方法(见图l、2)

投影到Z轴L得到一质线段z,z1,则线段

五z,的质量取Mz.Z,即是立体Q的质量

面截Q于一截面s。则点z处的质量M:也

就是截面S。嘚质量Ms。

s为一非均匀。F面薄片,其密度就是f(x,

随着z取值的不同,F(z)也表永不同截

面的质量,同时Z又是该截面的质点,因此

函数F(z)也就是线段Z]Z2上任一点z處的

密度,故线段z乃的质量即立体的质量为:

同样地,将立体投影到其它坐标轴上

将得到其余两种形式的积分方法。如果我

们再将非均匀密度嘚卜面薄片压缩到坐标

轴上,不难理解}:述的二重积分化为二次积

分,进一步,也就不难理解上述的三次积分。

在上述过程中,定积分被理解为线段

的质量,二重积分被理解为平面薄片的质

量,在穿针法中立体质量为平面薄片的质

量:在截平面法中,立体质量为线段的质

量类似于定积分与②重积分给面积体积

赋以负值?样,我们给质量也赋以负值则

不难认识上述的三重积分对于f(x,y,z)在

数学来源于万事万物的高度抽象与概

括,恰当的粅理模犁有助于我们更好理解

一些概念、理论、方法,使之变得直观而易

于接受。这不仅可以降低学生学习理论的

难度,又可以加强理论与实踐的联系,提高

应用理论知识解决实际问题的能力

[1】韩成茂,高【】.华.利用积分的物理意义

推导三重积分的两个公式【J】.科技信息

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