如果一个矩阵满足A^2+4A+3I=0则这个矩阵的特征值是多少?
问题描述：
如果一个矩阵满足A^2+4A+3I=0则这个矩阵的特征值是多少?肯定有人说是-1和-3,但是-1和-3都是特征值呢,还是不能确定呢?
问题解答：
显然t^2+4t+3=0是矩阵A的化零多项式,如果它是次最小化零多项式,则它就是A的最小多项式,此时它的两个根-1和-3均是A的特征值,否则由最小多项式能整除任何化零多项式以及t^2+4t+3=(t+1)(t+3),它的最小多项式一定是t+1或是t+3其中之一,如果是前者A的特征值是-1,如果是后者A的特征值是-3,设f(A),g(B)是任意矩阵多项式,一般来说由f(A)g(B)=O,不能得到f(A)=0或g(B)=O,这是因为矩阵环不是整环,两个非零的矩阵的乘积可以是零矩阵.但是对本题上述的分析由A^2+4A+3I=(A+I)(A+3I)可得A+I=O或A+3I=O,但不一定两个同时成立,也即-1和-3两者至少有一个是A的特征值,但不一定全是.如A=-I,(-I)^2-4I+3I=0.但A仅有一个-1的特征值.
我来回答：
剩余:2000字
R（A）=1所以A的属于特征值0的线性无关的特征向量的个数为 n-r(A)=3-1=2矩阵可对角化的充分必要条件是：每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数 因为n-r(A)=3-1=2不等于3所以不可以对角化 再问： 为什么秩是1呢？ 再答： 所有二阶子式对应行列式值为0例如1 1 -1 -1=0
显然是不能的. 可以用反证法,设n阶矩阵A有n重特征根0,且能相似对角化,则必存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=对角阵(此对角阵与A具有相同的特征值,所以只能是0矩阵),这样就得出了A为零矩阵,显然是矛盾的. 最有一问, 矩阵A的秩又算是多少?你题中的矩阵A的秩为1.因为3行成比例,相当于1个非零行,所以秩为1.
∵(A+2I)·(A+2I)=A²+4A+4I=I∴A+2I可逆,且其逆为自身A+2I
sets:r/1..6/:;c/1..6/:;links(r,c):x;endsets@for(links:@bin(x));!用@bin()函数限制6*6矩阵x为0-1矩阵;
可以.且A不必是实对称矩阵设a是A的特征值,则 a^2-a 是 A^2-A 的特征值而 A^2-A = 0所以 a^2-a = 0所以 a(a-1)=0所以 a=0 或 a=1. 再问： 下面是摘抄自书本的原话： 若仅有A²+2A=0这一条件，是不能确定A的特征值的！因为满足条件A²+2A=0的矩阵
因为A相似于对角矩阵diag(2,2,2,-2)所以A的特征值为 2,2,2,-2|A| = -16所以 A* 的特征值为(|A|/λ):-8,-8,-8,8所以 1/4A*+3I 的特征值为 (1/4 λ + 3) :1,1,1,5所以 det(1/4A*+3I) = 1*1*1*5 = 5.
若A矩阵可逆 那么括号里的就是0 再问： 这是什么原理呢？ 再答： 再答： 你看注里的两条再问： 我们课本上没有这个，现在明白了！能跟我解释下rA是什么吗，十分钟后采纳，谢谢！ 再答： ra是矩阵的轶 再答： 再问： 谢谢！！！
三阶矩阵特征值不超过三个,重根按重数算,现在既然知道-1、-2、-3是A的特征根,那么由于所有特征根的乘积正好等于A的行列式（特征根的性质）,可见det(A)=-6 A+4I的三个特征值分别是3,2,1,同样的原因,乘一块儿就行了,为6.
（1）因为I＋A,3I－A,I－3A均不可逆所以取行列式：│I＋A│=0,│3I－A│=0,│I－3A│=0所以A有三个特征值：λ1=-1,λ2=3,λ3=1/3而│A│=λ1λ2λ3=-1≠0所以A是可逆矩阵.（2）因为三阶矩阵A具有三个不同的特征值,所以A有三个线性无关的特征向量.所以存在一个由这三个线性无关组成的
由AA^T=2I等式两边取行列式得 |A|^2=|AA^T|=|2I|=2^4=16由 det(A)
第一题#includeint main(){ int a[7][7]; int n,i,j,sum=0; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); puts("Input array:"); for(i=0;i
首先,因为属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量所以A的特征值为k,k,...,k (即k是A的n重特征值)再由n维基本向量组ε1,ε2,...,εn是特征向量所以 (ε1,ε2,...,εn)^-1A(ε1,ε2,...,εn) = diag(k,...,k)即有 A = kE 是数量矩阵. 再问： 老师你好 (ε
当且仅当m=n时,det（A）才有定义.一般矩阵的秩 r(A) 可以从不同角度定义,其意义都是等价的,如：r(A) = 矩阵的行秩 , 即行向量的极大线性无关组中向量的个数；r(A) = 矩阵的列秩 , 即列向量的极大线性无关组中向量的个数；r(A) = 矩阵的不等于0的最高阶子式的阶；从而 A 是m*n阶矩阵,那么
ax^2+bx+c=0的一个根为2,即4a+2b+c=0,∴4a+2b+c=0；反之：4a-2b+c=0,则 ax^2+bx+c=0的另一个根 x=-2
还要看矩阵的阶数,如果矩阵就是三阶的,现在我们又知道它有三个不同的特征值,那么可以得到矩阵的特征值无重根.对于任意n阶矩阵,只要它有n个不用的特征值,就可以判断它的特征值无重根 再问： 懂起了！
既然矩阵是m×n的,不是方阵,也就没有对应的行列式了,长方形的矩阵变不出正方形的行列式矩阵的秩要小于该矩阵的行数或者列数,换句话说行数和列数两者中较小的也不比秩小.所谓秩就是非零子式最高阶数,如果矩阵列数只有n列,当然它也只能提供n列,想想子式定义（从原矩阵中选取同样数目的行和列）,就明白子式的阶数（或者理解为大小规模
|3A+2E|=0,故(-3)^3|-A-2/3E|=0,|-2/3E-A|=0,A必有一个特征值-2 /3
实系数方程则根式共轭虚数所以另一根是√2+√3i由韦达定理x1+x2=-b/2x1x2=c/2所以b=-(x1+x2)=-2√2c=2x1x2=2(2+3)=10
Dim a(5,5)Private Sub Command1_Click()'右,倒三角形For i = 0 To 4For j = 0 To 4If j >= i Thena(i,j) = 1Elsea(i,j) = 0End IfPrint a(i,j),Next jPrintNext iEnd SubPrivat
也许感兴趣的知识浅谈matlab
最近一段时间大概学习了一下matlab，在这里做一下总结，有不对的地方真心希望大佬指教，本人小白一枚。
matlab作为一款集计算，统计，代数，矩阵，方程，各种算法，还有强大的绘图功能于一身，确实相比其他软件要好用，大多数情况下只要调用函数便可实现我们想得到的结果，matlab对已有的算法和功能的使用确实比较强，但是对于比较高级和创新型的算法自我感觉还是不到java或者是c++。
一.强大的计算功能
1.线性方程组的一个解
1&Ax=b,x=pinv（A)*b
若线性方程组有一个解，则matlab给出该解；若线性方程组无解，则matlab给出最小二乘解，即|Ax-b|^2最小；若线性方程组有许多解，则给出最小范解；
2&若给定条件xa=b，则x=solve(x*a==b),但是自我感觉还是pinv（）函数好用；
2.线性方程组的通解
[R,lie]=rref(a),返回值R是矩阵a的行最简式，lie是a的列向量组的最大无关组的标号，a是线性方程组的未知量的系数和和右端数值的大小组成的矩阵；
3.非线性方程的零点
1&a=roots(p),p是该非线性多项式的次数前面的系数，如x^6-5x^5+3x^2+7=0,则p=[1,-5,0,0,3,0,7],a为这个多项式所得到的全部解;
2&fzero 可以求出给定初值附近的一个数值解，a=fzero(x,y)，其中x是该多项式,y是给定的初值，a是所求出的数值解；
4.非线性方程组的符号解
s=solve([X1,X2,X3......],var),[X1,X2,X3......]为所给的方程组，var为符号变量，s为求得的符号解；
5.非线性方程组的数值解
s=fsolve(fun,x0,var)，其中fun是定义方程的函数,x0是初值，var是优化参数的设置；
6.矛盾方程组的最小二乘解（何谓矛盾方程解，通俗点说，就是方程的个数大于未知量的数目）
1&用刚才提到的pinv函数可以求得，调用的形式也相同；
2&x=lsqnonlin(fun,x0),其中fun是方程组匿名函数的返回值，x0是初始值；
7.常微分方程组的符号解
a=dsolve(fun,x0),fun为符号微分方程，x0是初值或者边界，在matlab中求导数的函数是diff函数diff(x,2)指x的二阶导数
8.常微分方程组的数值解
[t,y]=obe45(fun,qujian,y0]，其中fun是M函数或者是匿名函数定义的f(t,y),qujian指一个区间[to,tfinal],to必须是初始条件中自变量的取值，tfinal可大可小,y0是初值，t是matlab自动离散化的[to,tfinal]上的点，y是点t所对应的值
9.高阶微分方程组的数值解
在matlab中没有求解高阶微分方程特定的函数，我们需要把它化为一阶，然后再调用函数，其中主要用到diff函数
10.矩阵运算
在这里，我就不啰嗦特殊矩阵的命名函数，说一下矩阵中元素或者块的常用操作
1&a([i1:i2],:)=[],删除a的i1~i2行；
2&a=(:,[i2:-1:i1])以逆序提出矩阵i1~i2列
3&diag(a,k)抽取矩阵 a的第 k 条对角线元素向量（主对角线编号为 0，上方的 编号依次加 1，下方的编号依次减 1）； 若 a为向量，生成一个以 a 为第 k 对角线元素的方阵
4&tril(a,k)抽取矩阵 a的第 k 条对角线下面的部分
5&triu(a,k)抽取矩阵 a 的第 k 条对角线下面的部分
6&flipud(a)矩阵a进行上下翻转
7&fliplr(a)矩阵a进行左右翻转
8&inv(a)求矩阵a的逆
9&det(a)矩阵a的行向量
10&rank(a)矩阵a的秩
11&eig(a)求矩阵a的特征值及特征向量
12&var(a)求矩阵的列方差(std(a)---标准差）
13&cov(a)矩阵列的协方差矩阵
总结：1&在方程求解的过程中，matlab不用再编写程序，直接按格式调用函数即可;
2&为什么会有符号解和数值解两种情况呢?
其实微分方程等不一定有精确解，也就是符号解，或者叫解析解，所以要把它转化成数值解来输出，通俗点说，数值解是在方程组在无解的情况下的一种补救措施;
3&在求解过程中，我们一定要把方程和矩阵联系起来，很多时候，它们似乎是一一对应的关系，例如可以通过矩阵和增广矩阵的秩来判断线性方程组是否有解，把系数组成的矩阵化成最简矩阵，可以很容易求得其解；
4&遇到复杂的方程组，我们可以通过转化组成为以上几种方程形式，然后再调用相应的函数。
二.多维的绘图功能
1.简单的plot(x,y,'color-style-marker')函数
2.一个窗口分成多个子窗口subplot(m,n,y)分成m*n个窗口，并且将该图化在第y个子窗口中
3.fplot(fun,limit,tol,miaoshu),fun指函数，limit限制了范围，tol指相对误差，描述是指对线条的修饰
4.三维绘图命令
plot3(x,y,z)分别指横坐标，纵坐标，竖坐标
mesh(x,y,z)画网格曲面，x是m维的向量，y是n维的向量，z是m*n的矩阵
surf(x,y,z)画三维表面图
ezsurf(fun,qujian)在指定的区间内画函数f
ezmesh(fun,qujian）在指定的区域内画出二元符号函数网格图f(x,y)
5.四维空间绘图
cplxgrid(m)构建一个极坐标的复数数据网格，产生一个(m+1)*(2*m+1)的极坐标下的复数数据网格，最大半径为1的圆
cplxmap对复变函数（四维）做图，其方法是三维空间坐标再加上颜色cplxmap(z,f(z)),它在作图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实步，以颜色表示虚部
绘图的修饰功能：
坐标轴显示：axis('auto')将坐标轴设置返回默认状态；axis('off/on')不显示/显示坐标轴
axis('square')将坐标轴设置为正方形
axis('equal')将两个坐标轴刻度设置为相等
坐标轴范围：axis[x1,x2,y1,y2]
grid off/on(不）显示网格线
绘制叠加图形：hold （off)on(不）启动图形保持功能
增加图例：legend('s1','s2')
增加标注：text(x,y,'s')在二维图形指定位置(x,y)处增加标注s
增加箭头：annotation('arrow',x,y)添加从点（x(1),y(1))到(x(2),y(2))的箭头
产生网格数据：meshgrid(t,s)(二维)(生成极坐标的网络数据）
三：高效处理统计学中概率问题
1.概率分布
离散型随机分布：
二项分布binopdf(k,n,p)n:实验总次数，p:每次所发生的概率,k:事件发生k次
二项分布累计概率值：binocdf(k,n,p)n:实验总次数，p:每次所发生的概率,k:事件发生k次
概率和累计概率差别：相当于发生一次和至少发生一次的差别
泊松分布：poisspdf(k,o)k:事件发生次数,o是参数/条件：1&事件相互独立
2&事件概率相同
3&求事件发生x次的概率
泊松分布累计概率值：poisscdf(k,o)k:事件发生次数,o是参数
超几何分布：hygpdf(k,n,m,t)k:抽的次品数，n产品总数，m次品总数，t抽的次数(不放回抽取）
超几何分布累计概率值：hygcdf(k,n,m,t)k:抽的次品数，n产品总数，m次品总数，t抽的次数
连续型随机分布：
均匀分布：unifpdf(x,a,b)表示（a,b)上均匀分布概率密度在x处的函数值
指数分布：exppdf(x,o)参数为o的指数密度函数
正态分布：normpdf(x,a,b)参数为a,b的正态分布概率密度函数
分布函数是专用函数计算累计函数概率的函数值
分布函数所调用的函数只是将上边的函数中的pdf改为cdf
2.数字特征
1&数学期望：sum(x)-----x是向量，sum(x)是所有数的和/x是矩阵，sum(x)是各列元素之和，返回一个行向量
2&均值函数：mean(x)------x的不同形式导致的不同数值与sum相似
3&方差：由公式可得，方差的计算是dx=sum(x.^2*p)-(EX).^2
1&数学期望，方差都可以根据数学期望来计算dx=e^2(x)-e(x^2)
但是matlab在统计工具箱中给了很多现成函数，只需要把随机分布函数中后边的pdf或者cdf改为stat
注明：该图像来自于百度
3.统计直方图
1&hist(z,n)直角坐标系下的统计图，n表示直方图的区间数
2&rose(z,n)极坐标下角度直方图，n是[0,2]范围内所分区域数，z为指定的弧度数据
4.参数估计
mean(x)----均值估计
median(x)-----中位数
var(x)-------方差
std(x)-------标准差
skewness-------偏差
注明：该图像来自于百度
5.假设检验
1&单个正态总体方差知道，对期望的假设检验-----z检验方法
x=ztest(X,a,b)X是样本，a是期望值，b是正态总体标准差----若x=0，则接受原假设，若x=1，则拒绝原假设
2&单个正态总体方差未知，对期望的假设检验-----t检验法
x=ttest(X,,m,n)X是样本，m是期望值，n是所代表的水平----若x=0，则接受原假设，若x=1，则拒绝原假设
3&两个正态总体均差值的检验-----t检验
[h,sig,ci]=ttext(x,y),sig为观察值的概率，ci为置信区间
注意：在matlab中还有很多与c++相同的地方，比如循环体，赋值语句，变量，常量，运算符.......我们可以通过类比来学习，达到事半功倍的效果。
有关与matlab中算法相关的知识点，比如求最短路的floyd算法，排队论中的poisson过程......，有时间再更新，今天有点肝不动了。。。。
了解Matlab
matlab在高等数学中的应用
浅谈Bloom Filter基本原理及使用方式
浅谈AP聚类算法-matlab
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吗？【高等代数吧】_百度贴吧
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本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
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设A为三阶非零矩阵且A?＝0，收藏
设A为三阶非零矩阵且A?＝0，则A的最小多项式m（λ）＝λ
不，应该是λ?。非零阵，故最小多项式次数＞1，再由A?＝0知λ?符合。
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&矩阵A的n-1次方不等于零，但n次方为零，求其特征值以及证明其不能对角化
矩阵A的n-1次方不等于零，但n次方为零，求其特征值以及证明其不能对角化
作者 tomyfuture
矩阵A的n-1次方不等于零，但n次方为零，求其特征值以及证明其不能对角化& &手机上网页，在线求解
设 f(x) = x^n
因为 A^(n-1)不等于0，而A^n=0,
所以 f(x) = x^n是A的最小多项式，所以A的特征值全为0，又因为最小多项式有重根，所以A不可以对角化
我们假设A是可以对角化的，则有：A=P^-1DP，其中D是对角矩阵，由于A的n-1方式不为0的，则有：A^n=P^-1D^(n-1)P不等于0，也就是D^(n-1)不为零，则对较线元素必有非零的。而A的n次方等于0，D必定为0，与前面的矛盾。（这是我的想法，请楼主参考一下）
解特征值也不一定要用最小多项式，可以假定 A 有非零特征值 g 及对应特征向量 v，则
[latex]0={A^n}{v}={g^n}v\ne{0}[/latex]
得出矛盾，从而 A 没有非零特征值，所有特征值全为零。
线性代数的题一般都有多种方法，能掌握的尽量掌握，掌握得越多，理解就越深刻，
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