点到直线的距离&&教学设计&&张家港市工贸职业高级中学&&金海英[教学背景]一、 教材分析本节课是江苏省中等职业试用教材《数学》第三册第七章平面解析几何中第二节“直线间关系&&点和直线的关系”中“点到直线的距离”的第一课时。点到直线的距离公式是解决理论和实际数学问题的重要数学工具之一，它使对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到了定量的认识。它既是直线部分的终点，又是研究二次曲线的开始。点到直线距离公式的掌握，有助于学生今后研究一些常见的几何问题，如求两平行线间的距离，过一点求圆的切线方程，圆心到直线的距离，推导抛物线的方程等。二、 学情分析在此之前，学生已经过两点之间的距离公式、直线方程的多种形式以及两直线的位置关系。在教学过程中，对教学重点和难点要层层设疑，在公式推导中，要让学生体会推导思路的区别，优化推导方法，提高学生对问题的转化能力，增加学生参与教学的机会，让学生“学”有“思”，“思”有“得”。[教学意图]一、 教学方法和教学手段的选用根据学生的实际水平和具体的教学内容，我主要采用问题教学法、计算机辅助教学、讲练结合等方法。问题教学法主要是为了强化以学生为主体的教学过程，从提出问题到发现问题进而来研究问题，对学生来说无处不存在着思维的刺激点，这样能充分调动学生的学习积极性和主动性，使学生主动参与教学。我利用问题教学法引导学生探索求点到直线的距离的方法并完成对公式的推导。而利用计算机辅助教学，可以增大教学的容量和直观性，使整个生动，有趣，高效。讲练结合则主要是为了使学生熟悉并掌握点到直线的距离计算公式。二、教学要求：（1）知识目标：1． 掌握点到直线的计算公式及会公式的初步应用；2． 领会渗透公式推导中所蕴含的数学思想（化归、数形结合等）。（2）能力目标：&&&&&&&&&&&&通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，培养他们分析问题、解决问题的能力，应用及创新的能力。（3）情感目标：培养学生勇于探索的学习精神，培养学生良好的数学品质。三、教学重点与难点的确定本节课的重点是点到直线的距离公式，因为这是求点到直线的距离和两平行线之间距离，包括以后研究解析几何常用的数学工具。本节课的难点是点到直线的距离公式的推导。在处理这个难点时，关键之一是化未知为已知，也就是怎样将点到直线的距离转化为点与点之间的距离；之二是怎样简化课本上繁琐的计算P、Q两点间的距离计算。因为实质上这个计算过程并不是重点，对学生数学思维的优化并没有太大的帮助，但又不得不进行，因此会浪费学生不必要的。所以，为了真正能体现以学生为主体，我没有象书本上那样费尽心思去计算繁琐的Q点坐标，再代入距离公式，而是对推导过程进行了一定的剪切和重新组合，构建出有利于学生数学能力培养的教学环节，使用了计算上一定的技巧性，去接近学生思维发展的“最近发展区”，从而顺利、快速地导出公式。&[教学过程设计]一、 引入课题师：上一节课我们学习了哪些内容？生：①平面上两点的距离公式&&②如何求两直线的交点坐标；师：那我们就举个具体的例子吧：求直线x+y=0与x-y-2=0的交点坐标（师放映课件）生：将两条直线方程联立组成方程组，解得交点坐标为(1,-1)师：好，我再给你一点(2,0)，你能求出点(1,-1)与点(2,0)与之间的距离吗？（师放映课件）生：点(1,-1)与点(2,0)与之间的距离是&师：回答得很好！下面请大家观察直线x+y=0，点&(1,-1)和点(2,0)，过点&(1,-1)和点(2,0)的直线与直线x+y=0有什么关系？生：垂直。并且点(1,-1)和点(2,0)之间的距离d实际上就是点（2,0）到直线x+y=0的距离。师：此时点入课题，这就是本节课我们要学习的内容。（通过这样的情境设计，贴切，又可以激发学生的求知欲，让学生在具体问题中有目的地参与教学。）二、 讲授新课[提出问题]师：在初中里，们学习过点到直线的距离吗？&生：学习过。已知一点，求它到直线的距离只需过该点向已知直线作垂线，该点与垂足之间的连线的长度为点到直线的距离。师：根据学生回答情况作一定的补充，并利用课件说明定义和演示作图的方法。师：好，那我们就看刚才的例子，你知道如何求出点（2,0）到直线x+y=0的距离吗？（组织学生讨论、分析）生：先求交点，转化为求两点之间的距离。师：这个方法不错呀！那么如果已知直线l的一般方程ax+by+c=0，点P的坐标是(x0,y0)，又如何去求点P到直线l的距离呢？（再组织学生讨论分析。然后由教师对学生的总结进行评价，得出解决问题的方案）由已知条件求出与l垂直的直线方程l1，再求出l与l1的交点Q，最后利用两点之间的距离公式来求PQ两点之间的距离。（以上教学安排，符合学生的思维发展变形，而且蕴含了从特殊到一般的数学思想，能使学生真正参与教学。）[解决问题]――点到直线距离公式的推导(1)根据解决问题的方案引导学生联立方程解出Q点的坐标（x1,y1），发现计算很繁，代入两点之间距离公式后更繁；(2)诱发学生思考，提出问题：能否不求Q的坐标而达到目的呢？最终我们要求的是什么？(3)学生也能发现最终所要求的OPQO是用x1-x0,y1-y0来表示；(4)启发学生直接求x1-x0,y1-y0的关系式，这时学生抱着积极的态度，为避免复杂计算而努力思考，最后发现&&&&&&&&&&Ax1+By1+c=0&&&&&&&&&&①&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Bx1-Ay1=Bx0-Ay0&&&&&&&②Ax0+By0+c=0&&&&&&&&&&③①②联立有A(x1-x0)+B(y1-y0)=0，②③联立有B(x1-x0)-A(y1-y0)=-(&Ax0+By0+c)，从中解出x1-x0,y1-y0即可。（利用课件讲解）（以上的教学过程，符合学生由浅入深，循序渐进的教学原则，强化了重点，突破了难点，同进又让学生体会到数学变形的技巧，在解决问题的过程中获得了。）[总结问题]对公式进行必要的说明，帮助学生：①说明公式的结构特征，使用时一般先将直线方程化为一般形式。计算距离的几个量：A、B、C、x0、y0，它们和距离d加在一起一共是六个量，已知其中任意五个量，一定能求出最后一个量，也就是说要注意会公式的逆向使用。②通过实例说明：A=0或B=0两种特殊情况，公式仍可成立。在实际解决问题时，可套用公式，也可直接作出图象来解决。在这里，体现了数学思维的严密性，渗透了数形结合的数学思想。[应用结论]&点课件：（出示例题）例1：求点P到直线l的距离d：&&&&&&(1)P(2,1)，l：2x-y=0；&&&&&&&&(2)P(0,0)，l：x+y=1；&&&&&(3)P(-1,-2)；l：2x+y+4=0；&&&&(4)P(20,-1000)，l：x=2．&分析：&(1)用公式(7-2-6)，d==&&&&&&(2)先化l的方程为一般式：x+y-1=0，用公式(7-2-6)，&&&&&&&&d=&=&&&&&&(3)P坐标代入l的方程，左边得到0，所以P&Il，所以d=0&&&&&(4)本题可以直接代公式，也可用数形结合的方法。（这是基础例题，以达到学生学以致用，巩固点到直线的距离公式，使学生完善学习的认知结构，为今后解析几何的学习打下一个良好的基础。）例2：求直线l1:12x-5y+8=0与直线l2:&12x-5y-24=0的距离（这是提高例题，在教材上并没有安排这个例题，之所以补充在里面，体现了数学的转化思想，也引导了学生将未知转化成已知的解题思路。）（巩固练习）课内练习12求点P到直线l的距离d：&&&(1)P(2,2)，l：x-3y=0；&&&&&&&&(2)P(-1,-1)，l：x-y=1；&&&(3)P(1,-3)；l：3x+2y+3=0；&&&&(4)P(1000,15)，l：y=-9．通过学生板演，教师课堂巡视，发现问题及时提出解决，指出学生在计算时的主要错误，加上课后的强化，学生应该能掌握公式。三、 课堂小结&&由学生小结本节课所学内容和一些数学思想方法，教师作一定的补充。附：板书设计播放课件用的屏幕 点到直线的距离公式：例题的书写过程：
学生板演区[]通过本堂课的学习，学生不仅仅是掌握了点到直线的距离公式，而且通过对公式的推导，体会了解题的技巧，深刻领会了数形结合、合理转化的思想，提高了运用数学思想解决问题的能力，增加了创新意识，在成功中找到了。
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1.已知顶点F(-4,0),动点P(x,y)到F的距离是P到定直线l=-25/4的距离的4/5倍,则点P的轨迹方程为2.已知动点P(x,y)满足√(x-2)^2+(y-2)^2=/x+y+2//√2,那么动点P的轨迹3.已知椭圆x^2/4+y^2/3=1,F1,F2是其左,右焦点,是否存在椭圆上一点M,使点M到其左准线的距离MN是MF1,MF2的等比中项,若存在求出点M的坐标
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两点间的距离公式写出PF,点到直线的距离公式写出P到L的距离D,PF=4/5D,搞定很简单的题呀,都是套公式化简就好了的,只是在这里不好表达,呵呵
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扫描下载二维码如图:A.B是两个定点.且|AB|＝2.动点M到A点的距离是4.线段MB的垂直平分线l交MA于点P.直线k垂直于直线AB.且B点到直线k的距离为3． (Ⅰ)建立适当的坐标系.求动点P的轨迹方程, (Ⅱ)求证:点P到点B的距离与点P到直线k的距离之比为定值, 若点P到A.B两点的距离之积为m.当m取最大值时.求P点的坐标． 题目和参考答案——精英家教网——
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如图：A、B是两个定点，且|AB|＝2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线k垂直于直线AB，且B点到直线k的距离为3．
(Ⅰ)建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)求证：点P到点B的距离与点P到直线k的距离之比为定值；
(Ⅲ)(理)若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P点的坐标．
答案：解析：
　　(Ⅰ)解：以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)
　　(Ⅰ)解：以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)．　　∵l为MB的垂直平分线，
　　∴|PM|＝|PB|，|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝4．
　　∴P点的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程是：＋＝1．
　　(Ⅱ)证明：∵椭圆的右准线方程是x＝4恰为直线k的方程．根据椭圆的定义知点P到点B的距离与点P到直线k的距离之比为离心率e＝
　　(Ⅲ)解：m＝|PA|·|PB|≤＝4，当且仅当|PA|＝|PB|时，m最大，这时点P在y轴上，故点P的坐标是：(0，)或(0，－)．
练习册系列答案
科目：高中数学
来源：成功之路·突破重点线·数学（学生用书）
如图所示，设C(a，b)是定点(ab≠0)，过C作两条互相垂直的直线l1和l2，且l1，l2分别交x，y轴于A，B，求：
(1)线段AB中点M的轨迹方程；
(2)|MC|的最小值．
科目：高中数学
来源：2004年高考教材全程总复习试卷·数学
如图，矩形ABCD的两个顶点A，B在x轴上，另两个顶点C，D在抛物线y＝4－x2位于x轴上方的曲线上，求矩形ABCD的面积最大值．
科目：高中数学
来源：2004全国各省市高考模拟试题汇编(天利38套)·数学
如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中tanα＝，在距离O地5a(a为正数)公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中sinβ＝，现110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时，
(1)求S关于p的函数关系；
(2)当p为何值时，抢救最及时．
科目：高中数学
来源：成功之路·突破重点线·数学（学生用书）
如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥面ABCD．
(1)问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由．
(2)若PA＝1，且BC边上有且只有一点Q，使得PQ⊥QD．求这时二面角Q－PD－A的大小．
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（2）设碰撞中损失的机械能为△E，对a、b球从O到N的全过程应用能的转化和守恒定律-qE2L-△E=0-12mv02则碰撞中损失的机械能为△E=12mv20-716mv20=116mv20（3）设a与b碰撞前后的速度分别为v、v′，则 动量守恒定律，mv=2mv’减少的动能△E=12mv2-122mv′2=116mv20解得：v=12v 0答：（1）电场强度：E=7mv2032qL和方向向左；（2）a、b两球碰撞中损失的机械能116mv20；（3）a球碰撞b球前的速度v02．解析
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专题3.3.3、3.3.4 点到直线的距离、两条平行直线间的距离-学易试题君之K三关学年高一数学人教版（必修2）
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