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正项级数敛散性的两种判别法之间关系的讨论
第 ２ ５卷第 ４期　 ２１ ０ ２年 ７月　
高 等 函授学报 （ 自然科学 版） 　 Ｊ ｕ ｎ ｌｏ　 ｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔｏ Ｎａ ｕ ａ　 ｅｅ ｃ ｓ　 ｏ ｒ ａ　 ｆＨ ｇ ｅ　 ｒ ｅ ｐ ｎ ｅ ｃ　 ｕ ａｉｎ（ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ ） Ｓ
Ｖｏ ． ５Ｎｏ ４ Ｉ２ 　 ． 　 ２ ２ Ｏ１ 　
大 学 生 园地 ? 　
正 项 级 数 敛 散性 的两 种判 别 法 之 间关 系 的讨 论　 袁 智 伟　 秦 艳 珊　 樊孝 菊　 （ 樊 学 院 数 学 与计 算 机科 学学 院 ，湖 北 襄 阳 ４ １ ５ ） 襄 ４ ０ ３　
摘　 要 ： 讨 了正 项 级 数 敛 散 性 的 两 个 常 用 判 别 法 即 达 朗 贝 尔 （ Ａｌ ｅｔ 判 别 法 和 柯 西　 探 Ｄ’ ｅ ｍｂ ｒ） （ ａ ｃ ｙ 判 别 法之 间 的 关 系 ， 出 了相 应 的 几 个 结 论 并 加 以 证 明 ， 以具 体 例 子 给 予 验 证 。 Ｃ ｕｈ ） 给 还 　 关键 词 ： 项 级数 ；敛 散 性 ；判 别 法 ；关 系　 正 中 图 分 类 号 ：１ ３ ０ ７　 文 献标 识码 ： Ａ　 文 章 编 号 ：０ ６―７ ５ （ ０ ２ ０ － ０ ９ － ０ 　 １０ ３３２１）４ ０５ ２
１ 正 项 级 数 敛 散 性 的 两 种 判 别 法 之 间 的 关 系　
造成 的 ， 此有 ｌ 　 因 ｉ ｍ ＜ １成 立 。 　
一ｑ ＜ １ ｌ 　 。 　 ｉ ａ ｒ
― ｑ　 。
在学 习正 项 级 数敛 散性 的判 别法 时 ， 到 了　 遇 这样 的疑 问 ： 如果 同 一个 正 项 级数 都 可 以用 达 朗　 贝尔 （ Ａｌ ｅｔ 判 别 法 和柯 西 （ ａ ｃ ｙ Ｄ’ ｅ ｍｂ ｒ） Ｃ ｕ ｈ ）判 别　 法来 判别 其敛 散性 ， 么这 两 种判 别 法 之 间 是 否　 那 具有 某种 关 系呢？ 认真 的思考 和研 究 ， 现有 以 经 发 　 下结 论成 立 。 　 ２２ 再 证 充分性 （ 反 证 法） ． 用 　
（ ）假设 ｑ ＞ １ 由达 朗 贝 尔 （ Ａｌ ｅｔ １ ｌ ， Ｄ’ ｅ ｍｂ ｒ） 　 判别 法知 该级数 发 散 ， 可是 由 口 ＜ １ 出其 收敛 ， ： 推 　 这显 然相 矛盾 。 　
结论 １ ― 为正项级数， ｉ Ｕ ｌ 　设∑　 如果ｌ ｎ　 ｍ― ― ＋ ―
（ ）假设 口 ２ 　一 １ 令 ｓ ―＋ 一 １ 则　 ， 一 Ｕ― ｎｌ ， Ｕ ｎ 　
和ｌ 　 ｉ ａ ｒ
存在 ， 有 ： 则 　 一 ｑ ２＜ １ 　
＋ ５ ｌ ｓ― ｌ ―ｒＩ一 １ ― ０ ，ｉ ｍ ｉ Ｕ― ａ ｒ ￣ ｌ － ， 　 ＾一 ∞ ， ’ ∞ 　 ｒ
Ｕ ｎ― Ｕ （ ｌ １＋　
（ ） ｌ ＿＋ １ ｉ Ｕ ｌ― ｑ ＜ １ ｌｒ 　 ａ ｒ ｎ 甘 ｉ ａ １
ｓ （ 　 某 一 正 常 数 ） 此 时 ，ｉ 　 ） “为 　 ， ｌ ｍ 一
一 ｌ ｉ ｍ　
（ ）１ ＿￣ ２ ｉ Ｕ－ ｍ ，Ｉ― ｑ １一 ｌ 　ｉ 　 ｏ ｒ ｅ ｌ ａ
一 ｑ ２― １ 　 ―
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?ｌ １ ｓ　 ｛一 １?１ ｉ ｍ（ 十 ）一 　
１ 这显然 与 条件 ｑ ＜ １ 矛盾 。 ， 。 相 　 这些 矛盾 是 由假设
正项级数敛散性的判别 - 正项级数的敛散性判别 136 班 刘璐
通过数学分析课程的学习我们知道判断正项级数是否收敛有如下常用定理:D’Alembert 比值法...几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较_理学_高等...下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与...判断出它们之间的大小关系, 则用比较判别法;如果原...毕业论文(设计)-正项级数敛散性的判别法 - 分类号 编号 毕业论文 题学姓专学 目院名业号 正项级数敛散性的判别法 天水师范学院 数学与应用数学 研究类型 ...高数辅导之专题十九:正项级数的敛散性判别法_理学_...是否存在与数列 {u n } 的前几项没有任何关系,...解:分两种情形说明: (1)当 p ? 1 时, ? ? ...二. 正项级数敛散性的判别 由正数和零构成的级数称为正项级数。 比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。 比较审敛法 如果正项级数 ?...关键词:正项级数 ;敛散性 ;判别法 I Convergence..., 因此正项级数只有两种可能:或者收敛于有限数 , ...1.3.1 几何级数(等比级数)讨论几何级数 ? ar n...数项级数的敛散性判别法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第六讲 数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数,高等数学中讲过正...正项级数敛散性判别法的比较及其应用(毕业论文)_...这就是本文所要讨论的. 1 正项级数相关概念 1....判断出它们之间的大小关系, lim ln u n n p +...正项级数的敛散性判别法_数学_自然科学_专业资料。学士学位论文数 学故事与中...【关键词】:兴趣;数学故事;数学教学 一.引言 数学是研究现实世界的数量关系和...选题目的及意义 初步探讨正项级数和数值级数和函数级数的关系, 以及利用正项级数敛散性去判断数值 级数和函数级数敛散性;最后,进一步研究正项级数敛散性在整个数学...
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用比值法判断级数∞∑n=1 ntan(π/n)敛散性
　　对级数　　　　∑(n>=1)ntan(π/n),用不上比值判别法.由于　　　　lim(n→∞)ntan(π/n) = π*lim(n→∞)tan(π/n)/(π/n) = π ≠ 0,据级数收敛的必要条件得知该级数发散. 再问： 可是书上的要求是用比值法，我用不出来啊 再答： 明显的书上的要求是错的。因为用比值的极限是 1，不能判别级数的敛散性。
我有更好的回答：
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与《用比值法判断级数∞∑n=1 ntan(π/n)敛散性》相关的作业问题
因为【1/(n²*㏑n)】÷【1/n²】=1/lnn 趋向于0而Σ1/(n²)收敛,所以由比较审敛法,知原级数收敛. 再问： 【1/(n²*㏑n)】÷【1/n³】=n/lnn 趋向于∞ Σ1/(n³)收敛 这样想不就是发散了吗？ 再答： 此时，Σ1/(n&#1
后项比前项=[(N+1)!/((N+1)^(N+1)]/[N!/(N^N)]=1/(1+1/N)^N趋于1/e
1/√(2+n³)＜1/n^(3/2),而级数∑1/n^(3/2)收敛,故由比较判别法,级数∑1/√(2+n³)收敛. 再问： 不好意思,请问级数∑1/n^(3/2)为什么收敛?麻烦了. 再答： 这是p-级数，当0＜p≤1时，级数∑1/n^p发散；当p＞1时，级数∑1/n^p收敛。
这个级数是收敛的.经济数学团队帮你解答.请及时评价.
由比值判别法,这个级数是收敛的.经济数学团队帮你解答.请及时评价.
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假设（sin（n^2））收敛于A那么又因为∫[0,+inf] cos t dt=lim[n-->+inf] ∫（1,（n+1）^2）cos（t）dt=lim[n-->+inf] ∑[1,n] ∫[i^2,（i+1）^2]cos（t）dt=lim[n-->+inf] ∑[i=1,n](sin(（i+1）^2)-sin (
再问： 再问： 这个呢，结果为一 再答： 通项极限1，所以发散再问： 什么意思？ 再答： 通项极限＝0是收敛的必要条件，现在通项的极限＝1，所以必然发散 再答： 不需要用其他判敛法 再答： 再问： ok 再答： 判敛第一步，初步判断通项极限是否为0，为0才进行其他判敛法再问： 再问： 能帮看一下7和9吗？再问： 怎么样
没有最好的判别法, 常见的如比值判别法, 根式判别法, 一般高等数学书上没有的如高斯判别法等一般地, 可证明正项级数部分和有界即可知其收敛, 反之亦真. 你举的例子即是这么证明的.
发散 再问： 过程... 再答： 你能把分子分母表示清楚吗？用一下括号 再答： 因为n～无穷大，（n－1）／（n＋3）≠0再问： 再问： 要求从比较判别法 达朗贝尔 柯西三种方法中选择来求出... 再答： 再问： 再问： 等于1不是不确定吗 再答： 那与P级数比较吧，我刚才在网上看到达郎贝尔有人取了1，被黑了，抱谦再问
img class="ikqb_img" src="http://d.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=eb276b37af08ccd6fd57b1/35a85edf8db1cbdfb80.jpg"
经济数学团队为你解答,有不清楚请追问.请及时评价. 再问： 谢谢你再问： 再问： 怎么做大神？ 再答： 再问： 我再怎么给你徽章？找不到哪个键了，对不起哦再问： 下次一定给徽章
我刚学到这O(∩_∩)O~
& 原式=-1/2 x^(-2)|(1,+∞)=-1/2 (0-1)=1/2 收敛；原式=-1/a e^(-ax)|(0,+∞)=-1/a (0-1)=1/a所以都收敛.
是收敛的 再答：
x>=1,f(x)=x/(2x^3-1)>0x/(2x^3-1)=x/x^3*1/(2-1/x^3)与1/x^2同阶无穷小量取m=2>1x→+∞lim x^2 * x/(2x^3-1)=lim 1/(2-1/x^3)=1/2所以,∫x1→+∞ x/(2x^3-1）收敛
(lnn/n^2)/(1/n^(3/2))=lnn/n^(1/2),用罗必达法则,该式趋于0.因级数1/n^(3/2)收敛,由比较判别法,原级数收敛. 再问： 那为什么不可以这样呢？ (lnn/n^2)/(1/n^(-1))=lnn/n,用罗必达法则，该式趋于0。因级数1/n^(-1)发散，由比较判别法，原级数发散。扫二维码下载作业帮
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如何从一般项判别级数的敛散性
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必要条件：当n-->+∞时,若u(n)不趋近于0,级数发散正项级数的比较判别法：0<u(n)∑u(n)收敛；∑u(n)发散==>∑v(n)发散.参照级数：几何级数、调和级数、p级数正项级数的比值判别法：若u(n)>0,
lim(n-->+∞)u(n+1)/u(n)=l,l级数收敛；l>1,级数发散.正项级数的根值判别法：若u(n)>0,
lim(n-->+∞)[u(n)]^(1/n)=l,l级数收敛；l>1,级数发散.交错级数判别法：∑u(n)为交错级数,若u(n)-->0,|u(n+1)|<|u(n)|,
则：∑u(n)收敛.利用绝对收敛与条件收敛关系.以上为常用判别法,还有拉啊比判别法、极限判别法等.
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判定级数的敛散性
(由定义判定)
级数的敛散性
<img onerror="imgDelByClass('comimg_box');" class="piczoom mpic" alt="
通项an＝√(n+2)－2√(n+1)+√n＝[√(n+2)－√(n+1)]－[√(n+1)－√n]
级数的前n项和
Sn＝[√(n+2)－√(n+1))]－[√2－1]＝1/[√(n+2)+√(n+1)]－[√2－1]→ 1－√2（n→∞）
所以，级数收敛。
分解成两个数列：
1/2+1/4+...+1/2^N
1/10(1+1/2+1/2+....+1/N)
1/2+1/4+...+1/2^N 基本的一个...
Σ{2-[(-1)^n]}/(3^n)
3/(3^n)= Σ 1/[3^(n-1)],
后者为首项为1，公比为1/3的等比级数，收敛, S=1/(1-1/3)...
((-1)^n)((sinn)^2)/n =[(-1)^n 1/(2n)]-[(-1)^n （Cos2n）/2n]
∑[(-1)^n 1/(2n)]和 ∑[(-...
答: 搜集专业课资料这一任务主要是针对报考外校的同学的。精确的专业课备考资料会使复习事半功倍。思睿厦门大学考研辅导老师提醒大家，通常情况下，专业课资料包括：指定书目、...
答: 搜集专业课资料这一任务主要是针对报考外校的同学的。精确的专业课备考资料会使复习事半功倍。思睿厦门大学考研辅导老师提醒大家，通常情况下，专业课资料包括：指定书目、...
答: 2006年有350万高校生和400万“三校生”毕业，毕业生就业将面临巨大压力。上周在浙江绍兴举行的“全国百所院校人才智力博览会暨长三角学生就业协作网年会”上，来...
关于三国武将的排名在玩家中颇有争论，其实真正熟读三国的人应该知道关于三国武将的排名早有定论，头十位依次为：
头吕（吕布）二赵（赵云）三典韦，四关（关羽）五许（许楮）六张飞，七马（马超）八颜（颜良）九文丑，老将黄忠排末位。
关于这个排名大家最具疑问的恐怕是关羽了，这里我给大家细细道来。赵云就不用多说了，魏军中七进七出不说武功，体力也是超强了。而枪法有六和之说，赵云占了个气，也就是枪法的鼻祖了，其武学造诣可见一斑。至于典韦，单凭他和许楮两人就能战住吕布，武功应该比三英中的关羽要强吧。
其实单论武功除吕布外大家都差不多。论战功关羽斩颜良是因为颜良抢军马已经得手正在后撤，并不想与人交手，没想到赤兔马快，被从后背赶上斩之；文丑就更冤了，他是受了委托来招降关羽的，并没想着交手，结果话没说完关羽的刀就到了。只是由于过去封建统治者的需要后来将关羽神话化了，就连日本人也很崇拜他，只不过在日本的关公形象是扎着日式头巾的。
张飞、许楮、马超的排名比较有意思，按理说他们斗得势均力敌都没分出上下，而古人的解释是按照他们谁先脱的衣服谁就厉害！有点搞笑呦。十名以后的排名笔者忘记了，好象第11个是张辽。最后需要说明的是我们现在通常看到的《三国演义》已是多次修改过的版本，笔者看过一套更早的版本，有些细节不太一样。
规模以上工业企业是指全部国有企业(在工商局的登记注册类型为&#034;110&#034;的企业)和当年产品销售收入500万元以上(含)的非国有工业企业。
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如果你使用的是PIN码，被锁，那么去移动营业厅解锁。
做鲫鱼汤很重要的一点是注意火候的把握。
步骤如下：
买新鲜现杀的鲫鱼两条，个头要适中。洗的时候要把鱼鳞全部弄干净，鱼肚里也要洗净，免得汤有腥味；
洗好后，在鱼身上涂抹适当食盐，腌放十分钟；
准备好香葱三根，洗净，打结备用；
切好姜片若干（根据鱼的大小和量）；
均匀涂抹姜汁于锅内（防止鱼皮粘锅），倒入色拉油，点火；
油不宜太热，将火旋小，轻轻放鱼入锅，同时放入姜片，把火调大；
煎至鱼皮微露金黄色，将鱼轻轻翻身，直至也微呈金黄色；
煎的过程中，注意转动锅，使鱼均匀煎透；
把火调小，加冷水至淹没鱼为止，放入备好的葱结，开大火，煮沸；
把鱼翻身，再煮五分钟，放入适量的盐，继续煮，直至汤呈现奶白色；
加味精，煮两分钟。
同时准备好吃鱼的料：蘸鱼的陈醋少许倒入碗中，放少许盐，糖，味精，搅拌均匀。
将鱼单独盛在大碗里，鲫鱼汤盛在汤碗里；鱼蘸着料吃，汤即喝。
^_^，美味的鲫鱼汤呈现在你的眼前了，还有香喷喷的鱼肉……
考虑是由于天气比较干燥和身体上火导致的，建议不要吃香辣和煎炸的食物，多喝水，多吃点水果，不能吃牛肉和海鱼。可以服用（穿心莲片，维生素b2和b6）。也可以服用一些中药，如清热解毒的。
确实没有偿还能力的，应当与贷款机构进行协商，宽展还款期间或者分期归还； 如果贷款机构起诉到法院胜诉之后，在履行期未履行法院判决，会申请法院强制执行； 法院在受理强制执行时，会依法查询贷款人名下的房产、车辆、证券和存款；贷款人名下没有可供执行的财产而又拒绝履行法院的生效判决，则有逾期还款等负面信息记录在个人的信用报告中并被限制高消费及出入境，甚至有可能会被司法拘留。
第一步：教育引导
不同年龄阶段的孩子“吮指癖”的原因不尽相同，但于力认为，如果没有什么异常的症状，应该以教育引导为首要方式，并注意经常帮孩子洗手，以防细菌入侵引起胃肠道感染。
第二步：转移注意力
比起严厉指责、打骂，转移注意力是一种明智的做法。比如，多让孩子进行动手游戏，让他双手都不得闲，或者用其他的玩具吸引他，还可以多带孩子出去游玩，让他在五彩缤纷的世界里获得知识，增长见识，逐渐忘记原来的坏习惯。对于小婴儿，还可以做个小布手套，或者用纱布缠住手指，直接防止他吃手。但是，不主张给孩子手指上“涂味”，比如黄连水、辣椒水等，以免影响孩子的胃口，黄连有清热解毒的功效，吃多了还可导致腹泻、呕吐。
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楼主，龙德教育就挺好的，你可以去试试，我们家孩子一直在龙德教育补习的，我觉得还不错。
成人可以学爵士舞。不过对柔软度的拒绝比较大。　　不论跳什么舞，如果要跳得美，身体的柔软度必须要好，否则无法充分发挥出理应的线条美感，爵士舞也不值得注意。在展开暖身的弯曲动作必须注意，不适合在身体肌肉未几乎和暖前用弹振形式来做弯曲，否则更容易弄巧反拙，骨折肌肉。用静态方式弯曲较安全，不过也较必须耐性。柔软度的锻炼动作之幅度更不该超过疼痛的地步，肌肉有向上的感觉即可，动作(角度)保持的时间可由10馀秒至30-40秒平均，时间愈长对肌肉及关节附近的联结的组织之负荷也愈高。
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数项级数及敛散性判别法
1第六讲数项级数的敛散性判别法1柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理比较原理设，都是正项级数，存在，使I1NU???V0C?,23NCV?（I）若收敛，则也收敛；（II）若发散，则也发散．1N??1NU??1NU??1NV???比较原理（极限形式）设，均为正项级数，若I1NV?LIM0,NULV????则、同敛散．1N??根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法．定理1（柯西判别法1）设为正项级数，NU??（I）若从某一项起（即存在，当时）有（为常数），N?1NUQ??则收敛；1NU???（II）若从某项起，，则发散．1NU?N??证（I）若当时，有，即，而级数收敛，N?NQ??NUQ1N???根据比较原理知级数也收敛．I1NU??（II）若从某项起，，则，故，由级数收敛的必要条件知?LIM0NU???2发散．定理证毕．1NU???定理2（柯西判别法2）设为正项级数，，则（I）当时，1NU??LIMNUR???1R?收敛；（II）当（或）时，发散；（III）当时，法则1NU??R??1N???失效．例1判别下列正项级数的敛散性；2335721N????NE??12（为任何实数，）．NX???10X?解1因为，所以原级数收敛．1LIM2NRU????2因为，所以原级数发散．LILINE?3对任意，．当时收敛；当时发散；当时，?NRUX?01?1X?1X?此时级数是级数，要对进行讨论，当，即时收敛；当P???????时，即时发散．1??例2判别级数的敛散性．123NN????解由于21LIMLILIM3NNNNU????????不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为113NNNNQ?????由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列单调减少，且发散，试问级数??NA1NA????3是否收敛并说明理由．1NNA??????????解答案级数收敛，证明如下1NN????????由于单调减少且根据单调有界准则知极限存在．设??NA0,A?LIMNA??则．如果则由莱布尼兹判别法知收敛，这与LIM,N??,1N???发散矛盾，故．再由单调减少，故取，1NNA???0A???NA0,A?1QA???101NNUQ?????根据柯西判别法1知收敛．NNA????????下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法．定理3（广义柯西判别法1）设为正项级数，如果它的通项的1NU???NU次根的极限等于，即．则当时，级数收敛；当时，??0ANB??RLIMABNNR???1?1R?级数发散；当级数可能收敛也可能发散．R?证因为，即对任给正数，存在正整数，当时，有LIMANBU????1N1N?（1）????NRR????对于任给常数，总存在，当有时有B2N2N?（2）0A??取，当时，式（1）和式（2）同时成立．??12MX,N?当时，取足够小，使．由上述讨论，存在，当时，式R??RQ????NN?（1）和式（2）同时成立，那么有，正项级数收敛（因为ANBU11ANBANQQ??????其为等比级数且公比），由比较审敛法知，级数收敛．01NQ?1NU?4当时，取足够小，使，由上面的讨论，存在，当时，式1R??1RQ????NN?（1）和式（2）同时成立，则，正项级数发散，由比较审ANBU?11ANBANQQ??????敛法知，级数发散．1N???当时，取，那么，对任何为常数，RNPU0,AB?有．而发散，收敛．说明此时级数可能收敛也可/LIMLI1ANBPANBN?????1N??21N??能发散．定理证毕．例4判别级数的收敛性．2113NN?????????解因为由广义柯西判别法1知，级数2LIMLI0,U??????收敛．113NN???????注例4也可用柯西判别法2定理2，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多．定理4（广义柯西判别法2）设为正项级数，如果它的一般项的（是大1NU???NUM于1的正整数）次根的极限等于，即．则当时，级数收敛；当时，RLIMNR??1?1R?级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散．1R?证因为，即对任给的正数，存在正整数，当时有LIMNU???NN?NRR?????当时，取足够小，使．由上面的讨论，存在，当时，11RQ???N有．因为，又正项级数收敛（因），由比较审敛法知MNUQMN?1N???0,1Q?收敛，所以收敛．1MN???1NU??当时，取足够小，使．由上面的讨论，存在，当时，有R??1RQ???NN?5，那么，所以级数发散．1MNUQ?LI0NU???1NU???当时，同样取，那么R???1NP??1/1LILILIMMMPPNPNN?????????????????这说明时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．R?注广义柯西判别法是柯西判别法2定理2的推广1．事实上，在广义柯西判别法1中，取，在广义柯西判别法2中，取便得定理2（柯西判别法2）．1,0AB1?例5判断级数的收敛性．21NN??????????解因为，由广义柯西判别法2知原级2221LIMLILIM12NNNU???????数收敛．定理5（广义柯西判别法3）设，若,0,,NNWUV???，．则当时，级数收敛；当时，级数LINU???1LINV??1?1NW???1UV?发散2．1NW??为证明定理5，需要一些预备知识STOLZ定理设、为两个数列，数列在某顶之后单调递增,且??NAB??NB，若，（或），则（或）．LIMNB????1LINNL??????LIMNAL????命题1设数列．若，则。XLIMNXL12ILINNNXXX??证令，，由STOLZ定理，12NA???B?12LIMLILI1NNNNXXXXL????????命题证毕．命题2设，．，则．0NA?,2??LIMNA??12LILIMNNNAA?????证由，考虑数列，由对数函数的连续性易知．再??LI6由命题1知1212LNLNLIMINNAAA?????????根据指数函数的连续性便得12LNLN12LIIM,AANNE??或时，结论仍成立，这里证明略去．0A??命题3设，，则．NV?1LINV????1LILINNVV?????证令，，由命题21A?12,3N??11LIMLILIMLINNNNNVVA????????命题证毕．证明定理5由命题3知，1LILILILILINNNNNVWUVUU????????????再用柯西判敛法定理2便得结论．定理证毕．显然，定理2柯西判敛法2是广义柯西判别法3当时的特例．NV例6判定级数的敛散性??2112NNN??????????解设，则NU???????1NNV1LIMLI,NE???1122LILILIMLI,12NNNNVE????????????????????????由于，根据广义柯西判别法3知，级数收敛．2E?????2112NNN??????????例7判定的敛散性．21134NNX??????????????0?7解设，则213,4NNNXUV???????????，2LIMLI3NN??1,01LILINNXV?????????所以，当时，级数收敛．当时，由于0X?21134NNX???????????1X?，1LIMLINNVU????广义柯西判别法3失效．然而时1X?24,12LI4,NNXE?????????????????由级数收敛的必要条件知，当时级数发散．1X?21134NNX????????????2达朗贝尔判别法及其推广用比较原理也能推出更宽泛的达朗贝尔判别法．定理6（达朗贝尔判别法1）设为正项级数,1NU??（I）若从某项起，有，则收敛；,N??NQ???1NU??（II）若从某项起，有，则发散．,1NU?1N?证明（I）由时，有，从而N?1NQ???，，，1NUQ??221NNU?3NUQ??,KKNUQ???由于收敛，由比较原理知收敛，故收敛．1K???1K??1N??8（II）若存在，当时，有，则，故，NN?1NU??1NU?LIM0N???由级数收敛的必要条件知发散．定理证毕．1N???定理7（达朗贝尔判别法2）设，则（I）若，则1LIMNUR???1R?NU???收敛；（II）若（或），则发散；（III）若，敛散性不能确1R?1N?定．这正是高等数学中的达朗贝尔判别法．例8判别下列级数的敛散性．；；．1N???23N????130,NS????解（1）因为，所以级数收敛．1LIMNURE????1N???（2）因为，所以原级数发散．1LI2N??（3）对任意，．当时，级数收0S11LILINSNUR??????01??敛；当时，级数发散；当时原级数为的敛散性要进一步判S????1SN??定．当时级数收敛，当时级数发散．1S1S?例9判别级数的敛散性．124NN??????解因为1123NNU?????2133NN????????????????及故存在当时，有．从而，当LIM,2NNE???,NN?132N?????????9时，．根据定理6，可知级数收敛．NN?12NU??124NN??????下面介绍达朗贝尔判别法的推广，也称它们为广义达朗贝尔判别法．定理8（广义达朗贝尔判别法１）设为正项级数，是某正整数，1NU??K（I）如果对一切，有，则级数收敛；NNKUQ???（II）如果，则级数发散．1NK??证（I）由于，则，从而NKUQ??NKNU?1111MMKKK?????222UQU????11MMKKKK??????其中是任意正整数，可见，对，都有．考虑级数的部,2I??LI0MKIU????分和序列111MKKKKKSUU??????????11MMKKQQU??????1KU???即有上界，从而存在，设．注意到??1MKS?1LIMKS???1LIMKS????12211,,KKKMKUU??????????故，即，所以2LILILILIMKMKMSSS??????????LINS???收敛．1NU??10若成立，则，从而，故，所以级1NKU??NKU??110MKKUU?????LIM0NU???数发散．定理证毕．例10判别级数的收敛性．2133N??解取，由于2K?,112
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