先说结论通解并不包含所有解。

让我们通过常偏导数的微分方程怎么解程来讲解这个问题

其中， 我们称为常偏导数的微分方程怎么解程。

求解常偏导数的微分方程怎么解程是有明确的几何意义的我们下面就通过它的几何意义，来观察什么是通解、特解以及所有解以及通解是否包含所有解。

1 解常偏导数的微分方程怎么解程的几何意义

是有明确的几何意义的：

在这个曲线上取几个点作出点附近的切线：

根据微积分的思想，“以直玳曲”切线就是代替曲线的最佳直线。

所以我们可以看到如果曲线上的点密集一点，切线就看起来很接近曲线了：

我要是把曲线去掉你大概也能根据切线脑补出曲线的样子：

求解常偏导数的微分方程怎么解程的几何意义就是，根据切线画出曲线

欧拉，给出了一个以怹名字命名的欧拉方法可以通过切线来画出曲线。

怎么作出切线呢 这个就是导数的方程，把导数作为斜率就可以画出切线

我们举个朂简单的例子吧， 我们随便选一点作为起始点 ：

不断重复以上步骤，我们可以得到一个折线段：

容易知道 是 的一个解我把 画出来看一丅，会发现这两个的图像还是有点接近：

随着 的缩小图像就越来越接近（为了方便观看，我把点给去掉了）：

欧拉方法就是这样通过切線来把原来的曲线描绘出来的这些连起来的折线，我们就称为欧拉折线

欧拉折线肯定和曲线是有误差的，就好像泰勒级数和原来的曲線有误差一样这里就不深入讨论了。

欧拉方法计算量其实还蛮大的（ 越小计算量越大）不过好歹人手还可以算。

有了计算机之后我們就可以不管计算量了，所以就有了更有效的线素场

其实说来也简单，我在平面上等距离取点：

然后以这些点为起点根据 画出切线，這就是线素场（或者称为斜率场）：

结合欧拉折线和线素场我们就可以开始分析通解、特解和所有解了。

4 通解、特解和所有解

4.1 通过欧拉折线来观察解

我们通过 来继续讲解这个偏导数的微分方程怎么解程的通解还是很容易求的，就是：

知道通解之后我们通过图像来验证下

指定 的位置，可以画出不同的欧拉折线（大家可以观察到有了线素场之后，就算没有欧拉折线我们大概也可以脑补曲线的样子）：

鈈同的 ，就相当于不同的初始值不同的初始值得到的欧拉折线都是 的一个特定的解（这里不用特解这个词，因为同济大学的书上的定义特解是通解的一个特定解）。

容易观察到还有一个解是通解里面没包含的，这就是 ：

你可以手动拖动下 看看可以得到怎样的解：

至此，我们可以得到以下结论：

P.S. 非常抱歉最后的例子有误，本答案中专门有同学指出了错误请参考如下回答：

错误主要在于，线性偏导數的微分方程怎么解程的通解一定是所有解而本文举的例子就是线性偏导数的微分方程怎么解程。但是结论并不错对于某些非线性偏導数的微分方程怎么解程，比如：

但是 这个解就不包含在通解中