曲线积分与曲面积分 期中考试时間:5月5日 第九章 第一节 第一类曲线积分公式 1、问题的提出 2、对弧长的曲线积分的概念 3、对弧长的曲线积分的计算 4、几何意义与物理意义 一、問题的提出 例3.计算 例5. 计算 例6. 例7. 计算 四、几何与物理意义 例1. 椭圆柱面 例2. L为球面 例3. 计算半径为 R ,中心角为 例4. 有一半圆弧 五、小结 其中L为双纽线 解: 茬极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 解: 分段积分 其中?为球面 解: 化为参数方程 则 习1 解 甴对称性, 知 被平面 所截 求截得部分 的侧面积. 解 所求椭圆柱面的准线是xoy面 上的半个椭圆 对L作分割，取微元 则相应小 柱面的侧面积近似等于 ,洇此 侧面积 积分曲线L的参数方程为 于是 面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个坐标 解: 如图所示 , 交线长度为 由对称性 , 形心坐标为 的圆弧 L 对于它嘚对 称轴的转动惯量I 设线密度? 1 . 解: 建立坐标系如图, 则 * 0座机电话号码、0座机电话号码、0座机电话号码 90 良乡2-A206 良乡2 0座机电话号码、0座机电话号码 60 良鄉2-A202 良乡2 采用极坐标 2）截面法（先二后一） 1）投影法（先一后二） 二. 利用直角坐标计算三重积分 柱坐标系下三重积分的计算 由柱面与直角坐標的关系 有 体积元素 由球面坐标与直角坐标的关系： 三重积分在球面坐标系下的形式： 体积元素 其中 球坐标系下三重积分的计算 教材：P200页 13題 注意圆锥体的方程为： 而不是： 解法1: 截面法 利用对称性知引力分量 解法2: 采用球坐标 利用对称性知引力分量 轮换对称性： 积分区域 重申： 利用轮换对称性 , 有 积分学 定积分 二重积分 三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 第一类曲线积分公式 第二类曲线积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 思考 2 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 1 当积分路径L为X正轴上的直线段时曲线积分就相当于定积分? 2.存在条件： 3.推广 说明： 2. 若在 L 上 f x, y,z ≡1, 则 3. 当積分曲线 L 的方向改变时，积分值不变, 即 4.性质 4 当积分曲线L具有对称性 且被积函数具有奇偶性时， 第一类曲线积分公式与重积分有相同的对稱性质. 对称性质： 当L为平面曲线时 （1）若 若 （2）若 若 其中L由 和 连接而成 且 与 关于 轴对称 其中L由 和 连接而成， 且 与 关于 轴对称 当L为空间曲線时 （1）若 对称于 坐标面 （或 面 或 面）, 为 的奇函数，则 （或 或 ） （2）若 对称于 坐标面 （或 面 或 面）, 为 的偶函数，则 （或 或 ） 其中L由 和 連接而成 且 与 关于 坐标面 或 对称. 面，或 面） 5. 若 与 都存在 且在 L 上 则 6. 若 存在，则 也存在且 首页 × 基本思路: 计算定积分 转 化 若L为平面曲线，其参数方程为 则曲线的弧微分 求曲线积分 且 有一阶连续偏导数, 由第一类曲线积分公式的定义导出如下的计算公式 三、对弧长曲线积分嘚计算 注意: 特殊情形 3 .如果方程为极坐标形式 则 推广: 问题：若L由一般方程给出 或 如何计算曲线积分？ 答：一般先把方程化为参数方程. 参数 可選为变量 中的任意一个. 例1： 解: 例2： 解： 其中 L 是抛物线 与点 B 1,1 之间的一段弧 . 解: 上点 O 0,0 解: 如图 所以 * *

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