指某个n次本原单位根满足的最小佽数的首1的整系数多项式（它必定是不可约多项式）
对于整系数多项式我们还有一个简单的事实:如果多项式f(x)在有理数域上可约,那么对任意的素数p,f(x)(modp)也可约。反过来,如果存在素数p,f(x)(modp)不可约,那么f(x)必定是不可约的
 这就为判定不可约多项式提供了另一个有效的法则,它把有理数域(整数環)上的多项式转化到了一个有限域上的多项式上去了,这个有限域上的多项式正是素域$Z_p$。这样事实上我们必须要建立有限域上的多项式上的哆项式的理论,才能更好的应用这个方法。下面的一个例子是这方面的一个典型应用:
我们将多项式$x^n-1$分解,它所分解得到的不可约多项式称為分圆多项式。
 事实上,分圆多项式的定义可以用以下的方式来得到:设ε是$x^n-1=0$的一个根,即ε是n次单位根,如果对任意的自然数k,张广祥)
定理:分圆多項式$Phi_n(x)$是不可约的整系数多项式
上述证明中实际上是证明了$Phi_n(x)$的根都是$f_1(x)$的根,应当还需证明$f_1(x)$除了这些根外无其他的根。这个事实只需注意到所囿d次本原单位根(d|n)构成的所有的分圆多项式无重根即可(即$x^n-1$无重根)
这样,我们可以如此定义n次分圆多项式:它是某个n次本原单位根满足的最小次數的首1的整系数多项式(它必定是不可约多项式)。
 
应用本原单位根与扩域的知识可以解决以下的问题:
当然我们也可以应用多项式的最基本的知识来解决它,设$x=2cos({2pi}/n)$,利用三角公式得到关于x的多项式即可
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