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洛必达法则详解
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用洛必达法则求lim(x→0＋)x^m×lnx求详细过程
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如果m > 0lim x^m * lnx = lim (lnx/(1/x^m)) = - lim (x^m/m) = 0如果m
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用洛必达法则求limx→0(1/x-1/e^x-1)的详细步骤
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通分=lim(e^x-1-x)/x(e^x-1)=lim(e^x-1)/(e^x-1+x*e^x)还是0/0=lim(e^x)/(e^x+e^x+x*e^x)=lim1/(2+x)=1/2
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limx→0(1/x-1/e^x-1)=limx→0(e^x-1-x)/[x(e^x-1)]
(运用等价无穷小代换）=limx→0(e^x-1-x)/x^2　　（0/0，运用洛必达法则）=limx→0(e^x-1)/(2x) (运用等价无穷小代换）=limx→0 x/(2x)=1/2
e^x-1和x是等价无穷小limx→0(1/x-1/(e^x-1))=limx→0((e^x-1)-x)/(e^x-1)x(无穷小)=limx->0(e^x-1-x)/x^2洛必达=limx->0(e^x-1)/2x(无穷小)=limx->0 x/2x=1/2
先通分，然后用两次洛必达法则lim(x→0) [1/x-1/(e^x-1)]=lim(x→0) [(e^x-1-x)/x(e^x-1)]
.........0/0型，用洛必达法则=lim(x→0) [(e^x-1)/(e^x-1+xe^x)]
.........0/0型，用洛必达法则=lim(x→0) [(e^x)/(2e^x+xe^x)]=1/2
扫描下载二维码使用洛必达法则求极限的几点注意--《科教文汇(上旬刊)》2008年09期
使用洛必达法则求极限的几点注意
【摘要】：如果当x→a或x→∞时,两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那么极限limx→a(x→∞)f(x)/F(x)可能存在,也可能不存在,洛必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而,对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。
【作者单位】：
【分类号】：O171
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400-819-9993洛必达法则的几种应用与方法
洛必达法则是高等数学中求函数极限的重要方法,同时也是近年来高考数学压轴题的热点之一,因此熟练掌握洛必达法则对高考数学压轴题解题来说百利而无一弊。而且,洛必达法则本身原理与导数息息相关,对于很多导数相关问题来说,洛必达法则可以很方便地得出答案。本文以洛必达法则在极限、不等式和函数3个方面中的应用为例,通过几个问题总结洛必达法则的解题思路与方法。在数学学习过程中,极限是一个重要的基本概念,高中数学一些重要的概念如导数、洛必达法则在求极限中积分、数列中的级数等等都建立在极限概念的应用的基础上。近年来高考数学对导数越来越重视,而导数的基本概念即为极限,因此学好针对某些特定的极限,形如“0/0”“∞/∞”极限的处理也可以当作处理特定导数题的一型极限,洛必达法则有着很好的处理效果,通个基本工具。对于一般极限题来说,通常形常来说,对所给极限的分子分母进行多次求导,式为“0/0”“∞/∞”型,洛必达法则是处理未再结合一些如因式分解,合并同类项等...&
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数学分析中,不少求极限问题难度较大,本文将推导出以下求极限的公式,使相关极限问题迎刃而解.定理由重要极限lim(1+t)证明(ax1+ax2+…+axn-n)(ax1+ax2+…+axn-n)ax1+ax2+…+axn]-n再由洛必达法则得(a1x+a2x+…+anx-n)t若ai0,i=1,2,…,n(n∈N*),则1 xna1x+a2x+…+anx-nnxa1xlna1+a2xlna2+…+anxlnan(ax1+ax2+…+axn)综上,得lim即所求例2求ln(a1·a2·…·an)=ln(a1·a2·…·an)1 x.1-x1-x(4-x+9-x2)(4-x+9-x2)lim=lim=槡4·9=6.x→0-x→0所求lxi→m0(42-x+9-x)cotx=lxi→m0[(42-x+9-x)-1 x]tanxx=lim6tanxx=6x→0limtanxx=6-1=1.6x→0x)1x.(2x+4x+83例3解求lim...&
(本文共1页)
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例　(2017年全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有2个零点,求a的取值范围.对于问(1),命题组通过导数的分解式f′(x)=(2ex+1)(aex-1)求得的结论是:当a≤0时,函数f(x)在R上递减;当a0时,函数f(x)在(-∞,-ln　a]上递减、在[-ln　a,+∞)上递增.对于问(2),命题组考虑到考生不难想到fmin(x)=f(-ln　a)0是顺其自然的,但构造性地赋值检验f(ln(3a-1))0却显得特别玄妙!下面先嵌用洛必达法则改进命题组对问(2)的解法,然后另辟蹊径用换元法和公切线给予简洁解答.方法1　借用问(1)的结论知f(x)有2个零点的必要条件是a0,且此时必有fmin(x)=f(-lna)=aa2+a-2a+ln　a=1-1a+ln　a0),易知g(a)在(0,+∞)内递增,且g(1)=0,则fmin(x)=g(a)0,下面来验证.对...&
(本文共1页)
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函数问题中求参数的取值范围一直以来都是考察的重点,这种题型经常与导数、不等式等结合在一起,很多时候还可以转化成恒成立的问题,对于这种题型,我们一般会先分离参数,然后再求另一边函(2)在内,/(*)和g'h)都存在,且g'{x)#0;(3) =4(A可为实数,也可以是g{X)数的极值,在求极值过程中有时会碰ill■^或t未定U〇〇式的情况,这时就要用到高等数学里的内容——洛必达法则.下面给出洛必达法则的简介.法则一:设函数/(*)、g(*)满足:(1)lim/(?)=limg(x)=0;*—k? x—*a则lim4^= =九g(x)^g(X)法则二:设函数/(幻、gh)满足下列条件:(1) limf(x)=〇〇,limg(^:)=〇〇;*—?i x-*a(2)在f/°(a).内/(*)和g'(*).都存在,且g'{x)#0; 、(3) 可为实数,也可以是■g(X)±〇〇).则lim’(,);=lim’,(,〉'=A.^g(x) (...&
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一、常规洛必达求解极限问题L'Hospital法则(洛必达法则):设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域U0(a,δ)内有定义,且满足:(1)limx→af(x)=0(∞)及limx→ag(x)=0(∞);(2)f(x)和g(x)在U0(a,δ)内可导,且g'(x)≠0;(3)limx→af'(x)g'(x)=A(A为常数,或为∞),则有limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x)=A.其中第三个条件极为重要.在求极限时,经常会遇到两个无穷小量之比的极限或者两个无穷大量之比的极限,这类极限有的存在,有的不存在,通常称这种类型的极限式为未定式.以下是常见的情形.情形一:limx→1x3-3x+2(x-1)2,可以运用洛必达法则,limx→1x3-3x+2(x-1)2=limx→1(x3-3x+2)'[(x-1)2]'=limx→13x2-32(x-1)=limx→13(x2-1)2(x-1)=limx→13...&
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洛必达法则是求未定式极限的一个有力工具[1-4],很多未定式的极限都可以利用洛必达法则进行求解.但因为有些题目不是00或￥￥型的未定式,不能用传统的洛必达法则,只能用其它方法求解或证明,而这些方法又相对较麻烦[5-7].本文从华东师大数学系编的《数学分析》第六章总习题18[8]241求解出发,对洛必达法则进行了推广,得到广义洛必达法则,并利用广义洛必达法则解决一些极限求解或证明问题.例1[8]241证明:设f(x)在(a,+￥)上可导,若lim(),lim()x x?+￥?+￥￠都存在,则lim()0xf x?+￥￠=.方法1因为lim()xf x?+￥存在,由函数极限的柯西准则可知,对于任意0(0)k kee?,存在kX,当,kx￠x￠X时,()()kf x￠-f x￠+,有()()1k k kf n+-f n0,存在1d0,使得当()ox?U x d时,有'()'()2f xAg xe因为g￠(x)10,由Cauchy中值定...&
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