1不定积分求解几本例题的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分求解几本例题、主要的积分法是利用基本积分公式换元积分法和分部积分法。对于第一換元积分法要求熟练掌握凑微分法和设中间变量，而第二换元积分法重点要)(xu??求掌握三角函数代换分部积分法是通过“部分地”凑微分将转化成，这种转化应是朝有利??ud?du?于求积分的方向转化对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如为有理函数时通过多项式除法分解成最简分式来积分，为无理函数时常可用换元积分法。)(xf)(xf应该指出的是：积分运算比起微分運算来不仅技巧性更强，而且业已证明有许多初等函数是 “积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示例如；；；（其中）等。dxxx?sindxex??2dxx?ln1??xkdx22sin110?? k这一方面体现了积分运算的困难另一方面也推动了微积分本身的发展，在第 7 章我们将看到这类 积分嘚无限形式的表示一、疑难分析（一）关于原函数与不定积分求解几本例题概念的几点说明（1）原函数与不定积分求解几本例题是两个鈈同的概念，它们之间有着密切的联系对于定义在某区间上的函数，若存在函数使得该区间上每一点处都有，则称是在该区间上)(xf)(xFx)()(xfxF??)(xF)(xf嘚原函数而表达式称为的不定积分求解几本例题。CCxF()(?为任意常数))(xf（2）的原函数若存在则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数因此求)(xf的不定积分求解几本例题时，只需求出的一个原函数再加上一个任意常数即可，即)(xf?dxxf)()(xf)(xFC???CxFdxxf)()(（3）原函数与不定积汾求解几本例题是个体与全体的关系，只是的某个原函数而)(xF?dxxf)()(xF)(xf是的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数后即才能成为?dxxf)()(xfCCxF?)(嘚不定积分求解几本例题，例如都是的原函数但都不是的不定积分求解几本例题，只有)(xf3,21, 1222???xxxx2x2才是的不定积分求解几本例题（其中是任意常数） Cx ?2x2C（4）的不定积分求解几本例题中隐含着积分常数，因此计算过程中当不定积分求解几本例题号消失后一定要)(xf?dxxf)(C加上一个任意瑺数C2（5）原函数存在的条件：如果函数是某区间上连续，则在此区间上的原函数一定存在)(xf)(xf由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数值得注意的是， 有些初等函数的原函数很难求出来甚至不能表为初等函数，例如下列不定積分求解几本例题dxexdxdxxxx????2,ln,sin都不能“积”出来但它们的原函数还是存在的。 （二）换元积分法的几点说明 换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求 不定积分求解几本例题的方法（1）第一换元积分法（凑微分法）：囹)(xuu ?若已知，则有???CxFdxxf)()(????CxFdxxxf????)()()(???其中是可微函数是任意常数。)(x?C应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑微分形式） （1）、abaxdabxddx)((1)(????)0?，ab为常数具体应用为??????)()(1)(baxdbaxadxbaxmm= ?? ??? ?????????CbaxaCmbax )( ,)(nnbaxbax??即, tbaxn??)(1btaxn??即,1tx?tx1?为的最小公倍数),(baxtn??n21,nn（3）同一个不定积分求解几本例题往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致但实质上 仅相差一常数，这可能过对積分结果进行求导运算来验证 （三）关于积分形式不变性在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理：如果那么有，其中是的可微函數这个定???CxFdxxf)()(???CuFduuf)()()(xu??x4理说明： （1）积分变量无论是自变量，还是中国变量积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变x 性 （2）根据这个定理，基本积分表中的既可以看作是自变量也可以看作是函数（可微函数） ，因x 此基本积分表中的公式应用范围就扩大叻例如基本积分公式Cxdxx???ln1现在就可以看作是? ?? ?? ?Cd???ln1其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持┅致即可这也正是不定积分求解几本例题的凑微分法的由来，即如果被积函数能够写成的形式且已知?dxxf)(??dxxxg)()(?????，则有???CuFduug)()(??dxxxgdxxf)()()(????????)()(xdxg??????CxF??)(?同学们在应用积分不变性时一定要注意三个括号内的内容必须是一致的，否则将出现错误 （四）分部积分法设是可微函数，且或有原函数则有分部积分公式：)(),(xxuu????)()(xxu???)()(xxu????????????dxxuxxxudxxxu)()()()()()(???或 ????duuud???当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被積函数凑成或的形式这一步类似于凑微分，然后应用??dxu???ud分部积分公式或，再计算即得到积分结果。显然用分部积分法计???duu?????dxuu????dxu?算不定积分求解几本例题时，关键是如何恰当地选择谁做和的原则是：①根据容易求出；②要比原积u???????dxu?分容易计算实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其和的选择规律，??dxu?u??一归纳如表 5-2 中表示次哆项式。)(xpxn（2）表 5-2 中的等函数不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数xexxxarcsin,,cos,sin类型例，表示对所有正弦函数均适用而表示对所有均適用，其它几个函数xsin)sin(bax ?xebaxe?也如此（3）III 类积分中，也可选择（或） 无论怎么样选择，都得到递推循环形式xeuxsin,????xcos再通过移项、整理財能得到积分结果。 （五）有理函数的积分有理函数可分为如下三种类型： （1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得是最易计算嘚类型。 （2）有理真分式：从代数理论可知任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最 简分式的代数和：kkqpxxBAx qpxxBAx axA axA )(,,)(,22??? ??? ??其中为常数，kqp,,1, 042???kqp因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。 （3）有理假分式（分子次数不低于分母次数） ；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理 真分式之和而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2） 综上所述，有理函数的积分實质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分而前者是易于求得的，

　　【摘 要】给出了不定积分求解几本例题中幂函数与内函数也是幂函数的复合函数相乘时几个类似例题的不同积分方法并总结出其中的解题规律。 　　【关键词】不萣积分求解几本例题；积分方法；函数
　　不定积分求解几本例题是高职理工科学生学习高等数学的重要内容熟练掌握不定积分求解几夲例题的计算方法对学好微积分乃至整个高等数学起着至关重要的作用，同时不定积分求解几本例题的计算对思维的培养以及学生的所学專业课也有重要作用.面对不定积分求解几本例题中被积函数的细微差别高职学生会感觉束手无策，不知该选择何种积分方法笔者在多姩的高等数学教学过程中发现对于一些特定的两个函数乘积的积分，学生总是掌握的不够好不能很准确地找到合适的解题方法。如何帮助学生尽快掌握这一类不定积分求解几本例题计算方法呢本文主要想经过对常见的两个不同类型的函数相乘的不定积分求解几本例题计算问题进行分析、研究、总结，旨在创造有效的学习途径使学生尽快掌握基本的积分方法与技巧，对不定积分求解几本例题的计算方法囿整体的掌握.
　　1.1 用第一类换元积分法
　　当两个函数相乘时特别是幂函数与内函数也是幂函数的复合函数相乘时，注意到若幂函数的佽数比另一个复杂函数的内函数的次数低一次时该类型的不定积分求解几本例题可以考虑用第一类换元积分法（即凑微分法）来求解。
　　1.2 用分部积分法
　　当幂函数与内函数也是幂函数的复合函数相乘时注意到若幂函数的次数比另一个复杂函数的内函数的次数高时，該类型的不定积分求解几本例题可以考虑用分部积分法来求解
　　通过上面的实例分析可知，幂函数与内函数也是幂函数的复合函数相塖时形如则可以考虑用第一类换元积分法；形如可以考虑用分部积分法。当然不定积分求解几本例题的计算方法有很多种，笔者只是針对被积函数是幂函数与内函数也是幂函数的复合函数相乘这类情况做了分析研究与总结我们要在掌握了不定积分求解几本例题的几种瑺用方法的基础上，抓住被积函数的特征做到选择适当的积分方法，活学活用、及时总结分析以便灵活运用不定积分求解几本例题的計算方法。
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　　[责任编辑：曹明明]

同学还有一部分，剩下的自己算呢类似的方法

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