利用比较审敛法判定级数[∞ ∑ n=1] sin[π /(2^n)]的敛散性,
利用比较审敛法判定级数[∞ ∑ n=1] sin[π /(2^n)]的敛散性
因为当n趋于无穷时，π／2^n趋于0所以根据等价无穷小的代换：sint〜t（t―＞0）， 有sin[π /(2^n)]〜π /(2^n)（n―＞无穷）所以[∞ ∑ n=1] sin[π /(2^n)]的敛散性与[∞ ∑ n=1] π /(2^n)相同因为0＜1／2＜1，所以[∞ ∑ n=1] (π／2^n)收敛（等比级数：|公比|＜1时级数收敛）从而由比较判别法的极限形式知原级数收敛
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用比较审敛法判断级数敛散性
用比较审敛法判断级数敛散性敛散性，两个小题谢谢(*°∀°)=3
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与常用级数做比较，比如调和级数，等比级数等等
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解：①小题，设vn=1/n，un=1/[n*n^(1/n)]，则l=lim(n→∞)vn/un=lim(n→∞)n^(1/n)=e^[lim(n→∞)lnn/n]=1。∴根据比值审敛法，∑vn与∑un具有相同的敛散性。而，∑vn为p=1的p-级数，发散。∴级数∑1/[n*n^(1/n)]发散。②小题，当0&a&1时，lim(n→∞)1/(1+a^n)=1≠0，按照级数收敛的必要条件可知，其发散。当a=1时，显然，∑1/(1+a^n)→∞，发散。当a&1时，设vn=1/a^n，un=1/(1+a^n)]，则l=lim(n→∞)vn/un=lim(n→∞)(1+a^n)/a^n=1。∴根据比值审敛法，∑vn与∑un具有相同的敛散性。而，∑vn为首项为1/a、公比q=1/a的等比数列，且丨q丨&1，∴∑vn收敛。∴综上所述，0＜a≤1时，级数∑1/(1+a^n)发散；a&1时，级数∑1/(1+a^n)收敛。供参考。
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用比较审敛法判定下列各级数的敛散性.
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第一个每一项都大于1/(2n+2)比较，1/(2n+2)=(1/2)*(1/n+1)，是调和级数，原式发散第二个每一项都小于1/(n^2)，后者收敛，故原式收敛第三个每一项都小于1/(n^(3/2)),后者收敛，故原式收敛
第三个小于什么没看懂，电脑上有点别扭，
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浅谈如何利用阶数判断正项级数的敛散性
2009年第21期（总第132期）Chinesehi-techenterprises中国高新技术企业NO.21.2009（CumulativetyNO.132）浅谈如何利用阶数判断正项级数的敛散性吴吟吟（无锡职业技术学院，江苏无锡214121）摘要：阶数的高低常用于比较无穷小量趋向于零速度的快慢，此文将阶以及推广的无穷大量的比较应用于正项级数敛散性的判定，得到了一种新的判别法，并举例说明其应用，取得较好的效果。关键词：阶数；正项级数；比较判别法中图分类号：O173文献标识码：A文章编号：（5-02高职学生在思维上侧重于直观、形象，其培养方向也倾向于应用，故高等数学的教学往往偏重于定理的应用，对于其理论证明，我们往往是给予一些几何或形象的解释，以保持数学体系的严密性、完整性。在级数这一章节，对于数项级数敛散性的判断，很多学生感到方法较多，题型多变、灵活，学起来有一定难度。而教师限于学生的理论水平，对一些判别法只能介绍其结论。那么，怎样让学生理解而不是被动地接受就是摆在教师面前一个现实的问题。定义3对于数列{un}和{vn}，limun=limvn=∞，且limu=∞，则n→∞n→∞n→∞n称un是vn的高阶无穷大。引理1（级数收敛的必要条件）若Σun是收敛级数，则limn=1∞n→∞un=0。引理2（比较判别法）设Σun和Σvn为两个正项级数，如n=1n=1∞∞果它们的通项满足un≤kvn，（k&0为常数，n≥N，N为任意给定的正整数，则（1）若级数Σvn收敛，则级数Σun也收敛；（2）若级则级数Σvn也发散。数Σun发散，n=1n=1∞n=1∞n=1∞∞一、引理及定义为了叙述方便，先给出以下引理和定义。定义1（无穷小和无穷大）若limun=0，则称un是n→∞时的n→∞无穷小量，简称无穷小量；若limun=∞，则称un是n→∞时的无穷n→∞大量，简称无穷大量。定义2对于数列{un}和{vn}，limun=limvn=0，且limun=ln→∞n→∞n→∞n（0&l&∞），则称un是vn的同阶无穷小，记作un=O（vn）。的内表面附着工艺沉淀物（结垢），必然要求定期停车加以清除，因而必须装备一批备用设备，这就使得生产经济指标明显变坏。（一）清除结垢的必要性引理3（比较判别法的极限形式）设Σun和Σv（nvn≠0，n=1∞∞n≥N）是两个正项级数，若极限limun=（l0&l&∞），则Σun和Σn→∞nn=1n=1vn具有相同的敛散性；与形状的差异，使用着各种破坏及清除沉淀物结垢的方法。通常采用机械清除法、化学清除法、流体力学淹除法和流体力学清除法。n=1∞∞ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ氧化铝厂的所有设备中部会产生结垢。预热器的管壁会附底和益上的结上一层密实酌沉淀物硬壳；种分榴和碳分措壁、垢厚度可达0.5～1米。沉陷槽搅拌机的叶片结垢后，会引起电动机轴的负荷增大。设备表面上产生结垢是复杂的物理化学过程，它与溶液的过饱和程度、设备壁和溶液间的温差以及其它因素有关。换热表面上形成的密实结垢层会增加热阻，而且由于结垢的导热串低，使传热系数急剧下降。热利用系统的传热系数低，使热流得不到有效利用，结果势必过多地稍耗外部热源的热例如，当高压停留罐组的生产能力为每小时90米。料浆和两量。次清洗之间的连续工作时间为40～60昼夜时，因换热表面结垢使热流的利用变坏，致使热能费用增加。各种工艺设备内表面产生的沉淀物，会给操作造成很大困难，并引起氧化铝生产的技术经济指标下降。因此十分有必要对系统进行维护，清除结垢，提高破碎系统的工作效率。（二）清除结垢的方法三、结语通过对破碎系统的改造和对破碎系统的维护，能够提高破碎系统工作效率，提高原材料的利用率，提高产能，获得卓越的经济效益和社会效益。因而，有必要在氧化铝厂中推广这种方法，提高社会的整体劳动生产率。参考文献[1]郭宝贤．圆锥破碎机[M]．机械工业出版社，1998．[2]（苏）c．E．安德列耶夫，等．筒用矿物的破碎、磨碎和筛分[M]．中国工业出版社．1963．[3]沈阳铝镁设计研究院．长城铬业公司矿山公司洛阳铬矿1993．贾沟采场技术改造补充说明书，作者简介：武斐（1985－），男，河南安阳人，供职于河南煤化根据沉淀物成分、性质和构成的不同，以及设备几何尺寸集团河南中美铝业有限公司，研究方向：现场工程管理；杜永军（1975－），男，黑龙江鸡西人，供职于河南煤化集团河南中美铝业有限公司，研究方向：安装工程。-195-二、利用阶判断正项级数敛散性对引理1，我们可以得到如下结论：如果级数的通项不趋于零，则级数Σun必定发散。但是通项以零为极限决不是级数n=1∞收敛的充分条件，通项趋于零而级数发散的例子比比皆是，例如，调和级数的通项的极限lim=0，但它是发散的。实际上，级n→∞n数的收敛与否，就取决于通项趋于零的速度：公比绝对值小于1的等比数列，通项趋于0的速度很快，因此它是收敛的；级数Σn=1∞1的通项1的趋零速度也比较快，因此也是收敛的；但1趋于0的速度不够快，以它为通项的调和级数就发散了。此番解释可以形象地得到下面的定理，其证明也较方便的。定理1设Σun和Σvn为两个正项级数，un=O（vn），则Σunn=1n=1n=1∞∞∞和Σvn具有相同的敛散性。n=1∞证明：由条件可得limu=（l0&l&∞），由引理3知，un和Σn→∞nn=1【证毕】Σv具有相同的敛散性。nn=1∞∞100此题也可用定理1来判别，但通项n的同阶无穷小怎么找，下述定理表明，它应当是分子分母中变化速度最快的部分的比值。定理2设ωn是无穷小量，且ωn=，其中un，vn，u'n，v'nu'n+v'n都是无穷大量，且un，u'n，分别是vn，v'n，的高阶无穷大，则ωn=O（u。u'n证明：un，u'n分别是vn，v'n的高阶无穷大，即limv=limv'=0n→∞unn→∞u'n1+所以limu'n+v'n=un=1。【证毕】n→∞1+nn此定理也可推广到无穷小量的分子分母为有限个部分和的情况。nN定理3p（p&1）是n（N∈Z+）的高阶无穷大。证明：根据罗比达法则，nnnNp=∞，limp=limplnp=…=limn→∞n→∞n→∞nN故p（p&1）是n（N∈Z+）的高阶无穷大。【证毕】100例4判别级数Σ的敛散性。n2n=13+n100解：因为3n是n2在n→∞时的高阶无穷大，由定理3得3n+n2100=O（n。3∞显然，定理1由引理3直接推论得到，但与引理3相比，可以直接利用同阶这一概念简化级定理1使用起来更为简便。数的形式，更容易观察出级数的收敛性，同时也更能体现由引理3所提供的审敛法的本质。例1判别级数Σn的敛散性。n=1解：因为n=O（1，且Σ1收敛，所以原级数收敛。n=1例2判断级数Σsin1的敛散性。n=1解：因为sin1=O（1，且Σ1发散，所以原级数发散。n=1例3判别级数Σ1lnn+1的敛散性。n=1解：因为1lnn+1=O（12=O（1，且Σ1收敛，所n=1以原级数收敛。特别地，我们用引理2判断级数Σun是否收敛，一般是将其通项un放大或缩小后与几何级数Σp或P级数Σp比较，n=1n=1nnn=1∞∞∞∞∞∞∞∞∞而级数Σn用比值判别法易知其是收敛的，由定理1得n=1出原级数收敛。事实上，几何级数的增长比p级数的增长要快得多，有如下定理：100∞q＞1）是收敛的。定理4级数Σn其中p＞0，n=1pn+1p证明：用比值判别法，limq=lim11+1=1&1，n→∞n→∞p∞所以级数Σn收敛。【证毕】n=1qp∞例5判断级数Σn的敛散性。n=110101099解：因为n=O（n=O（n，而Σn级数是收敛n=1的，所以原级数收敛。∞∞π的敛散性。例6判断级数Σn2sinnn=122π=Oπ解：因为nsin（n2=O（n，而级数Σn是收n=1敛的，所以原级数收敛。2∞∞但这里有一个难以解决的问题，怎样知道应将Σun的通项un放n=1∞大还是缩小呢？依靠定理1，我们就可以初步判定后用通俗的语言“放大定收敛，缩小定发散”给出证明。如对于例1中所给级数，应放大通项来定收敛，给出比较判别法过程如下：因为3&3=2，而Σ2收敛，由比较（n+1）nnn=1n判别法知所给级数收敛。对上述几个例子我们能利用无穷小的等价替代定理较方100便地找到通项的同阶无穷小，那么对于级数Σ呢？分析：n2n=13+n∞∞参考文献[1]高等数学编写组.高等数学[M].苏州大学出版社，2003.作者简介：吴吟吟（1981－），女，江苏无锡人，无锡职业技术学院讲师，硕士，研究方向：金融投资与风险分析。-196-
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