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北京科技大学计算方法课件9第九章数值积分与数值微分.ppt 91页
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北京科技大学计算方法课件9第九章数值积分与数值微分
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北京科技大学数理学院
卫宏儒 .cn 数值积分与数值微分 引言 在实际问题中，往往会遇到被积函数f(x)的原函数无法用初等函数来表示，或函数只能用表格表示，或有的虽然能用初等函数表示，但太复杂，所以这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式。
在数值积分方面，最容易得到的是用f(x)的代数插值函数p(x)来代替它，即：
将积分 区间细分，在每小区间内用简单函数代替复杂函数，这是数值积分的基本思想。 对替代函数的要求：
1：精度要高。
2：计算量要小。
上述公式称为数值求积公式。其中 仅与 一、代数精度的定义及确定: 定义：若求积公式
， 对一切不高于m次的多项式都准确成立，而对于m+1次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为m。
代数精度越高，公式越精确。
代数精度的求法：
依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是
，则该求积公式的代数精度就是
几个常用的Newton-Cotes公式 柯特斯系数 当n=2时，为抛物线公式
等距结点求积公式的余项问题 N-C求积公式的数值稳定性 例2：用Newton-Cotes公式计算
解：当n取不同值时，计算结果如下所示。
I准=0.9460831 复合求积公式 从余项的讨论看到，积分区间越小，也可使求积公式的截断误差变小。因此，我们经常把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采用次数不高的插值公式，如梯形公式或抛物线公式，构造出相应的求积公式，然后再把它们加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复合求积公式的基本思想。 复合求积公式克服了高次Newton-Cotes公式计算不稳定的问题，其运算简单且易于在计算机上实现。 常用的复合求积公式是复合梯形公式和复合抛物线公式。 复合梯形公式、复合抛物线公式 复合梯形公式
把区间[a,b] n等分，取节点xk=a+kh,k=0,1,...n, h=(b-a)/n,对每个小区间[xk,xk+1]用梯形求积公式，再累加起来得：
复合抛物线Simpson公式
令n=2m,m为正整数，在每个小区间[x2k-2,x2k]上用抛物线求积公式，有：
（2） 用复化梯形公式计算
令h=1/8=0.125，n=8
用复化抛物线计算
令h=1/8=0.125,m=4,n=8
Richardson外推法
假设有一个量F*，用一个步长为h的函数F1(h)去逼近，F*与h无关，既有h ? 0 时， F1(h) ? F*，其与F1(h)的截断误差有估计式：
R(F*)=F*-F1(h)=a1h p1+a2hp2+····+a k p k+···
p k&p k-1&···&p2&p1&0,a i(i=1,2, ···)都是与h无关的常数，也就是说，F1(h)逼近F*的阶是hp1 ，现在提出的问题是能否通过构造出一个新的序列，它逼近F*的阶要比hp1更高，如为hp2 。
将(1)中的h用qh来代替， q?0， 则有 F*-F1(qh)=a1(qh)p1+a2(qh)p2+···+a k(qh)pk+··· 现在用hp1乘(1)的两边后和上式相减,整理得
(1-qp1)F*-(F1(qh)-qp1F1(h))
=a2 (qp2 - qp1)hp2+···+a k(q p k- qp1
) h p k+··· 因为(1-qp1)不等于零，用(1-qp1)除等式两边有
. . . ,a k(2) =
, . . . 都是与h无关的常数，令
那么F2(h)逼近F*的误差由(
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高等数学(同济大学)课件下第9_2二重积分的计算 ,*三、二重积分的换元法,,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,,由曲顶柱体体积的计算可知,,若D为 X – 型区域,则,,若D为Y –型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当被积函数,均非负,在D上变号时,,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,,X-型域或Y-型域 ,,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及,y＝x 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X–型区域, 则,解法2. 将D看作Y–型区域, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,,,,,,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,,因此取D 为X – 型域 :,先对 x 积分不行,,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y–型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算,其中D 由,所围成.,,,,,解: 令,(如图所示),显然,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,,内取点,及射线 ? =常数, 分划区域D 为,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,特别, 对,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f ≡1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 ? 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,,故本题无法用直角,由于,故,,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,,利用例6的结果, 得,①,故①式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,定积分换元法,,*三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,,形, 其顶点为,,通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边,形,,其对应顶点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理得,当h, k 充分小时,,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,,故其面积近似为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,,,,,,,,例9. 计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S .,解: 令,,,,,,则,,,,,,,,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,(2) 一般换元公式,,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 计算步骤及注意事项,o 画出积分域,o 选择坐标系,o 确定积分序,o 写出积分限,o 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,解：,原式,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,,,,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,,,,,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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=27*2/3+81/2-(8*2/3+16*1/2)
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