Function的三角函数_百度知道
Function的三角函数
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定义三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。它有六种基本函数：函数名正弦余弦正切余切正割余割符号 sin cos tan cot sec csc正弦函数sin（A）=a/h余弦函数cos（A）=b/h正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x）来表示。函数概念的发展历史⒈早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略（G．Galileo，意，）在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔（Descartes，法，）在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。⒉十八世纪函数概念──代数观念下的函数1718年约翰?贝努利（Bernoulli Johann，瑞，）在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。1755，欧拉（L．Euler，瑞士，） 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”18世纪中叶欧拉（L．Euler，瑞，）给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。⒊十九世纪函数概念──对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，） 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，） 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托（Cantor，德，）创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦（Veblen，美，）用“集合”和 “对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。⒋现代函数概念──集合论下的函数1914年豪斯道夫(F．Hausdorff）在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski）于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x）。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。正比例函数：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x&0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k&0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．（另：中文“函数”名称的由来在中国清代数学家李善兰（）翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”；这里的“函”是包含的意思。）深入研究一次函数徐若翰在学习一次函数时，根据中学要求，我们还要深入研究它的实际应用，以及如何改变图象的位置。实际问题中的分段函数[例1]（2005年武汉市）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图。若返回时上、下一个坡的速度不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是多少？分析：上、下坡的速度不同，问题要分两段来研究。根据函数图象提供的信息，可知小明从家去学校时，上坡路程为3600米，下坡路程为=6000（米）。∴上坡速度为（米/分钟）下坡速度为6000÷（30－18）=500（米/分钟）小明回家时，上坡路程6000米，下坡路程3600米，所用时间为00÷500=37.2（分钟）。在物理学科中的应用[例2]（2004年黄冈市）某班同学在探究弹簧的长度与外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：求y关于x的函数解析式及自变量的取值范围。分析：根据物理学知识可知，弹簧在外力（所挂砝码的重力）作用下发生形变（伸长），外力与指针位置的关系可以用一次函数表示；但是，每个弹簧所受的外力都有一定的限度，因此我们必须求出自变量的取值范围。由已知数据求出：在弹簧受力伸长过程中，令y=7.5，得x=275∴所求函数为注 两段之间的分界点是x=275，不是x=300。直线平移的应用[例3]（2005年黑龙江省）在直角坐标系中，已知点A（－9，0）、P（0，－3）、C（0，－12）。问：在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由。分析：在所研究的梯形中哪两边平行？有两种可能：如果，就是把直线CA平移，经过P点易求直线CA的解析式为平移后得到直线的解析式为如果把直线PA：平移，经过C点得到直线：直线交x轴于点（－36，0）直线的解析式为如何理解函数概念曹阳函数是数学中的一个极其重要的基本概念，在中学数学中，函数及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函数的概念对今后的学习非常有用。回顾函数概念的发展史，“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，但其含义与现在对函数的理解大不相同。现代初中数学课程中，函数定义采用的是“变量说”。即：在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量，y称为因变量。它明确指出，自变量x在某一给定范围可以取任一个值，因变量y按一定的规律也相应每次取唯一确定的值。但是，初中阶段并不要求掌握自变量的取值范围（看一下初中要学的几个函数可知，这个定义完全够用，而且，对于初中生来说，也容易理解）。函数概念的抽象性很强，学生不易理解，要理解函数概念必须明确两点：第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x，y，如果看成y随x 的变化而变化，那么x称为自变量，y称为因变量；如果看成x随y的变化而变化，那么y称为自变量，x称为因变量。第二，函数定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量x的值就有唯一确定的因变量y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”），下面以图1来阐述这样的对应关系（其中x是自变量，y是因变量）：“一对一” “多对一” “一对多”是函数 是函数 不是函数图1下面举4个例子帮助大家理解函数的概念：例1 一根弹簧的长度为10cm，当弹簧受到拉力F（F在一定的范围内）时，弹簧的长度用y表示，测得有关的数据如表1：表1拉力F（kg）1234…弹簧的长度y（c）…弹簧的长度y是拉力F的函数吗？分析：从表格中可读出信息，当拉力分别是1kg、2kg、3kg、4kg时，都唯一对应了一个弹簧的长度y，满足函数的定义，所以弹簧的长度y是拉力F的函数。一般地，以表格形式给出的函数，第一行是自变量的值，第二行是因变量的值。例2 图2是某地区一年内每个月的最高气温和最低气温图。图2图2描述了哪些变量之间的关系？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？分析：图中给出了三个变量，最高气温、最低气温和月份，从图中可以直观地看出最高气温和最低气温随着月份的变化而变化，而且每月的最高气温和最低气温都是唯一的，所以最高气温（或最低气温）是月份的函数。我们还可以发现7月和8月的最高气温相同，也就是说两个自变量对应了同一因变量。一般地，以图象形式给出的函数，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。例3 下列变量之间的关系是不是函数关系？说明理由。⑴圆的面积S与半径r之间的关系；⑵汽车以70千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系；⑶等腰三角形的面积是，它的底边长y（厘米）和底边上的高x（厘米）之间的关系。分析：⑴圆的面积S与半径r之间的关系式是，当半径确定时，圆的面积S也唯一确定，所以圆的面积S与半径r之间的关系是函数关系。⑵路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式是，当时间t确定时，路程s也唯一确定，所以路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系是函数关系。⑶底边长ycm和底边上的高xcm的关系式是，当底边上的高x确定时，底边长y也唯一确定，所以底边长ycm和底边上的高xcm之间的关系是函数关系。一般地，以关系式形式给出的函数，等号左边是因变量，等号右边的未知数是自变量。例4 下列图象中，不能表示函数关系的是（）分析：在上面四个图象中，A、C、D都可以表示函数关系，因为任意给定一个自变量x的值，都有唯一的一个y值与它相对应，但是B图中，任意给定一个自变量x的值，却有两个不同的y值与它对应，所以本题应选B。[问题2.9]设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m。
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高等数学，定积分问题。 三角函数的分段函数。 我不知道红框这里怎么一步到位的？ 求详细告知，谢谢
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兄弟，fx别搞混了，分段函数啊
好吧……我知道了
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。导读：高中数学三角函数常见习题类型及解法，高考试题中的三角函数题相对比较传统，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识，1．熟练掌握三角变换的所有公式，熟悉三角变换常用的方法――化弦法，并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明，掌握三角变换公式在三角形高中数学三角函数常见习题类型及解法 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法――化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数y?Asin(?x??)的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 22（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx?cotx=tan45°等。 222222（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx；配凑角：α=（α+β）－β，β=???2－???2等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2?b2sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?=b确定。 a2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
－94－ 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 例1．已知tan??2，求（1）cos??sin?22；（2）sin??sin?.cos??2cos?的值. cos??sin?sin?cos??sin?cos??1?tan??1?2??3?22； 解：（1）?sin?1?tan?1?2cos??sin?1?cos?sin2??sin?cos??2cos2?22
sin??sin?cos??2cos?? 22sin??cos?2sin?sin???222?2?24?2
?cos?2cos?. ??sin?2?13?1cos2?1?说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 例2．求函数y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)2的值域。 解：设t?sinx?cosx?π2sin(x?)?[?2，2]，则原函数可化为 413y?t2?t?1?(t?)2?，因为t?[?2，2]，所以 2413当t?2时，ymax?3?2，当t??时，ymin?， 2433?2]。 所以，函数的值域为y?[，4例3．已知函数f(x)?4sinx?2sin2x?2，x?R。 （1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合； （2）证明：函数f(x)的图像关于直线x??22π对称。 82解：f(x)?4sinx?2sin2x?2?2sinx?2(1?2sinx)
?2sin2x?2cos2x?22sin(2x?) (1)所以f(x)的最小正周期T?π，因为x?R， π4ππ3π?2kπ?，即x?kπ?时，f(x)最大值为22； 428π(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x??对称，只要证明对任意x?R，有8ππf(??x)?f(??x)成立， 88ππππ因为f(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x， 8842ππππf(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x， 8842πππ所以f(??x)?f(??x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x??对称。 888132例4． 已知函数y=cosx+sinx?cosx+1
（x∈R）, 22所以，当2x?（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=1113322cosx+sinx?cosx+1= (2cosx－1)+ +（2sinx?cosx）+1 =cos2x+sin2x+=(cos2x?sin+sin2x?cos)+ =sin(2x+)+ 264???=+2kπ,（k∈Z），即
x=+kπ,（k∈Z）。 626?所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z} 6所以y取最大值时，只需2x+（2）将函数y=sinx依次进行如下变换： ??，得到函数y=sin(x+)的图像； 661?（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)26（i）把函数y=sinx的图像向左平移的图像； （iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1倍（横坐标不变），得到函数2 －96－ y=1?sin(2x+)的图像；
26（iv）把得到的图像向上平移综上得到y=51?5个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。 4264132cosx+sinxcosx+1的图像。 22说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=a2?b2sin (ωx+?)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当1313cos2x?sinxcosx?tanx22cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=2+1=2+1 22sinx?cosx1?tan2x2化简得：2(y－1)tanx－3tanx+2y－3=0 37∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤ 447?∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z} 46xx2x. 例5．已知函数f(x)?sincos?3cos333
（Ⅰ）将f(x)写成Asin(?x??)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 解：f(x)?1sin2x?3(1?cos2x)?1sin2x?3cos2x?3?sin(2x??)?3
22x?2x?3k?1?)=0即??k?(k?z)得x???，k?z 即对称中心的横坐标为2（Ⅰ）由sin(（Ⅱ）由已知b=ac 2k?z a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1cosx????，2ac2ac2ac21??2x?5???cosx?1，0?x?，??????2x??|?|?|?|，?sin?sin(?)?1，
即f(x)的值域为(3,1?]. 2?3?sin(2x?3?)?1?，332 －97－ 综上所述，x?(0,?3]
f(x)值域为(3,1?3] .
2说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。 例6．在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(1)求sinB的值； (2)若b?42，且a=c，求?ABC的面积。 解：(1)由正弦定理及cosC3a?c?， cosBbcosC3a?ccosC3sinA?sinC??，有， cosBbcosBsinB即sinBcosC?3sinAcosB?sinCcosB，所以sin(B?C)?3sinAcosB， 又因为A?B?C?π，sin(B?C)?sinA，所以sinA?3sinAcosB，因为sinA?0，所以cosB?1222，又0?B?π，所以sinB?1?cosB?。 3322(2)在?ABC中，由余弦定理可得a?c?所以有2ac?32，又a?c， 342a?32，即a2?24，所以?ABC的面积为 311S?acsinB?a2sinB?82。 22?????2例7．已知向量a?(2cosα ，2sinα)，b=(?sinα，cosα)，x?a?(t?3)b，?????y??ka?b，且x?y?0， (1)求函数k?f(t)的表达式； ，3]，求f(t)的最大值与最小值。 (2)若t?[?1?2???2??解：(1)a?4，b?1，a?b?0，又x?y?0， ??2??????2??222所以x?y?[a?(t?3)b]?(?ka?b)??ka?(t?3)b?[t?k(t?3)]a?b?0， 所以k?13313t?t，即k?f(t)?t3?t； 4444－98－
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一、内容和内容解析
本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第一章《三角函数》第六节“三角函数模型的简单应用”的第二课时．
“三角函数模型的简单应用”一节教材共设置了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用．教学共分两个课时：第一课时介绍前3个例题，分别是用已知的三角函数模型解决问题；将复杂的函数模型转化为等基本初等函数模型；根据问题情境建立精确的三角函数模型解决问题．通过第一课时的学习，学生已经初步掌握了由函数图象建立解析式的方法，这为第二课时的学习做好了知识上的铺垫．第二课时介绍第4个例题，即给出潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题．这一课时的内容是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的例子，可以让学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程．
教科书《三角函数》这章专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例4的教学，可以使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程，掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型．
三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想．首先，是函数建模思想．本节内容需要对给出的数据细心观察，寻找规律，发现表格中的数量关系；画出散点图，用曲线拟合这些数据，并找出恰当的函数模型，求其解析式；最后利用所求得的函数模型解决实际问题.这体现了数学建模的思想．其次，是数形结合思想．在用代数方法处理一些问题遇到困难时，常通过对图象的分析，采用数形结合的思想，使问题得以解决．三角函数模型其本身就是“数”与“形”的统一体．就本节所涉及的实际问题，根据所提供的数据很难一目了然地观察到其变化的规律，而画出它的散点图，可直观地反映出数据的周期性变化规律，这样将“数”与“形”结合，使得模型“形”的建立水到渠成．虽然“数形结合”的思想在之前学习分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型时，学生已经接触过，但结合本课内容，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解．此外，在运用三角函数模型解决数学问题的过程中，“函数与方程”的数学思想也得到了体现．
三角函数模型是在学习了分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型之后学习的又一具体函数模型，在知识的形成过程中，突出体现了建立模型和应用模型两个核心环节．
因此，本节的教学重点是：用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题；从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．
二、教学问题诊断分析
在学习了分段函数、指数函数、对数函数等基本函数模型后，学生已经历过观察散点图，抽象成函数模型，分析图象的特征，运用图形计算器等信息技术手段求解的数学建模过程，部分学生对模型的建立和应用往往还停留在操作层面上，对其中的数学意义和蕴含的数学思想的理解并不深刻；当面对三角函数解决实际问题的陌生背景、复杂的数据处理等，学生会感到困难；尤其是明确问题的实际背景、分析问题的复杂条件，考虑问题的实际意义，及对问题的解的分析等都会有一定的困难．因此在教学时，应重视审题环节，通过有针对性的引导，让学生认真阅读，抓住关键的词和句子，弄清题意；注意帮助学生在分析问题中提取其中的数量关系；借助散点图，引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系及他们的变化规律；同时注意指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行具体的分析．
教学难点：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．
三、目标和目标解析
（一）教学目标
1．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．
2．经历由实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建模过程，感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．
3．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力以及运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的能力，增强学生的应用意识．
（二）目标解析
1．学生在学习了分段函数、指数函数、对数函数等函数模型后，对建立函数模型的基本步骤有所了解，但对数据呈现周期性变化规律的数学建模还是初次接触，特别是对如何根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析，学生的理解并不深刻．因此如何建立和应用数学建模是本节的学习目标之一．
2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非通过简单如“复制与灌输”手段得以实现．所以通过数学建模的过程，让学生领悟到“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数思想”等，并能运用这些数学思想分析三角函数的图象，通过解决一些具有实际背景的综合性问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力．
3．通过数学建模的过程，使学生在观察、分析、探究、归纳、概括等思维活动中获取新知，这不仅可以提高学生的思维能力，培养学生运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的能力，同时也可以增强学生的应用意识，促进学生良好思维品质的形成．
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以图形计算器为平台（本节课使用的是Casio ClassPad 330型图形计算器），绘制三角函数等函数图象，变抽象为直观；同时辅之以图形计算器强大的计算功能，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
五、教学过程设计
（一）开门见山——呈现问题
同学们，我们已经学过三角函数的图象与性质，今天我们研究如何建立和应用三角函数模型解决实际问题．
我们知道，海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．
下面是某港口在某季节每天的整点时间与水深（单位：m）关系表：
（二）观察数据——建立模型
问题1：请同学们仔细观察表格中的数据，从中可以得到一些什么信息？
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，主要从变量间的关系、水深的最值、水深随时间变化有无规律等方面去研究．
【设计意图】通过观察表格中的数据，先发现水深有变化，尽可能发现或猜想这种变化呈现一种周期性变化规律，为用散点图来表示这些数据做好铺垫．
问题2：怎么画这些数据的散点图？你能使用图形计算器画出散点图吗？
师生活动：教师提问，学生思考、回答，以时间为横轴，水深为纵轴，通过描点法是可以画出这些数据的散点图的．教师引导学生使用图形计算器作散点图，如下图．
【设计意图】让学生复习用描点法画出散点图的方法．
问题3：如果我们用一条光滑的曲线把这些点连接起来，根据曲线的形状和走势，能用什么样的函数来近似拟合这个图象？
师生活动：教师引导学生利用图形计算器的连线功能将散点连接起来，如下图.观察、分析绘出的曲线的形状和特征，思考、判断、选择函数模型．教师根据学生回答的情况加以补充，突出对“周期性”的引导，最后确定可以用形如的正弦型函数来近似拟合.
【设计意图】引导学生根据由散点图连成的曲线呈周期性的特点选择正弦型函数模型，培养学生的观察、分析、推理、判断、抽象概括等能力.
问题4：如何求出函数中的，，，和的值，从而确定函数模型的解析式呢？
师生活动：师生通过问答的形式，结合图象，求出,,,.
（1）求振幅.由图象可以得到最大值是7.5，最小值是2.5，最大值与最小值之差的一半是振幅，=2.5.
（2）求.的值跟周期有关，从图象可以看到，完成一次往复运动要用12小时，所以周期是12.所以,.
（3）求.图象向上平移了5个单位，.
（4）求.代入一个特殊点，例如（0，5），就可以得到，从而得到.
学生利用图形计算器统计模块中的函数拟合功能，得出正弦型函数的解析式，如下图.
师生共同比较图形计算器得出的解析式和学生自己求出的解析式，得出两个解析式实际是相同的.
【设计意图】让学生结合函数图象以及已知表格中的数据，求出各参数的值，体会“数形结合”的数学思想，利用图形计算器验证所求结果．
问题5：我们已经知道港口在某季节每天的时间与水深关系可以近似用函数模型来刻画，谁能试着总结一下刚才我们建立三角函数模型的过程？
师生活动：学生回顾刚才建模的过程、回答．教师根据学生回答的情况加以补充完善，主要强调（1）根据已知的数据画出散点图； (2)用光滑的曲线连接散点图；（3）根据曲线的变化趋势具有周期性的特点，选择正弦型函数模型；(4)求正弦型函数解析式.
【设计意图】及时对建模的过程加以小结，使学生进一步了解各个步骤之间的联系，巩固所学知识，体会其中使用的方法和所蕴含的数学思想.
(三）回归现实——提出问题
我们已经知道港口在某季节每天的时间与水深关系可以近似用函数模型来刻画，下面利用该模型解决有关货船进出港的一些实际问题.
问题6：（进出港时间问题）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
师生活动：教师通过以下问题，引导学生探究.
（1）货船能够进入港口所需要满足的条件是什么 ？（实际水深≥安全水深）
（2）怎样用数学表达式来表述这一条件？（）
（3）如何解不等式？
（4）若把不等式两端看成是两个函数，分别作出它们的函数图象，用数形结合的思想解决问题，那么满足我们条件的解是图象的哪部分？
（5）在[0，24]内满足条件的解集是什么？
（6）结合图象，货船应该选择什么时间进港，什么时间出港？
（7）货船在港口能呆多久？
（8）如何使用图形计算器帮助我们解决其中的问题？
学生利用图形计算器分别画出和的图象，找出两图象的交点，通过数形结合得到不等式的解集.
【设计意图】通过问题串，帮助学生弄清楚题目的意思，引导学生建立函数模型，借助图形计算器，利用数形结合思想解决问题.得出答案后，通过检验它是否与实际意义相符，对答案的合理性做出解释.
过渡语：刚才的问题中，货船从进港、在港口停留，到后来离开港口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，卸完货后离开港口，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，那么在这种情况下，我们又该如何选择进出港时间呢？
问题7：（卸货时间问题）若某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
师生活动：教师启发学生类比、思考，组织学生讨论如下问题：
（1）“必须停止卸货”的含义是什么？你能用一个关系式来表述吗？
（2）安全水深如何表示呢？
（3）如何解不等式？
学生在这些问题的引导下思考探究，对于要求解的不等式，学生根据刚才解题的经历，相互讨论寻求解决的途径，利用图形计算器通过两种方法求出不等式的解集.
【设计意图】引导学生用函数模型刻画货船安全水深与时间的关系，将实际问题转化为不等式问题. 让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.
问题8：在船的安全水深正好等于港口水深时，停止卸货行吗？为什么？正确的结论是什么？
师生活动：在教师的引导下，学生独立思考、讨论，然后给出回答.货船应该在6时30分左右驶离港口.否则就不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.
【设计意图】将所得的数学解释转化为实际问题的解释.
（四）课时小结，认识深化
问题9：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？ （师生一起归纳）
1. 通过本节课的学习，学会了数据处理的基本方法和步骤：
（1）观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；
（2）根据已知数据绘制散点图；
（3）用光滑的曲线连接散点图；
（4）通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；
（5）求函数模型的解析式.
在数据处理的过程中，运用了函数的三种不同的表示方法，分析问题并解决问题．
2. 在解决实际问题时运用了“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”等数学思想方法．
【设计意图】让学生通过思考和回答问题，归纳总结建立三角函数等数学模型解决实际问题的基本步骤，理清解决实际问题的基本思路，渗透数学思想方法，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．
（五）布置作业——延时探究
过渡语：在今天我们所研究的实际问题的基础上，同学们课后可以进一步深入研究，请大家看拓展作业．
作业1（卸货速度问题）：若货船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5 m，该船在2:00开始卸货，货物卸空后吃水深度为2 m，为了保证货船进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？
【设计意图】让学生利用函数模型解决实际问题，理清解决问题的基本思路，培养分析和探究能力.这是本节内容的一个提高与拓展.
作业2：以下是同学们在互联网上得到的北京每月15日日出时间的数据：
（1）画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型，求出函数解析式．
（2）如果你准备在国庆节去北京天安门广场看升旗，你最好在什么时间到达天安门广场？
【设计意图】通过训练，巩固课堂所学内容，让学生进一步熟练三角函数应用问题的解决方法.把数学的学术形态转化为生活服务的教育形态．
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历史上的今天
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