当前位置： >
> 第8章 重积分
第2节 二重积分的计算法
按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。
8.2.1 利用直角坐标计算二重积分
下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。
在讨论中我们假定f（x，y）& 0。并设积分区域D可以用不等式
j 1（x）& y & j 2（x），a&x&b
来表示[插图1]，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。
(a) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (b)
(a) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (b)
我们应用&平行截面面积为已知的立体的体积&的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。
为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（[插图2]中阴影部分），所以这截面的面积为
一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
于是，得曲顶柱体的体积为
这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式
上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作
因此，等式（1）也写成
在上述讨论中，我们假定f（x，y）& 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。
类似地，如果积分区域D可以用不等式
&1（y）& x & &2（y），c&y&d
来表示[插图3]，其中函数&1（y）、 &2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作
因此，等式（2）也写成
这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。
我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1&）及（2&）就得
上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分
二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。
例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域。
解法1 首先画出积分区域D[插图4]。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]。在区间[1，2]上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得
解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。
对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。
例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2 + y2 = R2及x2 + z2 = R2
利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分[插图5]的体积V1，然后再乘以8就行了。
所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为
如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是，
利用公式（1）得
从而所求立体体积为
8.2.2 利用极坐标计算二重积分
有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，&比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。
按二重积分的定义有
下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。
假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：&=常数，把D分成n个小闭区域[插图6]。
(a) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (b)
除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周上的一点，该点的直角坐标设为x i，h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有。于是
由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成
这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrd&就是极坐标系中的面积元素。
公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcos&、rsin&，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrd&。
极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。在[插图7]，二重积分化为二次积分的公式为
上式也写成
。（5'）
特别地，如果积分区域D是[插图8]所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中&1（&）&0，&2（&）=&（&）。这时闭区域D可以用不等式
0&r&&（&），&&&&&
来表示，而公式（5'）成为
如果积分区域D如图[插图9]）所示，极点在D的内部，那末相当于图9-2-8中&= 0、&= 2&。这时闭区域D可以用不等式
0&r&&（&），0&&&2&
来表示，而公式（5'）成为
由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为
在极坐标系中，面积元素ds = rdrd&，上式成为
如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有
特别地，如果闭区域D如图9-2-8所示，则&1（&）&0，&2（&）=&（&）。于是
例3 计算，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。
解 在极坐标系中，闭区域D可表示为
0&r&a，0&&&2&。
由公式（4）及（5）有
例4 求球体x2+y2+z2&4a2圆柱面x2+y2=2ax（a&0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积[插图10]。
解 由对称性，
其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域D可用不等式
0&r&2acos（&），0&&&&/2
来表示。于是
Copyright &
elecfans.com.All Rights Reserved1/30求多项式P ( x ) ? x ? ax ? b, 使积分值? P 2 ( x )dx最小.21设s ? ? P 2 ( x )dx ? s(a , b)?11?1? sa ? [? ( x ? ax ? b) dx ]? a2 2 ?11积分不影响对 求导, 可以交换求导和积分的 a 次序.? ? ? 2( x 2 ? ax ? b) ? xdx sa?11? ? (2 x ? 2ax ? 2bx )dx ? ? 2ax 2dx ?13 2 1 ?11? 4a ? x dx ?0对称区间上的奇函数 1 4 令 23a0?a ? 0微积分九①2/30同理? ? [ ? ( x 2 ? ax ? b)2 dx]? sb b?11? ? 2( x ? ax ? b) ? 1dx21? ? ( 2 x ? 2ax ? 2b)dx2 ?1 1 2?1 1对称区间上的奇函数1 3 ? 2? ( x ? b)dx ? 4( x ? bx ) ?1 3 0 令 1 1 ? 4( ? b) 0 ?b ? ? 3 3 1 2 ? P( x) ? x ? 3微积分九①1微 积分电 子 教 案Conception and property of double integral 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的基本性质4/30一、问题的提出一元函数定积分是求与定义在某一区间上 的函数有关的某种总量的数学模型; 作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型; 三元函数的三重积分是求与定义在 某一空间区域上的函数有关的某种总量的数学 模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的 极限。微积分九①5/301.1、曲顶柱体的体积 ⑴曲顶柱体的引入 设 z ? f ( x , y ) ? 0 是定义在有界闭区域D上的连 续函数。 其图象是位于xy平面上方的一个连续曲面。 以曲面z ? f ( x , y ) 为顶，z ? f ( x, y)D以闭区域D为底，侧面是以D 的边界为准线，以平行于 z 轴的直线为母线的柱面所围 成的立体称为曲顶柱体。微积分九①6/301.1、曲顶柱体的体积 平顶柱体体积=底面积×高 特点: 平顶. 问题1:一曲顶柱体其顶为 曲面 z ? f ( x , y ) 底面为 平面区域D，求此曲顶柱z ? f ( x, y)D体的体积。曲顶柱体体积=？ 特点: 曲顶.微积分九①7/30⑵积分法的动画演示 求曲顶柱体的体积采用“分割、近似求和、取 极限”的方法，如下动画演示．微积分九①8/30⑶积分法的步骤： ①分割:将曲顶柱体的 底D(平面区域)任意分 割成n个小区:zz ? f ( x, y )△s1,△s2,…,△曲顶柱体被分成n个小曲顶柱体。xDoy若以△Vi表示以△si为底的第i个小曲顶柱体的体积，则原曲顶柱体的体积为：V ?微积分九①? ?Vi ?1ni9/30②近似:每个小区域△si内任取一点(xi,hi), 则每 个小曲顶柱体的体积近 似为:zf (x i ,hi )z ? f ( x, y )?Vi ? f (x i ,hi ) ? ?s ix ③求和：所有小区域对应Do?y(xi ,hi )?s i小曲顶柱体体积之和为④取极限：n d ?0 i ?1? ?Vi ?? f (x i ,hi )?s ii ?1 i ?1nn? 其中d ? max{ s i的直径 }1?i ? nV ? lim? f ?x i ,hi ? ? ?s i微积分九①10/301.2、求平面薄片的质量 问题2: 设平面薄片占有xoy面上的区域为D, 它在 点(x,y)处的密度为m (x,y),求此薄片的质量. ⑴分割:将区域D分割成n个 y 小区域△s1,△s2,…,△ (x i ,hi ) ⑵近似:每个小区域△si内 ? 任取一点(xi,hi), 则小薄片 的质量近似为 ?s i △mi ≈m(xi,hi)△ o x ⑶求和:所有小块质量之 ⑷取极限:得薄片总质量 n 和近似等于薄片总质量 M ? lim? m (x i ,hi )?s i . d ?0 i ?1 ∑△mi ≈∑m(xi,hi)△ ? 其中d ? max{ s 的直径 }1?i ?n i微积分九①11/302.1、二重积分的定义定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的二元函数，将 D 任意 分成n 个小闭区域 ?s 1 ,?s 2 , ? ,?s n ，其中 ?s i 表示第 i 个 ? 小闭区域，也表示它的面积，任取 (x i ,h i ) ∈ s i ，作乘积f (x i ,h i )?s i ,( i ? 1,2,? , n ) ,并作和 ? f (x i ,h i )?s i ，如果当各小闭区域的直径中的最大值 d 趋近于零时，这 和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分，记为 ?? f ( x , y ) d s ，Dni ?1即积分区域 积分变量被积表达式 面积元素 微积分九①?? f ( x , y )ds ? lim ? f (x i ,h i )?s i . 积分和 ? ? 0 i ?1Dn被积函数12/302.2、定义说明与几何意义 ⑴对二重积分定义的说明： ①当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极限 必存在，即二重积分必存在，f(x,y)在D上可积。 ②二重积分表示一个确定的实数,它与被积函数，积 分区域有关，与积分变量“用什么字母表示”无关。 ⑵二重积分的几何意义 ①当f(x,y)≥0时, 二重积分是曲顶柱体的体积． ②当f(x,y)≤0时, 二重积分是曲顶柱体体积的负值. ③如果f(x,y)既有正又有负,则二重积分 ?? f ?x, y? ds D 解释为曲顶柱体体积的代数和。(其中xoy面上方柱体的体积取正, 下方取负).微积分九①13/30例 若D为 : x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0), 则求?? a 2 ? x 2 ? y 2 dsD解:z? a ?x ?y2 22? x ? y ?z ?a2 2 22以(0,0,0)为球心,半径为 a 的球面.?z ?a 2 ? x 2 ? y 2 是上半球面2 2 2z z ? a2 ? x2 ? y2? ??D2 3 a ? x ? y ds ? ?a 3xOay微积分九①14/302.3、直角坐标系下积分式 在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 y 分区域D，则面积元素为y+△y yDds ? dxdy故二重积分可写为ox x+△xx?? f ( x , y )ds ? ?? f ( x , y )dxdy D D微积分九①15/303.1、线性性 （二重积分与定积分有类似的性质） 性质1 (数乘性) (线性性之一) 当k为常数时，?? kf ( x , y )ds ?k ?? f ( x , y )ds .性质2 (可加性) (线性性之二)D D?? [ f ( x, y ) ? g( x, y )]dsDD? ?? f ( x , y )ds ? ?? g ( x , y )ds .D（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）微积分九①16/303.2、区域可加性 性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲线 分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等 于在各个部分闭区域上的二重积分的和. 例如: D被曲线分成D1、D2 两部分, 即D=D1 +D2,如图 所示, 则有 y D1 O D2 xD2?? f ( x, y )ds ? ?? f ( x, y )ds ? ?? f ( x, y )ds .D D1微积分九①17/303.3、 1的积分与保序性 性质4(1的积分) 若 A 为D的面积,则?? 1 ? ds ? ?? ds ? A（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的 底面积。）D D若D为 : 1 ? x 2 ? y 2 ? 4, 则?? dxdy ? ( 例DC)yA. ? ;2B. 2? ;2C . 3? ;D. 15? .? ? 2 ? ? ? 1 ? 3?微积分九①o 1 2 x18/303.3、 1的积分与保序性 性质4(1的积分) 若 A 为D的面积,则?? 1 ? ds ? ?? ds ? A（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的 y 底面积。） 1 6 例 若D为 : x ? y ? 1, 则?? 3ds ? ______ .D D?: x? y ?1 ?? : ? x ? y ? 1?? 3ds ? 3?? dsD DD-1o-11 x??? : ? x ? y ? 1 ? 3 ? 4 ? 1 ? 1 ? 1 ? 6 2 ?V : x ? y ? 1微积分九①19/303.3、 1的积分与保序性性质4(1的积分) 若 A 为D的面积,则?? 1 ? ds ? ?? ds ? A（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的 底面积。） 性质5(保序性) 若在D上 f ( x , y ) ? g( x , y ), 则有 ?? f ( x , y )ds ? ?? g ( x , y )ds . (保号性)特别地, 若在D上有f(x,y)≥0(或≤0), 则D DDD?? f ?x, y? ds ≥0 (或≤0),D微积分九①20/303.4、估值性与中值定理 性质6 (二重积分估值不等式) 设M 、m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的 最大值和最小值， A 为 D 的面积，则 mA ? ?? f ( x , y )ds ? MA 性质７ （二重积分中值定理） D D 设函数 f ( x , y ) 在闭区域 上连续，A 为 的面积，则在 D 上至少存在一点(x ,h ) 使得 ?? f ( x , y )ds ? f (x ,h ) ? ADD中值定理几何意义: 在区域D上以曲面f(x,y)为顶的 曲顶柱体的体积等于同一区域上以某一点(x,h)的 值f(x,h)为高的平顶柱体的体积.微积分九①微 积Calculation of double integral一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的应用分电 子 教 案22/30按定义: 二重积分是一个特定乘积和式极限?? f ( x, y)ds ? lim? f (x ,h )?sD d ?0 i ?1 i ini然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我们今 天所要研究的课题。下面介绍:微积分九①23/302.1、积分区域表示法 设区域D由曲线 y ? y1 ( x ) 、y ? y2 ( x ) 以及直 线 x ? a 、x ? b ( y1 ( x ) ? y2 ( x ), a ? b) 所围成， 且在区间（a，b）内任一垂直于x轴的直线与该区域的边界至多有两个交点，则称此类区域为 X －型区域。y其中函数 y1 ( x ) 、y2 ( x )在区间 [a , b]上连续.y ? y2 ( x )Dy ? y1 ( x )o微积分九①abx24/30［X－型］积分区域D：?a ? x ? b D:? ? y1 ( x ) ? y ? y2 ( x ) 或 D : { x, y) a ? x ? b, y ( x) ? y ? y ( x)} ( 1 2yy ? y2 ( x )Dy ? y1 ( x )o微积分九①abx25/30例1 如图,试用X型区域表示法表示下列区域D：y ? 2xyyy?xD1 D2y?x2Do1xy ? 1x?0 ? x ? 1 D:? ?x ? y ? 2x微积分九①o 12 1 2 D ? D1 ? D2 ?1 / 2 ? x ? 1 ?1 ? x ? 2 D1 : ? D2 : ? ?1 / x ? y ? 2 ? x ? y ? 2x26/30设区域D由曲线 x ? x1 ( y ) 、x ? x2 ( y ) 以及直 线 y ? c 、y ? d ( x1 ( y ) ? x2 ( y ), c ? d ) 所围成，且在区间（c，d）内任一垂直于y轴的直线与该区域的边界至多有两个交点，则称此类区域为 Y －型区域。yx ? x1 ( y )d其中函数 x1 ( y ) 、x2 ( y )在区间 [c , d ]上连续.微积分九①Dx ? x2 ( y )ocx27/30［Y－型］积分区域D：或D : { x, y) c ? y ? d , x1 ( y) ? x ? x2 ( y)} ( y x ? x1 ( y ) d x ? x ( y)2?c ? y ? d D:? ? x1 ( y ) ? x ? x2 ( y )Do微积分九①cx28/30例2 把下列各组曲线围成的平面区域D用不等式组 表示出来：解： (1) X―型区域(1) x ? y ( y ? 0)、x ? y ? 2及x ? 0; 1 ( 2) y ? 、y ? x及y ? 2 x y2?0 ? x ? 1 D:? ? x ? y ? 2? x微积分九①x? y ? 2 2 ( y ? 2 ? x)1 Dx? yx2( y ? x)o1229/301 ( 2) y ? 、y ? x及y ? 2 xY―型区域?1 ? y ? 2 ? D:?1 ? x? y ?y ?yy ? x ( x ? y)21D1o微积分九①1 1 y ? (x ? ) x y 2 x30/30作业习题9-1（P351）3（1），4（1，2）微积分九①当前位置：
＞＞＞如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0）..
如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0），C（5，5）。（1）求△ABC的面积；（2）如果将△ABC向上平移1个单位长度，得△A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，试求出A2、B2、C2的坐标；（3）△A2B2C2与△ABC的大小、形状有什么关系。
题型：解答题难度：中档来源：河北省期中题
解：（1）∵A（0，0），B（6，0），C（5，5），∴AB=6，点C到AB的距离为5，∴S△ABC=×6×5=15；（2）如图所示，A2（2，1），B2（8，1），C2（7，6）；（3）根据平移变换的性质：△A2B2C2与△ABC大小、形状完全相同。
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0）..”主要考查你对&&三角形的周长和面积，用坐标表示平移，平移&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
三角形的周长和面积用坐标表示平移平移
三角形的概念：由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。构成三角形的元素：边：组成三角形的线段叫做三角形的边；顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段；（2）三条线段不在同一直线上；（3）首尾顺次相接。三角形的表示：用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。三角形的分类：（1）三角形按边的关系分类如下：；（2）三角形按角的关系分类如下：把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。三角形的周长和面积：三角形的周长等于三角形三边之和。三角形面积=（底×高）÷2。平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。平移后图形的位置改变,形状、大小不变。在平面直角坐标系内：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。图形平移与点的坐标变化之间的关系：（1）左右平移：原图形上的点（x、y）,向右平移a个单位（x+a,y）;原图形上的点（x、y）,向左平移a个单位（x-a,y）;（2）上、下平移：原图形上的点（x、y）,向上平移a个单位（x,y+b）;原图形上的点（x、y）,向下平移a个单位（x,y-b）。定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等（3）多次连续平移相当于一次平移。（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。（5）平移是由方向和距离决定的。这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
平移的三个要点1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）
平移作用：1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。平移作图的步骤：（1）找出能表示图形的关键点；（2）确定平移的方向和距离；（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；（4）按原图的顺序，连结各对应点。
发现相似题
与“如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0）..”考查相似的试题有：
22178991274386320390039391995354550}