关于第二型曲线积分的对称性问题，求解？ - 知乎3被浏览<strong class="NumberBoard-itemValue" title="分享邀请回答34 条评论分享收藏感谢收起高等数学第二类曲线积分问题_百度知道
高等数学第二类曲线积分问题
题目如图，请问直接用y=（a&#178;-x&#178;）&#189;，y=-（a&#178;-x&#178;）&#189;，带入计算的时候要如何计算，请赐解题过程，以及X取值范围如何确定，图要倒90度来看，望高手解答，满意的给予加分！！谢谢！
难道没人知道吗 啊啊 救命啊,高手救命救命啊
我的意思是用y=（a2-x2）?，y=-（a2-x2）? 这样直接正常带入的话要如何计算呢？
采纳率：55%
x的范围自然是在-a与a之间，但是-a到a还是a到-a？不好判断。像这种曲线是由平面截一个曲面得到的情形，一般考虑把曲线投影到坐标面，投影曲线作为平面曲线，如圆、椭圆、双曲线等，可以得到参数方程，再代入平面方程，求出另一个变量的表示式。本题：曲线投影到yoz面，得y^2/a^2＋(z-b)^2/b^2=1，用椭圆的参数方程得y=acost，z=b+bsint。因为方向是x轴正向看是逆时针，则椭圆作为yoz平面坐标系的曲线的方向就是逆时针，所以t从0到2π。把z代入平面方程，x=-asint
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第二类曲线积分与路径无关问题.doc
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曲线积分与路径无关问题：,其线密度为求弧的质量。
(2)若，则=，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为 ，,其中、在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且
特别,当时, 表示曲线弧的弧长。
当曲线弧的方程为 ，在上有连续的导数，则=；
把线弧的方程为化作参数方程，，
2. 第二型曲线积分
(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场，其中为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点沿光滑曲线运动到点，求力场的力所作的功。
(2)设为有向曲线弧，为与方向相反的有向曲线弧，则
即第二型曲线积分方向无关
(3)设平面上的有向曲线的参数方程为 ，当参数单调地由变到时,曲线的点由起点运动到终点,、在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，函数、在上连续，则曲线积分存在，且
这里的是曲线的起点所对应的参数值，是曲线的终点所对应的参数值，并不要求。
若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则
若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则
同样，以上并不要求，。
公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形，
若空间曲线的参数方程为，则
=这里下限为曲线的起点所对应的参数值，上限为曲线的终点所对应的参数值。
例1 计算，其中
(1)为抛物线上从点到点的一段弧。
(2)为从到点的直线段.
解法1 (1)由知不是的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里，从变到，于是
解法2 当把曲线分成与两部分时，在每一部分上都是的单值函数。在上，由变到；在上，，由变到。于是
(2) 直线的方程为,,从到,于是
从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.
3. 格林公式及其应用
格林公式: 设平面闭区域D由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则
其中是的正向边界曲线。
在公式(1)中取，可得，
上式左端为闭区域的面积的两倍，因此计算有界闭区域的面积的公式为:
例2 计算星形线所围图形的面积.
解 由公式(2)得
例3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分的值最小。
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。
令，即AO直线段。
用一元函数极值的方法得时达到最小值。
4. 平面曲线积分与路径无关的条件
从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；
定义：（曲线积分与路径无关问题）设是平面上的一个开区域，以及在内具有一阶阶连续偏导数.如果对内任意两点与，以及内从点到点的任意两条曲线、，恒有=，则称曲线积分在内与路径无关。
定理：以下条件等价
在区域内曲线积分与路径无关的充分；
内沿任一闭曲线的积分为零；
设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立；
为全微分．
例3 计算,其中是从点经圆周
上半部到点的弧段。
解 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关.
有=,且与在全平面上有一阶连续偏导数.
因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段作为积分路径.于是
例4 计算,其中为:
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点;
（2）以原点为圆心的任一圆周.
,且与在不含原点的任意一个区域内具有一阶连续偏导数.
（1） 这个曲线积分与路径无关,所以
（2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,只能直接计算.这一圆周的参数方程为,,
例5设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.
（I）证明：对右半平面x&0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；
（II）求函数的表达式.
【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可.
【详解】 （I）
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z+1有限，且 SSdxdy=0 (S表示积分号)，根据微分中值定理，SS(z+1)dxdy=(z0+1)SSdxdy，而SSdxdy=0.
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