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有关调和级数的发散性的几种简单证明 关于调和级数 的发散性的几种简单证明???1n摘 要：本文主要介绍几种新的方法来证明 的发散??1n关键词： 、发散、证明 ???1n中图分类号：O221.2on Several Simply Methods Proof of The Divergency of???1nYue chunhongCollege of Mathematics and Computer science, Chongqing Normal university , Chongqing 400047 Abstract: Several new methods to prove to reconcile the divergent sense in this paperKey words: ; proof???1n1 引言调和级数 在级数中扮演着重要的角色，它通常作为去判断另外一个级数的发散的标准，许多级数??1n的证明都与它有关。因此，对调和级数的敛散性的研究是非常重要的，尤其对它的证明更是极其重要的。它的发散性的证明在教材和一些参考书中都有所证明。许多的人都在力求寻找新的证明方法。本文在文献[5]中的相关结论下,给出了 5 种新的证明方法。在通过教材与文献的中相关的内容的启发，得出了另外几种证明方法。------------------------------------------------------------------------------------------------2 预备知识下面先给出证明中要用到的相关定理:定理 2.1 正项级数的基本定理： 若正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到+ 。??1 ?定理 2.2 若 ，则级数 与级数 同时收敛，同时发散。6 021???? naa???1nanna20??定理 2.3 （正项级数的比较判别法）若两个正项级数 和 之间成立着关系：存在常数 ，??1 ?1nu?1nv0?c使 ncvu????3,21?或自某项以后（即存在 ，当 时）成立以上关系式，则有Nn?（1）当级数 收敛时，级数 亦收敛；???1n??1nu（2）当级数 发散时，级数 亦发散。?1nu?1nv定理 2.4 （库默尔判别法）设 为正项级数， 是使级数 发散的正数列??5??1n ?? nc21, ???1nc并设 ，nnuc1????若存在正整数 ， ，使 ，则级数 收敛；N0??????nN,??1nu若 , ，则级数 发散。n???n????1nu定理 2.5 （高斯判别法）设 是正项级数??521nQun?????其中 与 为常数，而 为有界量， ,那么Ln?当 或 ， 时， 收敛；???1???u当 或 ， 时， 发散。1??n定理 2.6 （kummer 判别法） 假设 ， 则??5 0a?b???2,1?n（1）若 ,使得0??? ， 则级数 收敛?????11nnab??,2???nb（2）若 发散，且?n， 则级数 发散。011????nnab??,2??nb定理 2.7 （拉贝判别法） 为正项级数，且存在某正数 及常数 ，??5 nu0Nr(1) 时 ， 则级数 收敛；0Nn?11??????????rn?nu(2) 时 ，则级数 发散。01??nun定理 2.8 设 为单减正值函数，又设 ，则??5??xf ???????xfexlim当 时，级数 收敛；1???????1nf当 时，级数 发散。??1nf3 用定理证明结论证法 1：定理 2.1 因为 1?S2?33?nSn121???显然 是一个单调递增数列，且无上界，??故 发散。???1n证法 2：定理 2.2因为 在 中 ??1n 012???? n与 的敛散性相同?11nnana20又因为 ????????? ?0020 1nnn故 是发散到 。???1n?证法 3：（反证法）假设 是收敛的，设 ，显然 ，则??1n Sn??10?, n221? Snnn 212111???????所以 011?????nn而实际上 故矛盾，211????nn因此假设不成立，即 是发散的。??1n证法 4：定理 2.3 因为不等式 成立l????????设 的部分和为 ，则)1ln(???nS????????Sn 1l23l???nll? ????????n1ln即 是发散的，)l(1???n故 发散。?1n证法 5：等价性因为 ～???????ln1由证法 4 可知 发散。)l(1???n故 发散?1n证法 6：定理 2.4令 ， ， ，令nclun1????12lnnc??nxdA2l所以 ????Anll由积分判别法知： 是发散的。???1nc设 nn 1)l(l ???)ln(l?01???即对 都有 成立，??Nnn?故 发散。???1n证法 7：定理 2.5因为 ???11nnu所以 21 01nn??即 ， ，????Q由定理可知： 发散。???1n证法 8：定理 2.6 令 ， ，nal??11nb由证法 6 可知： ????22lnna)(?n??1ll11 ????nabn= )]l()[(= 0?故 发散。???1n证法 9：定理 2.7令 ，则有??11nnu111 ?????????????????????????? nnun对 上式都成立，???N故 发散。???1n证法 10：定理 2.8设 ，根据定理 2.8，则有xf??????????????xefexxx lim1lilim?显然 1?故 级数 发散。?????11nnf4 结束语调和级数是一类重要的级数，证明它发散的方法有多种。本文就从一些新的角度（主要是构造思想）出发，运用相关文献的结论给出了一些新的证明方法。但是本文并没有把除常规法以外的方法穷尽，这是本文的局限性。希望广大的爱好者能够给出新的证明方法，完善它的证明方法。参考文献[1]陈传璋等，复旦大学数学系.数学分析下册（第二版）北京： 高等教育出版社，1983.[2] 陈传璋等，复旦大学数学系.数学分析上册（第三版）北京：高等教育出版社， 1983.[3]刘三阳等， 《数学分析选讲》 ，.北京：北京科学出版社， 2007.[4]明清河， 《数学分析的思想与方法》 ，济南：山东大学出版社， 2004.[5]《大学数学名师导学丛书》 ， 数学分析名师导学（下）北京：中国水利水电出版社， 2004.[6]裴礼文 ， 数学分析中的典型问题与方法， 北京：高等教育出版社 ,1993.[7]石秀文,“调和级数发散性”证明中体现出的思维策略 [A].邢台师范高专学报，17（2） ，33—34，2002.[8]夏晓峰， 发散性的几种证明 [A] .本溪冶金高等专科学校学报，2（4） ，44—45，2000.???1n[9]张竟成，关于调和级数 发散性的几种证明方法以及它的应用 [A].岳阳职业技术学院学报，21（5） ，??1n116—118，2006.[10]黄永东，证明调和级数 发散的 7 种方法 [A].西北民族学报（自然科学版） ，22（39） ，1—3，2001.???1n?
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修改如下，应该没有问题了：
其他答案（共1个回答）
答: 百分之49的利率是多少
答: 老师主动，多让学生背，思考，不学也得逼着，以后他们就知道对不对了
答: 第一个华罗庚
第二个陈景润
答: 求证类型 求解类型
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