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一道关于定积分的综合题，求各位解答！谢谢！？请帮忙
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f(1/x)=&(1&1/x)lnt/(t+1)dt令y=1/t，则f(1/x)=&(1&x)-lny/(1/y+1)(-1/y^2)dy=&(1&x)lny/(y+y^2)dy所以f(x)+f(1/x)=&(1&x)lnt*(1/(t+1)+1/(t^2+t))dt=&(1&x)lnt/tdt=&(1&x)lntd(lnt)=1/2ln^2(t)|(1&x)=1/2ln^2(x)
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利用二重积分解决有关定积分的问题
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定积分解题方法指要 第1 9 卷2 0 0 6 定第1 期第1 期潍坊教育学院学报J O U R N A LO FW E I F A N GE D U C A l l O N A J ．C O U 正G Ev 0 1 ．1 9N o ．1M a r ．2 0 0 6定积分解题方法指要巨泽旺龚利森( 潍坊教育学院财经系，山东青州2 6 2 5 0 0 )摘要：本文旨在通过对定积分解题方法的探讨，达到更进一步提高“高职”学员学习《高等数学》的学习兴趣和积极性，更好掌握《高等数学》基本知识，提高解题能力，从而增强分析问题解决问题的能力．关键词：“高职”教育；数学；定积分中图分类号：0 1 7 2 ．2文献标识码：B文章编号：1 0 0 9 —2 0 8 0 ( 2 0 0 6 ) 0 1 —0 0 2 7 —0 4高职教育的教学任务就是为地方经济建设和社的定义求定积分通常也包括分割、作乘积、求和、取极会发展培养高级应用型人才，《高等数学》课也正是旨限四个步骤．在培养和提高学生的知识水平和分析问题解决问题例1 ：由定义计算定积分l1 x z 出的能力．《高等数学》作为一门基础课，它高度抽象，体解：被积函数厂( 石) ：X 2 在区间[ 0 ，1 ] 上连续，所系严谨，论证精确，应用广泛，许多领域都离不开高等以函数“菇) ：戈2 在区间[ o ，1 ] 上可积．为了方便起数学' 一““ 一l C l ，高等数学知识在某种程度上就象高楼大厦见，把区间[ O ，1 ] 等分成n 等分，分点为 警蓍罴冀窨娶耋。鼍篓黧翟2 恐薹铲吣‘1m 勺2 ?埔，i i - 1 m 了i可不学．但近几年来，由于受我国大学扩大招生的影。‘n‘nHn响和为了维持一定的办学规模、避免教育资源的闲?‰= 詈= I ，置，大学的录取分数不得不降，导致学生基础参差不每个子区间的长度都是厶产{ ，在每个子区间齐，高低分差距加大．另外由于各个学生的先天素质、[ _ ，』] 上都取右端点为邑，即毛：{ ，于是和式为 教育影响和主观努力程度的不同，同一个班级的学生n““。。．111 27 2—21 在学习上存在着明显的差异，这就给高等数学的教学邵毫) 厶f - 荟_ L ／／, ’专2 ( 去+ 吾+ ?+ 寺+ ?+ 寺) 吉带来了一定的难度．为了增强高职学生学习高等数学．．：，了1n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )的兴趣，我们采取因材施教的分层教学方法，在教学= 丛竺j ≯』』= 鱼——i 广中将高等数学的主要内容按问题分类，通过引例，归= i 1 ( 1 + { ) ( 2 + { ) 纳总结各类问题的解题规律、方法和技巧，不断增强当A ：，麟{ 厶i } 一o + 时，即n 一+ 。有学生分析问题、解决问题和考试的能力．以下便是我f 1．，，，， 们在为学生讲授定积分解题方法时的总结，在此与大J o # d x 。』? 。邵￡) 厶产，熙言( 1 + 寺) ‘2 + 寺’2 言家商榷．2 利用定积分的几何意义计算定积分l 利用定积分的定义计算定积分连续函数f ( x ) 在区间[ 口，6 ] 上的定积分J b ／( 戈) 定积分的概念是由曲边梯形面积、变速直线运动。n的路程以及变力做功等具体事物的数量关系加以概d x 的值，在几何上表示曲线y 。八x ) 及直线戈= 。，括而得到的。在分析解决这些实际问题时经历了四菇= b ，菇轴所围成的图形各个部分面积的代数和，即个主要步骤，即：分割、近似、求和、取极限．用定积分在石轴上方的面积取正号，茄轴下方的面积取负号·收稿日期：加嘶—0 p - 2 5作者简介：巨泽旺( 1 9 6 3 。) ，男( 汉族) ，山东青州人，潍坊教育学院财经系党支部书记，副教授．2 7万方数据垄堂生箜! 塑垦竖旺垄型盎；定塑佥鲤壁友洼堂翼例2 ：计算f 2 √F 了d 】【。0解：作出Y = ~ ／4 一f 在o ≤x ≤2 的图像，显然这是中心在原点，半径为2 的圆面的四分之一．由定积分的几何意义可知j 。2 府出= 百1 丌2 2 = 耳注：该题用其它方法也能解决，但要比这种方法繁琐，详见例5 ．3 利用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分设函数八戈) 在区间[ a ，b ] 上连续，F ( x ) 是f ( x ) 的一个原函数，那么Jf ( x ) d x = [ F ( x ) ] ：= F ( b ) 一F ( a )这个公式称为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式．例3 ：计算定积分J 1 i 忑1 0 1j d ) 【。+ e “解：e 南a x ：』：南a x ：』：警半= [ I n ( e 。+ 1 ) ] 6 = I n ( e 1 + 1 ) 一I n ( e o + 1 )：／n ( e + 1 ) 一l n 2 ：I n 掣4 利用换元法计算定积分f 】n 8 一例4 ：计算定积分J√l + e 。也解：．／爪~ f - 1 + e x = ￡，则石= I n ( 乒1 ) ，也= 尚出，当戈= l n 3 时，t = 2 ，戈= l n 8 时，t = 3．·．』厂- f + e x & ：』：3 雨2 t2 出：2 』3 ：( - + 南) 出= 2 卜+ 吉k I 罱l 】：= 2 + I n 丢例5 ：用换元法解决例2解：设戈= 2 s i n t ，则如= 2 c 0 6 t d t ，当菇= o 时，江0 ，菇= 2 I t 寸，f = 号 ·．·．J 。2 一出：厚周2 e o s 础：J i 。C O S 2 t d t ：2 厂0 2 ( 1 + c o s 2 t ，出= 2 【t + l s i n 2 t 】：= 丌显然与例2 解法比较该种解法比较繁琐．另外应用定积分的换元法还可把某凿原函数不能用初等函数表不的连绥函数的定积分计算出来：例6 ：求证设函数八戈) 为连续函数，则e 砜s i n 菇) 出= 号e 八s i n 菇) 如并用这个结果计算e 焘出解：设戈= 丌一t ，d x = 一d t ，t = 丌一石，当菇= 0 时，￡= 丌，当石= 丌时，t = 0- ．．』：卅Is i n 石，也= 』! 二c 丌一t ，，cs i n c 丌一t ，，c 一出，：一心川八酬出= J ：，矿ts i n t ，出～J ：矿t s i n t ) 出= 丌E 以s i n 菇，出一．E 矿c s i n 菇，如．·．乓砜s i n 戈，出= 号』丌／c s i n 戈，出 不定积分I ，等出是不能用初等函数表达出来。J + c o s ‘茗 的，但若用上述结果却可以得到定积分：J 。a “ 而x s i n x 出= 号坛忐也：一号J n r c 再d 翟c o s x ：一- y 。[ a r c t a n ( c 嘲；) l g2 一百Jr ) 再翟2 一眦胁L 嘲茗丌，丌丌、7 f 。 2 一- yL —I r 一- X - ，2I r 5 利用分部积分法计算定积分例7 ：计算定积分￡愆5 出解：卜= E 膨= 【∥】：一l ：?“州= e 一( e 一1 ) = 1注：在具体应用定积分的分部积分法时应注意与不定积分的分部积分公式的差异，还要注意定积分的分部积分法应用的灵活多样．例8 ：计算定积分f 丌( 菇c 0 。石) 2 出。0解法l ：j 丌( 茗c o s ∥出= V 01 J 丌0 c o s 2 斑( 内。●= [ 扣留x 】：一T 1 ‰o ( 甜茹)= 扣戢‰砌施= 扣号c 磊i 一万方数据至Q 竖生箜! 塑垦竖旺冀型盎；定丞坌缝壁友鎏堂要= 一吉舡c 训= 号冉讣x ，础班一J = o C O S 2 斑( 纠】 = 吉^ 她加础：吉丌，+ { i 』：茗z d cs i 。。2 并，= 吉^ { 【【粕蒯；一b 以础]：吉丌，+ { F 。r 斑c 。o s z 石，= 丢^ 扑x 藏班一』c o s 2 x d z ]1312i 玎+ _ = r 丌解法2 ：』丌( 菇螂∥也：J 7 r x 21+c2e62x00 出 _●二：牝旭+ 哉撇础：扣m 扎( x z 姚，= 杠扑以蚴一2 黔以础】：吉^ 她对c 碰x ， = 杠扑一班一和础]= 吉丌3 + { 【，r 一【s i n 2 石】5 ] = 吉，r 3 + { ，r解法3 ：仁( x C 0 6 X 舳：』7 r X 21 + C z O S ' ’X 00出--二：j 舶( 号+ l s i n 2 髫)：【菇：c 号+ { s i n 2 髫，】：一J ：2 x c 号+ { s i n 2 x ，出：萼一J ：x ：出一÷J ：算s i n 2 础：害一【了X 3J 。+ _ } j ：z d ( c o s 2 茹，= 吉^ 扑～班一fc o s 2 x d z 】= 吉7 r 3 + 百1 ，r解法4 ：J 丌0 ( 髫咖铲出：』丌0 互：嘲尉( s i n 茁)-●= [ x 2 c o s x s i n x ] a - ■矾：一，：一k ‰?A ㈣出：一- s i 以施+ 暴：s 批：吉J ：划( c o s 2 茗，+ J ：x ：c ，一c 。孑筇，出 = 扎。删a 一和施¨托一j 7 。rc ?∥也= _ } [ 丌～【j } s i —，2 戈] ：] + [ { ；] 0 ”一j ：c x c 。s 戈，2 也= i 1 丌+ 了7 t - 3 一J 。7 f ( x C 0 6 9 c 腿．·．J ：c 并烈撼并，2 也= 百1 丌+ 吉丌3 6 利用偶函数及奇函数在对称区间上的定积分的性质计算积分若以菇) 是区间[ 一a ，口] 上连续的偶函数，则鼽戈，出= 2I t o f ( X ) d x ；若以茗) 是区间[ 一口，口] 上连续的奇函数，则默戈) 出：o利用这个结果，对奇、偶函数在对称区间上的积 分的计算将带来很大方便，如求￡高出，如果企图用“常规”方法，将是十分麻烦的，有的甚至是不可能的，但根据函数奇偶性及积分的对称性，便可轻易得到结果．因为上述被积函数是奇函数，因此不必计算便可 断定在对称区间积分为o ，故有J 一1 ，篇出fs= 0 ．7 利用递推公式计算定积分，rf 2 例9 ：计算定积分厶2J os i n n 础觚：p ?I fs i n “ - 『I x s i n 础；j 。2 。i n 川蒯( ?。石)歪：[ 一。i n “ - 1 菇c 。。髫】詈+石一矿．5；，～耐∞C卫p I ～万方数据2 Q 竖堡筮! 翅垦竖廷龚型盎；定塑坌鲤壁友迭指墨J L，2 ：( n 一1 ) lc o s 2 x s i n ”2 一x d x：( ，l —1 ) I ( 1 一s i n 2 x ) s i n “一2 一茹也小川2sinn-2xdx-(n-1)0J 2 0s ?= ( ／／, 一1 ) 厶一2 一( n 一1 ) 厶．’小号h 眠= 导，n _ 2 = 导·爱“2 ■■。；两‘；j I n 一6 ?一若n 为偶数，则 厶= 导h = 等·爱“= 导·寰·薯“一一2 ■■j 忑‘j i ?了。丁o o而，。：厂s i n o x d x 0：卜0 ：号机：导--J -旦蔓旦亏?三．上．互(，l为偶数时)．2422，l 一，l 一4、¨／了‘一M H 。7 ‘若／7 , 为奇数舭。= 旱‘t - 2 - - 一导·蓦“= 号n 一3n 一5 ， i j 。i j o n 一6一?一旦二! 凡／7 , 一3 ／／, 一531 ，而’j ?了‘一3 』1，r●1玎 矾= J ：s i n x a k = 【一c o s x ] _ l ' 龇= 掣卫蔓．卫雩?寻．丢(凡为奇数时)．2，l 一凡一453、”7 。1 ””。7 ‘另外，在计算定积分时还可利用欧拉公式等方法，在定积分近似计算时可利用辛普森公式法、矩形法、梯形法、抛物线法等．学习《高等教学》就是为了解决实际问题，因此掌握好所学知识就显得尤为重要，而解决《高等数学》中的基本问题就是考查所学知识的掌
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关于定积分在经济学中积累问题的应用
　　摘 要 定积分在经济学中有着广泛的应用，本文通过几个例子说明定积分在经济学的简单应用。 中国论文网 /8/view-4572398.htm　　关键词 定积分 经济学 积累问题 　　中图分类号：F224 文献标识码：A 　　About the Application of Definite Integral 　　Accumulated Problems in the Economics 　　CHEN Kun， LIU Yating 　　（Department of Mathematics， Xingyi Normal University for Nationalities， Xingyi， Guizhou 562400） 　　Abstract Definite integral has been widely applied in economics， the paper through a few examples to talk about definite integrals' simple applications in economics. 　　Key words definite integral； economics； long-standing and deep-seated prolems 　　定积分是微积分学的重要组成部分，同时在经济学中有很多直接的应用，本文将运用定积分知识分析和解决某些经济学中的积累问题。 　　1 利用定积分求消费者剩余和生产者剩余 　　经济学中定义消费者剩余是指消费者消费某种商品所获得的净收益，消费者在购买商品是有愿意付出的货币总额，还有一实际付出的货币总额，在一般情况下，消费者愿意付出的货币总额大于实际付出的货币总额，其间形成一个差额，这就是消费者剩余，用定积分的形式表示就是 　　（） 　　其中 （）表示消费者为每一个单元商品所愿支付的最高边际价格，当价格为时，消费者共购买了单元的商品。 　　同样在经济学中定义企业从生产经营中得到的净收益为生产剩余，用定积分的形式表示就是： 　　（） 　　其中（）表示厂家的边际成本函数，当价格为时，消费者共购买了单元的商品。 　　例1.已知垄断厂商的边际成本函数为 = 10 + ，市场的逆需求曲线为 （）= 40，求市场均衡时的消费者剩余和垄断厂家的生产剩余。 　　解：垄断厂商收入函数为（）= （）· = 400，由此得边际收益为 = = 403，再由垄断厂商的利润最大化的一阶条件，解得市场均衡价格和均衡产量分别为 = 31， = 3，这样求得消费者剩余为： 　　= （） = （40）31 ?？3 = 18 　　生产者剩余为： 　　= （） = 31 ?？3 （10 + ） = 58.5 　　2 利用定积分求边际函数和总函数 　　给定一个总函数，取微分则会得到该函数的边际函数，由于积分过程与微分过程互逆，所以我们可以从已知的边际函数和初值条件导出原函数，即： 　　（） = （） + （） 　　这一方法广泛运用于总成本函数与边际成本，总收益函数与边际收益函数，总储蓄与边际储蓄等函数的计算。 　　例2.已知边际成本为= 7 + ，固定成本为1000，求总成本函数。 　　解：= + = 1000 + （7 + ） = 1000 + 7 + 50 　　3 利用定积分由变化率求总量函数 　　如果求总函数在某个范围的该变量，则直接采用定积分来解决。 　　例3.已知某产品总产量的变化率为 = 40 + 12，求从第5天到第10天产品的总产量。 　　解：所求得总产量为： 　　= = （20 + 12） = = （400 + 600）（200 + 150） = 650 　　4 利用定积分求收益流的现值与将来值 　　若以连续复利率计息，现将个单位的资金存入银行，七年后的价值（将来值）。 　　= 　　若年后得到个单位的资金，则现在需要存入银行的金额（现值）。 　　= 　　若一笔收益流的收益量为，则从现在开始（ = 0）到年后这一时间段（以年连续复利计息）。 　　收益流的现值 = 　　收益流的将来值 = 　　例4.设一收益流的收益流量为10万元/年，在10年这一时间段的现值为80万元，若以年连续复利率计息。 　　（1） 求。 （下转第220页）（上接第217页） 　　（2） 求收益流的将来值。 　　解：（1）依题意10 = 80，即：（） = 80 　　解得≈0.04。 　　（2）求收益流的将来值。 　　10 = 10 = 250（） （万元）。 　　从以上几个例子我们可以看出：定积分的计算是经济学中常用的计算方法，在很多实际的经济问题中有着广泛的应用。 　　参考文献 　　[1] 吴传生.经济数学——微积分[M].北京：高等教育出版社，2009. 　　[2] 赵胜民.经济数学[M].北京：科学出版社，2011.
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