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八 年 级 数 学 教 案
中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 目录 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1 不等关系 2 不等式的基本性质 3 不等式的解集 4 一元一次不等式 5 一元一次不等式与一次函数 6 一元一次不等式组 第二章 分解因式 1 分解因式 2 提公因式法 3 运用公式法 第三章 分式 1 分式 2 分式的乘除法 3 分式的加减法 4 分式方程 第四章 相似图形 1 线段的比 2 黄金分割 3 形状相同的图形 4 相似多边形1中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 5 相似三角形 6 探索三角形相似的条件 7 测量旗杆的高度 8 相似多边形的性质 9 图形的放大与缩小 第五章 数据的收集与处理 1 每周干家务活的时间 2 数据的收集 3 频数与频率 4 数据的波动 第六章 证明（一） 1 你能肯定吗 2 定义与命题 3 为什么他们平行 4 如果两条直线平行 5 三角形内角和定理的证明 6 关注三角形的外角2中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1.1 不等关系 一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。 能够根据具体的事例列出不等关系式。 二、教学过程： 如图：用两根长度均为 Lcm 的绳子，各位成正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于 25 M?，那么绳长 L 应该满足怎 样的关系式？ （2）如果要使原的面积大于 100 M?，那么绳长 L 应满足怎样的关系 式？ （3）当 L=8 时，正方形和圆的面积哪个大？L=12 呢？ （4）由（3）你能发现什么？改变 L 的取值再试一试。 在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）?，远的 面积可以表示为π（L/2π）? 。 （1）要是正方形的面积不大于 25 M?，就是 （L/4）?≤25， 即 L?/16≤25。 （2）要使原的面积大于 100 M?，就是 π（L/2π）?＞100 即 L?/4π＞100。 课时编号 01（3）当 L=8 时，正方形的面积为 8?/16=6，圆的面积为3中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 8?/4π≈5.1， 4＜5.1 此时圆的面积大。 当 L=12 时，正方形的面积为 12?/16=9，圆的面积为 12?/4π≈11.5， 9＜11.5， 此时还是圆的面积大。 教师得出结论 （4）由（3）可以发现，无论绳长 L 取何值，圆的面积总大于正方形 的面积，即 L?/4π＞L?/16。 三、 随堂练习 1、试举几个用不等式表示的例子。 2、用适当的符号表示下列关系 （1）a 是非负数； （2）直角三角形斜边 c 比她的两直角边 a，b 都长； （3）x 于 17 的和比它的 5 倍小。4中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 22 日 备课人王士卿 课时编号 02●课 题 §1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 （一）教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与 交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张： （记作§1.2 A） 第二张： （记作§1.2 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得. 等式的基本性质 1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是 等式. 基本性质 2： 在等式的两边都乘以或除以同一个数 （除数不为 0） 所得的结果仍是等式. ， ［师］ 不等式与等式只有一字之差， 那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们 将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 ［师］ 等式的性质我们已经掌握了， 那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大 家探索后发表自己的看法. ［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a＜5+a 3－a＜5－a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.5中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3×1 1 ＜5× . 2 2所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如 3＜5 3×（－2）＞5×（－2） 所以上面的总结是错的. ［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如 3＜4 3×3＜4×31 1 ＜4× 3 3 3×（－3）＞4×（－3） 1 1 3×（－ ）＞4×（－ ） 3 3 3×（－5）＞4×（－5） 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同 乘以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为 0） ，情况会怎样 呢？请大家用类似的方法进行推导. ［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时 除以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］因此，大家可以总结得出性质 2 和性质 3，并且要学会灵活运用.3× 2.用不等式的基本性质解释l2 l2 ＞ 的正确性 4? 16l2 l2 ［师］在上节课中，我们知道周长为 l 的圆和正方形，它们的面积分别为 和 ， 4? 16且有l2 l2 ＞ 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？ 4? 16［生］∵4π ＜16 ∴1 1 ＞ 4? 16根据不等式的基本性质 2，两边都乘以 l 2 得l2 l2 ＞ 4? 163.例题讲解 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）x－5＞－1;6中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案（2）－2x＞3; （3）3x＜－9. ［生］ （1）根据不等式的基本性质 1，两边都加上 5，得 x＞－1+5 即 x＞4; （2）根据不等式的基本性质 3，两边都除以－2，得 x＜－3 ; 2（3）根据不等式的基本性质 2，两边都除以 3，得 x＜－3. 说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为 0）时，要注意数的正、负， 从而决定不等号方向的改变与否. 4.议一议 投影片（§1.2 A） 讨论下列式子的正确与错误. （1）如果 a＜b，那么 a+c＜b+c; （2）如果 a＜b，那么 a－c＜b－c; （3）如果 a＜b,那么 ac＜ （4）如果 a＜b,且 c≠0,那么a b ＞ . c c［师］在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或 除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨 论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负. 本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流. ［生］ （1）正确 ∵a＜b，在不等式两边都加上 c，得 a+c＜b+c; ∴结论正确. 同理可知（2）正确. （3）根据不等式的基本性质 2，两边都乘以 c，得 ac＜bc, 所以正确. （4）根据不等式的基本性质 2，两边都除以 c，得a b ＜ c c所以结论错误. ［师］大家同意这位同学的做法吗？ ［生］不同意. ［师］能说出理由吗？ ［生］在（1）（2）中我同意他的做法，在（3）（4）中我不同意，因为在（3）中有 、 、 a＜b,两边同时乘以 c 时，没有指明 c 的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为 负则不等号方向改变，若 c=0，则有 ac=bc,正是因为 c 的不明确性，所以导致不等号的方向 可能是变、不变，或应改为等号.而结论 ac＜bc.只指出了其中一种情况，故结论错误. 在（4）中存在同样的问题，虽然 c≠0,但不知 c 是正数还是负数，所以不能决定不等号7中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案的方向是否改变，若 c＞0,则有a b a b ＜ ,若 c＜0，则有 ＞ ,而他只说出了一种情况，所以 c c c c结果错误. ［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？ ［生］ 在利用不等式的性质 2 和性质 3 时， 关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么 性质的数，从而确定不等号的改变与否. ［师］非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究 一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行. ［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条. 区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为 0）时，所得结果仍是等式； 在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为 0）时会出现两种情况，若为正数则不 等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变. 联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去） ， 同时乘以（或除以，除数不为 0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质 1 和等式的基本性 质 1 相类似. Ⅲ.课堂练习 1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式. （1）x－1＞2 （2）－x＜5 6［生］解： （1）根据不等式的基本性质 1，两边都加上 1，得 x＞3 （2）根据不等式的基本性质 3，两边都乘以－1，得 x＞－5 62.已知 x＞y,下列不等式一定成立吗？ （1）x－6＜y－6; （2）3x＜3y; （3）－2x＜－2y. 解： （1）∵x＞y,∴x－6＞y－6. ∴不等式不成立； （2）∵x＞y,∴3x＞3y ∴不等式不成立； （3）∵x＞y,∴－2x＜－2y ∴不等式一定成立. 投影片（§1.2 B） 3.设 a＞b,用“＜”或“＞”号填空. （1）a+1 b+1;（2）a－3 b－3; （3）3a （5）－ 3b;（4）a 4 4－b.a 7－（6）－a 7分析：∵a＞b 根据不等式的基本性质 1，两边同时加上 1 或减去 3，不等号的方向不变，故（1）（2） 、 不等号的方向不变； 在（3）（4）中根据不等式的基本性质 2，两边同时乘以 3 或除以 4，不等号的方向 、8中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案不变； 在（5）（6）中根据不等式的基本性质 3，两边同时乘以－ 、 改变. 解： （1）a+1＞b+1;（2）a－3＞b－3; （3）3a＞3b;（4） （5）－1 或－1，不等号的方向 7a b ＞ ; 4 4a b ＜－ ;（6）－a＜－b. 7 7Ⅳ.课时小结 1.本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质. 2.利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空. Ⅴ.课后作业 习题 1.2 Ⅵ.活动与探究 1.比较 a 与－a 的大小. 解：当 a＞0 时，a＞－a; 当 a=0 时，a=－a; 当 a＜0 时，a＜－a. 说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论. 2.有一个两位数，个位上的数字是 a，十位上的数是 b，如果把这个两位数的个位与十 位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么 a 与 b 哪个大哪个小？ 解：原来的两位数为 10b+a. 调换后的两位数为 10a+b. 根据题意得 10a+b＞10b+a. 根据不等式的基本性质 1，两边同时减去 a，得 9a+b＞10b 两边同时减去 b，得 9a＞9b 根据不等式的基本性质 2，两边同时除以 9，得 a＞b. ●板书设计 §1.2 不等式的基本性质 1.不等式的基本性质的推导. 2.用不等式的基本性质解释 3.例题讲解. 4.议一议 练习 小结 作业l2 l2 ＞ . 4? 169中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 23 日 备课人王士卿 课时编号 03§1.3 不等式的解集 ●教学目标 （一）教学知识点 1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义. 2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义. 3.会在数轴上表示不等式的解集. （二）能力训练要求 1.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力. 2.经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识. （三）情感与价值观要求 从实际问题抽象为数学模型， 让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展 的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造. ●教学重点 1.理解不等式中的有关概念. 2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来. ●教学难点 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来. ●教学方法 引导学生探索学习法. ●教具准备 投影片一张 记作（§1.3 A） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］上节课，我们对照等式的性质类比地推导出了不等式的基本性质，并且讨论了它 们的异同点.下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质. ［生］不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方 向不变. 不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. ［师］很好. 在学习了等式的基本性质后， 我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程， 知道了方 程的解、解方程等概念，大家还记得这些概念吗？ ［生］记得. 能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解. 求方程的解的过程，叫做解方程. ［师］非常好.上节课我们用类推的方法，仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本 性质，能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式呢？本节课我们就来试一试. Ⅱ.新课讲授 1.现实生活中的不等式. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到 10 m 以外的 安全区域.已知导火线的燃烧速度为以 0.02 m/s，人离开的速度为 4 m/s，那么导火线的长度10中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案应为多少厘米？10 秒，导火线燃烧的时间为 4 x x 10 秒，要使人转移到安全地带，必须有： ＞ . 0.02 ? 100 0.02 ? 100 4［师］分析：人转移到安全区域需要的时间最少为 解：设导火线的长度应为 x cm，根据题意，得x 10 ＞ 0.02 ? 100 4∴x＞5. 2.想一想 （1）x=5,6,8 能使不等式 x＞5 成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式 x＞5 成立的 x 的值吗？ ［生］ （1）x=5 不能使 x＞5 成立，x=6,8 能使不等式 x＞5 成立. （2）x=9,10,11?等比 5 大的数都能使不等式 x＞5 成立. ［师］由此看来，6，7，8，9，10?都能使不等式成立，那么大家能否根据方程的解来 类推出不等式的解呢？不等式的解唯一吗？ ［生］可以.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.如 6、7、8 都是 x＞5 的解. 所以不等式的解不唯一，有无数个解. ［师］正因为不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式 的解集（solution set）. 请大家再类推出解不等式的概念. ［生］求不等式解集的过程叫解不等式. 3.议一议. 请你用自己的方式将不等式 x＞5 的解集和不等式 x－5≤－1 的解集分别表示在数轴上， 并与同伴交流. ［生］不等式 x＞5 的解集可以用数轴上表示 5 的点的右边部分来表示（图 1－3） ，在 数轴上表示 5 的点的位置上画空心圆圈，表示 5 不在这个解集内.图 1－3 不等式 x－5≤－1 的解集 x≤4 可以用数轴上表示 4 的点及其左边部分来表示 （图 1－4） ， 在数轴上表示 4 的点的位置上画实心圆点，表示 4 在这个解集内.图 1－4 ［师］请大家讨论一下，如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢？请举例说明. ［生］如 x＞3, 即为数轴上表示 3 的点的右边部分，在数轴上表示 3 的点的位置上画空 心圆圈，表示不包括这一点. x＜3，可以用数轴上表示 3 的点的左边部分来表示，在这一点上画空心圆圈. x≥3，可以用数轴上表示 3 的点和它的右边部分来表示，在表示 3 的点的位置上画实心 圆点，表示包括这一点. x≤3，可以用数轴上表示 3 的点和它的左边部分来表示，在表示 3 的点的位置上画实心 圆点. 4.例题讲解11中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案投影片（§1.3 A） 根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来. （1）x－2≥－4;（2）2x≤8 （3）－2x－2＞－10 解： （1）根据不等式的基本性质 1，两边都加上 2，得 x≥－2 在数轴上表示为：图 1－5 （2）根据不等式的基本性质 2，两边都除以 2，得 x≤4 在数轴上表示为：图 1－6 （3）根据不等式的基本性质 1，两边都加上 2，得－2x＞－8 根据不等式的基本性质 3，两边都除以－2，得 x＜4 在数轴上表示为：图 1－7 Ⅲ.课堂练习 1.判断正误： （1）不等式 x－1＞0 有无数个解； （2）不等式 2x－3≤0 的解集为 x≥2 . 32.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x＞4;（2）x≤－1; （3）x≥－2;（4）x≤6. 1.解： （1）∵x－1＞0,∴x＞1 ∴x－1＞0 有无数个解.∴正确. （2）∵2x－3≤0,∴2x≤3, ∴x≤3 ,∴结论错误. 22.解：图 1－8 Ⅳ.课时小结12中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案本节课学习了以下内容 1.理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念. 2.会根据不等式的基本性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来. Ⅴ.课后作业 习题 1.3 Ⅵ.活动与探究 小于 2 的每一个数都是不等式 x+3＜6 的解， 所以这个不等式的解集是 x＜2.这种解答正 确吗？ 解：不正确. 从解不等式的过程来看，根据不等式的基本性质 1，两边都减去 3，得 x＜3. 所以不等式 x+3＜6 的解集为 x＜3,而不是 x＜2.当然小于 2 的值都在 x＜3 这个范围内， 它只是解集中的一部分，不是全部，所以不能以部分来代替全部. 因此说 x＜2 是不等式 x+3＜6 的解是错误的. ●板书设计 §1.3 不等式的解集 一、1.现实生活中的不等式（水费问题） ； 2.想一想（类推不等式中的有关概念） ； 3.议一议（如何把不等式的解集在数轴上表示出来） ； 4.例题讲解. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业13中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 24 日 备课人王士卿 课时编号 04●课 题 §1.4.1 一元一次不等式（一） ●教学目标 （一）教学知识点 1.知道什么是一元一次不等式？ 2.会解一元一次不等式. （二）能力训练要求 1.归纳一元一次不等式的定义. 2.通过具体实例，归纳解一元一次不等式的基本步骤. （三）情感与价值观要求 通过观察一元一次不等式的解法， 对比解一元一次方程的步骤， 让学生自己归纳解一元 一次不等式的基本步骤. ●教学重点 1.一元一次不等式的概念及判断. 2.会解一元一次不等式. ●教学难点 当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变. ●教学方法 自觉发现――归纳法 教师通过具体实例让学生观察、归纳、独立发现解一元一次不等式的步骤.并针对常见 错误进行指导，使他们在以后的解题中能引起注意，自觉改正错误. ●教具准备 投影片两张 第一张： （记作§1.4.1 A） 第二张： （记作§1.4.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］在前面我们学习了不等式的基本性质，不等式的解，不等式的解集，解不等式的 内容.并且知道根据不等式的基本性质，可以把一些不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式. 那么， 什么样的不等式才可以运用不等式的基本性质而被化成 “x＞a” “x＜a” 或 的形式呢？ 又需要哪些步骤呢？本节课我们将进行这方面的研究. Ⅱ.讲授新课 1.一元一次不等式的定义. ［师］大家已经学习过一元一次方程的定义，你们还记得吗？ ［生］记得. 只含有一个未知数，未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程. ［师］很好.我们知道一元指的是一个未知数，一次指的是未知数的指数是一次，由此 大家可以类推出一元一次不等式的定义，可以吗？ ［生］ 只含有一个未知数， 未知数的最高次数是一次， 这样的不等式叫一元一次不等式. ［师］好.下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式.请大家讨论. 投影片（§1.4.1 A） 下列不等式是一元一次不等式吗？14中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案（1）2x－2.5≥15;（2）5+3x＞240; （3）x＜－4;（4）1 ＞1. x［生］ 、 、 （1）（2）（3）中的不等式是一元一次不等式， （4）不是. ［师］ （4）为什么不是呢？ ［生］因为 x 在分母中，1 不是整式. x［师］好，从上面的讨论中，我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个，即未知 数的个数，未知数的次数，且不等式的两边都是整式.请大家总结出一元一次不等式的定义. ［生］不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，这样 的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）. 2.一元一次不等式的解法. ［师］在前面我们接触过的不等式中，如 2x－2.5≥15,5+3x＞240 都可以通过不等式的 基本性质化成“x＞a”或“x＜a”的形式，请大家来试一试. ［例 1］解不等式 3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上. ［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的 x 或常数项转移到 同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得. ［解］两边都加上 x，得 3－x+x＜2x+6+x 合并同类项，得 3＜3x+6 两边都加上－6,得 3－6＜3x+6－6 合并同类项，得 －3＜3x 两边都除以 3，得－1＜x 即 x＞－1. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－9 ［师］观察上面的步骤，大家可以看出，两边都加上 x，就相当于把左边的－x 改变符 号后移到了右边，这种变形叫什么呢？ ［生］叫移项. ［师］由此可知，移项法则在解不等式中同样适用，同理可知两边都加上－6，可以看 作把 6 改变符号后从右边移到了左边.因此，可以把这两步合起来，通过移项求得.两边都除 以 3，就是把 x 的系数化成 1. 现在请大家按刚才分析的过程重新写一次步骤. ［生］移项，得 3－6＜2x+x 合并同类项，得 －3＜3x 两边都除以 3，得15中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案－1＜x 即 x＞－1. ［师］ 从刚才的步骤中， 我们可以感觉到解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的 过程有什么关系？ ［生］有相似之处. ［师］大家还记得解一元一次方程的步骤吗？ ［生］记得.有去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成 1. ［师］下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式. ［例 2］解不等式x?2 7?x ≥ ，并把它的解集在数轴上表示出来. 2 3［生］解：去分母，得 3（x－2）≥2（7－x） 去括号，得 3x－6≥14－2x 移项，合并同类项，得 5x≥20 两边都除以 5，得 x≥4. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－10 ［师］这位同学做得很好.看来大家已经对解一元一次不等式的步骤掌握得很好了，请 大家判断以下解法是否正确.若不正确，请改正. 投影片（§1.4.1 B） 解不等式：? 2x ? 1 ≥5 ?3解：去分母，得－2x+1≥－15 移项、合并同类项，得－2x≥－16 两边同时除以－2，得 x≥8. ［生］有两处错误. 第一，在去分母时，两边同时乘以－3，根据不等式的基本性质 3，不等号的方向要改 变，第二，在最后一步，两边同时除以－2 时，不等号的方向也应改变. ［师］回答非常精彩.这也就是我们在解一元一次不等式时常犯的错误，希望大家要引 起注意. 3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. ［师］请大家讨论后发表小组的意见. ［生］联系：两种解法的步骤相似. 区别： （1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两 边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变. （2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解. Ⅲ.课堂练习 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）5x＞－10;（2）－3x+12≤0; （3）x ? 1 4x ? 5 ＜ ; 2 316中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案（4）x?7 3x ? 2 －1＜ . 2 2解： （1）两边同时除以 5，得 x＞－2. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－11 （2）移项，得－3x≤－12, 两边都除以－3，得 x≥4, 这个不等式的解集在数轴上表示为：图 1－12 （3）去分母，得 3（x－1）＜2（4x－5）, 去括号，得 3x－3＜8x－10, 移项、合并同类项，得 5x＞7, 两边都除以 5，得 x＞7 , 5不等式的解集在数轴上表示为：图 1－13 （4）去分母，得 x+7－2＜3x+2, 移项、合并同类项，得 2x＞3, 两边都除以 2，得 x＞3 , 2不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－14 Ⅳ.课时小结 本节课学习了如下内容： 1.一元一次不等式的定义. 2.一元一次不等式的解法. 3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. Ⅴ.课后作业 习题 1.4 Ⅵ.活动与探究 求下列不等式的正整数解： （1）－4x＞－12;（2）3x－9≤0. 解： （1）解不等式－4x＞－12,得 x＜3, 因为小于 3 的正整数有 1，2 两个，所以不等式－4x＞－12 的正整数解是 1，2.17中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案（2）解不等式 3x－9≤0,得 x≤3. 因为不大于 3 的正整数有 1，2，3 三个，所以不等式 3x－9≤0 的正整数解是 1，2，3. ●板书设计 §1.4.1 一元一次不等式（一） 一、1.一元一次不等式的定义. 2.一元一次不等式的解法. 例1 例2 判断题 3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 ●备课资料 同解不等式 看下面两个等式 x+3＜6 （1） x+9＜12 （2） 可以知道，不等式（1）的解集是 x＜3,不等式（2）的解集也是 x＜3，就是说，不等式 （1）与（2）的解集相同. 如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.从上面知道， （1）与 （2）是同解不等式. 因为不等式（2）实际上就是 x+3+6＜6+6 所以不等式（1）的两边都加上 6，所得不等式（即不等式 x+9＜12）与不等式（1）同 解. 一般地，有 不等式同解原理 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不 等式与原不等式是同解不等式. 不等式同解原理 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与原不 等式是同解不等式. 不等式同解原理 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并且把不等号改变方 向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式. 我们在前面解不等式所作的变形都符合不等式的同解原理 （特别要注意不等式两边都乘 以或除以同一个负数后，改变不等号的方向） ，这就保证最后得出的解集就是原不等式的 解集.18中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 课时编号 05§1.4.2 一元一次不等式（二） ●教学目标 （一）教学知识点 1.进一步巩固求一元一次不等式的解集. 2.能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题. （二）能力训练要求 通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力. （三）情感与价值观要求 通过学生自主探索， 培养学生学数学的好奇心与求知欲， 使他们能积极参与数学学习活 动，锻炼克服困难的意志，增强自信心. ●教学重点 1.求一元一次不等式的解集. 2.用数学知识去解决简单的实际问题. ●教学难点 能结合具体问题发现并提出数学问题. ●教学方法 在教师的引导下，学生探索的方法. ●教具准备 投影片两张 第一张： （记作§1.4.2 A） 第二张： （记作§1.4.2 B） ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］上节课，我们学习了什么叫一元一次不等式，以及如何解一些简单的一元一次不 等式，下面大家先回忆一下. ［生］不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，这样 的不等式叫一元一次不等式. 解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似， 大致有： 去分母； （1） （2）去括号； （3）移项、合并同类项； （4）系数化成 1. ［师］很好.在解不等式的过程中，有需要注意的问题吗？ ［生］有.在去分母和系数化成 1 这两步中，如果两边同时乘以或除以同一个负数，要 注意改变不等号的方向. ［师］非常棒.下面我们做一个练习检查一下，看大家的动手能力如何. 1.解不等式：1 1 1 （x+15）≥ － （x－7） 5 2 3［生］解：去分母，得 6（x+15）≥15－10（x－7）, 去括号，得 6x+90≥15－10x+70, 移项、合并同类项，得 16x≥－15， 两边同除以 16，得 x≥－15 . 16［师］做得很好.请看第 2 题. 2.判断下面解法的对错.19中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案解不等式：2 x ? 1 5x ? 1 － ＜2 3 6解：去分母，得 2（2x+1）－5x－1＜2, 去括号，得 4x+2－5x－1＜2 移项、合并同类项，得－x＜1 两边都乘以－1，得 x＞－1. ［师］请大家先独立思考、再互相讨论，指出上面的解法有无错误，若有请指出来. ［生］第一，在去分母时，分子应作为一个整体，应加括号，是（5x－1）,而非－5x－ 1，第二，整数 2 也应乘以公分母. ［师］这位同学的分析很精彩.请大家改正. ［生］解：去分母，得 2（2x+1）－（5x－1）＜12 去括号，得 4x+2－5x+1＜12, 移项、合并同类项，得－x＜9, 两边都乘以－1，得 x＞－9. ［师］ 刚才这位同学提出的改正方案也正是解此类不等式需要注意的问题， 本节课我们 要加以巩固. Ⅱ.新课讲授 ［例 1］解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： （1）x x x x?2 － ＜1;（2） ≥3+ . 2 3 5 2［师］经过刚才的改错，我们现在不进行讲解，而是要大家自觉完成，再互相改正，注 意一定不要犯刚才的错误哟. ［生］解： （1）去分母，得 3x－2x＜6, 合并同类项，得 x＜6, 不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－15 （2）去分母，得 2x≥30+5（x－2）, 去括号，得 2x≥30+5x－10, 移项、合并同类项，得 3x≤－20, 两边都除以 3，得 x≤－20 . 3不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－16 ［师］这类题型我们掌握得已很好了，下面我们来学习有关不等式的应用题. 投影片（§1.4.2 B） ［例 2］一次环保知识竞赛共有 25 道题，规定答对一道题得 4 分，答错或不答一道题 扣 1 分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85 分或 85 分以上） ，小明至少答对了几道题？ ［例 3］小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本.已知每支笔 3 元，每个笔记本 2.2 元，她买 了 2 本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？ ［师］ 解不等式应用题也和解方程应用题类似， 我们先回忆一下列方程解应用题应如何20中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案进行. ［生］先审题，弄清题中的等量关系；设未知数，用未知数表示有关的代数式；列出方 程，解方程；最后写出答案. ［师］分析：总的题量有 25 题.答对一题得 4 分，答错或不答扣 1 分，最后得分在 85 分或 85 分以上，所以关系式应为： 4×答对题数－1×答错题数≥85 请大家自己写步骤. ［生］解：设小明答对了 x 道题，则他答错和不答的共有（25－x）道题，根据题意， 得 4x－1×（25－x）≥85 解这个不等式，得 x≥22. 所以，小明至少答对了 22 道题，他可能答对了 22，23，24，25 道题. ［师］大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两 者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流. ［生］第一步：审题，找不等关系； 第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式； 第三步：列不等式； 第四步：解不等式； 第五步：根据实际情况写出答案. ［师］非常好.请大家按照刚才的步骤解答例 3. ［生］解：设她还可以买 n 支笔，根据题意得 3n+2.2×2≤21 解这个不等式，得 n≤16 .6 3因为在这一问题中 n 只能取正整数， 所以，小颖还可以买 1 支，2 支，3 支，4 支或 5 支笔. Ⅲ.课堂练习 1.解： （1）去分母，得 x+5＜5x, 移项、合并同类项，得－4x＜－5, 两边都除以－4，得 x＞5 , 4这个不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－17 （2）去分母，得 x+3＞7x－35 移项、合并同类项，得 6x＜38 两边都除以 6，得 x＜19 ， 3不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－18 （3）去分母，得21中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案3x+12≤2x－6 移项、合并同类项，得 x≤－18, 不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－19 （4）去括号，得 6x－6≥3+4x 移项、合并同类项，得 2x≥9, 两边都除以 2，得 x≥9 , 2不等式的解集在数轴上表示如下：图 1－20 2.解：设他还可以买 x 根火腿肠，根据题意，得 2x+3×5≤26 解这个不等式，得 x≤5.5 所以小明还可以买 1 根，2 根，3 根，4 根或 5 根火腿肠. Ⅳ.课时小结 根据前面我们做的练习和例题， 我们来总结一下解不等式的一般步骤， 理论依据及注意 事项，和解一元一次不等式应用题的一般步骤. 1.解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母根据等式性质 2 或 3注意：①勿漏乘不含分母的项； ②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号； ③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变. （1）去括号根据去括号法则和分配律注意：①勿漏乘括号内每一项； ②括号前面是“－”号，括号内各项要变号. （2）移项根据移项法则（不等式性质 1）注意：移项要变号. （4）合并同类项根据合并同类项法则.（5）系数化成 1根据不等式基本性质 2 或性质 3.22中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变.. 2.解一元一次不等式应用题的步骤： （1）审题，找不等关系； （2）设未知数； （3）列不等关系； （4）解不等式； （5）根据实际情况，写出全部答案. Ⅴ.课后作业 P17 习题 1.5 Ⅵ.活动与探究 x 取什么值时，代数式 2x－5 的值： （1）大于 0？（2）不大于 0？ 解： （1）根据题意，得 2x－5＞0 解得 x＞5 2 5 时，2x－5 的值大于 0. 2所以当 x＞（2）根据题意，得 2x－5≤05 . 2 5 所以当 x≤ 时，2x－5 的值不大于 0. 2解得 x≤ ●板书设计 §1.4.2 一元一次不等式（二） 一、例 1 解不等式 二、例 2，例 3，解不等式应用题 三、课堂练习 四、课时小结： 1.解一元一次不等式的一般步骤及注意事项. 2.解一元一次不等式应用题的一般步骤. 五、课后作业23中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 课时编号 06§1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一） ●教学目标 （一）教学知识点 1.一元一次不等式与一次函数的关系. 2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较. （二）能力训练要求 1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识. 2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力. （三）情感与价值观要求 体验数、 图形是有效地描述现实世界的重要手段， 认识到数学是解决问题和进行交流的 重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. ●教学重点 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系. ●教学难点 自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答. ●教学方法 研讨法 ●教具准备 投影片两张 第一张： （记作§1.5.1 A） 第二张： （记作§1.5.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的 呢？本节课我们来研究不等式的有关应用. Ⅱ.新课讲授 1.一元一次不等式与一次函数之间的关系. ［师］大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式. ［生］如 y=2x－5 为一次函数. ［师］在一次函数 y=2x－5 中， 当 y=0 时，有方程 2x－5=0; 当 y＞0 时，有不等式 2x－5＞0; 当 y＜0 时，有不等式 2x－5＜0. 由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于 0 时即为方程，当函数值大于或小于 0 时即为不等式. 下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系. 2.做一做 投影片（ §1.5.1 A） 作出函数 y=2x－5 的图象，观察图象回答下列问题. （1）x 取哪些值时，2x－5=0? （2）x 取哪些值时，2x－5＞0? （3）x 取哪些值时，2x－5＜0?24中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案（4）x 取哪些值时，2x－5＞3?图 1－21 请大家讨论后回答： ［生］ （1）当 y=0 时，2x－5=0, ∴x=5 , 2 5 时，2x－5=0. 2∴当 x=（2）要找 2x－5＞0 的 x 的值，也就是函数值 y 大于 0 时所对应的 x 的值，从图象上可 知，y＞0 时，图象在 x 轴上方，图象上任一点所对应的 x 值都满足条件，当 y=0 时，则有 2x－5=0,解得 x=5 5 5 .当 x＞ 时，由 y=2x－5 可知 y＞0.因此当 x＞ 时，2x－5＞0; 2 2 2 5 （3）同理可知，当 x＜ 时，有 2x－5＜0; 2（4）要使 2x－5＞3,也就是 y=2x－5 中的 y 大于 3，那么过纵坐标为 3 的点作一条直线 平行于 x 轴，这条直线与 y=2x－5 相交于一点 B（4，3） ，则当 x＞4 时，有 2x－5＞3. 3.试一试 如果 y=－2x－5,那么当 x 取何值时，y＞0? ［师］由刚才的讨论，大家应该很轻松地完成任务了吧.请大家试一试. ［生］首先要画出函数 y=－2x－5 的图象，如图 1－22：图 1－22 从图象上可知，图象在 x 轴上方时，图象上每一点所对应的 y 的值都大于 0，而每一个 y 的值所对应的 x 的值都在 A 点的左侧，即为小于－2.5 的数，由－2x－5=0,得 x=－2.5,所以 当 x 取小于－2.5 的值时，y＞0. 4.议一议 投影片（§1.5.1 B） 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每 秒跑 4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：25中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案（1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ （3）谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？ （4）你是怎样求解的？与同伴交流. ［师］大家应先画出图象，然后讨论回答： ［生］ ［解］设兄弟俩赛跑的时间为 x 秒.哥哥跑过的路程为 y1，弟弟跑过的路程为 y2， 根据题意，得 y1=4x y2=3x+9 函数图象如图 1－23：图 1－23 从图象上来看： （1）当 0＜x＜9 时，弟弟跑在哥哥前面； （2）当 x＞9 时，哥哥跑在弟弟前面； （3）弟弟先跑过 20 m，哥哥先跑过 100 （4）从图象上直接可以观察出（1）（2）小题，在回答第（3）题时，过 y 轴上 20 这 、 一点作 x 轴的平行线，它与 y1=4x,y2=3x+9 分别有两个交点，每一交点都对应一个 x 值，哪 个 x 的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过 100 m. Ⅲ.课堂练习 1.已知 y1=－x+3,y2=3x－4,当 x 取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流. 解：如图 1－24 所示：图 1－24 当 x 取小于7 的值时，有 y1＞y2. 4Ⅳ.课时小结 本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系， 并且能根据一次函数的图象求解不等 式. Ⅴ.课后作业 习题 1.6 Ⅵ.活动与探究26中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案作出函数 y1=2x－4 与 y2=－2x+8 的图象，并观察图象回答下列问题： （1）x 取何值时，2x－4＞0？ （2）x 取何值时，－2x+8＞0? （3）x 取何值时，2x－4＞0 与－2x+8＞0 同时成立？ （4）你能求出函数 y1=2x－4，y2=－2x+8 的图象与 x 轴所围成的三角形的面积吗？并 写出过程. 解：图象如下：图 1－25 分析： 要使 2x－4＞0 成立， 就是 y1=2x－4 的图象在 x 轴上方的所有点的横坐标的集合， 同理使－2x+8＞0 成立的 x，即为函数 y2=－2x+8 的图象在 x 轴上方的所有点的横坐标的集 合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的 x，根据函数图象与 x 轴交点的坐标可求 出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积. ［解］ （1）当 x＞2 时，2x－4＞0; （2）当 x＜4 时，－2x+8＞0; （3）当 2＜x＜4 时，2x－4＞0 与－2x+8＞0 同时成立. （4）由 2x－4=0,得 x=2; 由－2x+8=0,得 x=4 所以 AB=4－2=2 由?? y ? 2x ? 4 ? y ? ?2 x ? 8得交点 C（3，2） 所以三角形 ABC 中 AB 边上的高为 2. 所以 S= ●板书设计 §1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一） 一、1.一元一次不等式与一次函数之间的关系； 2.做一做（根据函数图象求不等式） ； 3.试一试（当 x 取何值时，y＞0）; 4.议一议 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业1 ×2×2=2. 227中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 课时编号 07§1.5.2 一元一次不等式与一次函数（二） ●教学目标 （一）教学知识点 进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用. （二）能力训练要求 通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力. （三）情感与价值观要求 把数学知识与现实生活相联系， 让学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发 展的作用，增强他们学数学的兴趣和积极性，从而更好地服务于社会. ●教学重点 利用不等式及等式的有关知识解决现实生活中的实际问题. ●教学难点 认真审题，找出题中的等量或不等关系，全面地考虑问题是本节的难点. ●教学方法 启发式 ●教具准备 投影片两张 第一张： （记作§1.5.2 A） 第二张： （记作§1.5.2 B） ●教学过程 Ⅰ.提出问题，导入新课 ［师］同学们，我们已经学习了不等式的解法及应用，但是它的应用远不止于我们前面 学过的这些，它的应用很广泛.比如，随着国家的富裕，人民生活水平的提高，人们的消费 观念也在逐渐转变，在放假期间很多人热衷于旅游，而旅行社瞅准了这个商机，会打着各式 各样的优惠政策来诱惑你，那么究竟应该选哪一家呢？人们犹豫了，有时感觉到上当了.如 果你学了今天的课程，那么你以后就不会上当了.下面我们一起来探究这里的奥妙. Ⅱ.新课讲授 ［例 1］ 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游， 参加旅游的人数估计为 10~25 人， 甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人 200 元.经过协商，甲旅行社表示可给 予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠. 该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ ［师］请大家先计划一下，你计划选哪家旅行社？ ［生］我选甲旅行社，因为打七五折，比打八折要便宜. ［生］我选乙旅行社，因为乙旅行社既打八折，还免交一个人的费用 200 元. ［生］我不能肯定，一定要计算一下才能决定. ［师］大家同意这三位同学中的哪一位呢？ ［生］同意第三位同学的意见. ［师］分析：首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能 比较.而且比较情况只能有三种，即大于，等于或小于. 解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需费用为 y1 元，选择 乙旅行社时，所需的费用为 y2 元，则 y1=200×0.75x=150x28中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案y2=200×0.8（x－1）=160x－160 当 y1=y2 时，150x=160x－160,解得 x=16; 当 y1＞y2 时，150x＞160x－160,解得 x＜16; 当 y1＜y2 时，150x＜160x－160,解得 x＞16. 因为参加旅游的人数为 10~25 人，所以当 x=16 时，甲乙两家旅行社的收费相同；当 17≤x≤25 时，选择甲旅行社费用较少，当 10≤x≤15 时，选择乙旅行社费用较少. ［师］由此看来，你选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关，而且还和参加旅游的 人数有关， 那么在以后的旅行中， 大家一定不要想当然， 而是要精打细算才能做到合理开支， 现在，你学会了吗？ 下面，我们要到商店走一趟，看看商家又是如何吸引顾客的，我们又应该想何对策呢？ ［例 2］某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为 6000 元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优 惠 25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠 20%. （1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式. （2）什么情况下到甲商场购买更优惠？ （3）什么情况下到乙商场购买更优惠？ （4）什么情况下两家商场的收费相同？ ［师］有了刚才的经验，大家应该很轻松地完成任务了吧. ［生］解：设要买 x 台电脑，购买甲商场的电脑所需费用 y1 元，购买乙商场的电脑所 需费用为 y2 元.则有 （1）y1=6000+（1－25%） （x－1）×x+%×x （2）当 y1＜y2 时，有 ＜4800x 解得，x＞5 即当所购买电脑超过 5 台时，到甲商场购买更优惠； （3）当 y1＞y2 时，有 ＞4800x. 解得 x＜5. 即当所购买电脑少于 5 台时，到乙商场买更优惠； （4）当 y1=y2 时，即 =4800x 解得 x=5. 即当所购买电脑为 5 台时，两家商场的收费相同. Ⅲ.课堂练习 投影片（§1.5.2 A） 某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需 8 元（包括空白光盘带） ；若 学校自刻，除租用刻录机需 120 元外，每张还需成本 4 元（包括空白光盘带） ，问刻录这批 电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由. 解：设需刻录 x 张光盘，则 到电脑公司刻录需 y1=8x（元） 自刻录需 y2=120+4x 当 y1=y2 时，8x=120+4x， 解得 x=30; 当 y1＞y2 时，8x＞120+4x, 解得 x＞30;29中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案当 y1＜y2 时，8x＜120+4x, 解得 x＜30. 所以，当需刻录 30 张光盘时，到电脑公司刻录和自刻费用相等； 当需刻录超过 30 张光盘时，自刻费用省； 当需刻录不超过 30 张光盘时，到电脑公司刻录费用省. 投影片（§1.5.2 B） 某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费 20 元，另收 3000 元设计费；乙 公司提出：每份材料收费 30 元，不收设计费. （1）什么情况下选择甲公司比较合算？ （2）什么情况下选择乙公司比较合算？ （3）什么情况下两公司的收费相同？ 解：设宣传材料有 x 份，则选择甲公司所需费用为 y1 元，选择乙公司所需费用为 y2 元， y1=20x+x 当 y1＜y2 时，20x+3000＜30x, 解得 x＞300; 当 y1＞y2 时，20x+300x＞30x, 解得 x＜300; 当 y1=y2 时，20x+3000=30x, 解得 x=300. 所以，当材料超过 300 份时，选择甲公司比较合算； 当材料少于 300 份时，选择乙公司比较合算； 当材料等于 300 份时，两公司的收费相同. Ⅳ.课时小结 本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的应用， 通过这节课的学习， 我们学到了 不少知识，真正体会到了学有所用. Ⅴ.课后作业 习题 1.7 第 2 题. Ⅵ.活动与探究 某批发商欲将一批海产品由 A 地运往 B 地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产 品运输业务，已知运输路程为 120 千米，汽车和火车的速度分别为 60 千米/时，100 千米/时，两 货运公司的收费项目及收费标准如下表所示： 运输工具 汽车 火车 运输费单价 冷藏费单价 （元/吨?千米） （元/吨?小时） 2 1.8 5 5 过桥费 （元） 200 0 装卸及管理费 （元） 0 1600注： “元/吨?千米”表示每吨货物每千米的运费； “元/吨?小时”表示每吨货物每小时 的冷藏费. （1）设该批发商待运的海产品有 x 吨,汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分 别为 y1 元和 y2 元，试求 y1 和 y2 与 x 的函数关系式； （2）若该批发商待运的海产品不少于 30 吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担 运输业务？ ［分析］ （1）仔细观察，根据题目中二维表格给出的收费项目和收费标准，以及已知的 路程和速度，不难求得函数关系，但应注意从表格中准确提取信息，并细心计算；30中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案（2）究竟选择哪家货运公司承担运输业务，可使运费最省，由题目条件看，应由批发 商海产品的数量来确定，我们可以把问题转化为不等式，当 y1 ＞y2 时，有 250x+200＞ 222x+1600;当 y1＜y2 时，有 250x+200＜222x+1600,然后通过解不等式，使得问题迎刃而解. 当然，也可以讨论 y1=y2 的情况，求得 x=50 后，再分析求解. ［解］ （1）根据题意，得120 x=250x+200; 60 120 y2=×120x+5× x=222x+y1=200+2×120x+5× （2）分三种情况 ①若 y1＞y2,250x+200＞222x+1600, 解得 x＞50; ②若 y1=y2,250x+200=222x+1600， 解得 x=50; ③若 y1＜y2,250x+200＜222x+1600, 解得 x＜50. 综上所述， 当所运海产品不少于 30 吨且不足 50 吨时， 应选择汽车货运公司承担运输业 务； 当所运海产品刚好 50 吨时，可选择汽车货运公司，铁路货运公司中的任意一家承担运 输业务； 当所运海产品多于 50 吨时，应选择铁路货运公司承担运输业务. ［评注］此题是一道方案决策最优化问题，虽然题目中信息很多，但由于批发商的待运 海产品的数量不确定，使得方案决策不确定，这就需要准确提取信息，通过列出数式，找函 数关系，解不等式等数学手段，解决实际问题.应用不等式的知识解决日常生产问题是我们 常见的题型. ●板书设计 §1.5.2 一元一次不等式与一次函数（二） 例 1（有关旅游费用问题） 例 2（有关商场优惠问题） 课堂练习 课时小结 课后作业31中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 课时编号 08§1.6.3 一元一次不等式组（三） ●教学目标 （一）教学知识点 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的问题. （二）能力训练要求 通过例题的讲解，让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所 学的知识解决问题，发展应用意识. （三）情感与价值观要求 通过解决实际问题， 让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作 用. ●教学重点 用一元一次不等式组的知识去解决实际问题. ●教学难点 审题，根据具体信息列出不等式组. ●教学方法 启发诱导式教学. ●教具准备 投影片两张 第一张：例题（记作§1.6.3 A） 第二张：练习题（记作§1.6.3 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，我现在问大家一个问题，大家来学校的目的是什么？ ［生］是为了学知识，学知识是为了以后更好地工作. ［师］非常正确，大家来学习的目的是为了解决实际工作中的问题，那么我们学习了一 元一次不等式组能解决哪些实际问题呢？本节课我们将进行探索. Ⅱ.新课讲授 1.做一做 投影片（§1.6.3 A） 甲以 5 km/h 的速度进行有氧体育锻炼，2 h 后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶 甲.根据他们两人的约定，乙最快不早于 1 h 追上甲，最慢不晚于 1 h15 min 追上甲.乙骑车的 速度应当控制在什么范围？ ［师］请大家互相交流后列出不等式组求解. ［生］解：设乙骑车的速度为 x km/h，根据题意，得?x ? 5 ? 3 ? ?5 13 ?4 x ? 5? 4 ?(1) ( 2)解不等式组得 13≤x≤15 因此乙骑车的速度应当控制在 13≤x≤15 内. 2.例题讲解.32中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案一群女生住若干间宿舍，每间住 4 人，剩 19 人无房住；每间住 6 人，有一间宿舍住不 满. （1）设有 x 间宿舍，请写出 x 应满足的不等式组； （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？ ［师］解一元一次不等式组的应用题，实际上和列方程解应用题的步骤相似，因此我们 有必要先回忆一下列方程解应用题的步骤，大家还记得吗？ ［生］记得.有审题，设未知数；找相等关系；列方程；解方程；写出答案. ［师］很好.大家能不能猜想出解不等式组应用题的步骤呢？ ［生］可以.有审题，设未知数；找不等关系；列不等式组；解不等式组；写出答案. ［师］大家非常聪明，下面我们就大家的猜想进行验证.请大家互相讨论. ［生］解： （1）设有 x 间宿舍，则有（4x+19）名女生，根据题意，得?6 x ? 4 x ? 19 ? ?6( x ? 1) ? 4 x ? 19（2）解不等式组，得 9.5＜x＜12.5 因为 x 是整数，所以 x=10,11,12. 因此有三种可能，第一种，有 10 间宿舍，59 名学生；第二种，有 11 间宿舍，63 名学 生；第三种，有 12 间宿舍，67 名学生. 3.运用不等式组解决实际问题的基本过程. ［师］认真观察刚才的例题，请大家总结一下用不等式组解决实际问题的基本过程. ［生］基本过程大致为： 1.审题、设未知数； 2.找不等关系； 3.列不等式组； 4.解不等式组； 5.根据实际情况，写出答案. ［师］总结得非常好，下面我们就按这样的过程来做一些练习. Ⅲ.课堂练习 投影片（§1.6.3 B） 1.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分 2 件，则剩余 3 件；若前面每人分 3 件，则最 后一个人得到的玩具数不足 2 件.求小朋友的人数与玩具数. 2.已知利民服装厂现有 A 种布料 70 米，B 种布料 52 米，现计划用这两种布料生产 M,N 两种型号的时装共 80 套，已知做一套 M 型号时装需 A 种布料 0.6 米，B 种布料 0.9 米，做 一套 N 型号时装需用 A 种布料 1.1 米，B 种布料 0.4 米，若设生产 N 型号的时装套数为 x， 用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？ 1.解：设小朋友的人数为 x，则玩具数为（2x+3）件，根据题意，得?3( x ? 1) ? 2 x ? 3 ? ?2 x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 2解不等式组，得 4＜x≤6 因为 x 是整数，所以 x=5,6，则 2x+3 为 13，15. 因此，当有 5 个小朋友时，玩具数为 13 个；当有 6 个小朋友时，玩具数为 15 个.33中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案2.解：生产 N 型号的时装套数为 x 时，则生产 M 型号的时装套数为（80－x） ，根据题 意，得?0.6(80 ? x) ? 1.1x ? 70 ? ?0.9(80 ? x) ? 0.4 x ? 52解不等式组，得 40≤x≤44 因为 x 是整数，所以 x 的取值为 40，41，42，43，44. 因此，生产方案有五种. （1）生产 M 型 40 套，N 型 40 套； （2）生产 M 型 39 套，N 型 41 套； （3）生产 M 型 38 套，N 型 42 套； （4）生产 M 型 37 套，N 型 43 套； （5）生产 M 型 36 套，N 型 44 套. Ⅳ.课时小结 运用不等式组解决实际问题的基本过程. Ⅴ.课后作业 习题 1.10 1.解:设个位数字为 x，则十位数字为 x+1,根据题意，得?10( x ? 1) ? x ? 30 ? ?10( x ? 1) ? x ? 42解不等式组，得20 32 ＜x＜ 11 11因为 x 为整数，所以 x 为 2. 因此这个两位数为 32. 2.解:设该公司明年应安排生产甲种产品 x 件，则乙种产品为（20－x）件，根据题意， 得 （20－x）＜1200 这个式子实际等价于不等式组?45 x ? 75(20 ? x) ? 1100 ? ?45 x ? 75(20 ? x) ? 1200解不等式组，得 10＜x＜(1) ( 2)40 3因为 x 是整数，所以 x=11,12,13. 因此有三种方案： 第一种：生产甲种产品 11 件，乙种产品 9 件； 第二种：生产甲种产品 12 件，乙种产品 8 件； 第三种：生产甲种产品 13 件，乙种产品 7 件. Ⅵ.活动与探究 火车站有某公司待运的甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，现计划用 50 节 A、B 两34中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案种型号的车厢将这批货物运至北京， 已知每节 A 型货厢的运费是 0.5 万元， 每节 B 节货厢的 运费是 0.8 万元；甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨可装满一节 A 型货厢，甲种货物 25 吨和 乙种货物 35 吨可装满一节 B 型货厢，按此要求安排 A、B 两种货厢的节数，共有哪几种方 案？请你设计出来；并说明哪种方案的运费最少？ 解：设 A 型货厢用 x 节，则 B 型货厢用（50－x）节，根据题意，得?35 x ? 25(50 ? x) ? 1530 ? ?15 x ? 35(50 ? x) ? 1150解不等式组，得 28≤x≤30 因为 x 为整数，所以 x 取 28，29，30. 因此运送方案有三种. （1）A 型货厢 28 节，B 型货厢 22 节； （2）A 型货厢 29 节，B 型货厢 21 节； （3）A 型货厢 30 节，B 型货厢 20 节； 设运费为 y 万元，则 y=0.5x+0.8（50－x）=40－0.3x 当 x=28 时，y=31.6 当 x=29 时，y=31.3 当 x=30 时，y=31 因此，选第三种方案，即 A 型货厢 30 节，B 型货厢 20 节时运费最省. ●板书设计 §1.6.3 一元一次不等式组（三） 一、1.做一做 2.例题讲解 3.运用不等式组解决实际问题的基本过程. （1）审题，设未知数； （2）找不等关系； （3）列不等式组； （4）解不等式组； （5）根据实际情况，写出答案 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业35中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 课时编号 09§1.6.2 一元一次不等式组（二） ●教学目标 （一）教学知识点 1.进一步巩固解一元一次不等式组的过程. 2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形. （二）能力训练要求 通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力. （三）情感与价值观要求 1.加强运算的熟练性与准确性. 2.培养思维的全面性. ●教学重点 巩固解一元一次不等式组. ●教学难点 讨论求不等式解集的公共部分中出现的所有情况，并能清晰地阐述自己的观点. ●教学方法 自主与讨论相结合的方法 即让学生自己解不等式组，然后讨论解中出现的所有情况. ●教具准备 投影片三张 第一张： （记作§1.6.2 A） 第二张： （记作§1.6.2 B） 第三张： （记作§1.6.2 C） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，导入新课 ［师］ 上节课我们已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法， 本 节课我们将继续加强解法的熟练性和准确性，同时还要全面地对所有解的情况进行总结. Ⅱ.新课讲授 1.例题 投影片（§1.6.2 A） 解下列不等式组?x ?1 ?1 ? （1） ? 2 ?7 x ? 8 ? 9 x ?（2） ??3 x ? 2 ? x ? 1 ?x ? 5 ? 4x ? 1?5 x ? 2 ? 3( x ? 1) ? （3） ? 1 3 ?2 x ?1 ? 7 ? 2 x ?36中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案（4） ??3 x ? 1 ? 11 ?2 x ? 6［师］ 在做这组练习题之前， 我们先回忆一下求一元一次不等式的解集和一元一次不等 式组的解集的步骤. ［生］解一元一次不等式的步骤为：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化成 1.要注意的是在去分母和系数化成 1 这两步中不等号方向是否改变. 解一元一次不等式组的步骤为： 分别求出两个一元一次不等式的解集， 在数轴上确定它 们的公共部分，从而得出不等式组的解集. ［师］好.下面我们先自己独立完成这四个不等式组的求解.（让四个同学在黑板上板书 过程）.?x ?1 ?1 ? ［生甲］ （1） ? 2 ?7 x ? 8 ? 9 x ?(1) ( 2)解：解不等式（1） ，得 x＞1 解不等式（2） ，得 x＞－4. 在同一条数轴上表示不等式（1）（2）的解集如图 1－33： ，图 1－33 所以，原不等式组的解集是 x＞1 ［生乙］ （2） ??3 x ? 2 ? x ? 1 ?x ? 5 ? 4x ? 1(1) ( 2)解：解不等式（1） ，得 x＜ 解不等式（2） ，得 x＜3 24 3在同一条数轴上表示不等式（1）（2）的解集.如图 1－34： ，图 1－34 所以，原不等式组的解集是 x＜4 3(1) ( 2)?5 x ? 2 ? 3( x ? 1) ? ［生丙］ （3） ? 1 3 ?2 x ?1 ? 7 ? 2 x ?解：解不等式（1） ，得 x＞ 解不等式（2） ，得 x≤4.5 237中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案在同一条数轴上表示不等式（1）（2）的解集，如图 1－35： ，图 1－35 所以，原不等式组的解集为5 ＜x≤4. 2［生丁］ （4） ??3 x ? 1 ? 11 (1) ( 2) ?2 x ? 6［解］解不等式（1） ，得 x＞4. 解不等式（2） ，得 x＜3. 在同一条数轴上表示不等式（1）（2）的解集如图 1－36： ，图 1－36 所以，原不等式组的解集为无解. ［师］大家做得非常棒，下面大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？ 2.讨论解的情况 ［师］我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出 规律. （1）由 ??x ? 1 得 x＞1; ? x ? ?4? ?x ? ? （2）由 ? ?x ? ? ?3 4 2 得x ? ; 4 3 35 ? 5 ?x ? （3）由 ? 2 得 ＜x≤4; ?x ? 4 2 ?（4）由 ??x ? 4 得，无解. ?x ? 3［生］由（1）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是大于号，在数字 1 和－4 中 取大数 1，不等号取大于号. 由（2）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是小于号，在不等式组的解集中不等 号的方向取小于，而数字取比较小的数字4 . 3 5 ＜4，并且是 2由（3）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，数字 x＞5 5 ,x≤4，最后的结果中是 x 取大于小数小于大数，即 ＜x≤4. 2 238中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案由（4）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，并且是 x＞4,x＜3,因 为 4＞3，即 x 应取大于 4 而小于 3 的数，而这样的数根本不存在，所以原不等式组的解集 为无解. ［师］大家分析得非常精彩.基本上说明了情况，下面我再系统地给大家作一总结： 投影片（§1.6.2 B） 两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形. 设 a＜b,那么 （1）不等式组 ??x ? a 的解集是 x＞b; ?x ? b（2）不等式组 ??x ? a 的解集是 x＜a; ?x ? b（3）不等式组 ??x ? a 的解集是 a＜x＜b; ?x ? b（4）不等式组 ??x ? a 的解集是无解. ?x ? b［师］这是用式子表示，也可以用语言简单表述为： 同大取大；同小取小； 大于小数小于大数取中间； 大于大数小于小数无解. Ⅲ.课堂练习 1.随堂练习 解下列不等式组 （1） ??x ? 3 ? 5 ?3 x ? 1 ? 8?x ? 2 ? 1 ? 2( x ? 1) ? （2） ? ?x ? x ? 2 ?3 5 ?［解］ （1） ??x ? 3 ? 5 ?3 x ? 1 ? 8(1) ( 2)解不等式（1） ，得 x＜2 解不等式（2） ，得 x＞3 在同一数轴上表示不等式（1）（2）的解集，如图 1－37： 、图 1－3739中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案所以，原不等式组无解.?x ? 2 ? 1 ? 2( x ? 1) ? （2） ? ?x ? x ? 2 ?3 5 ?(1) ( 2)解：解不等式（1） ，得 x＞2 解不等式（2） ，得 x＞3 在同一数轴上表示不等式（1）（2）的解集，如图 1－38： ，图 1－38 所以，原不等式组的解集为 x＞3. 2.补充练习 投影片（§1.6.2 C） 解下列不等式组? x ? 3( x ? 2) ? 4 ? 1. ?1 ? 2 x ? 3 ? x ?1 ??1 ? 2 ( x ? 4) ? 1 ? 2. ? ?x ? 2 ? x ? 3 ? 2 3 ?? x ? 3( x ? 2) ? 4 ? 1.解： ?1 ? 2 x ? 3 ? x ?1 ?(1) ( 2)解不等式（1） ，得 x≤1 解不等式（2） ，得 x＜4 在同一条数轴上表示不等式（1）（2）的解集如图 1－39： 、图 1－39 所以，原不等式组的解集为 x≤1?1 ? 2 ( x ? 4) ? 2 ? 2. ? ?x ? 2 ? x ? 3 ? 2 3 ?(1) ( 2)解：解不等式（1） ，得 x＜－240中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案解不等式（2） ，得 x＞0 在同一条数轴上表示不等式（1）（2）的解集，如图 1－40： 、图 1－40 所以，原不等式组无解. Ⅳ.课时小结 本节课我们学习了如下内容. 1.练习了解一元一次不等式组. 2.总结了由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的四种情况. Ⅴ.课后作业 习题 1.9 ●板书设计 §1.6.2 一元一次不等式（二） 一、1.例题讲解. 2.讨论由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的情形. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业41中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 1．6【知识与基础】1．一块长方形土地的宽是 8m，周长小于 50 m，该地面积至少是 120 m2，求长方形的长的 取值范围．课时编号 10一元一次不等式组（三）2． 有一个两位数， 其个位数字比十位数字大 2， 如果这个数大于 20 小于 40， 求这个两位数．3．若干苹果分给几只猴子，若每只猴子分 3 个，则余 8 个；每只猴分 5 个，则最后一只 猴分得的数不足 5 个，问共有多少只猴子？多少个苹果？【应用与拓展】4．小虎和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为 72 千克，坐在跷跷板的一端；体 重只有妈妈一般的小虎和妈妈一同坐在跷跷板的一端．这时，爸爸的一端仍然着地．后 来，小虎借来一块质量为 6 千克的石头，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被跷起离 地．猜猜小虎的体重约是多少千克（精确到 1 千克）？42中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案【探索与创新】5．某城市的出租汽车起步价为 10 元（即行驶距离在 5 千米以内都需付 10 元车费） ，达到或 超过 5 千米后，每行驶 1 千米加 1.2 元（不足 1 千米也按 1 千米计） ．现某人乘车从甲 地到乙地，支付车费 17.2 元，问从甲地到乙地的路程大约是多少？6．某宾馆一楼客房比二楼少 5 间，某旅行团有 48 人，若全安排在一楼，每间住 4 人，则房 间不够；如每间住 5 人，则有的房间没有住满 5 人；又若全安排在二楼，如每间住 3 人， 则房间不够； 如每间住 4 人， 则有房间没有住满 4 人， 问该宾馆一楼有多少间客房？43中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 课时编号 11一元一次不等式（组）的回顾与思考教学目标1、 知识与技能目标 归纳本章学过的知识，使学生系统理解本章的知识结构，正确掌握不等式的性质，熟练 地解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会借助数轴确定不等式（组）的解集。 2、 过程与分析目标 允许学生暴露在解不等式（组）时易犯或常犯的错误，发展学生严谨的思维习惯和主动 探究的学习态度 3、 情感与态度目标 通过问题情境的创设，吸引每一个学生积极参与，激发学生的学习兴趣，并在讨论与交 流中体验合作学习的愉悦和成功的喜悦。教学重点与难点重点：不等式的基本性质及解一元一次不等式（组） 。 难点：正确地运用不等式基本性质解一元一次不等式（组） ，克服变形中常犯的错误。教学过程一、 创设情境，引入课题 同学们，今天开课前我们先来看张图片，这是一张关于跷跷板游戏的卡通图片，它 反映了我们刚刚学过的不等关系。 古往今来， 反映不等关系的成语、 谚语也有很多， 如：雷声大，雨点小；捡了芝麻，丢了西瓜；道高一尺，魔高一丈；三个臭皮匠， 抵过一个诸葛亮；等等，所以不等关系在我们身边是处处存在的。通过学习我们也 发现它在各个领域都有很广泛的应用， 今天我们就一道来对不等式作一个回顾与思 考。 板书课题：一元一次不等式（组）的回顾与思考 二、 讲练辨析，巩固提高 首先我们一起回顾一下本章的的知识要点。 大家先准备一下， 然后请同学发表他的 见解。板书课题：一元一次不等式（组）的回顾与思考（一） 回答的很好，根据同学们的回答我们可以归纳出本章所学的三大块内容：不等式 （组）的有关概念及性质、一元一次不等式（组）的解法、应用不等式（组）解决 实际问题。我们把它分成两节课来复习，今天我们先来复习前两块。大家看屏幕 1、 x ? 1 ? 0 解题依据： 这是一个不等式，他的解集是： 2、 4 x ? 1 解题依据： 3、 ? 4 x ? 1 解题依据： 说明：一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未 知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。牛刀小试解不等式2? x 1? x ?1 ? 3 2这是一元一次不等式吗？你会解这个不等式吗？下面我们就小试牛刀， 一起来解这 个不等式。44中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案下面请这位同学报下答案？大家说对不对，很好，完全正确！ 那它的解题步骤是怎样的呢？ 解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系 数化为 1。 做对的同学请举手，同学中错题辨析， （实物投影） 下面让我们擦亮眼睛来当回老师：火眼金睛小马同学解了四个不等式，请你帮他批改一下，若解题过程有错，则在出错之处打 个叉，并给予纠正。 1、 4 ? 2x ? 5 解：－2x&5－4 －2x&1 x&1 22、 5 ? 2x ? 8 解： 2x ? 8 ? 52x ? 3 2 x? 33、 ? 3(1 ? x) ? 6 ? 1 ? 4 x 解： ? 3 ? x ? 6 ? 1 ? 4x? x ? 4x ? 1 ? 3 ? 6 ? 5x ? ?2 2 x? 5 1 2? x 4、 x ? ?1 6 3解： x ? 2(2 ? x) ? 1x ? 4 ? 2x ? 1x ? 2x ? 4 ? 1 3x ? 5 5 x? 3批改好了吗？好，下面各小组交流各自的意见，组长作好汇总。 哪个小组自告奋勇来发表一下你们的见解。 很好！小马同学的错误之处都被我们发现了，也让我们从中吸取了教训，下面我们 熟能生巧，再来求解以下两题，比一比、赛一赛，看哪些同学做得既快又准确！熟能生巧1、1? x x ?1 ? 1? 2 3（X&―1）2、1? x 1 ? 4x ?1 ? ?2 6（X&2）45中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案举一反三在我们熟练掌握一元一次不等式的解法后，我们再来思考这个问题：2? x 1? x 的解集是 x ? 5 ，如果不等式中的 X 表示人数，则 X 能否 ?1 ? 3 2 2? x 1? x 取 2.5,能否取―3？也就是说我们应求不等式 的正整数解。 答： 1， ?1 ? 3 2不等式 2，3，4，5。 这类题目答案往往不是一个未知数的范围，而是几个确定的数或对 这几个数的简单运算。 再如：求不等式2? x 1? x 的正偶数解， ?1 ? 3 2答： 2，4。 我们碰到过吗？你能围绕它编出几个题目并提供参考答案吗？ 1、 正（负）整数解； 2、 正（负）整数解的和； 3、 最大（小）整数解； 4、 整数解的个数； 5、 正奇数、偶数解； 编题活动我们搞一段落， 在同学们积极的发言中， 我们发现编题不仅是件有趣的事， 还能使我们举一反三，触类旁通，更加严谨、全面地掌握知识，解决问题。 下面我们一起看操作： 如果我在这个不等式下面再加一个不等式，如：1? x x ?1 ? 1? 2 3就构成了不等式组， 我们把两个一元一次不等式合在一起， 称为一元一次不等式组。 那一元一次不等式组我们又该如何求解呢？ 谁来给我们提供思路，很好，像解方程组一样，我们先： 不等式组的解集是两个不等式的解集的公共部分，它的确定有麻烦的话，我们可以 借助数轴，我们一起来演示一下：复习数轴表示的注意事项； 你能快速地得出它们的解集吗？ 1、 ?1 ? ?x ? 2 ?x ? 2 ?2、 ??x ? 5 ?x ? 03、 ?? x ? ?2 ? x ?14、 ??x?0 ? x ? ?2启发、引导导出求不等式组解集的口诀：大大取大，小小取小，大小小大连写，大大 小小无解。 说明：1、不等式组也有整数解、非负整数解、自然数解等稍作变形的题目，所以 我们解题时务必审题要仔细，回答要全面，避免低级错误的出现。 2、不等式2? x 1? x x ?1 如何求解？ ?1 ? ? 1? 3 2 3把它变形成不等式组来解。有困难吗？好，系统复习了一元一次不等式（组）的 解法后，我们来快速完成步步为营中的填空题： 三、 你点我做，尝试成功步步为“赢”1、 x20；46中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案2、3X≤12 的自然数解有 ； 3、－k≤0,则 k 0； 4、a&b,则－2a －2b； 5、－3x&0 的最大整数解是 ； 6、 上所表示的不等式解集是 同学们做得既快又准确，要表扬，让我们共同祝贺一下（掌声） 好，让我们继续努力，积极开动脑筋，探寻出节外生枝的解题思路：；精益求精1、 x 取什么值时，代数式2x ? 3 的值 x2 ?1(1) 等于零; (2) 是正数; (3) 是非负数. 2、 解关于 x 的不等式 k(x-1)+2＞x.(k≠1) 3、 3、某次个人象棋赛规定：赢一局得 2 分，平一局得 0 分，负一局得-1 分。在 12 局比赛中， 积分超过 15 分就可以晋升下一轮比赛， 小王进入了下一轮比赛， 而且在全部 12 轮比赛中，没有出现平局，问小王可能输了几局比赛？ 解：设小王在 12 轮比赛中输了 X 局，则小王赢了 （12―X）局， 则有 （2（12―X）―X&15） 24―3X&15 ―3X&―9 X&3 因为比赛局数必为自然数， 所以 X= (0，1，2.) 答：小王可能输了 (1 局或 2 局或 1 局都没有输。) 回答的很好，具体的解题过程留作课外作业去完成。 四、 归纳小结，布置作业 同学们， 第十三章复习第一课时到现在就要搞一段落了， 今天我们系统回顾的是本 章的有关概念和性质， 并通过练习辨析、 编题训练较为全面地掌握了解不等 式（组）的有关题型和注意事项，为明天展开不等式应用的复习打下了更坚 实的基础。47中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿单元测试一、填空题： 1．不等式 2x－1＜0 的解集是 ． 2．不等式－2x＜1 的解集是 ． 3．当 x 满足条件 ，代数式 x＋1 的值大于 3． 4．不等式－3x＜6 的负整数解是 ． 5．使代数式 x－1 和 x＋2 的值的符号相反的 x 的取值范围是 ． 二、选择题： 6．数 a、b 在数轴上的位置如图 1―14 所示，则下列不等式成立的是（ ） ．a -1 0 b 1课时编号 12图 1―14（A）a＞b （B）ab＞0 （C）a＋b＞0 （D）a＋b＜0 7．如果 1－x 是负数，那么 x 的取值范围是（ ） ． （A）x＞0 （B）x＜0 （C）x＞1 （D）x＜1 8．已知一个不等式的解集在数轴上表示为如图 1―15，则对应的不等式是（ ） ．3 4-3 -2 -1 012图 1―15（A）x－1＞0（B）x－1＜0（C）x＋1＞0 ） ．（D）x＋1＜0? x ? 2 x, 9．不等式组 ? 的解集在数轴是可以表示为（ 3 x ? ?6 ?-20-20（A）（B）-20-20（C） （D） 三、解下列不等式或不等式组，并在数轴上表示其解集： 4 x ? 11 10．2（1－x）＞3x－8． 11．－x－1＜ ． 3 12． ??4 x ? 8 ? x ? 1, ?3x ? 4 ? 5 x ? 8.13．－1＜3 ? 2x ＜2． 214．已知 3 x＋y＝2，y 取何值时，－1＜ x≤2． 15．某公园门票的价格是每位 20 元，20 人以上（含 20 人）的团体票 8 折优惠．现有 18 位 游客春游，如果他们买 20 人的团体票，那么比买普通票便宜多少钱？至少要有多少人去该 公园，买团体票反而合算呢？ 16．某企业想租一辆车使用，现有甲乙两家出租公司，甲公司的出租条件是：每千米租车费 1.10 元；乙公司的出租条件是：每月付 800 元的租车费，另外每千米付 0.10 元油费．问该 企业租哪家的汽车合算？48中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 A 卷：基础题一、选择题 1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）课时编号 13? x ? 2, A． ? ? x ? ?3? x ? 1 ? 0, B． ? ?y ? 2 ? 0?3 x ? 2 ? 0, C． ? ?( x ? 2)( x ? 3) ? 0?3 x ? 2 ? 0, ? D． ? 1 ?x ?1 ? x ?2．下列说法正确的是（ ） A．不等式组 ?? x ? 3, 的解集是 5&x&3 ?x ? 5B． ?? x ? ?2, 的解集是－3&x&－2 ? x ? ?3C． ?? x ? 2, 的解集是 x=2 ?x ? 2D． ?? x ? ?3, 的解集是 x≠3 ? x ? ?32 ? ?x ? ? , 3．不等式组 ? 的最小整数解为（ ） 3 ?x ? 4 ? 8 ? 2x ?A．－1 B．0 C．1 D．44．在平面直角坐标系中，点 P（2x－6，x－5）在第四象限，则 x 的取值范围是（ ） A．3&x&5 5．不等式组 ? A．x&2 二、填空题 6．若不等式组 ? B．－3&x&5 C．－5&x&3 D．－5&x&－3? x ? 2 ? 0, 的解集是（ ） ?x ? 3 ? 0B．x&3 C．2&x&3 D．无解? x ? 2, 有解，则 m 的取值范围是______． ?x ? m7．已知三角形三边的长分别为 2，3 和 a，则 a 的取值范围是_____． 8．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分 4 个橘子，则剩下 9 个橘子；?如果每人分 6 个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于 3 个，由以上可推出，共有_____个儿童， 分_____个橘子． 9．若不等式组 ?? x ? a ? 2, 的解集是－1&x&1，则（a+b）2006=______． b ? 2x ? 0 ?49中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案三、解答题?2( x ? 2) ? x ? 4, (1) ? 10．解不等式组 ? x 1 ? x (2) ?3 ? 2 ? 0 ?11．若不等式组 ?? x ? m ? 1, 无解，求 m 的取值范围． ? x ? 2m ? 112．为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划．?如果实际每天比计划多用 2 度电，那么本学期用电量将会超过 2530 度；如果实际每天比计划节约了 2 度电，那么本学 期用电量将会不超过 2200 度．若本学期的在校时间按 110 天计算，那么学校每天计划用电 量在什么范围内？B 卷：提高题一、七彩题 1．一题多变题） （ 如果关于 x 的不等式 （a－1） x&a+5 和 2x&4 的解集相同， a?的值为______． 则 （1）一变：如果 ??(a ? 1) x ? a ? 5, 的解集是 x&2，则 a 的取值范围是_____； ?2 x ? 4? ?2 x ? 4, ? （2）二变：如果 ? x ? 1, 的解集是 1≤x&2，则 a 的取值范围是____ ? a?5 ?x ? a ?1 ?二、知识交叉题? x1 ? x2 ? a1 , ? 2． （科内交叉题）在关于 x1，x2，x3 的方程组 ? x2 ? x3 ? a2 , 中，已知 a1&a2&a3，请将 x1， ?x ? x ? a 3 ? 1 3x2，x3 按从大到小的顺序排列起来． 3． （科外交叉题）设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小， 两次情况如图 1－6－1 所示，那么每个“○”、“□”、?“△”这样的物体，按质量从小到大的顺 序排列为（ ） A．○□△ B．○△□ C．□○△ D．△□○50中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案三、实际应用题 4．某宾馆底层客房比二楼少 5 间，某旅游团有 48 人，若全安排在底层，每间 4 人，则房间 不够；若每间 5 人，则有房间没有住满 5 人；若全安排在二楼，每间住 3 人，房间不够； 每间住 4 人，则有房间没有住满 4 人，求该宾馆底层有客房多少间？ 四、经典中考题 5． （2007，厦门，3 分）小宝和爸爸，妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为 69?千克， 坐在跷跷板的一端， 体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端， ?这时爸 爸的一端仍然着地．后来小宝借来一副质量为 6 千克的哑铃，?加在他和妈妈坐的一端， 结果爸爸被跷起，那么小宝的体重可能是（ ） A．23.2 千克 B．23 千克 C．21.1 千克 D．19.9 千克6． （2008，天津，3 分）不等式组 ??3 x ? 2 ? 2( x ? 1), 的解集为______． ?x ? 8 ? 4x ?17． （2007，青岛，8 分） ，某饮料厂开发了 A，B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，?每 瓶饮料中甲，乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产，?计划生产 A，B 两种饮料共 100 瓶． 甲 A B 20 克 30 克 乙 40 克 20 克设生产 A 种饮料 x 瓶，解答下列问题． （1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程； （2）如果 A 种饮料每瓶的成本为 2.60 元，B 种饮料每瓶的成本为 2.80 元，?这两种饮 料成本总额为 y 元，请写出 y 与 x 之间的关系式，并说明 x 取何值会使成本总额最低．51中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 上课时间 2011 年 2 月 21 日 备课人王士卿 1.5 一元一次不等式与一次函数 一、教学目标 1.一元一次不等式与一次函数的关系. 2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行 比较. 二、教学过程 1.一元一次不等式与一次函数之间的关系. 作出函数 y=2x－5 的图象，观察图象回答下列问题. （1）x 取哪些值时，2x－5=0? （2）x 取哪些值时，2x－5＞0? （3）x 取哪些值时，2x－5＜0? （4）x 取哪些值时，2x－5＞3? 课时编号 14 课时编号 15 课时编号 16 课时编号 17（1）当 y=0 时，2x－5=0, ∴x= , ∴当 x= 时，2x－5=0. （2）要找 2x－5＞0 的 x 的值，也就是函数值 y 大于 0 时所对应的 x 的值，从图象上可知，y＞0 时，图象在 x 轴上方，图象上任一点所52中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 对应的 x 值都满足条件， y=0 时， 当 则有 2x－5=0,解得 x= .当 x＞ 时， 由 y=2x－5 可知 y＞0.因此当 x＞ 时，2x－5＞0; （3）同理可知，当 x＜ 时，有 2x－5＜0; （4）要使 2x－5＞3,也就是 y=2x－5 中的 y 大于 3，那么过纵坐标为 3 的点作一条直线平行于 x 轴， 这条直线与 y=2x－5 相交于一点 B 4， （ 3） ，则当 x＞4 时，有 2x－5＞3. 3.试一试 如果 y=－2x－5,那么当 x 取何值时，y＞0? 首先要画出函数 y=－2x－5 的图象，如图从图象上可知，图象在 x 轴上方时，图象上每一点所对应的 y 的值都 大于 0，而每一个 y 的值所对应的 x 的值都在 A 点的左侧，即为小于 －2.5 的数， 由－2x－5=0,得 x=－2.5,所以当 x 取小于－2.5 的值时， y＞0. 三、课堂练习 1.已知 y1=－x+3,y2=3x－4,当 x 取何值时， y1＞y2？你是怎样做的？ 与同伴交流. 解：如图 1－24 所示：当 x 取小于 的值时，有 y1＞y2. 2.作出函数 y1=2x－4 与 y2=－2x+8 的图象，并观察图象回答下列问 题：53中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 （1）x 取何值时，2x－4＞0？ （2）x 取何值时，－2x+8＞0? （3）x 取何值时，2x－4＞0 与－2x+8＞0 同时成立？ （4）你能求出函数 y1=2x－4，y2=－2x+8 的图象与 x 轴所围成的三 角形的面积吗？并写出过程. 解：图象如下：分析：要使 2x－4＞0 成立，就是 y1=2x－4 的图象在 x 轴上方的所有 点的横坐标的集合， 同理使－2x+8＞0 成立的 x， 即为函数 y2=－2x+8 的图象在 x 轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即 求这两个集合中公共的 x，根据函数图象与 x 轴交点的坐标可求出三 角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三 角形的面积. ［解］ （1）当 x＞2 时，2x－4＞0; （2）当 x＜4 时，－2x+8＞0; （3）当 2＜x＜4 时，2x－4＞0 与－2x+8＞0 同时成立. （4）由 2x－4=0,得 x=2; 由－2x+8=0,得 x=4 所以 AB=4－2=2 由 得交点 C（3，2） 所以三角形 ABC 中 AB 边上的高为 2.54中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 所以 S= ×2×2=2. 3.分别解不等式 5x－1＞3（x+1）, x－1＜7－ x 所得的两个解集的公共部分是什么？ 解：解不等式 5x－1＞3（x+1）,得 x＞2 解不等式 x－1＜7－ x，得 x＜4,所以两个解集的公共部分是 2＜x＜4. 4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现： 如果月初出售，可获利 15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末 又可获利 10%；如果月末出售可获利 30%，但要付出仓储费用 700 元. 请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？ 解：设商场计划投入资金为 x 元，在月初出售，到月末共获利 y1 元； 在月末一次性出售获利 y2 元， 根据题意，得 y1=15%x+（x+15%x） 〃10%=0.265x, y2=30%x－700=0.3x－700. （1）当 y1＞y2,即 0.265x＞0.3x－700 时，x＜20000; （2）当 y1=y2,即 0.265x=0.3x－700 时，x=20000; （3）当 y1＜y2，即 0.265x＜0.3x－700 时，x＞20000. 所以，当投入资金不超过 20000 元时，第一种销售方式获利较多；当 投入资金超过 20000 元时，第二种销售方式获利较多.55中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定 剂量服用，那么服药后 2 小时时血液中含药量最高，达每毫升 6 微克 （1 微克=10－3 毫克） ，接着逐步衰减，10 小时时血液中含药量为每 毫升 3 毫克，每毫升血液中含药量 y（微克） ，随着时间 x（小时）的 变化如图所示（成人按规定服药后）. （1）分别求出 x≤2 和 x≥2 时，y 与 x 之间的函数关系式； （2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为 4 微克或 4 微克以 上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？解： （1）当 x≤2 时，图象过（0，0）（2，6）点，设 y1=k1x, ， 把（2，6）代入得，k1=3 ∴y1=3x. 当 x≥2 时，图象过（2，6）（10，3）点. ， 设 y2=k2x+b,则有得 k2=－ ,b= ∴y2=－ x+ （2）过 y 轴上的 4 点作平行于 x 轴的一条直线，于 y1,y2 的图象交 于两点，过这两点向 x 轴作垂线,对应 x 轴上的 和 ，即在 － =6 小 时间是有效的. 1.6 一元一次不等式组 一、教学目标56中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 总结解一元一次不等式组的步骤及情形. 二、教学过程 某校今年冬季烧煤取暖时间为 4 个月。如果每月比计划多烧 5 吨煤， 那么取暖用煤总量将超过 100 吨；如果每月比计划少烧 5 吨煤，那么 取暖用煤总量不足 68 吨。该校计划每月烧煤多少吨？ 解： 设该校计划每月烧煤 x 吨，根据题意，得 4（x+5）&100, 且 4（x-5）&68. 未知数 x 同时满足 （1） （2） （1） （2）两个条件，把（1） （2）两个不 4 （x+5） &100,等式合在一起， 就组成一个一元一次不等式组， 记作 4（x-5）&68.一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了 一个一元依次不等式组。解下列不等式组 （1） （2） （3） （4） （1） 解：解不等式（1） ，得 x＞157中 牟 县 第 四 初 级 中 学 八 年 级 数 学 教 案 解不等式（2） ，得 x＞－4. 在同一条数轴上表示不等式（1）（2）的解集如}