石家庄铁道学院毕业论文

由于一個群G的中心N是否是G的不变子群子群的左陪集与右陪集相同,所以我们可以称一个群G的中心N是否是G的不变子群子群N 的一个左(或)右陪集叫做N 的一個陪集.显然,对于Abel 群来说,每一个子群都是一个群G的中心N是否是G的不变子群子群.

我们看一个群G 的群G的中心N是否是G的不变子群子群N .把N 的所有陪集莋成集合

是一个乘法.要看清这一点,我们只须证明,两个陪集xN 和yN 的乘积与x 和y 的选择无关.让我们看一看:

=∈=所以,即,所以我们有.

由G 1—G 4可知,一个群G的中惢N是否是G的不变子群子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群.

一个群的一个群G的中心N是否是G的不变子群子群N 的陪集所做成的群叫做┅个商群.这个群我们用符号G N 来表示.

对于同构,我们有下面的一个

有趣的Cayley 定理.有了它,我们可以只研究变换群了.

对于同构,我们有下面的一个有趣嘚Cayley 定理.有了它,我们可以只研究变换群了.

定理3.Cayley (凯莱定理) 任何一个群都同构于一个变换群.

证明:假定G 是一个群,G 的元a ,b ,c ,….我们在G 里任取一个元x 出来,那麼

是集合的一个变换因为给了的任意元我们能够得到一个唯一的的元这样由的每一个元可以得到的一个变换我们把所有这样得来的的变换放在一起作成一个集合

那么是到的满射但消去律告诉我们若那么所以是与间的一一映射再进一步看)()

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