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高三数学抛物线
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高中数学抛物线 高考经典例题
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高中数学抛物线_高考经典例题
高中数学抛物线_高考经典例题
word/media/image242.jpeg分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以word/media/image163.wmf为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．解：以word/media/image236.wmf为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．由题意，曲线段C是N为焦点，以word/media/image163.wmf为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C满足的抛物线方程为：word/media/image243.wmf其中word/media/image244.wmf、word/media/image245.wmf为A、B的横坐标令word/media/image246.wmf则word/media/image247.wmf，word/media/image248.wmf∴由两点间的距离公式，得方程组：word/media/image249.wmf解得word/media/image250.wmf或word/media/image251.wmf∵△AMN为锐角三角形，∴word/media/image252.wmf，则word/media/image253.wmf，word/media/image254.wmf又B在曲线段C上，word/media/image255.wmf则曲线段C的方程为word/media/image256.wmf例7如图所示，设抛物线word/media/image257.wmf与圆word/media/image258.wmf在x轴上方的交点为A、B，与圆word/media/image259.wmf在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求word/media/image260.wmf．（2）求△ABQ面积的最大值．分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出word/media/image260.wmf．word/media/image261.jpeg解：（1）设word/media/image262.wmf由word/media/image263.wmf得：word/media/image264.wmf，word/media/image265.wmfword/media/image266.wmf由word/media/image267.wmf得word/media/image268.wmf，word/media/image269.wmfword/media/image270.wmf同word/media/image271.wmf类似，word/media/image272.wmf则word/media/image273.wmf，word/media/image274.wmf（2）word/media/image275.wmfword/media/image276.wmfword/media/image277.wmf，∴当word/media/image278.wmf时，word/media/image279.wmf取最大值word/media/image280.wmf．例8　已知直线word/media/image281.wmf过原点，抛物线word/media/image282.wmf的顶点在原点，焦点在word/media/image283.wmf轴的正半轴上，且点word/media/image284.wmf和点word/media/image285.wmf关于直线word/media/image286.wmf的对称点都在word/media/image282.wmf上，求直线word/media/image286.wmf和抛物线word/media/image282.wmf的方程．分析：设出直线word/media/image286.wmf和抛物线word/media/image282.wmf的方程，由点word/media/image287.wmf、word/media/image288.wmf关于直线word/media/image286.wmf对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设word/media/image289.wmf，利用对称的几何性质和三角函数知识求解．解法一：设抛物线word/media/image282.wmf的方程为word/media/image290.wmfword/media/image291.wmf，直线word/media/image292.wmf的方程为word/media/image293.wmfword/media/image294.wmf，则有点word/media/image295.wmf，点word/media/image296.wmf关于直线word/media/image281.wmf的对称点为word/media/image297.wmf、word/media/image298.wmf，则有word/media/image299.wmf解得word/media/image300.wmfword/media/image301.wmf解得word/media/image302.wmf如图，word/media/image303.wmf、word/media/image304.wmf在抛物线上word/media/image305.jpeg∴word/media/image306.wmf两式相除，消去word/media/image307.wmf，整理，得word/media/image308.wmf，故word/media/image309.wmf，由word/media/image310.wmf，word/media/image311.wmf，得word/media/image312.wmf．把word/media/image312.wmf代入，得word/media/image313.wmf．∴直线word/media/image292.wmf的方程为word/media/image314.wmf，抛物线word/media/image315.wmf的方程为word/media/image316.wmf．解法二：设点word/media/image287.wmf、word/media/image288.wmf关于word/media/image286.wmf的对称点为word/media/image297.wmf、word/media/image298.wmf，又设word/media/image289.wmf，依题意，有word/media/image317.wmf，word/media/image318.wmf．故word/media/image319.wmf，word/media/image320.wmf．由word/media/image321.wmf，知word/media/image322.wmf．∴word/media/image323.wmf，word/media/image324.wmf．又word/media/image325.wmf，word/media/image326.wmf，故word/media/image327.wmf为第一象限的角．∴word/media/image328.wmf、word/media/image329.wmf．将word/media/image330.wmf、word/media/image331.wmf的坐标代入抛物线方程，得word/media/image332.wmf∴word/media/image333.wmf，即word/media/image334.wmf从而word/media/image335.wmf，word/media/image336.wmf，∴word/media/image337.wmf，得抛物线word/media/image315.wmf的方程为word/media/image316.wmf．又直线word/media/image338.wmf平分word/media/image339.wmf，得word/media/image338.wmf的倾斜角为word/media/image340.wmf．∴word/media/image341.wmf．∴直线word/media/image338.wmf的方程为word/media/image342.wmf．说明：(1)本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到．(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握．
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1. 平面内与一个定点F和一条定直线l(点F在直线l外)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.其中这个定点是抛物线的______；这条定直线是抛物线的______. 2. 设抛物线的焦点到准线的距离为p，对于下列四个图形：
这四个图形对应的抛物线的标准方程分别 是 (1)________;(2)_________;(3)________;
(4)________. 3. 对于抛物线y2=2px(p&0):
(1)x的取值范围是_______；y的取值范围 是_____.
(2)抛物线关于______对称.
(3)抛物线的顶点坐标是_____；焦点坐
标是_____；准线方程是_____.
(4)抛物线的离心率e= ___;过焦点且垂直 于对称轴的弦长(通径)为 ____. (5)设点P(x0，y0)在抛物线上，点F为抛
物线的焦点，则|PF|= _____.
(6)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线上两点, 且AB为抛物线的焦点弦, 则y1y2= _____;
x1x2= ____.
4.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点坐标是_____; 准线方程是 _____;抛物线x2=ay(a≠0) 的焦点坐标是 _____;准线方程是 _____； 通径长是 ______. 1.设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点 坐标为(
) A. (a，0)
B. (0，a) C. (0，
D. 随a的符号而定 解:将y=4ax2化为标准方程为
故选C. 2.以抛物线y2=2px(p＞0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为(
B. 相离 C. 相切
D. 不确定 解：利用抛物线的定义知，答案为C. 3.已知直线y=k(x+2)(k&0)与抛物线 C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点, 若|FA|=2|FB|，则k=(
解：抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2， 直线y=k(x+2)(k&0)恒过定点P(-2,0). 如图，过A、B分别作 AM⊥l于M,BN⊥l于N. 由|FA|=2|FB|, 得|AM|=2|BN|, 所以点B为AP的中点. 连结OB,则|OB|=
|AF|， 所以|OB|=|BF|,所以点B的横坐标为1, 故点B的坐标为(1,
),所以 故选D. 1. 如右图所示，直线 l1和l2相交于点M，l1⊥l2， 点N∈l1,以A、B为端点的 曲线段C上任一点到l2的 距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=
，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程. 解：以直线l1为x轴， 线段MN的垂直平分线为 y轴,建立直角坐标系,如图. 由条件可知,曲线段C
是以点N为焦点,以l2为准 线的抛物线的一段. 其中A、B分别为曲线段C的端点. 设曲线段C的方程为y2=2px(p&0)(xA≤x≤xB, y&0),其中xA、xB为A、B的横坐标，p=|MN|， 所以 由 得
② 联立①②解得
代入①式,并由p&0， 解得
或 因为△AMN为锐角三角形，所以 故舍去
所以 由点B在曲线段C上，得
综上,曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y&0). 点评：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.抛物线的标准方程形式有四种.求抛物线方程时，首先注意是否为标准方程，如果不是标准方程，注意顶点、焦点、准线的位置及关系；如果是标准方程，确定焦点在哪个半轴上.
设抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，A、B、C为抛物线上三点，F为抛物线的焦点.已知直线AB的方程为4x+y-20=0，且点F为△ABC的重心，求此抛物线的方程. 解：设抛物线方程为y2=2px(p≠0)， 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3). 由
消去x得 即
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本系列课程以专题形式介绍高考数学的备考方法，欢迎正在备考或者感兴趣的有一定基础的高中同学参与。这里提供方法与思路，功夫在平时，大家加油。
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