求个科普，设计师ebisen是个什么不一样的ui设计师存在
点击联系发帖人
时间：2018-03-27 19:22
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-8dfef75bf9dff6d2bba690b_b.jpg& data-rawwidth=&3303& data-rawheight=&2435& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3303& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-8dfef75bf9dff6d2bba690b_r.jpg&&&/figure&&p& 麦克斯韦方程组是一个非常神奇的存在，在狭义相对论被接受之后，以前牛顿时期的大多数理论都需要修改，可是物理学家却发现麦克斯韦方程组和狭义相对论却是完美契合的，并不需要做出任何修改。&/p&&p&麦克斯韦方程组可以写作四个方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-80c4faa52c0c94dd9036a2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2522& data-rawheight=&1455& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2522& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-80c4faa52c0c94dd9036a2_r.jpg&&&/figure&&p& 这四个方程就把所有的电磁学规律总结了。&/p&&p& 用通俗的语言表述这四个方程就是：E为电场强度，B为磁场强度， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B0%7D& alt=&\epsilon_{0}& eeimg=&1&& 为常数&/p&&p&1. E通过任意闭合曲面的通量正 = 曲面内的电荷量除以 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B0%7D& alt=&\epsilon_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&2. E沿一条闭合曲线C的环流 = 通过曲线C围住的那个曲面S上B通量的变化率&/p&&p&3. B沿一条闭合曲线C的环流 = 曲线C围住的曲面S上E通量的变化率 + S上电流的通量除以 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B0%7D& alt=&\epsilon_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&4. B通过任意闭合曲面的通量乘以光速平方=
这四个方程组其实就包含了电磁场的所有规则了。&/p&&p&
在这里我们先不去具体理解这四个方程组的含义。这篇的主要目的不是详细讲述麦克斯方程组的内容，而是想阐述它与相对论的关系。&/p&&p&&br&&/p&&p&先回忆一下高中的电磁知识。&/p&&figure&&img src=&https://pic7.zhimg.com/v2-b8c856d424c24c2d01bbcd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2373& data-rawheight=&1137& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2373& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b8c856d424c24c2d01bbcd_r.jpg&&&/figure&&p&一个电荷在它的周围有一个电场E。而电荷周围的电场强度E与距离平方成反比。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f66bf7bab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2719& data-rawheight=&1215& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2719& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f66bf7bab_r.jpg&&&/figure&&p&运动的电荷会产生一个磁场B，遵循右手定律。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a8dc0fce430eabf73ef88_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2571& data-rawheight=&1271& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2571& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a8dc0fce430eabf73ef88_r.jpg&&&/figure&&p&所以，一个电荷在电磁场内受到的力分为电场和磁场两部分。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a3d6c40d66fb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2620& data-rawheight=&1525& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2620& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a3d6c40d66fb_r.jpg&&&/figure&&p&磁场，有一个特别的性质，就是在其中的电荷只有当在运动的时候才会受力，而静止的电荷就不会受力。&/p&&p&我们来看一个典型的电磁现象。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-004d772ac50ecf3b9c28d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2409& data-rawheight=&1236& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2409& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-004d772ac50ecf3b9c28d_r.jpg&&&/figure&&p&在如图的电线中，在相同的线段内，正负电荷数相等，而负电荷静止，正电荷有速度v，所以周围的电场强度为零，但是周围有一个磁场B，所以当一个正电荷在电线周围以速度v 运动，根据计算我们知道它会受到一个磁场造成的力，这个力朝向电线方向。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-13be59cadaa3f4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2571& data-rawheight=&1342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2571& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-13be59cadaa3f4_r.jpg&&&/figure&&p&但是，如果我们换一个参考系，如图，那么在这个参考系里，正电荷是静止的，负电荷以速度v朝相反方向运动，因为正电荷是静止的，所以就算有磁场存在，那么它也不会受到磁场力的作用，那么此时它所受到的那股朝向电线的力又是从哪里来的呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&这时候，我们就要考虑相对论效应了。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e4ee73fc871b02f4c344222_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1971& data-rawheight=&1158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1971& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e4ee73fc871b02f4c344222_r.jpg&&&/figure&&p&有两根带电的电棒，静止的时候，单位长度下它们带的电荷量是相等的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dbff4786e7b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1893& data-rawheight=&1095& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1893& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-dbff4786e7b_r.jpg&&&/figure&&p&但是，当其中一根有速度v的时候，根据相对论的尺缩现象，我们可以计算得到，运动的电棒长度变短了，但是电荷是标量不会随参考系变换，所以它的带电量不会变化，所以在静止参考系里的人看来，运动的电棒长度变短，但是单位长度带电量增多。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-50047ede78ed73ceadbc63_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2458& data-rawheight=&1511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2458& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-50047ede78ed73ceadbc63_r.jpg&&&/figure&&p&同理，本来不带电的一根电线，当其中的负电荷有了速度v之后，它的中段就相当于带了负电荷。&/p&&p&所以，前面那个实验里面，那个静止的正电荷就受到了一个电线上所带负电荷的吸引力。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-195d3caa50d225dbcaa6f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2310& data-rawheight=&1356& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2310& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-195d3caa50d225dbcaa6f_r.jpg&&&/figure&&p&于是，在前一个参考系，负电荷受到的是磁场力，可是在另一个参考系里面，就变成了受到了电场力。&/p&&p&就是说同一个力，我们既可以用麦克斯韦电磁学来解释，同样的也可以用相对论效应来解释。&/p&&p&（具体定量的计算可以参考费恩曼物理学讲义13章）&/p&&p&这里，我们其实就可以明白，磁场其实可以看做电场因为相对论效应而产生的修正项。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先我们用相对论的观点来看待。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bad4ef19a406e918f1848_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2373& data-rawheight=&1532& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2373& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bad4ef19a406e918f1848_r.jpg&&&/figure&&p&在相对论里，场会随参考系变化而变化，同一个电场在不同的参考系里是不同的。（这里就不定量的证明了）&/p&&p&这就导致了一个现象。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6ee13304cea4155a81fdd619e9aaf3c8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2620& data-rawheight=&1511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2620& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6ee13304cea4155a81fdd619e9aaf3c8_r.jpg&&&/figure&&p&在电场内同一位置有不同速度的电荷，在电场里受到的力是不相同的。&/p&&p&&br&&/p&&p&而我们再用电磁学的角度来看待。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2ebcb768f8eccd7204cbb91_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1921& data-rawheight=&1137& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1921& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2ebcb768f8eccd7204cbb91_r.jpg&&&/figure&&p&在麦克斯韦方程组里（那个年代还没有相对论），所以电场是不会随着参考系变化而变化的。但此时我们要多考虑一个东西就是磁场。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5f42fd9d14ed9d527bf8f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2705& data-rawheight=&1836& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2705& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f42fd9d14ed9d527bf8f_r.jpg&&&/figure&&p&于是同样，在这个电磁场内，同样会因为电荷运动速度不同，而受到的力不同。&/p&&p&&br&&/p&&p&这就是为什么麦克斯韦方程组可以和相对论相融洽。虽然那个年代没有相对论，但电场的相对性效应在这里被用磁场巧妙的表示出来了。&/p&
麦克斯韦方程组是一个非常神奇的存在，在狭义相对论被接受之后，以前牛顿时期的大多数理论都需要修改，可是物理学家却发现麦克斯韦方程组和狭义相对论却是完美契合的，并不需要做出任何修改。麦克斯韦方程组可以写作四个方程。 这四个方程就把所有的电磁学…
&p&1、 社会主义诸国的红旗（包含红领巾等衍生物）源自于巴黎公社；当时巴黎公社面对德军的包围和梯也尔的进攻，首次大规模的使用了在往常表示紧急状态与不畏牺牲含义的红旗；红旗遂成为社会主义的象征；&/p&&p&2、苏联的镰锤星国旗只有一面（正面）有图案，背面是没有图案的，纯红旗；&/p&&p&3、印尼国旗来自于其宗主国荷兰，一名青年爬上旗杆撕毁殖民者的荷兰国旗，使得旗帜从三色旗变成红白旗，然后被杀害；后来为了纪念这一义举，红白旗成为印尼国旗；&/p&&p&4、垂直悬挂国旗，或将国旗垂直化（包括拉长）被称为“罗马式悬挂”，盖因古罗马人颇好此道；&/p&&p&5、北洋政府时期的中国国徽是鲁迅参与设计的，鲁迅本就是设计大师，也是一个在北平蹉跎过许多年的高阶中央官僚；&/p&&p&6、“中华民国”“国徽”和国民党党徽基本图案一致，但是“国徽”的白日要比党徽小；&/p&&p&7、汪精卫的“国民政府”所有旗子上都和常凯申的一样，不同的是都有一条黄带子，大书“和平反G救国”，被毛主席鄙视为“汪记国民党”、“汪记国府”一黑黑倆；&/p&&p&8、与众不同的意大利人有一个非常社会主义色彩的国徽；&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-de99c6f6a6f219896dab76c67a6e979e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&908& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&908& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-de99c6f6a6f219896dab76c67a6e979e_r.jpg&&&/figure&&p&9、老挝国徽原有镰刀锤子和五角星，苏东剧变前后老挝也想脱离社会主义，遂将国徽上的镰刀锤子和五角星修改为佛塔，但是因为两个大哥中国和越南都稳住了，老挝也就没有继续“和平演变”，已经修改的国徽没有恢复原状，已经出卖的尊严是无法撤回的。。。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f499a26c6ad50f7b7988_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1011& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1011& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f499a26c6ad50f7b7988_r.jpg&&&/figure&&p&原国徽&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2aaf7d308b6ea11acaba2ddafb358291_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1165& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1165& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2aaf7d308b6ea11acaba2ddafb358291_r.jpg&&&/figure&&p&现国徽&/p&&p&10、因为忙着抢夺瓜分庞大的国有资产，俄罗斯的精英们直到苏联解体700天后才想起来把带镰刀锤子的沿用下来的原俄罗斯苏维埃社会主义共和国国徽更换为原先的腐朽的双头鹰；&/p&&p&11、对了，苏联除了全联盟有国徽国旗，每个加盟共和国也都有自己的国徽国旗，其中白俄和乌克兰在联合国大会还有自己的独立席位；&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a6d7bfb427_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&900& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a6d7bfb427_r.jpg&&&/figure&&p&12、现今大火的吃鸡游戏地图场景设定就是苏联，你可以在游戏中看到立体版苏联国徽；&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fae1d7aa42bf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&305& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fae1d7aa42bf_r.jpg&&&/figure&&p&13、纯正的苏联风格式国徽现在还有三个国家保留，朝鲜、白俄罗斯、莫桑比克；另有一个非国家政治实体‘德涅斯特河沿岸共和国’连镰刀锤子都保留了下来；&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cde17e4cbb7ad_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&875& data-rawheight=&1023& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&875& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cde17e4cbb7ad_r.jpg&&&/figure&&p&朝鲜&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-07d9d5a62fbe001bdf5ea29e289d0491_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1030& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1030& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-07d9d5a62fbe001bdf5ea29e289d0491_r.jpg&&&/figure&&p&苏联解体后白俄一度恢复传统的一个白色骑士老爷图案的盾徽作为国徽，卢卡申科94年上台后拨乱反正，将原苏维埃白俄罗斯的国徽略加修改变为新国徽；&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6fd9a022ef3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&948& data-rawheight=&1023& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&948& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-6fd9a022ef3_r.jpg&&&/figure&&p&莫桑比克国徽，上面另有一把AK47。。。此外东帝汶的国徽上也有AK47。。。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bba89f21b15ab15aabc0396_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&603& data-rawheight=&599& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&603& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bba89f21b15ab15aabc0396_r.jpg&&&/figure&&p&东帝汶国徽，东帝汶独立过程中曾经像华侨一样被印尼极端分子屠杀过；&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f5c7dca56a798e8d89c0c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&950& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&950& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f5c7dca56a798e8d89c0c_r.jpg&&&/figure&&p&德涅斯特河沿岸摩尔达维亚共和国（简称“德左”，非公认国际法实体）&/p&&p&14、安哥拉国旗是苏联国旗的变种，用半个齿轮与甘蔗刀模拟镰刀锤子；安哥拉放弃马克思主义后，出于对独立斗争的缅怀，保留了这个国旗；&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0d7db46b0ef68fee0f06_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&449& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&449& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0d7db46b0ef68fee0f06_r.jpg&&&/figure&&p&15、原缅甸国旗与台湾地区还在使用的青天0白日0满地0红旗很相似，由于在很多国际场合上台湾那面旗不允许使用，当时很多台湾人会选择使用缅甸国旗；&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-25b7a69c75ab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-25b7a69c75ab_r.jpg&&&/figure&&p&16、中亚五斯坦中，吉尔吉斯国旗与哈萨克斯坦国徽图案撞衫，都使用了当地游牧帐篷的顶部结构图案作为造型中心；&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c7209fda8a55c3a1ab25bc0c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&400& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5ac7ec5558d3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&268& data-rawheight=&161& class=&content_image& width=&268&&&/figure&&p&17、由于是在没有什么传统文化资源可供发掘使用，中亚另外两国乌兹别克和塔吉克两个国家在苏联解体后搜肠刮肚，也只能在苏联时代的国徽的创意上添加突厥元素制成自己的新国徽；&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-13a0f305ae089ae7f8384_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&678& data-rawheight=&714& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&678& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-13a0f305ae089ae7f8384_r.jpg&&&/figure&&p&乌兹别克国徽&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ff9a6a5ac5e19f69ed93a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&665& data-rawheight=&664& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&665& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ff9a6a5ac5e19f69ed93a_r.jpg&&&/figure&&p&塔吉克国徽&/p&&p&18、奥地利国徽是一只鹰，两个爪子分别抓着镰刀锤子，但是这和共产主义没有任何关系，是1918年的资产阶级政府自己加上去的。。。鹰脚上断裂的脚镣才是苏联给他们加上去，象征奥地利从“纳粹的暴政下”解放。。。&/p&&p&联合国：“中央已经决定了，你们和希特勒没有关系，你们是希特勒的受害者”；&/p&&p&奥地利：“一个小国家的命运呀,当然要靠自我奋斗，但是也要考虑到历史的行程。”&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-35cfc61b0c7f82f050edd5e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&760& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-35cfc61b0c7f82f050edd5e_r.jpg&&&/figure&&p&19、另外不少国旗之间存在亲缘关系，造型也很相似，造成很多现实中张冠李戴的现象，关于此种现象，可以百度“土耳其、烧旗”略窥一斑。。。&/p&
1、 社会主义诸国的红旗（包含红领巾等衍生物）源自于巴黎公社；当时巴黎公社面对德军的包围和梯也尔的进攻，首次大规模的使用了在往常表示紧急状态与不畏牺牲含义的红旗；红旗遂成为社会主义的象征；2、苏联的镰锤星国旗只有一面（正面）有图案，背面是没…
&p&日更新：&/p&&p&为了更好的秉持记个小本本的宗旨，现正在企划民科维基网站，测试网站已经上线&/p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.minkewiki.org& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&民科维基 收集，记录，整理民间科学家及其理论 - www.minkewiki.org&/a&&p&。 欢迎加入民科维基企划qq群：。&/p&&p&&br&&/p&&hr&&p&北有燕山李子丰，今有西邮聂教授。&/p&&p&我拿一个小本本都记下了。&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&陈 诚（相对论错误，光速不变错误）&br&丁明山（链条排压式永磁动力机，永动机，浮力永动机）&br&方徽宁（动力车，永动机）&br&蒋春暄（费马大定律证明，ISO数论, 哥德巴赫猜想，黎曼假设证明)&br&雒茂泉（第十定律，相对论错误）&br&何 旭（经络生物场理论）&br&黄小宁（证明实数轴有最大、最小点）&br&黄新卫（杠杆问题，相对论错误）&br&黄伯成（空中索道，永动机）&br&贾 洞（电磁力除以地球周长平方等于万有引力）&br&季 灏（上海东方电磁波研究所创始人，狭义相对论错误，季灏实验）&br&刘 坤（昆明市富民县永定镇，费马大定律证明）&br&刘武青（磁差电池，运动使质量减小，场电源）&br&黎 鸣（以哲学证明四色定理，创立“人学”）&br&雷绍武 （宇宙的起源及地球自转的原因；“光”并不存在，光子寿命短暂，会变成电子；光子有“运动力”）&br&李秉泉（为牛顿理学翻案，相对论错误）&br&李三清（相对论错误，洛仑兹变换错误，绝对时空观点）&br&李勇森（物稀空密自然观，相对论错误）&br&李陆四（地震由地幔中的热核聚变引起，热核说，氢前时代/氢后时代，相对论错误）&br&李云峰（相对论错误，光速不变原理错误）&br&李子丰（相对论错误，洛仑兹变换无价值，回到牛顿时空观）&br&李雨融（能量守恒定律错误）&br&李X和（科学大一统理论，和氏预测地震方法）&br&楼泳民（中国南方红土沙丘是远古残留沙漠）&br&刘功勤（重力推进自行车，重力能，永动机）&br&孟庆勇（相对论错误，质疑尺缩钟慢效应）&br&骆建祖（光速并非极限）&br&彭大泽（万有斥力理论）&br&彭健桉（负离子舱和负离子电吹风，长生不老）&br&吴水清（相对论错误）&br&王存臻（全息书画，震惊宇宙的大统一理论）&br&王红旗（宇宙心脏磁力线模型，宇宙起源，智因设计进化论）&br&王 衡（静态坐标系，场作用线位移理论）&br&王杰民（人类进化的方向──正在走向毁灭）&br&夏曰鼎（万有斥力理论，辩证理学三定律，马克思主义斥力观）&br&徐宝军（《极子论》，万有压力）&br&徐金明（冰变昆虫,气体制造生命）&br&徐永卓（推翻进化论，著有《世界的历程》）&br&闫赤元（相对论错误，牛顿三定律错误）&br&严新华（反重力机，反重力飞行器）&br&杨光京（相对论错误）&br&张祥前（统一场论）&br&张利目（阴物质和阳物质，银河系星座全图，佛道线）&br&张凤年（《广义进化论》作者，“宇宙非对称统一的负熵本性”）&br&赵兴龙（推翻热力学第二定律）&br&赵阿勃（证明黎曼假设）&br&周东辉（能量守恒定律错误，低落差水轮永动机）&br&&br&郁 东（左右脑分工理论是谬误，可以随意调节使用哪一边）&br&&br&侯青松（原子模型理论错误，原子核之间是依靠共有电子作用力而结合在一起的）&br&&br&吴绍东（同向磁场相斥、逆向磁场相吸理论，替代“不同磁极相吸引”理论）&br&&br&宋立强（磁力线是由光速旋转的磁场粒子组成的）&br&&br&程碧波（量子力学错误、相对论错误，本质是炁风而已）&/blockquote&&p&数据来自果壳网&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s/vTN_pLZ8-owDkrhOykSBlw& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&像凡伟这样“将改写教科书”的人，中国民间至少有1000个&/a&&/p&
日更新：为了更好的秉持记个小本本的宗旨，现正在企划民科维基网站，测试网站已经上线。 欢迎加入民科维基企划qq群：。 北有燕山李子丰，今有西邮聂教授。我拿一个小本…
&p&这个问题就是来自知乎，已经是两年前了。。╮(╯_╰)╭&/p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/?from=profile_answer_card& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/80/a76c2dffa3fafe0a69f72f5e6b7af06c_180x120.jpg& data-image-width=&323& data-image-height=&238& class=&internal&&有哪些违背直觉的数学问题？&/a&&p&按照最简单的模型计算就是这个结果，没啥问题，属于高中竞赛经典问题了。。╮(╯_╰)╭&/p&&p&&br&&/p&&p&稍微复杂一点的情形，把米落到盘子上可能跳出来考虑进来，计算结果依然不变：&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/equation.jpg& data-image-width=&0& data-image-height=&0& class=&internal&&白如冰：张大伯买米后续的故事&/a&&p&针对暂态过程也有很仔细的分析：&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic2.zhimg.com/db280bf7fe_180x120.jpg& data-image-width=&635& data-image-height=&238& class=&internal&&王赟 Maigo：10241 张大伯买米的暂态分析&/a&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&不知道题主想问的问题，觉得是计算中哪里有问题呢？&/p&&p&╮(╯_╰)╭&/p&
这个问题就是来自知乎，已经是两年前了。。╮(╯_╰)╭按照最简单的模型计算就是这个结果，没啥问题，属于高中竞赛经典问题了。。╮(╯_╰)╭ 稍微复杂一点的情形，把米落到盘子上可能跳出来考虑进来，计算结果依然不变：
首先，题主所说的理解是什么意思。&br&&br&如果说仅仅是看到一个名词，然后望文生义的去猜的话，实际上是完全谈不上理解的。&br&&br&就比如曾经有某个外院的妹子问我学什么的，我说数学，然后她又问我具体干什么的。我blabla了半天流形，曲率形式，anosov流，谱，就看到人家眼神越来越迷茫。于是我叹了口气，说，就是解方程的。妹子如释重负，然后问了一句：那你一天能解几个方程？&br&&br&那么如果说要真正的理解呢？很抱歉地说，对于普通人，这不现实。&br&&br&题主所谓的现代数学的各个分支，要真正接触到最起码都要研究生以上了，即便国内好一些的大学也要在大三大四才会开设一些相关的基础课程。&br&&br&也就是说，即使是数学专业的学生，想要接触到现代数学的各个分支，也需要好几年的全日制的基础知识的学习和基本思维方式的训练才行。这个过程相当于是一个认字和学会怎样正确的思考的过程。否则，就像你扔给一个一年级小孩一本红楼梦，让他谈谈对里面每个人物的理解一样。&br&&br&对于大众来说，没有这样的时间和环境，而且说真的，大多数人的思维习惯也不适合学习数学。&br&&br&但是这仅仅是对现代数学来讲，实际上每个人对数学这东西都会有自己的理解，哪怕理解仅仅是这东西巨难，我学不会也算。&br&&br&关于这个正如 &a data-hash=&5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& href=&//www.zhihu.com/people/5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@Yuhang Liu& data-hovercard=&p$b$5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf&&@Yuhang Liu&/a& 所说：其实不能说“理解难度高低”，只能说不同分支的学习方式、思维方式是不一样的，给人的感觉也是不一样的。&br&&br&我有一个更形象的说法：整个的数学世界就仿佛一颗地球，你所掌握的知识决定了你所站的位置坐标，然后你所学习的深度决定了你站的的高度，你目力所及的范围，就是你所能够理解的数学。&br&&br&比如像我来说，非线性方程，辛几何和某些动力系统相关的东西是我所了解的知识。所以我能大概的理解与这些相关东西数学是在做什么的，虽然由于理解的深度有限，只能算是知道一些皮毛。但是由于我对代数的感觉实在是太差了，所以代数几何对我就完全是天书一样的东西。&br&&br&至于说普通人，差不多最多就学过大学里的线性代数，微积分，概率论那些的吧，而且很大程度上还局限于做题考试。以这样的出发点和理解深度，理解现代数学的各个分支。我们还是谈谈明天吃什么吧？
首先，题主所说的理解是什么意思。 如果说仅仅是看到一个名词，然后望文生义的去猜的话，实际上是完全谈不上理解的。 就比如曾经有某个外院的妹子问我学什么的，我说数学，然后她又问我具体干什么的。我blabla了半天流形，曲率形式，anosov流，谱，就看到人…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&p&欧拉他比题主你高到不知道哪里去了, 他想了半天, 直接钦点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_2%5Ex+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clog+%28t%29%7D+%5C%2C+%5Cmathrm%7Bd%7Dt%3D%5Ctext%7BLi%7D%28x%29& alt=&\int_2^x \frac{1}{\log (t)} \, \mathrm{d}t=\text{Li}(x)& eeimg=&1&&&/p&&p&你问我支持不支持, 我当然是支持的, 因为这个没法按照积分的基本方法积出来...&/p&&hr&&p&杀鸡焉用牛刀, 这也用不到完全体的刘伟尔定理, 用一个特化情形就行了.&/p&&p&好好体会这种思想&/p&&p&考虑积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+f%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&\int f(x)e^{g(x)}\mathrm{d}x& eeimg=&1&& , 其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29+& alt=&g(x) & eeimg=&1&& 为多项式.&/p&&p&那它的积分是不是应该是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D& alt=&R(x)e^{g(x)}& eeimg=&1&& 的形式?&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+f%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx+%3D+R%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D& alt=&\int f(x)e^{g(x)}\mathrm{d}x = R(x)e^{g(x)}& eeimg=&1&&&/p&&p&很容易验证的呀, 两边求导:&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28R%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D%29%27%3D+e%5E%7Bg%28x%29%7D+%5Cleft%28R%28x%29+g%27%28x%29%2BR%27%28x%29%5Cright%29+%3D+f%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D& alt=&(R(x)e^{g(x)})'= e^{g(x)} \left(R(x) g'(x)+R'(x)\right) = f(x)e^{g(x)}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bg%28x%29%7D& alt=&e^{g(x)}& eeimg=&1&& 怎么着也非零吧, 消掉&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%28x%29+g%27%28x%29%2BR%27%28x%29%3D+f%28x%29& alt=&R(x) g'(x)+R'(x)= f(x)& eeimg=&1&&&/p&&p&如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+f%28x%29+& alt=& f(x) & eeimg=&1&& 是个有理函数, 那么我们也期望 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+R%28x%29+& alt=& R(x) & eeimg=&1&& 也是个有理函数&/p&&p&设 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%28x%29%3A%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D& alt=&R(x):=\frac{P(x)}{Q(x)}& eeimg=&1&& , 其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28x%29%2CQ%28x%29& alt=&P(x),Q(x)& eeimg=&1&& 为互质多项式函数, 代入得&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cright%29%27%2B%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7Dg%27%28x%29& alt=&f(x)=\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)'+\frac{P(x)}{Q(x)}g'(x)& eeimg=&1&&&/p&&p&整理下也就是&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29%5BQ%28x%29f%28x%29-P%27%28x%29-P%28x%29g%27%28x%29%5D%3D-P%28x%29Q%27%28x%29& alt=&Q(x)[Q(x)f(x)-P'(x)-P(x)g'(x)]=-P(x)Q'(x)& eeimg=&1&&&/p&&hr&&blockquote&综上所述: &br&若 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 是有理函数, &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+g%28x%29& alt=& g(x)& eeimg=&1&& 是多项式函数, 那么 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+f%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx+& alt=&\int f(x)e^{g(x)}\mathrm{d}x & eeimg=&1&& 初等的充要条件就是:&br&存在互质多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+P%28x%29%2CQ%28x%29+& alt=& P(x),Q(x) & eeimg=&1&& 使得 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+Q%28x%29%5BQ%28x%29f%28x%29-P%27%28x%29-P%28x%29g%27%28x%29%5D%3D-P%28x%29Q%27%28x%29+& alt=& Q(x)[Q(x)f(x)-P'(x)-P(x)g'(x)]=-P(x)Q'(x) & eeimg=&1&& 成立.&/blockquote&&p&于是我们就证明了刘伟尔定理的指数多项式情形, 其实也可以从刘伟尔定理特化得到, 就这样已经很强大了...&/p&&p&我们来考虑积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cint%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=& \int\frac{e^x}{x}\mathrm{d}x& eeimg=&1&& ...&/p&&p&什么, 你问为什么不直接做题要考虑这个?&/p&&p&笨啊,变量替换啊&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+e%5E%7Be%5Ex%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5CLeftrightarrow%5Cint%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5CLeftrightarrow%5Cint%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%7B%5Cln+x%7D& alt=&\int e^{e^x}\mathrm{d}x\Leftrightarrow\int\frac{e^x}{x}\mathrm{d}x\Leftrightarrow\int\frac{\mathrm{d}x}{\ln x}& eeimg=&1&&&/p&&p&选取 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+f%28x%29%3D%5Cfrac1x%2Cg%28x%29%3Dx& alt=& f(x)=\frac1x,g(x)=x& eeimg=&1&& , 代入化简得&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29%5BQ%28x%29-x+P%27%28x%29-xP%28x%29%5D%3D-xP%28x%29Q%27%28x%29& alt=&Q(x)[Q(x)-x P'(x)-xP(x)]=-xP(x)Q'(x)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csmall%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%E6%B3%A8%E6%84%8F%E6%8E%A5%E4%B8%8B%E6%9D%A5%E7%9A%84%E8%BF%99%E4%B8%80%E6%B3%A2%E6%93%8D%E4%BD%9C%21%7D%7D& alt=&\small{\color{red}{注意接下来的这一波操作!}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-a%29%5Ek%3D0& alt=&(x-a)^k=0& eeimg=&1&& 中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+a& alt=& a& eeimg=&1&& 叫重根或者重点, &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 叫重数或者重根数这个懂吧&/p&&p&&br&&/p&&p&因为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29& alt=&Q(x)& eeimg=&1&& 为多项式, 所以在复数域中必有零点, 设零点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Da& alt=&x=a& eeimg=&1&& , 其重数为
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%3E0& alt=&r&0& eeimg=&1&&&/p&&p&由于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28x%29%2C+Q%28x%29& alt=&P(x), Q(x)& eeimg=&1&& 为互质多项式, 所以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28a%29%5Cneq+0%2C+Q%27%28x%29& alt=&P(a)\neq 0, Q'(x)& eeimg=&1&& 的重数为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r-1& alt=&r-1& eeimg=&1&&&/p&&p&若 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Da%5Cneq0& alt=&x=a\neq0& eeimg=&1&&&/p&&p&则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Da& alt=&x=a& eeimg=&1&& 既是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29%5BQ%28x%29-x+P%27%28x%29-xP%28x%29%5D& alt=&Q(x)[Q(x)-x P'(x)-xP(x)]& eeimg=&1&& 的重根,重数显然 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3E%3Dr& alt=&&=r& eeimg=&1&&&/p&&p&且右边 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-xP%28x%29Q%27%28x%29& alt=&-xP(x)Q'(x)& eeimg=&1&& 的重根重数为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r-1& alt=&r-1& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&矛盾!&/b&&/p&&p&若 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Da%3D0& alt=&x=a=0& eeimg=&1&& ,令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29%3Dx%5Er+h%28x%29& alt=&Q(x)=x^r h(x)& eeimg=&1&& 好了,代入原式有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=h%28x%29x%5E%7Br%2B1%7D%5Cleft%5Bh%28x%29x%5E%7Br-1%7D-P%27%28x%29-P%28x%29%5Cright%5D%3D-x%5ErP%28x%29%5Brh%28x%29%2Bxh%27%28x%29%5D& alt=&h(x)x^{r+1}\left[h(x)x^{r-1}-P'(x)-P(x)\right]=-x^rP(x)[rh(x)+xh'(x)]& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&& 仍然同时是左右两边的重根, 左边重数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3E%3Dr%2B1& alt=&&=r+1& eeimg=&1&& ,右边为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&& ..GG&/p&&p&&b&还是矛盾!&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&好吧那么假设 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29& alt=&Q(x)& eeimg=&1&& 不是多项式而是常数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&&/p&&p&于是有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+k%5Bk-x+P%27%28x%29-xP%28x%29%5D%3D0& alt=& k[k-x P'(x)-xP(x)]=0& eeimg=&1&&, 由上可知同样不行&/p&&p&&b&重数还是矛盾!&/b&&/p&&hr&&p&于是综上所述 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cint%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx+& alt=& \int\frac{e^x}{x}\mathrm{d}x & eeimg=&1&& 非初等, 不能按照积分的基本法来....&/p&&p&那么就只能钦定 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clog+%28x%29%7D+%5C%2C+dx%3D%5Ctext%7Bli%7D%28x%29& alt=&\int \frac{1}{\log (x)} \, dx=\text{li}(x)& eeimg=&1&& 了啊...&/p&&p&題主儂識得唔識得噶?&/p&
欧拉他比题主你高到不知道哪里去了, 他想了半天, 直接钦点 \int_2^x \frac{1}{\log (t)} \, \mathrm{d}t=\text{Li}(x)你问我支持不支持, 我当然是支持的, 因为这个没法按照积分的基本方法积出来...杀鸡焉用牛刀, 这也用不到完全体的刘伟尔定理, 用一个特化…
&p&我说一个吧，三个质量分别为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_1%2Cm_2%2Cm_3& alt=&m_1,m_2,m_3& eeimg=&1&& 的质点（质量不一定相等）排成一个边长为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 的等边三角形，这三者在彼此的万有引力作用下围绕等边三角形内部一点做匀速圆周运动，试求圆周运动角速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 。&/p&&p&比较暴力的方法是设出中心点的位置矢量硬算，不过也有一种比较巧的方法。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-98af8e34ebfa612c62c07ed25a8a770e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1440& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1440& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-98af8e34ebfa612c62c07ed25a8a770e_r.jpg&&&/figure&&p&根据角速度的性质，以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_3& alt=&m_3& eeimg=&1&& 为参考系， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_2& alt=&m_2& eeimg=&1&& 也在做角速度为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 的匀速圆周运动。&/p&&p&注意这是一个做匀速圆周运动的&b&平动非惯性参考系。&/b&&/p&&p&计算这个非惯性参考系中的惯性力需要知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_3& alt=&m_3& eeimg=&1&& 的加速度，但是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_3& alt=&m_3& eeimg=&1&& 的加速度正好是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_1%2Cm_2& alt=&m_1,m_2& eeimg=&1&& 给它的引力造成的，所以可知在这个非惯性系中， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_2& alt=&m_2& eeimg=&1&& 受到方向指向 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的力大小为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DG%5Cfrac%7Bm_1m_2%7D%7BL%5E2%7D%2BG%5Cfrac%7Bm_2m_3%7D%7BL%5E2%7D%2BG%5Cfrac%7Bm_2%7D%7BL%5E2%7Dm_2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DG%5Cfrac%7Bm_1%7D%7BL%5E2%7Dm_2%3Dm_2%5Comega%5E2L& alt=&\frac{1}{2}G\frac{m_1m_2}{L^2}+G\frac{m_2m_3}{L^2}+G\frac{m_2}{L^2}m_2+\frac{1}{2}G\frac{m_1}{L^2}m_2=m_2\omega^2L& eeimg=&1&&&/p&&p&得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BG%28m_1%2Bm_2%2Bm_3%29%7D%7BL%5E3%7D%7D& alt=&\omega=\sqrt{\frac{G(m_1+m_2+m_3)}{L^3}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&/p&&p&&/p&
我说一个吧，三个质量分别为 m_1,m_2,m_3 的质点（质量不一定相等）排成一个边长为 L 的等边三角形，这三者在彼此的万有引力作用下围绕等边三角形内部一点做匀速圆周运动，试求圆周运动角速度 \omega 。比较暴力的方法是设出中心点的位置矢量硬算，不过也有…
下面这个实验是一个有趣的验证:&br&&br&在海边拍摄一张日出的照片，得到的结果会是这个样子:&br&&figure&&img data-rawheight=&320& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1a08cf20f3ad5a18cac961d_b.jpg& data-rawwidth=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1a08cf20f3ad5a18cac961d_r.jpg&&&/figure&&br&即海平面上露出的太阳比其在水中的倒影要厚一些。&br&地球是圆的即是造成这个现象的原因，光路图如下:&br&&figure&&img data-rawheight=&811& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-772feff623e6a875f7d2d239bf0d0c59_b.jpg& data-rawwidth=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-772feff623e6a875f7d2d239bf0d0c59_r.jpg&&&/figure&&br&其中弧线是地球表面，眼晴代表相机镜头或真的眼睛，两条实线是太阳顶端射出的光线，虚线是人眼判断的海平面方向。可以看到太阳倒影的张角要比太阳本身的张角小一些。&br&&br&这确实是一个可以观测的效应，并且可以用来计算地球的半径（需要知道相机或人眼离地面的距离）！这实际上是2012年物理竞赛国家队选拔考试的试题之一，最后算出来的结果好像是6.6*10^6 m，还挺准的（准确的平均值是6371千米）。&br&&br&文章在这儿:&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//orfe.princeton.edu/%7Ervdb/tex/sunset/sunset.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&orfe.princeton.edu/~rvd&/span&&span class=&invisible&&b/tex/sunset/sunset.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&&br&补充: &br&澄清一下评论区中的问题: &br&&i&即使地面是平的，太阳的倒影仍然比太阳本身小？&/i&&br&&u&如果假设太阳光是平行的，或者等价地假设太阳在无限远处，那么这个说法是不对的。&/u&可以尝试画答案中那样的光路图，也可以这样理解: 与无限远处无限大的太阳相比，人的（有限大）的高度可以忽略不计。
下面这个实验是一个有趣的验证: 在海边拍摄一张日出的照片，得到的结果会是这个样子: 即海平面上露出的太阳比其在水中的倒影要厚一些。 地球是圆的即是造成这个现象的原因，光路图如下: 其中弧线是地球表面，眼晴代表相机镜头或真的眼睛，两条实线是太阳顶…
多谢各位，破百赞。-------------------------今天再给大家来个惊天冷知识&br&&br&&b&粉笔&/b&的材料是&b&白垩&/b&&br&&br&对，就是&b&&u&白垩纪&/u&&/b&那个&b&&u&白垩&/u&&/b&&br&&br&&br&&br&&br&好了，白垩是啥？&br&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&225& data-rawheight=&200& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8d724e9f3c109c4f28079fab35b65510_b.jpg& class=&content_image& width=&225&&&/figure&&br&萌萌哒是吧&br&&br&&br&&br&&figure&&img data-rawheight=&844& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3b3c4850c6acfbd_b.jpg& data-rawwidth=&1257& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1257& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3b3c4850c6acfbd_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&是这样的&br&&br&白垩是一种微细的碳酸钙的沉积物，是方解石的变种。&br&&br&&br&白垩一般主要是指分布在西欧的白垩纪的地层，而白垩纪一名即由此而来。&br&&br&&br&&br&&br&作为矿物的白垩一般用来制造粉笔等产品。&br&&br&&br&白垩的英文叫chalk（同粉笔）&br&&br&&br&&br&&br&----------------原答案------------------------每个人玩手机的时候都是一只眼！&br&&br&&figure&&img data-rawhe}
这四个方程组其实就包含了电磁场的所有规则了。&/p&&p&
在这里我们先不去具体理解这四个方程组的含义。这篇的主要目的不是详细讲述麦克斯方程组的内容，而是想阐述它与相对论的关系。&/p&&p&&br&&/p&&p&先回忆一下高中的电磁知识。&/p&&figure&&img src=&https://pic7.zhimg.com/v2-b8c856d424c24c2d01bbcd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2373& data-rawheight=&1137& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2373& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b8c856d424c24c2d01bbcd_r.jpg&&&/figure&&p&一个电荷在它的周围有一个电场E。而电荷周围的电场强度E与距离平方成反比。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f66bf7bab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2719& data-rawheight=&1215& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2719& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f66bf7bab_r.jpg&&&/figure&&p&运动的电荷会产生一个磁场B，遵循右手定律。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a8dc0fce430eabf73ef88_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2571& data-rawheight=&1271& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2571& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a8dc0fce430eabf73ef88_r.jpg&&&/figure&&p&所以，一个电荷在电磁场内受到的力分为电场和磁场两部分。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a3d6c40d66fb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2620& data-rawheight=&1525& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2620& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a3d6c40d66fb_r.jpg&&&/figure&&p&磁场，有一个特别的性质，就是在其中的电荷只有当在运动的时候才会受力，而静止的电荷就不会受力。&/p&&p&我们来看一个典型的电磁现象。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-004d772ac50ecf3b9c28d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2409& data-rawheight=&1236& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2409& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-004d772ac50ecf3b9c28d_r.jpg&&&/figure&&p&在如图的电线中，在相同的线段内，正负电荷数相等，而负电荷静止，正电荷有速度v，所以周围的电场强度为零，但是周围有一个磁场B，所以当一个正电荷在电线周围以速度v 运动，根据计算我们知道它会受到一个磁场造成的力，这个力朝向电线方向。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-13be59cadaa3f4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2571& data-rawheight=&1342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2571& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-13be59cadaa3f4_r.jpg&&&/figure&&p&但是，如果我们换一个参考系，如图，那么在这个参考系里，正电荷是静止的，负电荷以速度v朝相反方向运动，因为正电荷是静止的，所以就算有磁场存在，那么它也不会受到磁场力的作用，那么此时它所受到的那股朝向电线的力又是从哪里来的呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&这时候，我们就要考虑相对论效应了。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e4ee73fc871b02f4c344222_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1971& data-rawheight=&1158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1971& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e4ee73fc871b02f4c344222_r.jpg&&&/figure&&p&有两根带电的电棒，静止的时候，单位长度下它们带的电荷量是相等的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dbff4786e7b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1893& data-rawheight=&1095& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1893& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-dbff4786e7b_r.jpg&&&/figure&&p&但是，当其中一根有速度v的时候，根据相对论的尺缩现象，我们可以计算得到，运动的电棒长度变短了，但是电荷是标量不会随参考系变换，所以它的带电量不会变化，所以在静止参考系里的人看来，运动的电棒长度变短，但是单位长度带电量增多。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-50047ede78ed73ceadbc63_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2458& data-rawheight=&1511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2458& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-50047ede78ed73ceadbc63_r.jpg&&&/figure&&p&同理，本来不带电的一根电线，当其中的负电荷有了速度v之后，它的中段就相当于带了负电荷。&/p&&p&所以，前面那个实验里面，那个静止的正电荷就受到了一个电线上所带负电荷的吸引力。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-195d3caa50d225dbcaa6f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2310& data-rawheight=&1356& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2310& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-195d3caa50d225dbcaa6f_r.jpg&&&/figure&&p&于是，在前一个参考系，负电荷受到的是磁场力，可是在另一个参考系里面，就变成了受到了电场力。&/p&&p&就是说同一个力，我们既可以用麦克斯韦电磁学来解释，同样的也可以用相对论效应来解释。&/p&&p&（具体定量的计算可以参考费恩曼物理学讲义13章）&/p&&p&这里，我们其实就可以明白，磁场其实可以看做电场因为相对论效应而产生的修正项。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先我们用相对论的观点来看待。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bad4ef19a406e918f1848_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2373& data-rawheight=&1532& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2373& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bad4ef19a406e918f1848_r.jpg&&&/figure&&p&在相对论里，场会随参考系变化而变化，同一个电场在不同的参考系里是不同的。（这里就不定量的证明了）&/p&&p&这就导致了一个现象。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6ee13304cea4155a81fdd619e9aaf3c8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2620& data-rawheight=&1511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2620& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6ee13304cea4155a81fdd619e9aaf3c8_r.jpg&&&/figure&&p&在电场内同一位置有不同速度的电荷，在电场里受到的力是不相同的。&/p&&p&&br&&/p&&p&而我们再用电磁学的角度来看待。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2ebcb768f8eccd7204cbb91_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1921& data-rawheight=&1137& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1921& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2ebcb768f8eccd7204cbb91_r.jpg&&&/figure&&p&在麦克斯韦方程组里（那个年代还没有相对论），所以电场是不会随着参考系变化而变化的。但此时我们要多考虑一个东西就是磁场。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5f42fd9d14ed9d527bf8f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2705& data-rawheight=&1836& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2705& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f42fd9d14ed9d527bf8f_r.jpg&&&/figure&&p&于是同样，在这个电磁场内，同样会因为电荷运动速度不同，而受到的力不同。&/p&&p&&br&&/p&&p&这就是为什么麦克斯韦方程组可以和相对论相融洽。虽然那个年代没有相对论，但电场的相对性效应在这里被用磁场巧妙的表示出来了。&/p&
麦克斯韦方程组是一个非常神奇的存在，在狭义相对论被接受之后，以前牛顿时期的大多数理论都需要修改，可是物理学家却发现麦克斯韦方程组和狭义相对论却是完美契合的，并不需要做出任何修改。麦克斯韦方程组可以写作四个方程。 这四个方程就把所有的电磁学…
&p&1、 社会主义诸国的红旗（包含红领巾等衍生物）源自于巴黎公社；当时巴黎公社面对德军的包围和梯也尔的进攻，首次大规模的使用了在往常表示紧急状态与不畏牺牲含义的红旗；红旗遂成为社会主义的象征；&/p&&p&2、苏联的镰锤星国旗只有一面（正面）有图案，背面是没有图案的，纯红旗；&/p&&p&3、印尼国旗来自于其宗主国荷兰，一名青年爬上旗杆撕毁殖民者的荷兰国旗，使得旗帜从三色旗变成红白旗，然后被杀害；后来为了纪念这一义举，红白旗成为印尼国旗；&/p&&p&4、垂直悬挂国旗，或将国旗垂直化（包括拉长）被称为“罗马式悬挂”，盖因古罗马人颇好此道；&/p&&p&5、北洋政府时期的中国国徽是鲁迅参与设计的，鲁迅本就是设计大师，也是一个在北平蹉跎过许多年的高阶中央官僚；&/p&&p&6、“中华民国”“国徽”和国民党党徽基本图案一致，但是“国徽”的白日要比党徽小；&/p&&p&7、汪精卫的“国民政府”所有旗子上都和常凯申的一样，不同的是都有一条黄带子，大书“和平反G救国”，被毛主席鄙视为“汪记国民党”、“汪记国府”一黑黑倆；&/p&&p&8、与众不同的意大利人有一个非常社会主义色彩的国徽；&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-de99c6f6a6f219896dab76c67a6e979e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&908& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&908& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-de99c6f6a6f219896dab76c67a6e979e_r.jpg&&&/figure&&p&9、老挝国徽原有镰刀锤子和五角星，苏东剧变前后老挝也想脱离社会主义，遂将国徽上的镰刀锤子和五角星修改为佛塔，但是因为两个大哥中国和越南都稳住了，老挝也就没有继续“和平演变”，已经修改的国徽没有恢复原状，已经出卖的尊严是无法撤回的。。。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f499a26c6ad50f7b7988_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1011& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1011& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f499a26c6ad50f7b7988_r.jpg&&&/figure&&p&原国徽&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2aaf7d308b6ea11acaba2ddafb358291_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1165& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1165& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2aaf7d308b6ea11acaba2ddafb358291_r.jpg&&&/figure&&p&现国徽&/p&&p&10、因为忙着抢夺瓜分庞大的国有资产，俄罗斯的精英们直到苏联解体700天后才想起来把带镰刀锤子的沿用下来的原俄罗斯苏维埃社会主义共和国国徽更换为原先的腐朽的双头鹰；&/p&&p&11、对了，苏联除了全联盟有国徽国旗，每个加盟共和国也都有自己的国徽国旗，其中白俄和乌克兰在联合国大会还有自己的独立席位；&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a6d7bfb427_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&900& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a6d7bfb427_r.jpg&&&/figure&&p&12、现今大火的吃鸡游戏地图场景设定就是苏联，你可以在游戏中看到立体版苏联国徽；&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fae1d7aa42bf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&305& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fae1d7aa42bf_r.jpg&&&/figure&&p&13、纯正的苏联风格式国徽现在还有三个国家保留，朝鲜、白俄罗斯、莫桑比克；另有一个非国家政治实体‘德涅斯特河沿岸共和国’连镰刀锤子都保留了下来；&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cde17e4cbb7ad_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&875& data-rawheight=&1023& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&875& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cde17e4cbb7ad_r.jpg&&&/figure&&p&朝鲜&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-07d9d5a62fbe001bdf5ea29e289d0491_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1030& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1030& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-07d9d5a62fbe001bdf5ea29e289d0491_r.jpg&&&/figure&&p&苏联解体后白俄一度恢复传统的一个白色骑士老爷图案的盾徽作为国徽，卢卡申科94年上台后拨乱反正，将原苏维埃白俄罗斯的国徽略加修改变为新国徽；&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6fd9a022ef3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&948& data-rawheight=&1023& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&948& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-6fd9a022ef3_r.jpg&&&/figure&&p&莫桑比克国徽，上面另有一把AK47。。。此外东帝汶的国徽上也有AK47。。。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bba89f21b15ab15aabc0396_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&603& data-rawheight=&599& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&603& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bba89f21b15ab15aabc0396_r.jpg&&&/figure&&p&东帝汶国徽，东帝汶独立过程中曾经像华侨一样被印尼极端分子屠杀过；&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f5c7dca56a798e8d89c0c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&950& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&950& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f5c7dca56a798e8d89c0c_r.jpg&&&/figure&&p&德涅斯特河沿岸摩尔达维亚共和国（简称“德左”，非公认国际法实体）&/p&&p&14、安哥拉国旗是苏联国旗的变种，用半个齿轮与甘蔗刀模拟镰刀锤子；安哥拉放弃马克思主义后，出于对独立斗争的缅怀，保留了这个国旗；&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0d7db46b0ef68fee0f06_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&449& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&449& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0d7db46b0ef68fee0f06_r.jpg&&&/figure&&p&15、原缅甸国旗与台湾地区还在使用的青天0白日0满地0红旗很相似，由于在很多国际场合上台湾那面旗不允许使用，当时很多台湾人会选择使用缅甸国旗；&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-25b7a69c75ab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-25b7a69c75ab_r.jpg&&&/figure&&p&16、中亚五斯坦中，吉尔吉斯国旗与哈萨克斯坦国徽图案撞衫，都使用了当地游牧帐篷的顶部结构图案作为造型中心；&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c7209fda8a55c3a1ab25bc0c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&400& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5ac7ec5558d3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&268& data-rawheight=&161& class=&content_image& width=&268&&&/figure&&p&17、由于是在没有什么传统文化资源可供发掘使用，中亚另外两国乌兹别克和塔吉克两个国家在苏联解体后搜肠刮肚，也只能在苏联时代的国徽的创意上添加突厥元素制成自己的新国徽；&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-13a0f305ae089ae7f8384_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&678& data-rawheight=&714& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&678& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-13a0f305ae089ae7f8384_r.jpg&&&/figure&&p&乌兹别克国徽&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ff9a6a5ac5e19f69ed93a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&665& data-rawheight=&664& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&665& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ff9a6a5ac5e19f69ed93a_r.jpg&&&/figure&&p&塔吉克国徽&/p&&p&18、奥地利国徽是一只鹰，两个爪子分别抓着镰刀锤子，但是这和共产主义没有任何关系，是1918年的资产阶级政府自己加上去的。。。鹰脚上断裂的脚镣才是苏联给他们加上去，象征奥地利从“纳粹的暴政下”解放。。。&/p&&p&联合国：“中央已经决定了，你们和希特勒没有关系，你们是希特勒的受害者”；&/p&&p&奥地利：“一个小国家的命运呀,当然要靠自我奋斗，但是也要考虑到历史的行程。”&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-35cfc61b0c7f82f050edd5e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&760& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-35cfc61b0c7f82f050edd5e_r.jpg&&&/figure&&p&19、另外不少国旗之间存在亲缘关系，造型也很相似，造成很多现实中张冠李戴的现象，关于此种现象，可以百度“土耳其、烧旗”略窥一斑。。。&/p&
1、 社会主义诸国的红旗（包含红领巾等衍生物）源自于巴黎公社；当时巴黎公社面对德军的包围和梯也尔的进攻，首次大规模的使用了在往常表示紧急状态与不畏牺牲含义的红旗；红旗遂成为社会主义的象征；2、苏联的镰锤星国旗只有一面（正面）有图案，背面是没…
&p&日更新：&/p&&p&为了更好的秉持记个小本本的宗旨，现正在企划民科维基网站，测试网站已经上线&/p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.minkewiki.org& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&民科维基 收集，记录，整理民间科学家及其理论 - www.minkewiki.org&/a&&p&。 欢迎加入民科维基企划qq群：。&/p&&p&&br&&/p&&hr&&p&北有燕山李子丰，今有西邮聂教授。&/p&&p&我拿一个小本本都记下了。&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&陈 诚（相对论错误，光速不变错误）&br&丁明山（链条排压式永磁动力机，永动机，浮力永动机）&br&方徽宁（动力车，永动机）&br&蒋春暄（费马大定律证明，ISO数论, 哥德巴赫猜想，黎曼假设证明)&br&雒茂泉（第十定律，相对论错误）&br&何 旭（经络生物场理论）&br&黄小宁（证明实数轴有最大、最小点）&br&黄新卫（杠杆问题，相对论错误）&br&黄伯成（空中索道，永动机）&br&贾 洞（电磁力除以地球周长平方等于万有引力）&br&季 灏（上海东方电磁波研究所创始人，狭义相对论错误，季灏实验）&br&刘 坤（昆明市富民县永定镇，费马大定律证明）&br&刘武青（磁差电池，运动使质量减小，场电源）&br&黎 鸣（以哲学证明四色定理，创立“人学”）&br&雷绍武 （宇宙的起源及地球自转的原因；“光”并不存在，光子寿命短暂，会变成电子；光子有“运动力”）&br&李秉泉（为牛顿理学翻案，相对论错误）&br&李三清（相对论错误，洛仑兹变换错误，绝对时空观点）&br&李勇森（物稀空密自然观，相对论错误）&br&李陆四（地震由地幔中的热核聚变引起，热核说，氢前时代/氢后时代，相对论错误）&br&李云峰（相对论错误，光速不变原理错误）&br&李子丰（相对论错误，洛仑兹变换无价值，回到牛顿时空观）&br&李雨融（能量守恒定律错误）&br&李X和（科学大一统理论，和氏预测地震方法）&br&楼泳民（中国南方红土沙丘是远古残留沙漠）&br&刘功勤（重力推进自行车，重力能，永动机）&br&孟庆勇（相对论错误，质疑尺缩钟慢效应）&br&骆建祖（光速并非极限）&br&彭大泽（万有斥力理论）&br&彭健桉（负离子舱和负离子电吹风，长生不老）&br&吴水清（相对论错误）&br&王存臻（全息书画，震惊宇宙的大统一理论）&br&王红旗（宇宙心脏磁力线模型，宇宙起源，智因设计进化论）&br&王 衡（静态坐标系，场作用线位移理论）&br&王杰民（人类进化的方向──正在走向毁灭）&br&夏曰鼎（万有斥力理论，辩证理学三定律，马克思主义斥力观）&br&徐宝军（《极子论》，万有压力）&br&徐金明（冰变昆虫,气体制造生命）&br&徐永卓（推翻进化论，著有《世界的历程》）&br&闫赤元（相对论错误，牛顿三定律错误）&br&严新华（反重力机，反重力飞行器）&br&杨光京（相对论错误）&br&张祥前（统一场论）&br&张利目（阴物质和阳物质，银河系星座全图，佛道线）&br&张凤年（《广义进化论》作者，“宇宙非对称统一的负熵本性”）&br&赵兴龙（推翻热力学第二定律）&br&赵阿勃（证明黎曼假设）&br&周东辉（能量守恒定律错误，低落差水轮永动机）&br&&br&郁 东（左右脑分工理论是谬误，可以随意调节使用哪一边）&br&&br&侯青松（原子模型理论错误，原子核之间是依靠共有电子作用力而结合在一起的）&br&&br&吴绍东（同向磁场相斥、逆向磁场相吸理论，替代“不同磁极相吸引”理论）&br&&br&宋立强（磁力线是由光速旋转的磁场粒子组成的）&br&&br&程碧波（量子力学错误、相对论错误，本质是炁风而已）&/blockquote&&p&数据来自果壳网&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s/vTN_pLZ8-owDkrhOykSBlw& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&像凡伟这样“将改写教科书”的人，中国民间至少有1000个&/a&&/p&
日更新：为了更好的秉持记个小本本的宗旨，现正在企划民科维基网站，测试网站已经上线。 欢迎加入民科维基企划qq群：。 北有燕山李子丰，今有西邮聂教授。我拿一个小本…
&p&这个问题就是来自知乎，已经是两年前了。。╮(╯_╰)╭&/p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/?from=profile_answer_card& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/80/a76c2dffa3fafe0a69f72f5e6b7af06c_180x120.jpg& data-image-width=&323& data-image-height=&238& class=&internal&&有哪些违背直觉的数学问题？&/a&&p&按照最简单的模型计算就是这个结果，没啥问题，属于高中竞赛经典问题了。。╮(╯_╰)╭&/p&&p&&br&&/p&&p&稍微复杂一点的情形，把米落到盘子上可能跳出来考虑进来，计算结果依然不变：&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/equation.jpg& data-image-width=&0& data-image-height=&0& class=&internal&&白如冰：张大伯买米后续的故事&/a&&p&针对暂态过程也有很仔细的分析：&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic2.zhimg.com/db280bf7fe_180x120.jpg& data-image-width=&635& data-image-height=&238& class=&internal&&王赟 Maigo：10241 张大伯买米的暂态分析&/a&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&不知道题主想问的问题，觉得是计算中哪里有问题呢？&/p&&p&╮(╯_╰)╭&/p&
这个问题就是来自知乎，已经是两年前了。。╮(╯_╰)╭按照最简单的模型计算就是这个结果，没啥问题，属于高中竞赛经典问题了。。╮(╯_╰)╭ 稍微复杂一点的情形，把米落到盘子上可能跳出来考虑进来，计算结果依然不变：
首先，题主所说的理解是什么意思。&br&&br&如果说仅仅是看到一个名词，然后望文生义的去猜的话，实际上是完全谈不上理解的。&br&&br&就比如曾经有某个外院的妹子问我学什么的，我说数学，然后她又问我具体干什么的。我blabla了半天流形，曲率形式，anosov流，谱，就看到人家眼神越来越迷茫。于是我叹了口气，说，就是解方程的。妹子如释重负，然后问了一句：那你一天能解几个方程？&br&&br&那么如果说要真正的理解呢？很抱歉地说，对于普通人，这不现实。&br&&br&题主所谓的现代数学的各个分支，要真正接触到最起码都要研究生以上了，即便国内好一些的大学也要在大三大四才会开设一些相关的基础课程。&br&&br&也就是说，即使是数学专业的学生，想要接触到现代数学的各个分支，也需要好几年的全日制的基础知识的学习和基本思维方式的训练才行。这个过程相当于是一个认字和学会怎样正确的思考的过程。否则，就像你扔给一个一年级小孩一本红楼梦，让他谈谈对里面每个人物的理解一样。&br&&br&对于大众来说，没有这样的时间和环境，而且说真的，大多数人的思维习惯也不适合学习数学。&br&&br&但是这仅仅是对现代数学来讲，实际上每个人对数学这东西都会有自己的理解，哪怕理解仅仅是这东西巨难，我学不会也算。&br&&br&关于这个正如 &a data-hash=&5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& href=&//www.zhihu.com/people/5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@Yuhang Liu& data-hovercard=&p$b$5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf&&@Yuhang Liu&/a& 所说：其实不能说“理解难度高低”，只能说不同分支的学习方式、思维方式是不一样的，给人的感觉也是不一样的。&br&&br&我有一个更形象的说法：整个的数学世界就仿佛一颗地球，你所掌握的知识决定了你所站的位置坐标，然后你所学习的深度决定了你站的的高度，你目力所及的范围，就是你所能够理解的数学。&br&&br&比如像我来说，非线性方程，辛几何和某些动力系统相关的东西是我所了解的知识。所以我能大概的理解与这些相关东西数学是在做什么的，虽然由于理解的深度有限，只能算是知道一些皮毛。但是由于我对代数的感觉实在是太差了，所以代数几何对我就完全是天书一样的东西。&br&&br&至于说普通人，差不多最多就学过大学里的线性代数，微积分，概率论那些的吧，而且很大程度上还局限于做题考试。以这样的出发点和理解深度，理解现代数学的各个分支。我们还是谈谈明天吃什么吧？
首先，题主所说的理解是什么意思。 如果说仅仅是看到一个名词，然后望文生义的去猜的话，实际上是完全谈不上理解的。 就比如曾经有某个外院的妹子问我学什么的，我说数学，然后她又问我具体干什么的。我blabla了半天流形，曲率形式，anosov流，谱，就看到人…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&p&欧拉他比题主你高到不知道哪里去了, 他想了半天, 直接钦点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_2%5Ex+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clog+%28t%29%7D+%5C%2C+%5Cmathrm%7Bd%7Dt%3D%5Ctext%7BLi%7D%28x%29& alt=&\int_2^x \frac{1}{\log (t)} \, \mathrm{d}t=\text{Li}(x)& eeimg=&1&&&/p&&p&你问我支持不支持, 我当然是支持的, 因为这个没法按照积分的基本方法积出来...&/p&&hr&&p&杀鸡焉用牛刀, 这也用不到完全体的刘伟尔定理, 用一个特化情形就行了.&/p&&p&好好体会这种思想&/p&&p&考虑积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+f%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&\int f(x)e^{g(x)}\mathrm{d}x& eeimg=&1&& , 其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29+& alt=&g(x) & eeimg=&1&& 为多项式.&/p&&p&那它的积分是不是应该是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D& alt=&R(x)e^{g(x)}& eeimg=&1&& 的形式?&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+f%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx+%3D+R%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D& alt=&\int f(x)e^{g(x)}\mathrm{d}x = R(x)e^{g(x)}& eeimg=&1&&&/p&&p&很容易验证的呀, 两边求导:&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28R%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D%29%27%3D+e%5E%7Bg%28x%29%7D+%5Cleft%28R%28x%29+g%27%28x%29%2BR%27%28x%29%5Cright%29+%3D+f%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D& alt=&(R(x)e^{g(x)})'= e^{g(x)} \left(R(x) g'(x)+R'(x)\right) = f(x)e^{g(x)}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bg%28x%29%7D& alt=&e^{g(x)}& eeimg=&1&& 怎么着也非零吧, 消掉&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%28x%29+g%27%28x%29%2BR%27%28x%29%3D+f%28x%29& alt=&R(x) g'(x)+R'(x)= f(x)& eeimg=&1&&&/p&&p&如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+f%28x%29+& alt=& f(x) & eeimg=&1&& 是个有理函数, 那么我们也期望 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+R%28x%29+& alt=& R(x) & eeimg=&1&& 也是个有理函数&/p&&p&设 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%28x%29%3A%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D& alt=&R(x):=\frac{P(x)}{Q(x)}& eeimg=&1&& , 其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28x%29%2CQ%28x%29& alt=&P(x),Q(x)& eeimg=&1&& 为互质多项式函数, 代入得&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cright%29%27%2B%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7Dg%27%28x%29& alt=&f(x)=\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)'+\frac{P(x)}{Q(x)}g'(x)& eeimg=&1&&&/p&&p&整理下也就是&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29%5BQ%28x%29f%28x%29-P%27%28x%29-P%28x%29g%27%28x%29%5D%3D-P%28x%29Q%27%28x%29& alt=&Q(x)[Q(x)f(x)-P'(x)-P(x)g'(x)]=-P(x)Q'(x)& eeimg=&1&&&/p&&hr&&blockquote&综上所述: &br&若 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 是有理函数, &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+g%28x%29& alt=& g(x)& eeimg=&1&& 是多项式函数, 那么 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+f%28x%29e%5E%7Bg%28x%29%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx+& alt=&\int f(x)e^{g(x)}\mathrm{d}x & eeimg=&1&& 初等的充要条件就是:&br&存在互质多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+P%28x%29%2CQ%28x%29+& alt=& P(x),Q(x) & eeimg=&1&& 使得 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+Q%28x%29%5BQ%28x%29f%28x%29-P%27%28x%29-P%28x%29g%27%28x%29%5D%3D-P%28x%29Q%27%28x%29+& alt=& Q(x)[Q(x)f(x)-P'(x)-P(x)g'(x)]=-P(x)Q'(x) & eeimg=&1&& 成立.&/blockquote&&p&于是我们就证明了刘伟尔定理的指数多项式情形, 其实也可以从刘伟尔定理特化得到, 就这样已经很强大了...&/p&&p&我们来考虑积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cint%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=& \int\frac{e^x}{x}\mathrm{d}x& eeimg=&1&& ...&/p&&p&什么, 你问为什么不直接做题要考虑这个?&/p&&p&笨啊,变量替换啊&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+e%5E%7Be%5Ex%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5CLeftrightarrow%5Cint%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5CLeftrightarrow%5Cint%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%7B%5Cln+x%7D& alt=&\int e^{e^x}\mathrm{d}x\Leftrightarrow\int\frac{e^x}{x}\mathrm{d}x\Leftrightarrow\int\frac{\mathrm{d}x}{\ln x}& eeimg=&1&&&/p&&p&选取 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+f%28x%29%3D%5Cfrac1x%2Cg%28x%29%3Dx& alt=& f(x)=\frac1x,g(x)=x& eeimg=&1&& , 代入化简得&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29%5BQ%28x%29-x+P%27%28x%29-xP%28x%29%5D%3D-xP%28x%29Q%27%28x%29& alt=&Q(x)[Q(x)-x P'(x)-xP(x)]=-xP(x)Q'(x)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csmall%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%E6%B3%A8%E6%84%8F%E6%8E%A5%E4%B8%8B%E6%9D%A5%E7%9A%84%E8%BF%99%E4%B8%80%E6%B3%A2%E6%93%8D%E4%BD%9C%21%7D%7D& alt=&\small{\color{red}{注意接下来的这一波操作!}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-a%29%5Ek%3D0& alt=&(x-a)^k=0& eeimg=&1&& 中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+a& alt=& a& eeimg=&1&& 叫重根或者重点, &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 叫重数或者重根数这个懂吧&/p&&p&&br&&/p&&p&因为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29& alt=&Q(x)& eeimg=&1&& 为多项式, 所以在复数域中必有零点, 设零点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Da& alt=&x=a& eeimg=&1&& , 其重数为
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%3E0& alt=&r&0& eeimg=&1&&&/p&&p&由于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28x%29%2C+Q%28x%29& alt=&P(x), Q(x)& eeimg=&1&& 为互质多项式, 所以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28a%29%5Cneq+0%2C+Q%27%28x%29& alt=&P(a)\neq 0, Q'(x)& eeimg=&1&& 的重数为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r-1& alt=&r-1& eeimg=&1&&&/p&&p&若 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Da%5Cneq0& alt=&x=a\neq0& eeimg=&1&&&/p&&p&则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Da& alt=&x=a& eeimg=&1&& 既是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29%5BQ%28x%29-x+P%27%28x%29-xP%28x%29%5D& alt=&Q(x)[Q(x)-x P'(x)-xP(x)]& eeimg=&1&& 的重根,重数显然 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3E%3Dr& alt=&&=r& eeimg=&1&&&/p&&p&且右边 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-xP%28x%29Q%27%28x%29& alt=&-xP(x)Q'(x)& eeimg=&1&& 的重根重数为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r-1& alt=&r-1& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&矛盾!&/b&&/p&&p&若 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Da%3D0& alt=&x=a=0& eeimg=&1&& ,令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29%3Dx%5Er+h%28x%29& alt=&Q(x)=x^r h(x)& eeimg=&1&& 好了,代入原式有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=h%28x%29x%5E%7Br%2B1%7D%5Cleft%5Bh%28x%29x%5E%7Br-1%7D-P%27%28x%29-P%28x%29%5Cright%5D%3D-x%5ErP%28x%29%5Brh%28x%29%2Bxh%27%28x%29%5D& alt=&h(x)x^{r+1}\left[h(x)x^{r-1}-P'(x)-P(x)\right]=-x^rP(x)[rh(x)+xh'(x)]& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&& 仍然同时是左右两边的重根, 左边重数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3E%3Dr%2B1& alt=&&=r+1& eeimg=&1&& ,右边为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&& ..GG&/p&&p&&b&还是矛盾!&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&好吧那么假设 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%28x%29& alt=&Q(x)& eeimg=&1&& 不是多项式而是常数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&&/p&&p&于是有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+k%5Bk-x+P%27%28x%29-xP%28x%29%5D%3D0& alt=& k[k-x P'(x)-xP(x)]=0& eeimg=&1&&, 由上可知同样不行&/p&&p&&b&重数还是矛盾!&/b&&/p&&hr&&p&于是综上所述 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cint%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx+& alt=& \int\frac{e^x}{x}\mathrm{d}x & eeimg=&1&& 非初等, 不能按照积分的基本法来....&/p&&p&那么就只能钦定 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clog+%28x%29%7D+%5C%2C+dx%3D%5Ctext%7Bli%7D%28x%29& alt=&\int \frac{1}{\log (x)} \, dx=\text{li}(x)& eeimg=&1&& 了啊...&/p&&p&題主儂識得唔識得噶?&/p&
欧拉他比题主你高到不知道哪里去了, 他想了半天, 直接钦点 \int_2^x \frac{1}{\log (t)} \, \mathrm{d}t=\text{Li}(x)你问我支持不支持, 我当然是支持的, 因为这个没法按照积分的基本方法积出来...杀鸡焉用牛刀, 这也用不到完全体的刘伟尔定理, 用一个特化…
&p&我说一个吧，三个质量分别为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_1%2Cm_2%2Cm_3& alt=&m_1,m_2,m_3& eeimg=&1&& 的质点（质量不一定相等）排成一个边长为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 的等边三角形，这三者在彼此的万有引力作用下围绕等边三角形内部一点做匀速圆周运动，试求圆周运动角速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 。&/p&&p&比较暴力的方法是设出中心点的位置矢量硬算，不过也有一种比较巧的方法。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-98af8e34ebfa612c62c07ed25a8a770e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1440& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1440& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-98af8e34ebfa612c62c07ed25a8a770e_r.jpg&&&/figure&&p&根据角速度的性质，以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_3& alt=&m_3& eeimg=&1&& 为参考系， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_2& alt=&m_2& eeimg=&1&& 也在做角速度为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 的匀速圆周运动。&/p&&p&注意这是一个做匀速圆周运动的&b&平动非惯性参考系。&/b&&/p&&p&计算这个非惯性参考系中的惯性力需要知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_3& alt=&m_3& eeimg=&1&& 的加速度，但是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_3& alt=&m_3& eeimg=&1&& 的加速度正好是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_1%2Cm_2& alt=&m_1,m_2& eeimg=&1&& 给它的引力造成的，所以可知在这个非惯性系中， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m_2& alt=&m_2& eeimg=&1&& 受到方向指向 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=3& alt=&3& eeimg=&1&& 的力大小为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DG%5Cfrac%7Bm_1m_2%7D%7BL%5E2%7D%2BG%5Cfrac%7Bm_2m_3%7D%7BL%5E2%7D%2BG%5Cfrac%7Bm_2%7D%7BL%5E2%7Dm_2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DG%5Cfrac%7Bm_1%7D%7BL%5E2%7Dm_2%3Dm_2%5Comega%5E2L& alt=&\frac{1}{2}G\frac{m_1m_2}{L^2}+G\frac{m_2m_3}{L^2}+G\frac{m_2}{L^2}m_2+\frac{1}{2}G\frac{m_1}{L^2}m_2=m_2\omega^2L& eeimg=&1&&&/p&&p&得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BG%28m_1%2Bm_2%2Bm_3%29%7D%7BL%5E3%7D%7D& alt=&\omega=\sqrt{\frac{G(m_1+m_2+m_3)}{L^3}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&/p&&p&&/p&
我说一个吧，三个质量分别为 m_1,m_2,m_3 的质点（质量不一定相等）排成一个边长为 L 的等边三角形，这三者在彼此的万有引力作用下围绕等边三角形内部一点做匀速圆周运动，试求圆周运动角速度 \omega 。比较暴力的方法是设出中心点的位置矢量硬算，不过也有…
下面这个实验是一个有趣的验证:&br&&br&在海边拍摄一张日出的照片，得到的结果会是这个样子:&br&&figure&&img data-rawheight=&320& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1a08cf20f3ad5a18cac961d_b.jpg& data-rawwidth=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1a08cf20f3ad5a18cac961d_r.jpg&&&/figure&&br&即海平面上露出的太阳比其在水中的倒影要厚一些。&br&地球是圆的即是造成这个现象的原因，光路图如下:&br&&figure&&img data-rawheight=&811& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-772feff623e6a875f7d2d239bf0d0c59_b.jpg& data-rawwidth=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-772feff623e6a875f7d2d239bf0d0c59_r.jpg&&&/figure&&br&其中弧线是地球表面，眼晴代表相机镜头或真的眼睛，两条实线是太阳顶端射出的光线，虚线是人眼判断的海平面方向。可以看到太阳倒影的张角要比太阳本身的张角小一些。&br&&br&这确实是一个可以观测的效应，并且可以用来计算地球的半径（需要知道相机或人眼离地面的距离）！这实际上是2012年物理竞赛国家队选拔考试的试题之一，最后算出来的结果好像是6.6*10^6 m，还挺准的（准确的平均值是6371千米）。&br&&br&文章在这儿:&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//orfe.princeton.edu/%7Ervdb/tex/sunset/sunset.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&orfe.princeton.edu/~rvd&/span&&span class=&invisible&&b/tex/sunset/sunset.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&&br&补充: &br&澄清一下评论区中的问题: &br&&i&即使地面是平的，太阳的倒影仍然比太阳本身小？&/i&&br&&u&如果假设太阳光是平行的，或者等价地假设太阳在无限远处，那么这个说法是不对的。&/u&可以尝试画答案中那样的光路图，也可以这样理解: 与无限远处无限大的太阳相比，人的（有限大）的高度可以忽略不计。
下面这个实验是一个有趣的验证: 在海边拍摄一张日出的照片，得到的结果会是这个样子: 即海平面上露出的太阳比其在水中的倒影要厚一些。 地球是圆的即是造成这个现象的原因，光路图如下: 其中弧线是地球表面，眼晴代表相机镜头或真的眼睛，两条实线是太阳顶…
多谢各位，破百赞。-------------------------今天再给大家来个惊天冷知识&br&&br&&b&粉笔&/b&的材料是&b&白垩&/b&&br&&br&对，就是&b&&u&白垩纪&/u&&/b&那个&b&&u&白垩&/u&&/b&&br&&br&&br&&br&&br&好了，白垩是啥？&br&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&225& data-rawheight=&200& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8d724e9f3c109c4f28079fab35b65510_b.jpg& class=&content_image& width=&225&&&/figure&&br&萌萌哒是吧&br&&br&&br&&br&&figure&&img data-rawheight=&844& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3b3c4850c6acfbd_b.jpg& data-rawwidth=&1257& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1257& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3b3c4850c6acfbd_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&是这样的&br&&br&白垩是一种微细的碳酸钙的沉积物，是方解石的变种。&br&&br&&br&白垩一般主要是指分布在西欧的白垩纪的地层，而白垩纪一名即由此而来。&br&&br&&br&&br&&br&作为矿物的白垩一般用来制造粉笔等产品。&br&&br&&br&白垩的英文叫chalk（同粉笔）&br&&br&&br&&br&&br&----------------原答案------------------------每个人玩手机的时候都是一只眼！&br&&br&&figure&&img data-rawhe}
我要回帖
更多关于 建筑设计师前景怎么样 的文章
更多推荐
- ·《水浒q传什么职业厉害》手游史进评测分析攻略
- ·挑水扁担扁担答数字打一个数字是几？
- ·Q版的千年武侠群侠传传自创武功需要在游戏里找谁？
- ·数学中的X平方怎么输入平方打出来？
- ·解放j6p油箱加热器多少钱原车柴暖一下不着了,后来关了从开启动不了电源灯一直闪烁是什么情况啦？
- ·有谁知道南京五洋设计院建筑设计院的总建筑师是谁？
- ·无法解释的ee216是前几天,好好的wwWee216CoM突然就不管了
- ·渝北区种植牙种类及价格的种类
- ·谁知道五洋设计院建设集团的五洋设计院建筑设计院的院长是谁？
- ·楠倒往后就99ww8只能靠,带理能力wwwwww.99ww8comm收视此类的网占嘛
- ·做试管哪里好到哪好？
- ·大一不喜欢自己的学校能转学去马来亚大学后悔吗
- ·恒河水为什么是这样，请看余秋雨恒河《行者无疆》文一篇
- ·广州艾果女王美容美发化妆学校培训学校怎么样
- ·北京通州区哪里有嵌入式linux开发前景培训机构
- ·温度会对检察官甲醛检测仪仪的数据产生多大的影响
- ·亲爱的小伙伴们，有没有考外国语言学及应用语言学论文
- ·重庆市渝北区邮编种植牙好处
- ·渝北区种植牙为什么那么贵贵吗
- ·有没有人知道这个人事专员岗位要求对视力到底什么要求
- ·求个科普，设计师ebisen是个什么不一样的ui设计师存在
- ·在职人员提升学历提升可不可以
- ·此次，智能g20峰会2018青岛有什么亮点
- ·entri签证可以经由马来到新加坡国语 马来语玩吗
- ·涂鸦智能产品分类的产品有哪些分类？
- ·想做一个女袜的域名，guoxiwa.com怎么样
- ·Echo为什么在中国男篮世界杯预选赛打预选
- ·环球雅思培训怎么样的培训质量到底怎么样
- ·为什么要注册涂鸦智能平台平台？
- ·Kled灯带控制器有几种注硅胶好还是PU胶好
- ·为什么中国宁可花上万亿买中国敢抛光美国国债吗，也不全部花掉
- ·如何选择恒指期货正规交易平台交易平台，老师能指导做单吗
- ·乳腺炎体温超过多少不能喂奶后体温35度9,可以喂奶吗
- ·显卡不行玩游戏会怎样总输气得不行 向身为心理师的妻子求助
- ·巴拉库美国属于哪个洲的国家哪个国家
- ·十一中高中有个姓董的紧急招聘初三化学教师老师吗
