人教版五年级数学上册第四单元解方程教案_百度文库
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人教版五年级数学上册第四单元解方程教案
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第4章 解重根情形的newton方程
§4.4 非线性方程的牛顿法(Newton Method of Nonlinear Equations )内容提纲（Outline)? 牛顿法及其几何意义? 收敛性及其收敛速度? 计算实例及其程序演示一、牛顿法及其几何意义基本思路：将非线性方程 f (x)=0 线性化 取x0作为初始近似值，将 f (x)在x0做Taylor展开:f ??(? ) f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) 2 2!f ( x0 ) x1 ? x0 ? 作为第一次近似值 f ?( x0 )f ( x0 ) 0 ? f ( x*) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x * ? x0 ) ? x* ? x0 ? f ?( x0 )重复上述过程 ?Newton 迭代公式xk ?1f ( xk ) ? xk ? f ?( xk )牛顿法的几何意义Tangent line : y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 )yf ( x0 ) x1 ? x0 ? f ?( x0 )x*x2xx1 x0f ( x1 ) x2 ? x1 ? f ?( x1 )f ( x) 牛顿法也称为切线法, 迭代函数 ? ( x) ? x ? f ?( x)二、牛顿法的收敛性与收敛速度定理4.4.1（局部收敛性定理） 设 f (x)?C2[a, b]，若 x* 为 f (x)在[a, b]上的根,且 f ?(x*) ? 0，则存在 x* 的邻域 U ? ( x*) 使得任取初始值 x0 ?U? ( x*) ，Newton 法产生的序列 { xk } 收敛到 x*，且满足| xk ?1 ? x* | | f ??( x*) | lim ? 2 k ?? | x ? x* | 2 | f ?( x*) | k至少平方收敛证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法f ( x) 迭代函数为： ? ( x) ? x ? f ?( x)f ??( x*) f ( x*) ? ?( x*) ? ? 0 ? 1 ? 在x*的附近收敛 2 f ? ( x*)f ??(? k ) 0 ? f ( x*) ? f ( xk ) ? f ?( xk )( x * ? xk ) ? ( x * ? xk ) 2 2!由Taylor 展开：f ( xk ) f ??(?k ) ? x* ? xk ? ? ( x * ? xk )2 f ?( xk ) 2 f ?( xk ) x * ? xk ?1 f ??(?k ) ? ?? 令k?? ，由 f ?(x*) ? 0， 2 ( x * ? xk ) 2 f ?( xk ) 即可得结论。思考题1若 f ?( x*) ? 0 ，Newton法是否仍收敛？设 x* 是 f 的 m 重根，则令： f ( x) ? ( x ? x* )m q( x)且q( x*) ? 0f ( x) f ??( x) ? ?( x) ? 2 ? [ f ( x)] q( x)[m(m ? 1)q( x) ? 2m( x ? x )q?( x) ? ( x ? x ) q??( x)] ? * 2 ? [mq( x) ? ( x ? x )q ( x)]* * 21 | ? ?( x*) | ? 1 ? ? 1 mAnswer1: 有局部收敛性思考题2 当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛？f '( x)? m( x ? x**) q( x) ? ( x ? x ) q '( x)*m?1mxk ?1? x ? xk ? x ? ? (xk ? x )**f '( x k )*f (xk)(m ? 1)q ( x k ) ? ( x k ? x )q '( x k ) mq ( x k ) ? ( x k ? x )q '( x k )**? lim ?k ??k ?1 k? limk ??x k ?1 ? x xk ? x*?|m ?1 | mAnswer2: 线性收敛?x x ? ? x 0 0 0x*结论：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。 局部收敛定理对初始值 x0 要求较高。定理4.4.2(全局收敛性定理): 设 f (x)?C2[a, b], 若有根(1) f (a) f (b) & 0； (2) 在整个[a, b]上 f ?(x) ? 0； (3) f ??(x)在 [a, b]上不变号根唯一 (4) 选取初始值x0 ? [a, b] 使得 f ??(x0) f (x0) & 0； 则由Newton法产生的序列{ xk } 单调地收敛到 f (x)=0 在 [a, b] 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的保证Newton迭 代函数将[a , b] 映射于自身保证产生的序列 {xk}单调有界证明：以 f ' ( x) ? 0, f &( x) ? 0, f ( x ) ? 0 为例证明0将f (x* )在 xk 处作Taylor展开* *f &(?k ) * 0=f ( x ) ? f ( xk ) ? f '(xk )(x ? xk ) ? (x ? xk )2 2!f ( xk ) f &(? k ) * x ? xk ? ? ( x ? xk ) 2 f '( xk ) 2 f '( xk )*?f &(? k ) * ? xk ?1 ? ( x ? xk ) 2 ? xk ?1 2 f '( xk )说明数列{ xk }有下界x*f ( x0 ) 又 x1 ? x0 ? ? x0 f '( x0 )f ( xk ) xk ?1 ? xk ? ? xk f '( xk )？* lim x ? x 故{xk}单调递减, 从而{xk}收敛.令 k ?? k* f ( x ) * * 对迭代公式两边取极限，得 x ? x ? f '( x* )定理4.4.3(全局收敛性定理): 设 f (x)?C2[a, b], 若(1) f (a) f (b) & 0； (2) 在整个[a, b]上 f ?(x) ? 0, f ??(x) ? 0 ；(3) | f (a) |? b ? a , | f (b) |? b ? a .f ?(a) f ?(b)则对任何 x0 ?[a, b] , Newton 迭代格式产生的序列{xk } 都收敛于f (x)=0 的根 x* .注:定理的条件(3) 保证了从 x*两侧任取 x0 , 所得到 的数列{ xk }均在[a , b]内.三、计算实例及其程序演示辅助工具: ? VC程序设计语言 ? Matlab数学软件计算步骤(1) 选定初值x0 ,计算f (x0) , f ?(x0)(2) 按公式 xk ?1 得新的近似值xk+1 (3) 对于给定的允许精度?，如果 | xk ?1 ? xk |? ? 则终止迭代，取 x* ? xk ?1 ;否则k=k+1，再转 步骤(2)计算最大迭代次 数 迭代信息f ( xk ) ? xk ? 迭代 f ?( xk )允许精度例1：用Newton法求方程 x ? e ? 2 ? 0 的根, 要求x| xk ?1 ? xk |? 10?5解： 迭代格式一： xk ?1 ? ln(2 ? xk )xk ? e ? 2 迭代格式二： xk ?1 ? xk ? xk 1? exk取初值 x0＝0.0,计算如下： ? 对迭代格式一: the iterative number is 27, the numerical solution is 0. ? 对迭代格式二: the iterative number is 3, the numerical solution is 0.
例题2求函数 f x ? x ? 10 x 精度要求： ? ? 10?63??2? 19.68x ? 10.944 的正实根用Matlab画图，查看根的分布情形从图形中我们可以 看出： ? 在 x = 7和 x = 8 之间有一单根； ? 在 x =1 和 x = 2 之 间有一重根。取初值x0＝8.0,用牛顿迭代公式计算如下： 取初值x0＝1.0,用牛顿迭代公式计算如下：? 初值x0＝8.0 时,计算的是单根, The iterative number is 28,The numerical solution is 7. ? 初值x0＝1.0 ,计算的是重根, The iterative number is 1356,The numerical solution is 1.小 结(1) 当f (x)充分光滑且 x* 是f (x) =0的单根时，牛 顿法在 x*的附近至少是平方收敛的。 (2) 当f (x)充分光滑且 x* 是f (x) =0的重根时，牛顿法在 x*的附近是线性收敛的。(3) Newton法在区间[a , b]上的收敛性依赖于初值x0 的选取。(4) Newton法的突出优点：收敛速度快缺点：需计算函数的导数。四重根情形的Newton迭代法1 ? ?( x*) ? 1 ? m重根情形的Newton迭代法是线性收敛的, 且有f ( x) 由此易知若迭代函数为：? ( x) ? x ? m ? ? f ( x) f ( xk ) 则Newton迭代格式 xk ?1 ? xk ? m ? 为平方收敛. f ?( xk )但 m 通常未知,故常用修改方法：令f ( x) u ( x) ? f ?( x)若x*为f (x)的m重根, 则x*为u (x) = 0的单根,取 ? ( x) ? x ? u?( x) 则得:f ( xk ) ? f ?( xk ) xk ?1 ? xk ? [ f ?( xk )]2 ? f ( xk ) ? f ??( xk )u ( x)此格式二阶收敛,但要计算二阶导数.§4.5 弦截法与抛物线法一、 单点弦截法f ( xk ) ? f ( x0 ) 固定一点 P0( x0 , f (x0)), 用差商 代替Newton xk ? x0公式中的 f ?( xk ) , 则得离散化的公式:f ( xk ) xk ?1 ? xk ? ( xk ? x0 ) f ( xk ) ? f ( x0 )称为单点弦截法, 是一种简单迭代法. 几何意义: 依次用弦线代替曲线, 用线性函数的零点作为f (x)零点的近似值.定理4.5.1设 f (x)在[a , b]上满足：(1) f (a) f (b) & 0; (2) f ?( x), f ??( x) 在[a , b]上连续且不变号; (3) 选取初始值 x0 ?{a, b} , 使得 f ( x0 ), f ??( x0 ) , 定a , b中的一个, 另一个为 则由迭代格式x1x0 选.f ( xk ) xk ?1 ? xk ? ( xk ? x0 ) f ( xk ) ? f ( x0 )所产生的序列{ xk }单调地收敛于f (x)=0在[a , b]上的唯一根 x*,且收敛速度是线性的.二、 双点弦截法f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) 若 用差商 代替Newton公式中的 f ?( xk ) , xk ? xk ?1则得公式:f ( xk ) xk ?1 ? xk ? ( xk ? xk ?1 ) f ( xk ) ? f ( xk ?1 )称为双点弦截法. 注：双点弦截法与前面介绍的迭代法有明显区别, 前面所讲述 迭代法计算 xk+1时只用到 xk , 故称为单步迭代; 而双点弦截法 计算 xk+1时, 却同时用到前面两步的结果 xk?1和 xk , 故称为多步 迭代. 说明：单点弦截是双点弦截的特殊情况.几何解释：yPk ? 1Pk ?1 ( xk ?1 , f ( xk ?1 )) , Pk ( xk , f ( xk ))f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) 为P 的斜率 k ?1P k xk ? xk ?1直线方程为：xk+1 x* Pk+1xk Pkxk? 1xf ( xk ) ? f ( xk ?1 ) y ? f ( xk ) ? ( x ? xk ) xk ? xk ?1定理4.5.2(局部收敛定理) 设 f (x)=0, 如果：(1) f (x)在根 x*的某个领域内有连续的二阶导数, 且 f ?( x) ? 0 (2) 任取 x0 , x1 属于该领域; 则由双点弦截公式所得序列 {xk } 收敛于根 x*, 且收敛速度1? 5 P? ? 1.618 2定理4.5.2(全局性收敛定理) 设 f (x) ∈C2[a , b], 且(1) f (a) f (b) & 0； (2) 在整个[a, b]上 f ?(x) ? 0, f ??(x) ? 0 ； (3) | f (a) |? b ? a , | f (b) |? b ? a . f ?(a) f ?(b) 则 x0 , x1 ?[a, b] 由双点弦截公式所得序列 {xk } 收敛于 f (x)=0 的唯一根 x*. 例1：用单点弦截和双点弦截求方程 f ( x) ? x3 ? 2x ? 5 ? 0 在 [2,3]内的特殊情况. 解: (1) 单点弦截法f ?( x) ? 3x2 ? 2 ? 0 , f ??( x) ? 6x ? 0 , f (2) ? ?1 ? 0 , f (3) ? 16 ? 0取 x0 ? 3 , x1 ? 2 ， 单点弦截公式为：3 3 xk ? 2 xk ? 5 3xk ? 22 xk ? 15 xk ?1 ? xk ? 3 ( xk ? 3) ? 3 (k ? 1, 2,?) xk ? 2 xk ? 21 xk ? 2 xk ? 21(2) 双点弦截法 取 x0 ? 3 , x1 ? 2 ， 双点弦截公式为：3 xk xk ?1 ? 5xk ? 5xk ?1 xk ?1 ? 3 (k ? 1, 2,?) 3 xk ? 2 xk ? xk ?1 ? 2 xk ?1三、弦截法与Aitken迭代法的联系设f ( x) ? 0 ? x ? ? ( x) . yk ? ? ( xk ) , zk ? ? ( yk ) ? ? (? ( xk ))对于 g ( x) ? x ? ? ( x) ? 0 在 ( xk , g ( xk )) 和 ( yk , g ( yk )) 两点处 使用弦截法, 则得 2 即为Aitken迭代公式[? ( xk ) ? xk ] xk ?1 ? xk ? ? (? ( xk )) ? 2? ( xk ) ? xk四、抛物线法若用过三点 ( xk ?2 , f ( xk ?2 )),( xk ?1 , f ( xk ?1 )) 和 ( xk , f ( xk )) 的 抛物线( x ? xk ?1 )( x ? xk ) ( x ? xk ?2 )( x ? xk ) ? ( x) ? f ( xk ?2 ) ? f ( xk ?1 ) ( xk ?2 ? xk ?1 )( xk ?2 ? xk ) ( xk ?1 ? xk ?2 )( xk ?1 ? xk ) ( x ? xk ?2 )( x ? xk ?1 ) ? f ( xk ) ( xk ? xk ?2 )( xk ? xk ?1 )与x 轴交点的横坐标作为 xk+1 , 则得抛物线法或Mlü ller方 法. 一条抛物线有两个实零点时, 取与 xk 较近的那个零点 作为xk+1 .§4.5 非线性方程组的迭代算法一、不动点迭代格式(简单迭代格式)?? ? ? ? ? ? F ( x) ? 0 ? x = ? ( x) ? ? ? ? ? ? ( x = ( x1 , x2 ,? , xn )T , ? ( x ) = (?1 ( x ), ?2 ( x), ?, ?n ( x))T ) ? ? ? ? xk +1 = ? ( xk ) ? (0) (0) (0) T x = ( x , x , ? , x 取初值 代入计算即可. 0 1 2 n )? ? f1 ( x ) ? 0 ? ? f (x ?? ? ? 2 )?0 F ( x) ? 0 ? ? ? ?? ? ? ? fn ( x) ? 0二、Newton迭代格式? f1 ( x1 , x2 ,? xn ) ? 0 ? f ( x , x ,? x ) ? 0 ? 2 1 2 n ? ?? ? ? f n ( x1 , x2 ,? xn ) ? 0将非线性方程组线性化：?? ? ? ? (k ) ?* 设 x ?U ( x , ? ) 为 F ( x) ? 0 的第k 次近似解, 由Taylor公式得? (k ) ? f ( x ) ? ? (k ) i fi ( x) ? fi ( x ) ? ? ( x j ? x(jk ) ) , i ? 1, 2,?, n ? xj j ?1n用线性方程组? (k ) ? fi ( x ) ? (k ) fi ( x ) ? ? ( x j ? x(jk ) ) ? 0, i ? 1, 2,?, n ? xj j ?1n即?? ? ? (k ) ? ? (k ) ?? ? ? (k ) F ?( x ) ( x ? x ) ? ?F ( x )(*)?? ? ? ?? ? ? 近似代替 F ( x) ? 0 , 用(*)的解作为 F ( x) ? 0 的第k+1次近似解, 则得Newton迭代格式：? ? ( k ) ?1 ?? ? ? (k ) ? ( k+1) ? ( k ) ?? x ? x ? [ F ?( x )] ? F ( x ) (k ? 0,1, 2,?)? ?f1 ? ?x ? 1 ? ?f 2 ?? ? ?x F ?( x ) ? ? ? 1 ?? ? ? ?f n ? ?x ? 1 ?f1 ?x2 ?f 2 ?x2 ? ?f n ?x2 ? ? ? ? ?f1 ? ?xn ? ? ?f 2 ? ?xn ? ? ? ? ? ?f n ? ?xn ? ?这里? xy ? z 2 ? 1 2 2 例：用牛顿法解方程组 ? xyz ? y ? x ?2 ? ?e x ? z ? e y ? 3 ?? xy ? z 2 ? 1 ? ? ? 2 2 F ( x) ? ? xyz ? y ? x ? 2 ? ?e x ? z ? e y ? 3 ? ? ??2 z ? ?y x F ?( x) ? ? yz xz ? 2 y xz ? ? ? x y ? 1 ? ? e ?e ?取初始值(1,1,1), 计算如下 N 0 1 2 3 4 5 6 x 1.......7776719 y 1.......4239605 z 1.......2374711练习：3 2 f x ? x ? 4 x ? 10 ? 0 在区间 [1，2] 内 ? ? 1. 用牛顿法求方程的一个实根，要求3xk ?1 ? xk ? 10?52. 导出求立方根 a 的迭代公式，并讨论其收敛性。 3. Newton 迭代法是如何推出的? 它若在单根附近收 敛,是几阶收敛?在重根附近是几阶收敛？求方程重根 时,能达到2阶收敛的改进 Newton 迭代公式是什么3 3 f x ? x ? a 使用牛顿法 ? ? x ? a ? 0 首先导出求根方程 ，再对得迭代公式xn?1 ?2 a xn ? 2 3 3xn,用全局收敛性定理或局部收敛性定理讨论其收敛性。
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