高中数学经过某一点P的角是由两条射线组成的与圆:X²+Y²=1相切分别为A,B，求向量PA×向量PB的最小值
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第1-20届希望杯初二试题(1,2试)
希望杯第一届（1990 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 A．45°. B．75°.C．55°. 2．2的平方的平方根是 A．2. B．?10()D．65°() D．46 5 4 3 22.9C．±2.8 73．当x=1时，a0x -a1x +a0x -a1x -a1x +a1x -a0x +a1x -a0x +a1x的值是( A．0 B．a0. C．a1 D．a0-a1 ))4. Δ ABC,若AB= ? ,BC=1+ 2 ,CA= 7 ,则下列式子成立的是(A．∠A＞∠C＞∠B;B．∠C＞∠B＞∠A;C．∠B＞∠A＞∠C;D．∠C＞∠A＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( A．4个 B．5个. C．6个. ] D．7 )6． 5 2 ? 7 的立方根是[ （A） 2 ? 1 .（B） 1? 2 .（C） ? ( 2 ? 1) . （D） 2 ? 1 .7．把二次根式 a ? ? 1 化为最简二次根式是[ ] a (A)a . (B) ? a . (C) ? ? a . (D)?a8．如图1在△ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F不是AB，BC，CA的中点．又 AE，BF，CD分别交于M，N，P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角 形，那么从图中能找出全等三角形( A．2组 9.已知 B．3组.C．4组 D．5组。 )x 2 ? 2 xy ? 2 y ? 1 y2 ?1 y ?1 等于一个固定的值， ? 2 ? 2 x ?1 2 y ? xy ? y ? x ? 1 x ? 1) C．2. D．4.则这个值是( A．0.B．1.把f1990化简后，等于 A．()x 1 . B.1-x. C. . D.x. x ?1 x 二、填空题（每题1分，共10分）. 1. 130 ? 66 ? ________2 23 ? 9 ? 1 ? ? 3 ? 2. 121 ? 0.0196 ? ? ? . ? ? ? __________ ? 625 ? ? 125 ? ? ? ???3. 8 ? 98 ? 50 =________. 4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC的度数是______．5．如图3,O是直线AB上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD的度数是____度． 6．△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线与∠B的平分线交于O点，则∠AOB的度数是 ______度． 7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x +px+q=0，当p＞0，q＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x，y，z适合方程组2?8x ? 2 y ? z 6 x ? z x ? y ? ? ? 5 3 2 ? ? x ? y ? z x ?1 y ?1 ? ? ? 3 5 3 ? ?3 x ? 4 y ? 5 z ? 1 ? ?则1989x-y+25z=______． 10．已知3x +4x-7=0，则6x +11x -7x -3x-7=______．2 4 3 2希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分） 1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的 底边长是[ ] A．7.5 B．12. C．4. D．12或4 ]2.已知P= 1988 ? 1989 ? 1990 ? 1991 ? 1 ? (?1989 ) 2 ，那么P的值是[ A．1987 B．1988. C．1989 D．1990 3． a＞b＞c， x＞y＞z， M=ax+by+cz， N=az+by+cx， P=ay+bz+cx， Q=az+bx+cy， 则[ A．M＞P＞N且M＞Q＞N. B．N＞P＞M且N＞Q＞M C．P＞M＞Q且P＞N＞Q. D．Q＞M＞P且Q＞N＞P]4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶ 3 ,则∠BDA=[ A．30° B．45°. C．60°. D．不能确定]5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在 三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质 的分割[ ]A．是不存在的. B．恰有一种. C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分） 1． △ABC中，∠CAB? ∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA 的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______． 2． 若 a ? 1 ? (ab ? 2) 2 ? 0 ,那么1 1 1 ? ? ?? 的值是_____. ab (a ? 1)(b ? 1) ( a ?1990)( b ?1990)3． 已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______． 4． Δ ABC中, ∠B=30 ,AB= 5 ,BC= 3 ,三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三 个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c是非零整数,那么 _________.0a b c ab ac bc abc ? ? ? ? ? ? 的值等于 a b c ab ac bc abc三、解答题:（每题5分，共15分） 1．从自然数1，2，3?，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是 177． 2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇ 的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方 形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自 然数n之和被7除余数都不为1， 将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列 n1＜n2＜n3＜n4??， 试求：n1?n2之值．第二届（1991 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分） 1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ A．2; B．3; C．4; D．5 2．方程x2-5x+6=0的两个根是[ A．1，6 ; B．2，3; ] ]A O P (1) BC．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ] A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC3 4? (1 ? 3) 2 4 ,则a,b,c的大小关系是[ ] 4.a= ,b ? ,c ? 2 1 1? 3 (?5) 3? 4 ?5A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c 5.若a≠b,则(b-a) a ? b 等于[ ] A. 3 ( a ? b) ;3 3 B. ? 3 ?(a ? b) ; 3 3 C. ? 3 ( a ? b) ; D. 3 ?(b ? a )6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ A．3个 B．4个; C．5个 D．无数多个]7．两条直线相交所成的各角中， [ ] A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角 8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ] A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角 9．方程x2+|x|+1=0有[ A．4; B．2; C．1; ]个实数根． D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两 位数是[ ] A．26; B．28; C．36; D．38 11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ A．179; B．181; C．183; D．1853 2 12.如果 2 x ? 3 x ? 1, 那么 3 ( x ? 2) ? ( x ? 3) 等于[]]A．2x+5B．2x-5;C．1D．1 [ ]13．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是 A. 5 ? 3 ; B. 5 ? 2 ;C. 3 ? 2 ; D. 5 ? 3 ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大 C．一正根、一负根且负根的绝对值小;D．没有实数根 15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一 半时间以每小时b公里的速度行走；乙以每小时a公里的速度行走一半路程，另一半路 程以每小时b公里的速度行走．若a≠b时，则[ ]到达N地． A． 二人同时; B．甲先; C．乙先; D．若a＞b时，甲先到达，若a＜b时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分） 1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母:5? 7 =______________. 5? 73.方程 x ? 1 ? x ? 0 的解是x=________. 4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______． 5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k的值是______． 6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么 7．方程x2-y2=1991有______个整数解． 8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．a?b =__. c9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，则∠B等于______度．D E CAF BAEB DGCCADBF(2) (3) (4) 10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，则∠BFC等于__度． 12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分 线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为______． 13．在△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______． 14．等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积 是______． 15．已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程 的根是______．希望杯第二届（1991 年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的 中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于 A．1 ; B．2; C．3; D．4 ) ( )2．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( A. Bs- C. D. . 1? s 1? t)3.y&0时, ? x 3 y 等于( A.-x B. C.-x ? D.x ? xy .)4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式， 则a，b，c的关系可以写成( A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c )5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( A.AD2=BD2+CD2. 7.方程 x ? 1 ?2)B．AD2＞BD2+CD2. C．2AD2=BD2+CD2. D．2AD2＞BD2+CD2 )1 9 ( x ? ) 的实根个数为( 10 10A．4B．3. C．2 D．1 )x3 y 3 2 2 ? 8.能使分式 的值为112 3 的x 、y 的值是( y xA.x =1+ 3 ，y =2+ 3 ; C. x2=7+4 3 ，y2=7-4 3 ;2 2 2 2B. x =2+ 3 ，y =2- 3 ; D. x2=1+2 3 ，y2=2- 3 .9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完 全平方数的个数为z，合数的个数为u．则x+y+z+u的值为 ( A．17 B．15. C．13 D．112)10．两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x -21x+t=0的两个根,则 A.2213; B.b a ? 等于( a b)58
; C. ; D. . 49 38 21二、填空题（每题1分，共10分） 1.1-8=______． 2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=______． 3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是______． 4．边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为180 ,那么01 1 1 ? ? =_________. a b c5.方程组 ?? x ? ay ? 5 有正整数解,则正整数a=_______. ?y ? x ?1 6.从一升酒精中倒出 倒 出1 升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再 31 1 升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出 升混合液, 并加入等量的水,这时, 3 3所得混合液中还有______升酒精. 7．如图31，在四边形ABCD中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且 ∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9. x ?2 ? 2 x ? 4 3 的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab≠1．且 2a +a+3=0,3b +b+2=0,则2 2a =______. b三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明， 字迹与绘图力求清晰、工整） 1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段 水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面 积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当 怎么作？写出作法，并加以证明． 希望杯第三届（1992 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．已知a＞b＞0，则有 [ ] A.a+b&1; B.ab&1; C. bD.a-b&1.2． 已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最 长边等于[ ] A.2; 3.若 a ? B.2 2 ; C.3; D.3 2 .1 1 ( 5 ? 3), b ? ( 5 ? 3) ,那么a2-ab+b2的值为[ ] 2 2B.A.7 ; 29 ; 2C.11 ; 2]D.15 ? 1. 24.3 ? 2 2 的值等于[A. 3 ? 2 ;B. 3 ? 1 ;C. 3 ? 2 ;D. 2 ? 1 .5．△ABC中，∠A=θ -α ，∠B=θ ，∠C=θ +α ,0°＜α ＜θ ＜90°．若∠BAC与∠BCA 的平分线相交于P点，则∠APC= [ ] A．90° B．105°. C．120° D．150° 6．一个自然数的算术平方根为a(a＞1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方 根为 [ ] A.a-1,a+1; B. a ? 1, a ? 1 ; C. a ? 1, a ? 1 ; D. a -1,a +1.2 22 2 27.已知实数a满足丨1992-a丨+ a ? 1993 =0,那么a-1992 的值为[ A．1991. B．1992. C．1993. D．1994. 8．正整数a被7除，得到余数4，则a +5被7除，得到的余数是[ A．0. B．2. C．4. D．6. 9. 6 ? 35 ? 6 ? 35 的值为[ ]3]] A. 7 ? 5 ;2B. 14 ;C.1 ( 7 ? 5) ; 2D.D.1. [ ]10．方程x +667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 A.1 ; 664B. ?1 1 ; C. ; 667 19921 . 3二、填空题:（每题1分，共10分） 1． 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数等于______． 2． 二次根式 x ?6 61 化为最简根式应是___________. x5 4 3 23． 若(x-1) =a0x +a1x +a2x -a3x -a4x -a5x-a6，则a6=______．2 2 2 4． 若a、 c为△ABC的三边的长,则 ( a ? b ? c ) ? (b ? c ? a ) ? (c ? a ? b) =_______. b、5．如图39，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB， 则D，B两点之间的距离等于______． 6. 2 的小数部分我们记作m,则m +m+ 2 =___________. 7．若a＞b＞c＞0，一元二次方程(a-b)x +(b-c)x+(c-a)=0的两个实根中，较大的一个 实根等于______． 8．如图40，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______． 9．一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后 仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数”， 则所有“无瑕质数”之和等于______． 2 3 2 2 2 10．若3x +4y-10=0，则15x +3x y+20xy+4y +3x -50x-6y=______．2 2希望杯第三届（1992 年）初中二年级第二试题一、选择题（:每题1分，共10分） 1．= [ A．47249 ]B．45829. C．43959 D．449692．长方形如图43．已知AB=2，BC=1，则长方形的内 接三角形的面积总比数( A. )小或相等． [ D. ]4 ; 7B.1;C.2 ; 31 . 3[ ]3．当x=6，y=8时，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 A．000. B．400 C．400. D．0004．等腰三角形的周长为a(cm)．一腰的中线将周长分成5∶3，则三角形的底边长为 [ ] A. 6B.3 5C.a 8 或 6 5D.4 a. 5]5.适合方程 x 2 ? 2 xy ? y 2 +3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合[? x ? 2 y ? 3z ? 0 ? x ? 3 y ? 2 z ? ?6 ? ? A. ? 2 x ? y ? z ? 0 ;B. ? x ? y ? z ? 0 ; ?x ? y ? z ? 0 ?2 x ? y ? 3z ? 2 ? ? ? x ? 3 y ? 2 z ? ?6 ?x ? y ? z ? 0 ? ? C. ? 2 x ? y ? z ? 0 ;D. ? ? x ? y ? z ? 0 ?2 x ? y ? 3z ? 2 ?2 x ? y ? 3z ? 2 ? ?6.四边形如图44,AB=3 ,BC=1, ∠A=∠B=∠C=300,则D点到AB的距离是[ 2C.]A.1;B.1 ; 21 ; 4D.1 . 8]7．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这 些对应值中，最小的值是 [ A．1 B．2. C．3 D．48． 一个等腰三角形如图45． 顶角为A,作∠A的三等三分线AD， （即∠1=∠2=∠3） AE ， 若BD=x，DE=y，EC=z，则有 [ A．x＞y＞z ] D．x=y=z ]B．x=z＞y. C．x=z＜y9．已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是[ A．5 B．9. C．10 D．11? 10.正方形如图46,AB=1, BD 和 ? 都是以1为半径的圆弧, AC则无阴影的两部分的面积的差是[ A. ] D. 1 ??2? 1;B. 1 ??4;C.?3? 1;?6.二、填空题（每题1分，共10分） 3 1.方程 x ?6 的所有根的和的值是______________. 1? 3 x1992 ? 1991 ,a-b= 1992 ? 1991 ,那么ab=________.2.已知a+b=3．如图47，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD 与BE交于H，则∠CHD=______． 4.已知x=1 3 3 5 2 5 ,那么 x ? x ? x +1的值是______． 2 ?1 4 2 45．如图48，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么△BPD 的面积的值是______． 6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么x3 ? y 3 =________. x3 ? y 37．在正△ABC中（如图49），D为AC上一点，E为AB上一点， BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=______． 8.已知方程x2-19x-150=0的一个正根为a,那么1 a ? a ?1++1 1 + +┉ a?2 ? a?3 a ?1 ? a ? 21 =____. a ? 1999 ? a ? 20009．某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8 名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生______名． 10．n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=______． 三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分） 1． 若a，b，c，d＞0，证明：在方程 1 2 1 x ? 2a ? d x ? cd ? 0 , x 2 ? 2b ? cx ? da ? 0 , 2 2 1 2 1 2 x ? 2a ? bx ? ab ? 0 x ? 2d ? ax ? bc ? 0 中,至少有两个方程有 2 2不相等的实数根.2．(1)能否把1，2，?，个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组 各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，?，最后第八组各数之 和比第七组各数之和也多10？请加以说明． (2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够， 请给出一种分组法．希望杯第四届（1993 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分） 1．如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确的是 [ ] A.a+b&-1; B.ab&1; C. 2．已知四个命题：①?a a &1; D. &1. b b]1是1的平方根．②负数没有立方根. ③无限小数不一定是无理数.④ ?3a 一定没有意义.其中正确的命题的个数是[ A．1 B．2 C．3 D．43.已知8个数:1 3 17 , ?8 ,0.236, (1 ? 2) 2 ,3.1416, ?? , 3 ?4 ? 2 27其中无理数的个数是[ A．3 B．4C．5 ] D．6 ],?? ??3? 2 ??1 ? ? , 3? 2?24.若A= ( a 2 ? 9) 4 ,则A的算术平方根是[ A．a2+3 B．(a2+3)2. C．(a2+9)2D．a2+9 ]5．下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 [ A．1，2，3. B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c. D．1，m，n，其中1? 6．方程x +|x|-6=0的最大根与最小根的差是[ A．6 B．5. C．4 D．32m＜n]7．等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是 [ ] B．50°,50°,80°或130°,25°,25°A．50°,50°,80°.C．50°,65°,65°D．50°,50°,80°或50°,65°,65° 8.如果x+y= 7 3 ? 5 2 ,x-y= 7 2 ? 5 3 ,那么xy的值是[ A. 3 3 ? 3 2 ; B. 3 3 ? 3 2 ; ]C. 7 3 ? 5 2 ; D. 7 2 ? 5 3 .9．如图67，在△ABC中，AB=AC，D点在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F． ∠BDE=140°，那么∠DEF是 A．55° B．60°. C．65° 10.已知[ ]D．70°1 2 2 &x&1,将 (2 x ? 1) ? ( x ? 4) 化简得[ ] 2B．3+3x. C．5+x D．5-xA．3-3x.11．如图68，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心， 那么图中全等的三角形的对数是[ A．5 B．6. C．7 D．8． [ ] ]12．若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有实数根，则k的最大整数值是 A．?1. B．0.C．1D．2．13．对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整 除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是[ A．1 B．2.2]C．32D．4． ]14．若方程9x -6(a+1)x+a -3=0的两根之积等于1，则a的值是[ A. ?2 3 ; B. 2 3 ; C. ?2 2 ; D. 2 2 .15．有下列四个命题： ①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形． ②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形． ③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形． ④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形． 其中正确的是 [ ] A．①，② B．②，③. C．③，④ D．④，①．二、填空题（每题1分，共15分） 1． 某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是______． 2.实数x满足x+ 5 x ? 16 =0,则 5 x ? 16 的值为________. 3.设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5 的平均数为A，则10A=______．2 2 4.如果实数x、y满足2x -6xy+9y -4x+4=0,那么 x y =_________.5．设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三 边的三角形共有______个． 6.1 1 1 1 + + +┉┉+ =__________. 2 ?1 2? 3 3? 4 99 ? 100x2 ? 4 x2 ? 4 ?2? ? 2 =___________. 2x 2x7.当0&x&2时,8．已知方程x2+(2m+1)x+(m2+m+1)=0没有实数根，那么m为______． 9．已知a，b，c，d满足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么 a+b+c+d=______． 10．如图69，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则 AB+AC______DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接＝． 11.如果x-y= 2 +1,y-z= 2 -1,那么x +y +z -xy-yz-zx=____________. 12.若u、v满足v=2 2 22u ? v v ? 2u 3 ? ? ,则u2-uv+v2=__________. 4u ? 3v 4u ? 3v 2 13．如图70，B，C，D在一条直线上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，则CN=______． 14．设方程x -y =1993的整数解为α ，β ，则|α β |=______．2 21 x3 ? 3 ? 7 1 x 15.若,x+ =3, 则 =__________. 1 4 x x ? 4 ?3 x希望杯第四届（1993 年）初中二年级第二试试题一、 选择题:（每题1分，共10分） ]1.若a&0,则化简 a 2 ? (1 ? a ) 2 得[ A．1 B．? 1 C．2a? 1 D．1? 2a2.若一个数的平方是5-2 6 ,则这个数的立方是[]A. 9 3 ? 11 2 或 11 2 ? 9 3 ; B. 9 3 ? 11 2 或 11 2 ? 9 3 ; C. 9 3 ? 11 2 或 11 2 ? 9 3 ; D. 9 3 ? 11 2 或 ? 11 2 ? 9 3 . 3.在四边形ABCD中,AB=1,BC= 2 ,CD= 3 ,DA=2,SΔ ABD=1, SΔ BCD= ∠ABC+∠CDA等于[ ] A．150° B．180°.C．200° D．210°．6 ,则 24．一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0 的根，那么三角形的周长为 [ A.7 ]1 1 ; B.8 ; C.9; D.10. 2 2]5．如果实数x，y满足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy，那么x+y的值是 [ A.1. B．0. C．1 .D．2． 6.设x=n ?1 ? n n ?1 ? n 2 2 ,y= ,n为正整数,如果2x +197xy+2y =1993 n ?1 ? n n ?1 ? n] C．9. D.10成立,那么n的值为[ A．7. B．8.7．如图81，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的 周长多1厘米，则BD的长是 [ ] A．0.5厘米. B．1厘米.2C．1.5厘米. D．2厘米 ] D．4．8．方程x -2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 [ A．? 2 . B．0. C．-2 .9．如图82，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B＇，C＇，A＇， 且使BB＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．若S△ABC=1，那么S△A＇B＇C＇是 [ A．15. B．16. C．17. D．18. [ ] ]10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 A．a＞3. B.a≥3. C．a＜3. D．a≤3.二、填空题（每题1分，共10分） 1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是 ______．2 x12 ? x2 2．设x1，x2是方程x +px+1993=0的两个负整数根,则 =_______. x1 x223.方程x ?1 ?1 ?x ?1 ?1 ?1 的解是____________. x ?14．如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点， 如果S△ABD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______． 5．设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2, S2=x12+1993x22,┉┉,Sn=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=__________. 6．设[x]表示不大于x的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么 [ 1900 ]+[ 1901 ]+[ 1902 ]+┉+[ 1992 ]+[ 1993 ]=_________. 7．已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且 a＞b，那么两根之和超过3的方程是______． 8．如图84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E， FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______． 9．已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根， 则k=______． 10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二 获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等， 但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共 有______人． 三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分） 1． 如图85，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条角平分线的 交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑 遍各校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由．2.如果a=1 22?1 1 ? 2 ,求a2+ a 4 ? a ? 1 的值. 8 8希望杯第五届(1994 年)初中二年级第一试试题一、 选择题:（每小题3分，共30分） 1.使等式成立的x的值是[ ] A．是正数 B．是负数. C．是0 D．不能确定 2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ] A． 可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐 角 3.如果 a ? b ? 2 3 +(a+b-2 3 ) =0,那么 A.1; B.-1; C.5-2 6 ; D.2 6 -5. ]2b 的值是[ a]4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ A．c? a＜b B．2b＜a+c. C．c? b＞a D．b2＜ac 5．有如下命题： ①负数没有立方根． ②一个实数的立方根不是正数就是负数． ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ] A．①②③ B．①②④. C．②③④ D．①③④ 6.若实数x、y满足x2+y2-4x-2y+5=0,则x?y 3y ? 2 x的值是[]A.1;B.3 ? 2 ; C. 3 ? 2 2 ; D. 3 ? 2 2 . 2 7．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长 为[ ] A．182 B．180. C．32 D．30 8．已知方程x2-x-，那么它的两根是 [ ] A． B．? . C．? 1994,? 1995 D．1994,? 1995 9．如图16，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°， ∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ] A．70° B．75°. C．80° D．85° 10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ 2 2 2 3 A．(n+1) B．(n+1) -(n-1) . C．(n+1) 二、 A组填空题（每小题3分，共30分） ] 3 3 .D．(n+1) -n1.设A= 6 ? 2 ,B= 3 ? 5 ,则A、B中数值较小的是_________. 2．已知实数a满足a+ a 2 ? 3 a 3 =0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________ 3.一个角的余角比它的补角的1 还多60,则这个角的度数是_________. 74.对 3 54 ? 3 250 ? 3 16 作化简,结果是__________. 5.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的1 恰是数a,则这个自然数是_________. 56．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠ACD+∠BCE=______． 8.当x= 5 -3时,多项式x +5x -2x-5的值是_______________. 9．如图18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于 E，则∠BDE=_______． 10.如果 11 的小数部分是a,而 三、 1.设M=3 21 的小数部分是b,那么b=________. aB组填空题（每小题4分）1 1 1 1 + + +┉+ , 1? 2 2? 3 3? 4 1993 ? 1994 N =_______. ( M ? 1) 2N=1-2+3-4+5-6+┉+,则2．在四边形ABCD中(图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度 分别为a和b，那么AB的长为______．? x2 ? y 2 ? 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 3.设x= ,y= ,则 ? ? ? xy =_________. 2 2 ? 2 ?4．如图20，在△ABC中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E， 若AB=5，则DE的长是______． 5.计算: 7 ? 15 ? 16 ? 2 15 =______________.2 6．设方程x +=0和(1994x) -x-1=0的较小根次是α ,β ，则α ?β =______． 7.若 ?222 1 ? x ? ,则 (3x ? 2) 2 ? 1 ? 4 x ? 4 x 2 ? 5 x 化简为____________. 3 2y ,则x+y+M的值是_______.8.设M,x,y均为正整数,且 M ? 28 = x ?9．x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______． 10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以A,B 为圆心,AD,BD为半径的圆的1 ,则阴影部分面积为__________. 4希望杯第五届(1994 年)初中二年级第一试试题四、 选择题:（每小题3分，共30分） 1.使等式成立的x的值是[ ] A．是正数 B．是负数. C．是0 D．不能确定 2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ] B． 可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐 角 3.如果 a ? b ? 2 3 +(a+b-2 3 ) =0,那么 A.1; B.-1; C.5-2 6 ; D.2 6 -5. ]2b 的值是[ a]4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ 2 A．c? a＜b B．2b＜a+c. C．c? b＞a D．b ＜ac 5．有如下命题： ①负数没有立方根． ②一个实数的立方根不是正数就是负数． ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ] A．①②③ B．①②④. C．②③④ D．①③④ 6.若实数x、y满足x2+y2-4x-2y+5=0,则x?y 3y ? 2 x的值是[]A.1;B.3 ? 2 ; C. 3 ? 2 2 ; D. 3 ? 2 2 . 27．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长 为[ ] A．182 B．180. C．32 D．30 2 8．已知方程x -x-，那么它的两根是 [ ] A． B．? . C．? 1994,? 1995 D．1994,? 1995 9．如图16，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°， ∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ] A．70° B．75°. C．80° D．85° 10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ A．(n+1)2 B．(n+1)2-(n-1)2. C．(n+1)3 五、 A组填空题（每小题3分，共30分） ] .D．(n+1)3-n31.设A= 6 ? 2 ,B= 3 ? 5 ,则A、B中数值较小的是_________. 2．已知实数a满足a+ a 2 ? 3 a 3 =0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________ 3.一个角的余角比它的补角的1 还多60,则这个角的度数是_________. 74.对 3 54 ? 3 250 ? 3 16 作化简,结果是__________. 5.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的1 恰是数a,则这个自然数是_________. 56．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠ACD+∠BCE=______． 8.当x= 5 -3时,多项式x +5x -2x-5的值是_______________. 9．如图18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于 E，则∠BDE=_______． 10.如果 11 的小数部分是a,而 六、 1.设M=3 21 的小数部分是b,那么b=________. aB组填空题（每小题4分）1 1 1 1 + + +┉+ , 1? 2 2? 3 3? 4 1993 ? 1994 N =_______. ( M ? 1) 2N=1-2+3-4+5-6+┉+,则2．在四边形ABCD中(图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度 分别为a和b，那么AB的长为______．? x2 ? y 2 ? 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 3.设x= ,y= ,则 ? ? ? xy =_________. 2 2 ? 2 ?4．如图20，在△ABC中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E， 若AB=5，则DE的长是______． 5.计算: 7 ? 15 ? 16 ? 2 15 =______________. 6．设方程x +=0和(1994x) -x-1=0的较小根次是α ,β ，则α ?β2 22 =______． 7.若 ?2 1 ? x ? ,则 (3x ? 2) 2 ? 1 ? 4 x ? 4 x 2 ? 5 x 化简为____________. 3 2y ,则x+y+M的值是_______.8.设M,x,y均为正整数,且 M ? 28 = x ?9．x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______． 10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以A,B 为圆心,AD,BD为半径的圆的1 ,则阴影部分面积为__________. 4希望杯第五届(1994 年)初中二年级第二试试题一、选择题:（每题4分，共40分） 1.如果a&0,那么 ? a 3 =[ A.a ? a 3 ; B.- ] C.a ? D. -a ? a .2． 已知， y=ax7+bx5+cx3+dx+e， 其中a,b,c,d,e为常数， 当x=2时， y=23； 当x=-2时， y=-35， 那么e的值是 [ ] D．-12A．6. B．-6. C.12.3.如果-1&a&0, 那么a,a3, a 3 , A.a最小,a3最大; B.1 中,一定是[ aC.]a 3 最小,a最大;]1 最小,a最大; aD.1 最小,a3最大. a4．方程x2-7|x|+12=0的根的情况是 [A．有且仅有两个不同的实根.B．最多有两个不同的实根 C．有且仅有四个不同的实根.D．不可能有四个实根 5．若三角形的三边长度均为整数，其中两边长的差是7，且三角形的周长是奇数，则第 三边长可能是 [ A．9 . B．8. ] C．7. D．6.6．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H， 则DH的长是 A．7.5. [ ]B．7. C．6.5. D．5.5. 7.已知关于x的二次方程2x +ax-2a+1=0的两个实数根的平方和是7 A．11或3. B．11. C．3. D．521 ,则a的值为[ 7]8.在Δ ABC的三边AB,BC,CA上分别取AD,BE,CF,使AD= 积是Δ ABC的面积的[ A. ] C.1 1 1 AB,BE= BC,CF= AC,则Δ DEF的面 4 4 41 ; 4B.3 ; 85 ; 8D.7 . 16[ ]9．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是 A．5. B．6. C．7 .D．810．设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是[ A．3n ?2]3n+3.B．5n ?25n?5. C．9n ? 9n+9 .D．11n ? 11n?2211.二、填空题：（每题4分，共40分） 1.已知关于x的二次方程x +px+2=0的两根为x1和x2,且x1-x2=2 2 ,那么p的值为_____. 2． 如果(1-3x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x ， 那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值为______． 3．如图30,在梯形ABCD中,AD∥BC，AB=DC=10厘米，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设 E是CG的中点，F是AB的中点，则EF的长为________． 4．如图31中，以A,B,C,D,E,F,G,H这些点为端点的线段共有______条． 5.若a,b,c是实数,且a+b+c=2 3 ,a2+b2+c2=4,则(a-2b+c)1994=______. 6．编写一本数学书的页数总共用6869个数字，（例如一本10页的书， 它的页数是一位数的9个，两位数的1个，总共用去数字9+2=11个）， 那么这本数学书的页数是________． 7．一个口袋内装有红、蓝、白三种不同颜色的小球,其中蓝球数 至少是白球数的一半,但至多是红球数的 至少是55个,则红球至少有________. 8．如图32，正方形ABCD内有一个内接△AEF，若∠EAF=45°， AB=8厘米，EF=7厘米，则△EFC的面积是______． 9. 若a,b,c是实数,且a=2b+ 2 ,ab+5 2 3 4 5 21 ,白球与蓝球的总和 3bc 3 2 1 c + =0,那么 的值是_____. 4 a 210．已知：a≠0，14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c) 2，那么，a∶b∶c=______． 三、解答题（每题10分，共20分） 1． 如图33， 五边形ABCDE中， AB=AE， BC+DE=CD， ∠BAE=∠BCD=120°， ∠ABC+∠AED=180°， 连接AD．求证：AD平分∠CDE． 2．如图34，甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C出发,甲向C,乙、丙向A前进,过了2 时,甲与乙于M点相遇;又过了 之间的距离为 公里？1 小 75 小时,丙于N点追及乙,已知B点恰为N,C的中点,M与N 1410 公里；又知甲比丙提前1小时到达目的地，问A与B，B与C之间各多少 7 第六届(1995 年)初中二年级第一试试题一、选择题: 1.下列五个数:3.1416, A．0个 2.-1?, ? ,3.14, ? ? 1 ,其中是有理数的有[]B．1个 C．2个 D．3个1 的平方的立方根是[ ] 8 1 1 1 A.4; B. ; C.- ; D. . 8 4 4] A．x＞3. B．x≤5. C．3＜x≤5 D．3≤x＜5 ]3．适合不等式2x-1＞-3x+14≥4x-21的x的值的范围是 [a a2 a3 ? ? 3 的值是[ 4.已知a是非零实数,则 a a2 aA．3或? 1 B．? 3或1. C．3或1 D．? 3或? 15． 若a， c为三角形的三条边长， b， 则? (a+b+c)+│a-b-c│-│b-c-a│+│c-b-a│=[ A．2(a-b-c) B．2(b-a-c). C．2(c-a-b) D．2(a+b-c)]6．如图19，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D，∠D=40°，则∠ A= [ ] A．50° B．60°. C．70° [ D．80° ]7．已知实数a、b满足条件a2+b2+a2b2=4ab-1，则 A. ??a ? 1 ? a ? 1 ? a ? ?1 ? a ? ?1 ?a ? 1 ?a ? 1 ; B. ? 或? ; C. ? 或? ; D. ? . ?b ? 1 ?b ? 1 ?b ? ?1 ?b ? ? 1 ?b ? ? 1 ?b ? 18．某项工程，甲单独做需a天，在甲做了c天(c＜a＝后，剩下工作由乙单独完成还需b 天，若开始就由甲、乙两人共同合做，则完成任务需[ A. ]天c ab a?b? B. ; C. ; D. . a?b a?b?c 2 a?b?c]2 2.9．如图20，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点， 则PA2+PB?PC的值为[2 2A．m . B．m +1. C．2m . D.(m+1)10． 如图21， △ABC的面积为18cm2， 点D、 F分别位于AB、 CA上． E、 BC、 且AD=4cm， DB=5cm． 如 果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积是 [ A．8cm . B．9cm . C．10cm . D．12cm 二、A组填空题:2 2 2 2] 1.化简: 625 ?36 ? 0.25 =_________. 1692 21 1 ? ? ? ? 2计算: ?10 ? ? 0.001? ? ? 0.01 ? ? 10 ? =__________. 100 1000 ? ? ? ?3．化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+?+x(1+x)1995，得到_____． 4．若n满足(n-1994) +(1995-n) =1，则(1995-n)?(n-1994)_____． 5．如图22,已知△ABC中，∠ACB＞90°，∠B=25°，CD⊥BC于点C， BD=2AC，点E在BC的延长线上，则∠ACE的大小是______． 6．在一个凸n边形(n＞3)的n个外角中，其中最多有_____个钝角． 7．如图23，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB=12cm，BC=13cm，则 FC的长度是______． 8．已知a，b，c，d是四个不相等的正数，其中a最大,d最小,且满足条件 与b+c的大小关系为_____________. 9.若方程2 2a c ? ,则a+d b dx?b x?a ? 2? 有唯一解,则a与b应满足的条件是____________. a b10．有5根木条，其中2根完全相同，长8cm，另外三根分别长4cm，10cm，12cm，用其中 三根组成一个三角形，则选择的办法有______种． 三、B组填空题 1． 一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍 是一个完全平方数，则n=_____． 2．已知x是实数，并且x3+2x2+2x+1=0，则x+x2000的值是_____． 3．如图24，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC， 且BC=18cm，则BE的长度是_____． 4．如图25，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D， DE⊥AB于E，且AB=10cm，则△DEB的周长是_____． 5.已知x=2- 5 ,那么x4-8x3+16x2-x+1的值是_______.1 1? a ? a4 ? a2 ? 2 ? ? 3 6.化简: ? 2 =___________. ?? 6 4 2 ? a ? a ? 1 a ? 1 ? (a ? 1) ? (a ? a ? 1)7.已知:1 4 3 23 ? ? ,则 (y-x)的值是_______. x ? 2 y y ? x 2x ? 1 38．已知a，b，c，d是四个两两不等的正整数，它们的乘积abcd=1995，则a+b+c+d的最 大值是_____． 9．如图26，ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB∶AD=2∶3，∠BAD=2∠ABC，则FC∶FD=_____． 10．如图27，两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那OC1的长度是_____．希望杯第六届(1995 年)初中二年级第二试试题一、选择题，以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的． 1.设x0是方程1? x ? ? x ? 0 的一个不为1的根,则[ 22 2 2]2A．x0＞2x0＞x 0. B．x 0＞x0＞2x0. C．x 0＞2x0＞x0. D．2x0＞x 0＞x0 2．设a是一个满足下列条件的最大的正整数，使得用a除64的余数是4；用a除155的余数 是5；用a除187的余数是7．则a属于集合 A.{3,4,6}; [ ]B.{7,8,9}; C.{10,15,20}; D.{25,30,35}3．某位同学在代数变形中，得到下列四个式子： (1) 3 ?(1 ? x )3 ? 1 ?(2)当x= ? 2时,分式x ?2 x2 ? x ? 6的值均为0;(3)分解因式:xn+1-3xn+2xn-1=xn?x-3xn+xn?2? 2 n? =x ? x ? 3 ? ? ; x? x ?(4)9-32)+9=(97-3)+9=． 其中正确的个数是 [ A．1个. B．2个. ] C．3个 D．4个.4．A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B， C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队 是[ A．C队 ] B．D队. C．E队 D．F队 5．如图31，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE， 那么△BDE的周长是 [ A.5+2 3 ; B.5+ 3 ; ] C.3+2 3 ; D.3+ 3 .6．如图32，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m， PC=n，AB=c，AC=b，则m+n与b+c的大小关系是 [ A．m+n＞b+c. B．m+n=b+c . ]C．m+n＜b+c. D．m+n＞b+c或m+n＜b+c7．两个全等的直角三角形(不等腰)纸片，可以拼成n个不同形状的四边形，则n的值为 [ ] A．3. B．4. C．5. D．6.8．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd， 则这个四边形一定是 [ ]A．两组角分别相等的四边形. B．平行四边形. C．对角线互相垂直的四边形. D．对角线长相等的四边形. 9．已知a，b，c为三个连续奇数(a＜b＜c＝，且它们均为质数，那么符合条件的三数组 (a，b，c)有 A．0 组. [ ] C．2组. D．多于2组.B．1组.10.在边长为的正方形内有任意5个点(包括落在四条边上),将其中任意两点与正方形中心连 结成三角形,则其中至少有一个三角形的面积S满足[ A. S ? ]1 1 1 ; B. S ? ; C. S ? ; D. S ? 1. 2 2 2二、填空题 1． 计算： 4+5-5-6=______． 2． 直角三角形的周长是2+ 6 ,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.3 2 2 2 3．若x+2是多项式x +x +ax+b的一个因式，且2a +3ab+b ? 0,则分式ab2 ? 4a3 ? b3 ? 4a 2 b 的值为_______. 2a 2 ? 3ab ? b 24.设[x]表示不大于x的最大整数,如 ?? ? =3,则? 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 100 ? =____. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5．如图33,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小是_____． 6．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2-a2c2-b4=0，则△ABC的形状是_____． 7．若不等式3x?a≤0的所有正整数解的和是15，则a的取值范围是_____．8.如图34，△ABC中，AB＞AC，AH⊥BC，M为AH上异于A的一点，比较AB-AC与MB-MC的大 小，则AB-AC_____MB-MC(填“＞”，“=”或“＜”＝． 9．方程x -y =1995的正整数解共有_____组． 10．设x，y是不大于10的自然数，x除以3的余数记为f(x)，y除以4的余数记为g(y)．当 f(x)+2g(y)=0时，x+2y的最值是_____． 三、解答题 1．(1)已知a1，a2，a3为三个整数，且a1≤a2≤a3，三个数中的每一数均为其它两数的乘 积，求所有满足条件的三数组(a1，a2，a3)． (2)如果a1，a2，a3，a4，a5，a6为6个整数，且a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6，六个数中任一个数 均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6) 共有多少组？请说明理由．2 22． 一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A， C， E， G的风景点(如图35)． B， D， F， 现 要开设一些公共汽车线路，满足以下条件： (a)由每个风景点可不换车到达其它任一风景点． (b)每条汽车线路只连结3个风景点． (c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点． (1)该旅游区应开设几条公共汽车线路？ (2)若风景点，，在一条线路上，则该公共汽车线路写成A―B―C． 试写出该旅游区完整的公共汽车线路图． 希望杯第七届（1996 年）初中二年级第一试试题一、 选择题:1.下列各式中与分式?a 的值相等的是[ ] a?b ?a a a ?a A. ; B. ; C. ; D. . ?a ? b a?b b?a b?a[ ] A．58° B．59°. C．60° D．61°2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，那么这个角等于3．如图23，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的 三角形有[ 4.设a= ] A．5对. B．6对. C．7对. D．8对.96 ,b= ,c= , 95
d= ,则下列不等关系中成立的是[ 1996]A．a＞b＞c＞d. B．c＞a＞d＞b . C．a＞d＞c＞b. D．a＞c ＞d＞b 5．如图24，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点，∠ADC=130°， 那么∠CAB的大小是[ A．80° ] D．20°B．50°. C．40°6．已知一个三角形中两条边的长分别为a，b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值 范围是[ ]A． 3a＞l＞3b. B．2（a＋b）＞l＞2a. C．2a＋b＞l＞2b＋a . D．3a－b＞l＞a＋2b 7.若1 1 1 ： ： =2：3：4,则a：b：c等于[ a b cB．6：4：3.]A．4：3：2.C．3：4：2 . D．3：4：68．如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9厘米， BC=8厘米，CD=7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N， 则BN的长等于 [ ] C．2厘米. D．2.5厘米A．1厘米. B．1.5厘米.9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60， 那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是[ A．28 B．27 C．26 D．25 ]10.已知x,y,a,b都是正数,且a&b,x a ? 如果x+y=c,则x与y中较大的一个是[ y b]A. B. ; C. ; D. . a?b a?b a?b b?c 二、A组填空题 1．因式公解：9a －4b ＋4bc－c =______． 2．化简分式:2 2 2b c a ? ? =_______. (a ? b)(b ? c) (b ? c)(c ? a) (c ? a)(a ? b)3．已知多项式3x3＋ax2＋3x＋1能被x2＋1整除，且商式是3x＋1,那么a的值是______． 4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，则a的取值范围是______． 5． 如图26， 凸四边形ABCD的四边AB、 CD、 BC、 和DA的长分别是3， 12， 4， 和13， ∠ABC=90°， 则四边形ABCD的面积S=______． 6．如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中 互为补角关系的角共有______对．7．如果a＋b=6，a ＋b =72，那么a ＋b 的值是______． 8.如果a -3a+1=0,那么23322a3 的值是___________. a6 ? 19．如图28，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD=AC，则∠B：∠C的值是______． 10．如图29，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，则∠C的大小 是______． 二、 1.若2B组填空题:4x a b 2 2 ? ? ,则a +b 的值是_________. x ?4 x?2 x?22．已知a≥b＞0且3a＋2b－6=ac＋4b－8=0，则c的取值范围是______． 3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是______． 4．如图30，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10厘米，则MD的长 为______． 5．已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2＋n2＋p2=______． 希望杯第七届（1996 年）初中二年级第一试试题三、 选择题:1.下列各式中与分式?a 的值相等的是[ ] a?b ?a a a ?a A. ; B. ; C. ; D. . ?a ? b a?b b?a b?a[ ] A．58° B．59°. C．60° D．61°2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，那么这个角等于3．如图23，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的 三角形有[ 4.设a= ] A．5对. B．6对. C．7对. D．8对.96 ,b= ,c= , 95
d= ,则下列不等关系中成立的是[ 1996]A．a＞b＞c＞d. B．c＞a＞d＞b . C．a＞d＞c＞b. D．a＞c ＞d＞b 5．如图24，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点，∠ADC=130°， 那么∠CAB的大小是[ A．80° ] D．20°B．50°. C．40°6．已知一个三角形中两条边的长分别为a，b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值 范围是[ ]B． 3a＞l＞3b. B．2（a＋b）＞l＞2a. C．2a＋b＞l＞2b＋a . D．3a－b＞l＞a＋2b 7.若1 1 1 ： ： =2：3：4,则a：b：c等于[ a b cB．6：4：3.]A．4：3：2.C．3：4：2 . D．3：4：68．如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9厘米， BC=8厘米，CD=7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N， 则BN的长等于 [ ] C．2厘米. D．2.5厘米A．1厘米. B．1.5厘米.9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60， 那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是[ A．28 B．27 C．26 D．25 ]10.已知x,y,a,b都是正数,且a&b,x a ? 如果x+y=c,则x与y中较大的一个是[ y b]A. B. ; C. ; D. . a?b a?b a?b b?c 二、A组填空题 1．因式公解：9a －4b ＋4bc－c =______． 2．化简分式:2 2 2b c a ? ? =_______. (a ? b)(b ? c) (b ? c)(c ? a) (c ? a)(a ? b)3．已知多项式3x3＋ax2＋3x＋1能被x2＋1整除，且商式是3x＋1,那么a的值是______． 4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，则a的取值范围是______． 5． 如图26， 凸四边形ABCD的四边AB、 CD、 BC、 和DA的长分别是3， 12， 4， 和13， ∠ABC=90°， 则四边形ABCD的面积S=______． 6．如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中 互为补角关系的角共有______对．7．如果a＋b=6，a ＋b =72，那么a ＋b 的值是______． 8.如果a -3a+1=0,那么23322a3 的值是___________. a6 ? 19．如图28，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD=AC，则∠B：∠C的值是______． 10．如图29，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，则∠C的大小 是______． 四、 1.若2B组填空题:4x a b 2 2 ? ? ,则a +b 的值是_________. x ?4 x?2 x?22．已知a≥b＞0且3a＋2b－6=ac＋4b－8=0，则c的取值范围是______． 3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是______． 4．如图30，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10厘米，则MD的长 为______． 5．已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2＋n2＋p2=______． 希望杯第七届（1996 年）初中二年级第一试试题五、 选择题:1.下列各式中与分式?a 的值相等的是[ ] a?b ?a a a ?a A. ; B. ; C. ; D. . ?a ? b a?b b?a b?a[ ] A．58° B．59°. C．60° D．61°2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，那么这个角等于3．如图23，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的 三角形有[ 4.设a= ] A．5对. B．6对. C．7对. D．8对.96 ,b= ,c= , 95
d= ,则下列不等关系中成立的是[ 1996]A．a＞b＞c＞d. B．c＞a＞d＞b . C．a＞d＞c＞b. D．a＞c ＞d＞b 5．如图24，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点，∠ADC=130°， 那么∠CAB的大小是[ A．80° ] D．20°B．50°. C．40°6．已知一个三角形中两条边的长分别为a，b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值 范围是[ ]C． 3a＞l＞3b. B．2（a＋b）＞l＞2a. C．2a＋b＞l＞2b＋a . D．3a－b＞l＞a＋2b 7.若1 1 1 ： ： =2：3：4,则a：b：c等于[ a b cB．6：4：3.]A．4：3：2.C．3：4：2 . D．3：4：68．如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9厘米， BC=8厘米，CD=7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N， 则BN的长等于 [ ] C．2厘米. D．2.5厘米A．1厘米. B．1.5厘米.9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60， 那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是[ A．28 B．27 C．26 D．25 ]10.已知x,y,a,b都是正数,且a&b,x a ? 如果x+y=c,则x与y中较大的一个是[ y b]A. B. ; C. ; D. . a?b a?b a?b b?c 二、A组填空题 1．因式公解：9a －4b ＋4bc－c =______． 2．化简分式:2 2 2b c a ? ? =_______. (a ? b)(b ? c) (b ? c)(c ? a) (c ? a)(a ? b)3．已知多项式3x3＋ax2＋3x＋1能被x2＋1整除，且商式是3x＋1,那么a的值是______． 4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，则a的取值范围是______． 5． 如图26， 凸四边形ABCD的四边AB、 CD、 BC、 和DA的长分别是3， 12， 4， 和13， ∠ABC=90°， 则四边形ABCD的面积S=______． 6．如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中 互为补角关系的角共有______对．7．如果a＋b=6，a ＋b =72，那么a ＋b 的值是______． 8.如果a -3a+1=0,那么23322a3 的值是___________. a6 ? 19．如图28，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD=AC，则∠B：∠C的值是______． 10．如图29，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，则∠C的大小 是______． 六、 1.若2B组填空题:4x a b 2 2 ? ? ,则a +b 的值是_________. x ?4 x?2 x?22．已知a≥b＞0且3a＋2b－6=ac＋4b－8=0，则c的取值范围是______． 3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是______． 4．如图30，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10厘米，则MD的长 为______． 5．已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2＋n2＋p2=______． 希望杯第八届（1997 年）初中二年级第二试试题一、 选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．）1.已知实数a,b满足条件:a2+4b2-a+4b+=0,那么-ab的平方根是[ ] A. ? 2; B.2; C. ?1 1 ; D. . 2 2］ B．（x＋y－1）（x－y＋3） D．（x＋y＋1）（x－y－3） ［ ］ D．线段MN ]2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是［ A．（x＋y＋3）（x－y－1）. C．（x＋y－3）（x－y＋1）.3．下列图形中，不是轴对称图形的是 A．直角三角形ABC.B．角DOE. C．等边三角形FGH.4. Δ ABC的三边长为a,b,c,满足条件 A．锐角. B．直角. C．钝角.2 1 1 ? ? ,则b边所对的角B的大小是[ b a cD．锐角、直角、钝角都有可能5.设a&0&b&c,a+b+c=1,M= A．M＞N＞P2b?c a?c a?b ,N= ,P= ,则M,N,P之间的大小关系是[ b c aC．P＞M＞N3 2];B．N＞P＞M.D．M＞P＞N ］6．已知：m ＋m－1＝0，那么代数式m ＋2m －1997的值是［ A．1997 B．－1997. C．1996 D．－19967． 如图1， △ABC中， ∠A＝96°， 延长BC到D， ∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点， 1BC ∠A 与∠A1CD的平分线相交于A2点，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5 的大小是［ A．3°. ］ C．8° D．19.2°B．5°.8．如图2，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE 恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是 A．AB＞AD＋BC B．AB＝AD＋BC. C．AB＜AD＋BC ［ ］D．无法确定9．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一 个钝角的大小是 ［ ］ D．120°A．165°. B．150°. C．135°.10．有男女两个运动队，男队有队员m人，女队有队员n人（m＞10，n＞10），先从男队 中调10人到女队帮助训练，训练后又从女队中调10人（这10人中可以有原来男队中的 队员）去男队参加总结．这时，男队中有a个女队员，女队中有b个男队员，那么a、b 的大小关系是［］A．a＞b. B．a＜b. C．a＝b. D．当m≥n时，a≥b；当m＜n时，a＜b． 二、填空题 11．已知a是实数，且使a ＋3a ＋3a＋2＝0，那么（a＋1） 1996＋（a＋1）1997＋（a＋1）的值是______．12.式子 (? 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5) 的值是__. 13．如图3，△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC于E，在BC上 取CD＝CA，连接AD，若AD＝DB，则∠DAE的大小是______． 14．如图4，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1， 则BD的长为______．1 x ?1 ? 2 2 x ?1 x ? x ?1 15.若 的值是 ,则x=____. 2 9x 3 ? 3 x ?116.若a,b,c为实数,且ab 1 bc 1 ca 1 abc ? , ? , ? ,那么 的值为 ab ? bc ? ca a?b 3 b?c 4 c?a 5____. 17.若a= ? 1,则a -2a -1996a 的值为_______.54318．如图5，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等 于______． 19．如图6，直角△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连接AF与BC相交 于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是______． 20．如图7，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交 AC于F，则FC的长等于______． 三、解答题 21．已知：a、b、c为实数，且多项式x ＋ax ＋bx＋c能够被x ＋3x－4整除． （1）求4a＋c的值． （2）求2a－2b－c的值． （3）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的大小．3 2 2 22．如图8，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相 交于点P，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xy＋yz＋zx＝28，求xyz的大小． 希望杯第八届（1997 年）初中二年级第二试试题二、 选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．）1.已知实数a,b满足条件:a2+4b2-a+4b+=0,那么-ab的平方根是[ ] A. ? 2; B.2; C. ?1 1 ; D. . 2 2］ B．（x＋y－1）（x－y＋3） D．（x＋y＋1）（x－y－3） ［ ］ D．线段MN ]2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是［ A．（x＋y＋3）（x－y－1）. C．（x＋y－3）（x－y＋1）.3．下列图形中，不是轴对称图形的是 A．直角三角形ABC.B．角DOE. C．等边三角形FGH.4. Δ ABC的三边长为a,b,c,满足条件 A．锐角. B．直角. C．钝角.2 1 1 ? ? ,则b边所对的角B的大小是[ b a cD．锐角、直角、钝角都有可能5.设a&0&b&c,a+b+c=1,M= A．M＞N＞P2b?c a?c a?b ,N= ,P= ,则M,N,P之间的大小关系是[ b c aC．P＞M＞N3 2];B．N＞P＞M.D．M＞P＞N ］6．已知：m ＋m－1＝0，那么代数式m ＋2m －1997的值是［ A．1997 B．－1997. C．1996 D．－19967． 如图1， △ABC中， ∠A＝96°， 延长BC到D， ∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点， 1BC ∠A 与∠A1CD的平分线相交于A2点，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5 的大小是［ A．3°. ］ C．8° D．19.2°B．5°.8．如图2，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE 恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是 A．AB＞AD＋BC B．AB＝AD＋BC. C．AB＜AD＋BC ［ ］D．无法确定9．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一 个钝角的大小是 ［ ］ D．120°A．165°. B．150°. C．135°.10．有男女两个运动队，男队有队员m人，女队有队员n人（m＞10，n＞10），先从男队 中调10人到女队帮助训练，训练后又从女队中调10人（这10人中可以有原来男队中的 队员）去男队参加总结．这时，男队中有a个女队员，女队中有b个男队员，那么a、b 的大小关系是［］A．a＞b. B．a＜b. C．a＝b. D．当m≥n时，a≥b；当m＜n时，a＜b． 二、填空题 11．已知a是实数，且使a ＋3a ＋3a＋2＝0，那么（a＋1） 1996＋（a＋1）1997＋（a＋1）的值是______．12.式子 (? 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5) 的值是__. 13．如图3，△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC于E，在BC上 取CD＝CA，连接AD，若AD＝DB，则∠DAE的大小是______． 14．如图4，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1， 则BD的长为______．1 x ?1 ? 2 2 x ?1 x ? x ?1 15.若 的值是 ,则x=____. 2 9x 3 ? 3 x ?116.若a,b,c为实数,且ab 1 bc 1 ca 1 abc ? , ? , ? ,那么 的值为 ab ? bc ? ca a?b 3 b?c 4 c?a 5____. 17.若a= ? 1,则a -2a -1996a 的值为_______.54318．如图5，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等 于______． 19．如图6，直角△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连接AF与BC相交 于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是______． 20．如图7，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交 AC于F，则FC的长等于______． 三、解答题 21．已知：a、b、c为实数，且多项式x ＋ax ＋bx＋c能够被x ＋3x－4整除． （1）求4a＋c的值． （2）求2a－2b－c的值． （3）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的大小．3 2 2 22．如图8，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相 交于点P，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xy＋yz＋zx＝28，求xyz的大小． 希望杯第九届（1998 年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题6分，共60分） 1．若a＋b＋c＝0，则a3＋a2c－abc＋b2c＋b3的值为[ A．－1. B．0. C．1. D．2 ] ]2．适合关系式｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6的整数x的值的个数是 [ A．0. B．1. C．2. D．大于2的自然数.3．已知x＜0＜z，xy＞0，｜y｜＞｜z｜＞｜x｜，那么 ｜x＋z｜＋｜y＋z｜－｜x－y｜的值 [ A．是正数. B．是负数. C．是零. ] D.2 5 . [ ] ] D．不能确定符号.4. 8 ? 63 ? 8 ? 63 的值为[ A.3 2 ; B.2 3 ; C.5 2 ;5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A＝∠B，那么∠C的外角的大小是 A．140°. B．80°或100°. C．100°或140°. D．80°或140°6．如图15，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的 大小是 [ ] A．60°; B．65°; C．70°; D．75°.7.若对于 ? 3以外的一切实数x,等式 A．8 B．－8. C．16 D．－16m n 8x ? ? 2 均成立,则mn的值为[ ] x?3 x?3 x ?98.已知N＝2222??2（共k个2），若N是1998的倍数， 那么符合条件的最小的k值是 [ A．15 B．18. C．24 9.在方程组 ? [ D．27 中,x,y,z是互不相等的整数,则此方程组的解的组数为 D．少于3 ]?x ? y ? z ? 03 3 3 ? x ? y ? z ? ?36] A．6B．3C．多于610．如图16，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F， 且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是 [ A．CF＞GB B．CF＝GB. C．CF＜GB 二、填空题（每题6分，共60分）2 11． 把代数式 （x＋y－2xy） （x＋y－2） （xy－1）分解成因式的乘积， ＋ 应当是________.]D．无法确定的12．设实数x满足方程｜x －1｜－x｜x＋1｜＝0，则x的值为________. 13.设x=233 ? 5 ,那么代数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值为_________. 2 14.1998 ? 1999 ? 2000 ? 2001 ? 1 的值为_________. 415．如图17，Rt△ACB中，∠ABC＝90°， 点D、E在AB上，AC＝AD，BE＝BC ，则∠DCE的大小是________. 16．如图18，△ABC中，∠ABC＝45°， AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD， 交BC的延长线于F，则∠CAF的大小是________. 17．如图19，Rt△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD交 BD的延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M，交BC 于H，则BM与CE的大小关系是________. 18．如图20，四边形ABCD中有两点E、F，使A、B、C、D、E、F中任意三点都不在同一条 直线上，连接它们的顶点，得若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，则 所有这些三角形的内角和为______；同样，若四边形ABCD中有n个点，其中任意三点 都不在同一条直线上，以A、B、C、D和这n个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形， 则所有这些三角形的内角和为_________. 19．如图21，直线段AB的长为l，C为AB上的一个动点， 分别以AC和BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形 △ACD和△BCD′，那么DD′的长的最小值为________. 20．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶， 乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开 出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发 现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在 始发站公共汽车发车的间隔时间x＝________. 三、解答题（每小题15分，共30分）解答本题时，请写出推算过程. 21.已知n,k均为自然数,且满足不等式7 n 6 ? ? .若对于某一给定的自然数n,只 13 n ? k 11有唯一的自然数k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数. 22．甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p ＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的 糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖， 又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和 是18，问：p、q、r分别是哪三个正整数？为什么？ 第十届（1999年） “希望杯”全国数学邀请赛 初中二年级第一试试题一、选择题:（每小题6分，共60分） 1．下列各式中，正确的是 [ ] C. 4 ?1 ?1? A. ? ? ? ; 3 ?9?2.2B. 21 1 ?1 ; 4 29 3 ? 2 ? ; D. 16 417 2 ? 7 2 ? 10 .1 30 ? 31与 30 ? 31 的关系是[] D．互为负倒数A．相等 3.代数式B．互为相反数.C．互为倒数? ? 3.1416 的值[ ] 3.1415 ? ?A．是零．B．在0与1之间.C．在－1与0之间.D．等于1或－1 4．某工厂到车站的路程为m千米，现有一辆汽车从工厂到车站拉货，去时的速度为3a千 米/小时，返回时的速度为2a千米/小时，那么这辆车往返一次的平均速度为[ A. ]5 2 7 12 a千米/小时; B. ma千米/小时;C. a 千米/小时;D. a千米/小时; 2 5 3 5 5．两个数a，b，且a＜b，把a到b的所有数记做[1,4],如果 5 ? m ? 15 , 20 ? n ? 30 ,那么的一切值包含在[ A.[5,30]; B. ? , ? ; 4 4 ]内. C. ? , ? ; 6 3?1 3? ? ??1 2? ? ?D. ? , ? . 6 8 ]?1 7? ? ?6.x,y为实数,设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为[ A．a＜b＜c.B．b＜a＜c. C．b＜c＜a. D．a＝b＞c7．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的和的2倍，那么这个三角形一 定是[ ]A．锐角三角形 ;B．钝角三角形;C.直角三角形;D．直角或钝角三角形. ]8．在四边形ABCD中，若两条对角线AC＝BD且AC⊥BD，则这个四边形 [A．一定是正方形;B．一定是菱形;C．一定是平行四边形;D．可能不是平行四边形. 9．如图1，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别在BC、AC、AB上，若BD=CE，CD=BF，则∠EDF ＝[ ] A.900-1 ?A ; 2B.900- ?A ;C.1800- ?A ;D. 1800-2 ?A . [ ]10．如果三角形的重心在它的一条高线上，则这个三角形一定是A．等腰三角形 B．直角三角形.C．等边三角形 D．等腰直角三角形． 二、A组填空题（每小题6分，共60分） 11．分解因式：xy－1－x＋y＝______． 12.计算:1 10 ? 8 3 ? 2 2 =_________. 23 ? 2 x2 ? 4 x =__________. x2 ? 2x ? 11997 ( 1997 ? 1999)( 1997 ? 2001)200113.已知:x= 3 -1,那么14.计算:?1999 ( 1999 ? 2001)( 1999 ? 1997)+( 2001 ? 1997)( 2001 ? 1999)3 2=___________.15．若x ＋3x －3x＋k有一个因式是x＋1，则k＝______． 16．给出四个自然数a，b，c，d，其中每三个数之和分别是180，197，208，222，那a， b，c，d中最大的数的值是______． 17． 如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线， 那么这个三角形的形状是____． 18． 如图2， 直线l1平行l2△ABC是直角三角形， ∠A＝90°∠ABF＝25°， 则∠ACE＝______． 19．在纸上画一个正六边形，在六边形外画一条直线l，从六个顶点分别向直线l引垂线 可以得到k个不同的垂足，那么k的值在3，4，5，6这四个数中不可能取得的是______． 20．圆的内接矩形的周长与圆周长之比的最大值是______． 三、B组填空题（每小题6分，共30分） 21． 一个矩形的长为15cm， 宽为8cm， 以矩形的四边中点为顶点的四边形的周长＝______， 面积＝______． 22.实数a满足丨a丨+a=0,且a≠-1,那么a ?1 a ?1______或________.23. 实数a,b满足(2a+b) +22a 2 ? 32 3?a=0, 那么a=_______,b=________.? xy ? 9 ? 1 4 的解是_________或________. 24.方程组 ? 1 ? ? ? x 3 y ? 25．某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种8行树，男同学种的树比女同 学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100 棵；如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学植树的数目都达不到100棵．这 样原来预定男同学种树______棵；女同学种树______棵．第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试一、选择题： 1． 与 的关系是（ ）。B（A）互为倒数 （B）互为相反数 （C）互为负倒数 （D）相等C2．已知 x≠0，则的值是（ ）。A D（A）0 （B）-2 （C）0 或-2 （D）0 或 2 图1 3．适合|2a＋7|＋|2a-1|＝8 的整数 a 的值的个数有（ ）。 （A）5 个 （B）4 个 （C）3 个 （D）2 个 4．如图 1，四边形 ABCD 中，AB//CD，∠D＝2∠B，若 AD＝a，AB＝b，则 CD 的长等于（ ）。 （A）b-a （B）b（C） (b-a) （D）2(b-a)5．有四条线段，a＝14，b＝13，c＝9，d＝7，用 a、c 分别作一个梯形的下、上两底，用 b、 d 分别作这个梯形的两腰(作出的全等的梯形算一种)，那么这样的梯形（ ）。 （A）只能作一种 （B）可以作两种 （C）可以作无数种 （D）一种也作不出 6．当 1≤x≤2 时，代数式 （A）0 （B）2 （C）2 7．已知 （A） ＝a, （B） ＝b，则 （C） （D）-2 用 a、b 表示为（ ）。 （D） 可以化简为（ ）。8．互不相等的三个正数 a、b、c 恰为一个三角形的三条边长，则以下列三个数为长度的线 段一定能作成三角形的是（ ）。 （A） , , （B）a2, b2, c2 （C）,,（D）|a-b|, |b-c|, |c-a|9．在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角(如又 A、B、C 三个顶点形成∠ABC、∠BAC、 ∠ACB)，一共可以作出 168 个角，那么这些角中最小的一个一定（ ）。 （A）小于或等于 20° （B）小于或等于 22.5° （C）小于或等于 25° （D）小于或等于 27.5° 10．设 a、b、c 均为正数，若 （A）c&a&b （B）b&c&a （C）a&b&c （D）c&b&a 二、A 组填空题: 11．分解因式 a3b＋ab＋30b 的结果是 12．若实数 a、b、c 在数轴上对应点的位置如图所示，则 于 13．已知分式 。 的值是，那么 x 的值应是 。 。F，则 a、b、c 三个数的大小关系是（ ）。。 -|b-a|＋|b＋c|等14．如图 3，∠1＝27.5°,∠2＝95°, ∠3＝38.5°,则∠4 的大小是AA4DDF2 1 图3 3BE图4CCB图5E15． A1A2A3??An 是一个有 n 个顶点的凸多边形， 设 对每一个顶点 Ai (i＝1, 2, 3, ??, n)， 将构成该角的两边分别向外延长至 Ai1, Ai2, 连接 Ai1Ai2 得到两个角∠Ai1, ∠Ai2，那么所 有这些新得到的角的度数的和是 。 16．如图 4，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝7，过顶点 A 作∠BAD 的平分线交 BC 于 E，过 E 作 EF⊥ED 交 AB 于 F，则 EF 的长等于 。 17．如图 5，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，BC＝2，D 是 AC 的中点，过 D 作 DE⊥ AC 与 CB 的延长线交于 E，以 AB、BE 为邻边作长方形 ABEF，连接 DF，则 DF 的长等 于 。 18．某次数学竞赛第一试有试题 25 道，阅卷规定：每答对一题得 4 分，每答错(包括未答) 一题扣除一分，若得分不底于 60 分的同学可以参加二试，那么参加二试的同学在一试中 至少需答对的题数是 。 19．若 510510 的所有质因数按照从小到大的顺序排列为 a1, a2, a3, ??, a k(k 是最大的 质因数的序号)，则(a1-a2)(a2-a3)(a3-a4)??(a k-1-a k)的值是 。 20．两个七进制整数 454 与 5 的商的七进制表示为 。 三、B 组填空题： 21．已知 a＋ ＝ ，则 a ＋5的值等于或。22．一项工程，甲单独完成需要 a 天，乙单独完成需要 b 天，a、b 都是自然数，现在乙先 工作 3 天后，甲、乙再共同工作 1 天恰好完工，则 a＋b 的值等于 或 。 23．一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为 500°，那么这个多边形的边数 是 或 。 24．小张以两种形式储蓄了 500 元，第一种储蓄的年利率为 3.7%，第二种储蓄的年利率为 2.25%，一年后得到利息为 15.6 元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是 或 。 25．若 a 为整数，且分式 等于 或 。 的值是正整数，则 a 的值第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试一、选择题：998 9 , － , － , － 这四个数从小到大的排列顺序是( ) 999 00
1999 （A） － &－ &－ &－ （B） － &－ &－ &－ 9 999
98 999 998 998 99 （C） － &－ &－ &－ （D） － &－ &－ &－ 10 00 19 99
00 2．一个三角形的三条边长分别是 a, b, c(a, b, c 都是质数)，且 a＋b＋c＝16，则这个三 角形的形状是( ) （A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等边三角形（D）直角三角形或等腰三角形1．－ 3．已知 25x=00，则1 1 ? 等于( x y)（A）2（B）1（C）1 2（D）3 2)4．设 a＋b＋c=0, abc&0，则 （A）－3 ( ) （B）1b?c c?a a?b ? ? 的值是( |a| |b| |c|（C）3 或－1（D）－3 或 15．设实数 a、b、c 满足 a&b&c (ac&0)，且|c|&|b|&|a|，则|x－a|＋|x－b|＋|x＋c|的最小值是|a ? b ? c| （B）|b| （C）c－a （D）DcDa 3 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为 10，则底边的长为( ) （A）一切偶数 （B）2 或 4 或 6 或 8 （C）2 或 4 或 6 （D）2 或 4 7．三元方程 x＋y＋z＝1999 的非负整数解的个数有( ) （A） 个 （B） 个 （C）2001000 个 （D）2001999 个 8．如图 1，梯形 ABCD 中，AB//CD，且 CD＝3AB，EF//CD，EF 将梯形 E ABCD 分成面积相等的两部分，则 AE ：ED 等于（ ）。（A）AB F CD? ? 1 5 ?1 5 ?1 3 （C） （D） 2 2 2 9．如图 2，一个边长分别为 3cm、4cm、5cm 的直角三角形的一个 顶点与正方形的顶点 B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边 AD、 DC 上，那么这个正方形的面积是（ ）。 16 2 15 2 （A） cm2 （B） cm2 15 16 17 2 16 2 （C） cm2 （D） cm2 16 17（A）2 （B） 10．已知 p＋q＋r＝9，且 （A）9 二、填空题： 11．化简： （B）10A 5 F D 4 3 E ? ? 2BCp x ? yz2?q y ? zx2?px ? qy ? rz r , 则 等于 x?y?z z ? xy2（C）8（D）723 ? 6 6 ? 4 2 3? 2=。12．已知多项式 2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6 可以分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，那 么m3 ? 1 的值是 n2 ?1。13．△ABC 中，AB&AC，AD、AE 分别是 BC 边上的中线和∠A 的平分线，则 AD 和 AE 的大小关系是 AD AE。(填“&”、“&”或“＝”)B E。14．如图 3，锐角△ABC 中，AD 和 CE 分别是 BC 和 AB 边上的高， 若 AD 与 CE 所夹的锐角是 58°，则∠BAC＋∠BCA 的大小是 15．设 a2－b2＝1＋ 2 , b2－c2＝1－ 2 ，则 a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a258°D CA的值等于 。图31 1 =3，则 x3＋ 3 的值是 2 x x。16．已知 x 为实数，且 x2＋17 ． 已 知 n 为 正 整 数 ， 若 于 。n 2 ? 3n ? 10 是一个既约分数，那么这个分数的值等 n 2 ? 6n ? 16AE18．如图 4，在△ABC 中，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝60°，将△ABC 折叠，使点 B 和点 C 重合，折痕为 DE，则△AEC 的面积是 。BD 图4C19．已知非负实数 a、b、c 满足条件：3a＋2b＋c=4, 2a＋b＋3c=5， 设 S＝5a＋4b＋7c 的最大值为 m，最小值为 n，则 n－m 等于 。 20．设 a、b、c、d 为正整数，且 a7＝b6, c3＝d2, c－a＝17，则 d－b 等于 三．解答题： 21．已知实数 a、b 满足条件|a－b|＝ 示成只含有字母 a 的形式。 22．如图 5，正方形 ABCD 中，AB＝ 3 ，点 E、F 分别在 BC、CD 上， 且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF 的面积。 23．将编号为 1，2，3，4，5 的五个小球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子中，每个盒子只放入一个， ① 一共有多少种不同的放法？ ② 若编号为 1 的球恰好放在了 1 号盒子中，共有多少种不同的放法？ ③ 若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)，共有多少种不同的放法？。b 1 1 &1,化简代数式( － ) (a ? b ? 1) 2 ，将结果表 a a bAD FBE 图5C 希望杯第十二届（2001 年）初中二年级第一试试题一、选择题(第小题 5 分．共 50 分) 1．设 x= 2001 ? 2000 ,y= 2000 ? 1999 则 x．y 的大小关系是( A．x&y B．x=y C．x&y D．无法确定的 )．2．代数式 x ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值是( )． A．0 B．1+ 2 C．1 D．不存在的3．设 b≠a 且满足( 3 +1)(a－b)+ 2 (b－c)=a－c，则a ?b 的值( b?c)．A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．的正负号不确定 4 3 2 4．设 y=x -4x +8x ―8x+5．其中 x 为任意实数，则 y 的取值范围是( A．一切实数 B．一切正实数 C．一切大于或等于 5 的实数 D．一切大于或等于 2 的实数 5．已知点 D 在线段 EF 上，下列四个等式：①DE=2DF，②DE=)．1 1 EF，③EF=2DF，④DF= DE， 3 2其中能表示点 D 是线段 EF 的一个三等分点的表达式是( )． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2 2 2 6．已知△ABC 中,∠B=60°，∠C&∠A，且(∠C) =(∠A) +(∠B) ，则△ABC 的形状是( )． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或钝角三角形 7．凸 n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则 n 的最大值是( )． A．4 B5 C．6 D．7 8． 如图， 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 正方形 EFGH 内接于正方形 ABCD， AE=a， AF=b． 若 s 正方形 EFGH=2 ，则|b－a|等于( 32 3C．)．A．2 2B．3 2D．3 39． 某工厂生产的灯泡中有1 4 1 是次品， 实际检查时， 只发现其中次品的 被剔除， 另有 的 5 5 20正品也被误以为是次品而剔除， 其余的灯泡全部上市出售， 那么该工厂出售的灯泡中次品所 占的百分率是( )． A．4% B．5％ C．6．25％ D．7．25% lO．在正常情况下，一个司机每天驾车行驶 t h，且平均速度为 v km／h，若他一天内多行 驶 1 h，平均速度比平时快 5 km／h，则比平时多行驶 70 km，若他一天内少行驶 1 h，平均 速度比平时慢 5 km／h，他将比平时少行驶 ( )． A．60 km B．70 km C．75 km D．80 km 二、A 组填空题(每小题 5 分，共 50 分) 11．计算：0―1= ．2m ? x 4mx - 1 3 的解是 x≥ ，那么 m 的值是 ? 4 3 2 x x x x 13．Root of the equation ? ． ? ? ? 2 is 3 15 35 6312．已知关于 x 的不等式 (英汉小字典：root 根；equation 方程．) 14．已知 x +2x+5 是 x +ax +b 的一个因式，那么 a+b 的值是 l5．若三角形的三个外角的比是 2：3：4，则它的三个内角的比是 16．若∠A 的补角的余角大于 30°，2 4 21 ∠B 的余角的补角小于 150°，那么∠A 与∠B 的大 2小关系是 17．如图，△ABC 中，∠A=30°，CD 是∠BCA 的平分线，ED 是∠CDA 的 平分线，EF 是∠DEA 的平分线，DF=FE，那么∠B 的大小是 18．如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB=120°，点 E 平分 DC，点 P 在 BD 上， 且 PE+PC=1，那么边长 AB 的最大值是 19．已知 x，y, z 为实数，且满足 ??x ? 2y - z ? 6 2 2 2 ．那么 x +y +z 的最 ?x - y ? 2z ? 3小值是 4 2 20。已知 n 是正整数，且 n ―16n +100 是质数，那么 n= 三、B 组填空题(每小题 10 分，共 50 分) 21．设 A=|2x+1|―|1―2x|，则当 x&－1 时，A= 2.当 x&1 时．A= 222．Suppose both a and b are integer．As(a－2b)(8－a)=1，then a+b= or ． (英汉小字典：integer 整数．) 23．如图，延长凸五边形 AlA2A3A4A5 的各边相交得到五个角∠B1、∠B2、∠B3、 ∠B4、∠B5，它们的和等于 ；若延长凸 n 边形(n≥5)的各边相交， 则得到的 n 个角的和等于 ． 24．我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法， 如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称．干支中的干是天 干的简称，是指甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；支是地支的简称，是指子、丑、 寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在纪年时，同时分别从甲子开始，不改变各自 的顺序，循环往复下去．已知公元 2001 年是辛巳年，那么公元 1999 年是 年，上一 个辛巳年是公元 年． 25．若a b c d a ?b?c ?d 的值是 ? ? ? ,则 b c d a a?b?c?d或 希望杯第 12 届八年级第 2 试试题一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表 示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。 1．化简代数式 3 ? 2 2 ? A. 3 B. 1? 233 ? 2 2 的结果是（D. 2 2）C. 2? 222．已知多项式 a? ?? x b c 除以 x 1 x xd ? 时，所得的余数是 1，除以 x 2 ? 时所得的余 数是 3，那么多项式 a? ?? x b c 除以 ( ? x 2 x xd x1 ? 时，所得的余式是（ ) ( )3 2）A． 2 ? B. 2 ? C. x 1 D. x 1 x1 x1 ? ? 3．已知 a 1 | ?且a ?b |? a ，那么（ a ?b）A. a ? B. a ? C. a ? D. a b 0 b 0 b 0 b 0 ??? 4 ． 若 |a?c ， b | ||ac ? ab ? bc ? a?c ， 2 |， S | || | b a ? ? | S| ， ? |， S3 ? | |，则 1 2 2 c a b）S S、 、 S的大小关系是（ 1 2 3A. S S?3 B. S S?3 ?2 S ?2 S 1 1 C. S S S D. S S S ?3?2 ?3?2 1 1 5．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（ A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ）AC ? ? c ? ? ? c ? 6. 若 ?B 的三边长是 a、b、c，且满足 abcb， bcaa，4 4 4 2 2 4 4 4 2 2 4 4 c aba，则 ?B 是（ ? 4 2 ? b AC ?2）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形?） 7. 平面内有 n 条直线（ n 2，这 n 条直线两两相交，最多可以得到 a 个交点，最少可以 得到 b 个交点，则 a? 的值是（ b2 A. nn 1 B. n ? ? C. n1 ( ?)）n2 ? n 2D.n2 ? n ? 2 28．In fig. 1, let ?B be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ? ?0 then the B 1, F 2 C?magnitude relation between Ad and CE is （）A. A C B. A C C. A C D. indefinite DE ? DE ? DE ? （英汉词典：equilateral 等边的；intersection 交点；magnitude 大小，量；indefinite 不确定 的）9. 已知两个不同的质数 p，q 满足下列关系：2 p 0 ?2 0 m 是适当的整数，那么 p2 ?q2 的数值是 ? ?， ? ，m 2 m ? 0 1 0 2 p q0 ? 1 0 q（）A. 4004006 B. 3996005 C. 3996003 D. ．小张上周工作 a 小时，每小时的工资为 b 元，本周他的工作时间比上周减少 10％，而 每小时的工资数额增加 10％，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比（ A. 增加 1% B. 减少 1% C. 增加 1.5% D. 减少 1.5% 二、填空题： （每小题 6 分，共 60 分） 11. 化简： ）2? 5? 32 3 ? 2? 3 0 6 4的结果是_________。12. 已知 p、q 为实数，且 q?3，满足 p 1 1 p p q q p ?? ? ?? 3 4 4 22 q ，那么2 2p?2 的 q?3值等于_______。 13. 无理数 ( ? 2) 的整数部分是________。 14 14. 设 a、b、c 均为不小于 3 的实数，则 a ?? ?? 的最小值是_____。 ? b? c | 2 1 | 1 1 15. 如图 2，直线 A? ? ? ， B E F， /， G H / C? H M D0 ? N F A 3 ， 9 0 ? 3 0? ? ?GM ?CNP ? 50 ? ，则 ?H 的大小是_____。E A30°F90° GBx 30°M DCH P50°N图24 1 ) 9 ? 16. 代数式 x??(2 x ?的最小值是_______。2 217. 有大小两个杯子，大杯中盛满 48 升纯酒精，第一次倒出一小杯纯酒精后，用水加满大 杯，第二次又倒出一小杯混合溶液，再用水加满大杯，这时大杯中还剩余 27 升纯酒精， 那么小杯的容积是________。 18. If p and q are unequal primes, m and n are unequal positive integers satisfying2 2 （ m p ? ? and n ? n q 0then the value of p?qis ________。 英汉词典： ?mq 0 p? ? ,prime 质数） 19. 如图 3，R A 中， C0 ? 0 D、 分别在 AB、 上， D B AC 且 EA， t B ? C ? ，3 点 E ? ? 9 A ， ?? ?若 DE 将 ?B 分成面积相等的两部分，那么线段 CE 与 AE 的长度的比是________。 AC20. 如图 4，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形H ， ，那么线段 AD 与 AB 的比等于_________。 3 F ? EFGH，若 E? E 4 A EH MD G N F 图4 CB三、解答}
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第1-20届希望杯初二试题(1,2试)
希望杯第一届（1990 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 A．45°. B．75°.C．55°. 2．2的平方的平方根是 A．2. B．?10()D．65°() D．46 5 4 3 22.9C．±2.8 73．当x=1时，a0x -a1x +a0x -a1x -a1x +a1x -a0x +a1x -a0x +a1x的值是( A．0 B．a0. C．a1 D．a0-a1 ))4. Δ ABC,若AB= ? ,BC=1+ 2 ,CA= 7 ,则下列式子成立的是(A．∠A＞∠C＞∠B;B．∠C＞∠B＞∠A;C．∠B＞∠A＞∠C;D．∠C＞∠A＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( A．4个 B．5个. C．6个. ] D．7 )6． 5 2 ? 7 的立方根是[ （A） 2 ? 1 .（B） 1? 2 .（C） ? ( 2 ? 1) . （D） 2 ? 1 .7．把二次根式 a ? ? 1 化为最简二次根式是[ ] a (A)a . (B) ? a . (C) ? ? a . (D)?a8．如图1在△ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F不是AB，BC，CA的中点．又 AE，BF，CD分别交于M，N，P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角 形，那么从图中能找出全等三角形( A．2组 9.已知 B．3组.C．4组 D．5组。 )x 2 ? 2 xy ? 2 y ? 1 y2 ?1 y ?1 等于一个固定的值， ? 2 ? 2 x ?1 2 y ? xy ? y ? x ? 1 x ? 1) C．2. D．4.则这个值是( A．0.B．1.把f1990化简后，等于 A．()x 1 . B.1-x. C. . D.x. x ?1 x 二、填空题（每题1分，共10分）. 1. 130 ? 66 ? ________2 23 ? 9 ? 1 ? ? 3 ? 2. 121 ? 0.0196 ? ? ? . ? ? ? __________ ? 625 ? ? 125 ? ? ? ???3. 8 ? 98 ? 50 =________. 4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC的度数是______．5．如图3,O是直线AB上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD的度数是____度． 6．△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线与∠B的平分线交于O点，则∠AOB的度数是 ______度． 7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x +px+q=0，当p＞0，q＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x，y，z适合方程组2?8x ? 2 y ? z 6 x ? z x ? y ? ? ? 5 3 2 ? ? x ? y ? z x ?1 y ?1 ? ? ? 3 5 3 ? ?3 x ? 4 y ? 5 z ? 1 ? ?则1989x-y+25z=______． 10．已知3x +4x-7=0，则6x +11x -7x -3x-7=______．2 4 3 2希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分） 1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的 底边长是[ ] A．7.5 B．12. C．4. D．12或4 ]2.已知P= 1988 ? 1989 ? 1990 ? 1991 ? 1 ? (?1989 ) 2 ，那么P的值是[ A．1987 B．1988. C．1989 D．1990 3． a＞b＞c， x＞y＞z， M=ax+by+cz， N=az+by+cx， P=ay+bz+cx， Q=az+bx+cy， 则[ A．M＞P＞N且M＞Q＞N. B．N＞P＞M且N＞Q＞M C．P＞M＞Q且P＞N＞Q. D．Q＞M＞P且Q＞N＞P]4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶ 3 ,则∠BDA=[ A．30° B．45°. C．60°. D．不能确定]5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在 三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质 的分割[ ]A．是不存在的. B．恰有一种. C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分） 1． △ABC中，∠CAB? ∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA 的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______． 2． 若 a ? 1 ? (ab ? 2) 2 ? 0 ,那么1 1 1 ? ? ?? 的值是_____. ab (a ? 1)(b ? 1) ( a ?1990)( b ?1990)3． 已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______． 4． Δ ABC中, ∠B=30 ,AB= 5 ,BC= 3 ,三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三 个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c是非零整数,那么 _________.0a b c ab ac bc abc ? ? ? ? ? ? 的值等于 a b c ab ac bc abc三、解答题:（每题5分，共15分） 1．从自然数1，2，3?，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是 177． 2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇ 的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方 形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自 然数n之和被7除余数都不为1， 将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列 n1＜n2＜n3＜n4??， 试求：n1?n2之值．第二届（1991 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分） 1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ A．2; B．3; C．4; D．5 2．方程x2-5x+6=0的两个根是[ A．1，6 ; B．2，3; ] ]A O P (1) BC．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ] A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC3 4? (1 ? 3) 2 4 ,则a,b,c的大小关系是[ ] 4.a= ,b ? ,c ? 2 1 1? 3 (?5) 3? 4 ?5A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c 5.若a≠b,则(b-a) a ? b 等于[ ] A. 3 ( a ? b) ;3 3 B. ? 3 ?(a ? b) ; 3 3 C. ? 3 ( a ? b) ; D. 3 ?(b ? a )6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ A．3个 B．4个; C．5个 D．无数多个]7．两条直线相交所成的各角中， [ ] A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角 8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ] A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角 9．方程x2+|x|+1=0有[ A．4; B．2; C．1; ]个实数根． D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两 位数是[ ] A．26; B．28; C．36; D．38 11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ A．179; B．181; C．183; D．1853 2 12.如果 2 x ? 3 x ? 1, 那么 3 ( x ? 2) ? ( x ? 3) 等于[]]A．2x+5B．2x-5;C．1D．1 [ ]13．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是 A. 5 ? 3 ; B. 5 ? 2 ;C. 3 ? 2 ; D. 5 ? 3 ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大 C．一正根、一负根且负根的绝对值小;D．没有实数根 15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一 半时间以每小时b公里的速度行走；乙以每小时a公里的速度行走一半路程，另一半路 程以每小时b公里的速度行走．若a≠b时，则[ ]到达N地． A． 二人同时; B．甲先; C．乙先; D．若a＞b时，甲先到达，若a＜b时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分） 1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母:5? 7 =______________. 5? 73.方程 x ? 1 ? x ? 0 的解是x=________. 4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______． 5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k的值是______． 6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么 7．方程x2-y2=1991有______个整数解． 8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．a?b =__. c9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，则∠B等于______度．D E CAF BAEB DGCCADBF(2) (3) (4) 10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，则∠BFC等于__度． 12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分 线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为______． 13．在△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______． 14．等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积 是______． 15．已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程 的根是______．希望杯第二届（1991 年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的 中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于 A．1 ; B．2; C．3; D．4 ) ( )2．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( A. Bs- C. D. . 1? s 1? t)3.y&0时, ? x 3 y 等于( A.-x B. C.-x ? D.x ? xy .)4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式， 则a，b，c的关系可以写成( A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c )5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( A.AD2=BD2+CD2. 7.方程 x ? 1 ?2)B．AD2＞BD2+CD2. C．2AD2=BD2+CD2. D．2AD2＞BD2+CD2 )1 9 ( x ? ) 的实根个数为( 10 10A．4B．3. C．2 D．1 )x3 y 3 2 2 ? 8.能使分式 的值为112 3 的x 、y 的值是( y xA.x =1+ 3 ，y =2+ 3 ; C. x2=7+4 3 ，y2=7-4 3 ;2 2 2 2B. x =2+ 3 ，y =2- 3 ; D. x2=1+2 3 ，y2=2- 3 .9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完 全平方数的个数为z，合数的个数为u．则x+y+z+u的值为 ( A．17 B．15. C．13 D．112)10．两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x -21x+t=0的两个根,则 A.2213; B.b a ? 等于( a b)58
; C. ; D. . 49 38 21二、填空题（每题1分，共10分） 1.1-8=______． 2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=______． 3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是______． 4．边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为180 ,那么01 1 1 ? ? =_________. a b c5.方程组 ?? x ? ay ? 5 有正整数解,则正整数a=_______. ?y ? x ?1 6.从一升酒精中倒出 倒 出1 升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再 31 1 升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出 升混合液, 并加入等量的水,这时, 3 3所得混合液中还有______升酒精. 7．如图31，在四边形ABCD中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且 ∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9. x ?2 ? 2 x ? 4 3 的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab≠1．且 2a +a+3=0,3b +b+2=0,则2 2a =______. b三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明， 字迹与绘图力求清晰、工整） 1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段 水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面 积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当 怎么作？写出作法，并加以证明． 希望杯第三届（1992 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．已知a＞b＞0，则有 [ ] A.a+b&1; B.ab&1; C. bD.a-b&1.2． 已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最 长边等于[ ] A.2; 3.若 a ? B.2 2 ; C.3; D.3 2 .1 1 ( 5 ? 3), b ? ( 5 ? 3) ,那么a2-ab+b2的值为[ ] 2 2B.A.7 ; 29 ; 2C.11 ; 2]D.15 ? 1. 24.3 ? 2 2 的值等于[A. 3 ? 2 ;B. 3 ? 1 ;C. 3 ? 2 ;D. 2 ? 1 .5．△ABC中，∠A=θ -α ，∠B=θ ，∠C=θ +α ,0°＜α ＜θ ＜90°．若∠BAC与∠BCA 的平分线相交于P点，则∠APC= [ ] A．90° B．105°. C．120° D．150° 6．一个自然数的算术平方根为a(a＞1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方 根为 [ ] A.a-1,a+1; B. a ? 1, a ? 1 ; C. a ? 1, a ? 1 ; D. a -1,a +1.2 22 2 27.已知实数a满足丨1992-a丨+ a ? 1993 =0,那么a-1992 的值为[ A．1991. B．1992. C．1993. D．1994. 8．正整数a被7除，得到余数4，则a +5被7除，得到的余数是[ A．0. B．2. C．4. D．6. 9. 6 ? 35 ? 6 ? 35 的值为[ ]3]] A. 7 ? 5 ;2B. 14 ;C.1 ( 7 ? 5) ; 2D.D.1. [ ]10．方程x +667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 A.1 ; 664B. ?1 1 ; C. ; 667 19921 . 3二、填空题:（每题1分，共10分） 1． 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数等于______． 2． 二次根式 x ?6 61 化为最简根式应是___________. x5 4 3 23． 若(x-1) =a0x +a1x +a2x -a3x -a4x -a5x-a6，则a6=______．2 2 2 4． 若a、 c为△ABC的三边的长,则 ( a ? b ? c ) ? (b ? c ? a ) ? (c ? a ? b) =_______. b、5．如图39，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB， 则D，B两点之间的距离等于______． 6. 2 的小数部分我们记作m,则m +m+ 2 =___________. 7．若a＞b＞c＞0，一元二次方程(a-b)x +(b-c)x+(c-a)=0的两个实根中，较大的一个 实根等于______． 8．如图40，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______． 9．一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后 仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数”， 则所有“无瑕质数”之和等于______． 2 3 2 2 2 10．若3x +4y-10=0，则15x +3x y+20xy+4y +3x -50x-6y=______．2 2希望杯第三届（1992 年）初中二年级第二试题一、选择题（:每题1分，共10分） 1．= [ A．47249 ]B．45829. C．43959 D．449692．长方形如图43．已知AB=2，BC=1，则长方形的内 接三角形的面积总比数( A. )小或相等． [ D. ]4 ; 7B.1;C.2 ; 31 . 3[ ]3．当x=6，y=8时，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 A．000. B．400 C．400. D．0004．等腰三角形的周长为a(cm)．一腰的中线将周长分成5∶3，则三角形的底边长为 [ ] A. 6B.3 5C.a 8 或 6 5D.4 a. 5]5.适合方程 x 2 ? 2 xy ? y 2 +3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合[? x ? 2 y ? 3z ? 0 ? x ? 3 y ? 2 z ? ?6 ? ? A. ? 2 x ? y ? z ? 0 ;B. ? x ? y ? z ? 0 ; ?x ? y ? z ? 0 ?2 x ? y ? 3z ? 2 ? ? ? x ? 3 y ? 2 z ? ?6 ?x ? y ? z ? 0 ? ? C. ? 2 x ? y ? z ? 0 ;D. ? ? x ? y ? z ? 0 ?2 x ? y ? 3z ? 2 ?2 x ? y ? 3z ? 2 ? ?6.四边形如图44,AB=3 ,BC=1, ∠A=∠B=∠C=300,则D点到AB的距离是[ 2C.]A.1;B.1 ; 21 ; 4D.1 . 8]7．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这 些对应值中，最小的值是 [ A．1 B．2. C．3 D．48． 一个等腰三角形如图45． 顶角为A,作∠A的三等三分线AD， （即∠1=∠2=∠3） AE ， 若BD=x，DE=y，EC=z，则有 [ A．x＞y＞z ] D．x=y=z ]B．x=z＞y. C．x=z＜y9．已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是[ A．5 B．9. C．10 D．11? 10.正方形如图46,AB=1, BD 和 ? 都是以1为半径的圆弧, AC则无阴影的两部分的面积的差是[ A. ] D. 1 ??2? 1;B. 1 ??4;C.?3? 1;?6.二、填空题（每题1分，共10分） 3 1.方程 x ?6 的所有根的和的值是______________. 1? 3 x1992 ? 1991 ,a-b= 1992 ? 1991 ,那么ab=________.2.已知a+b=3．如图47，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD 与BE交于H，则∠CHD=______． 4.已知x=1 3 3 5 2 5 ,那么 x ? x ? x +1的值是______． 2 ?1 4 2 45．如图48，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么△BPD 的面积的值是______． 6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么x3 ? y 3 =________. x3 ? y 37．在正△ABC中（如图49），D为AC上一点，E为AB上一点， BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=______． 8.已知方程x2-19x-150=0的一个正根为a,那么1 a ? a ?1++1 1 + +┉ a?2 ? a?3 a ?1 ? a ? 21 =____. a ? 1999 ? a ? 20009．某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8 名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生______名． 10．n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=______． 三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分） 1． 若a，b，c，d＞0，证明：在方程 1 2 1 x ? 2a ? d x ? cd ? 0 , x 2 ? 2b ? cx ? da ? 0 , 2 2 1 2 1 2 x ? 2a ? bx ? ab ? 0 x ? 2d ? ax ? bc ? 0 中,至少有两个方程有 2 2不相等的实数根.2．(1)能否把1，2，?，个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组 各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，?，最后第八组各数之 和比第七组各数之和也多10？请加以说明． (2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够， 请给出一种分组法．希望杯第四届（1993 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分） 1．如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确的是 [ ] A.a+b&-1; B.ab&1; C. 2．已知四个命题：①?a a &1; D. &1. b b]1是1的平方根．②负数没有立方根. ③无限小数不一定是无理数.④ ?3a 一定没有意义.其中正确的命题的个数是[ A．1 B．2 C．3 D．43.已知8个数:1 3 17 , ?8 ,0.236, (1 ? 2) 2 ,3.1416, ?? , 3 ?4 ? 2 27其中无理数的个数是[ A．3 B．4C．5 ] D．6 ],?? ??3? 2 ??1 ? ? , 3? 2?24.若A= ( a 2 ? 9) 4 ,则A的算术平方根是[ A．a2+3 B．(a2+3)2. C．(a2+9)2D．a2+9 ]5．下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 [ A．1，2，3. B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c. D．1，m，n，其中1? 6．方程x +|x|-6=0的最大根与最小根的差是[ A．6 B．5. C．4 D．32m＜n]7．等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是 [ ] B．50°,50°,80°或130°,25°,25°A．50°,50°,80°.C．50°,65°,65°D．50°,50°,80°或50°,65°,65° 8.如果x+y= 7 3 ? 5 2 ,x-y= 7 2 ? 5 3 ,那么xy的值是[ A. 3 3 ? 3 2 ; B. 3 3 ? 3 2 ; ]C. 7 3 ? 5 2 ; D. 7 2 ? 5 3 .9．如图67，在△ABC中，AB=AC，D点在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F． ∠BDE=140°，那么∠DEF是 A．55° B．60°. C．65° 10.已知[ ]D．70°1 2 2 &x&1,将 (2 x ? 1) ? ( x ? 4) 化简得[ ] 2B．3+3x. C．5+x D．5-xA．3-3x.11．如图68，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心， 那么图中全等的三角形的对数是[ A．5 B．6. C．7 D．8． [ ] ]12．若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有实数根，则k的最大整数值是 A．?1. B．0.C．1D．2．13．对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整 除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是[ A．1 B．2.2]C．32D．4． ]14．若方程9x -6(a+1)x+a -3=0的两根之积等于1，则a的值是[ A. ?2 3 ; B. 2 3 ; C. ?2 2 ; D. 2 2 .15．有下列四个命题： ①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形． ②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形． ③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形． ④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形． 其中正确的是 [ ] A．①，② B．②，③. C．③，④ D．④，①．二、填空题（每题1分，共15分） 1． 某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是______． 2.实数x满足x+ 5 x ? 16 =0,则 5 x ? 16 的值为________. 3.设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5 的平均数为A，则10A=______．2 2 4.如果实数x、y满足2x -6xy+9y -4x+4=0,那么 x y =_________.5．设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三 边的三角形共有______个． 6.1 1 1 1 + + +┉┉+ =__________. 2 ?1 2? 3 3? 4 99 ? 100x2 ? 4 x2 ? 4 ?2? ? 2 =___________. 2x 2x7.当0&x&2时,8．已知方程x2+(2m+1)x+(m2+m+1)=0没有实数根，那么m为______． 9．已知a，b，c，d满足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么 a+b+c+d=______． 10．如图69，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则 AB+AC______DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接＝． 11.如果x-y= 2 +1,y-z= 2 -1,那么x +y +z -xy-yz-zx=____________. 12.若u、v满足v=2 2 22u ? v v ? 2u 3 ? ? ,则u2-uv+v2=__________. 4u ? 3v 4u ? 3v 2 13．如图70，B，C，D在一条直线上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，则CN=______． 14．设方程x -y =1993的整数解为α ，β ，则|α β |=______．2 21 x3 ? 3 ? 7 1 x 15.若,x+ =3, 则 =__________. 1 4 x x ? 4 ?3 x希望杯第四届（1993 年）初中二年级第二试试题一、 选择题:（每题1分，共10分） ]1.若a&0,则化简 a 2 ? (1 ? a ) 2 得[ A．1 B．? 1 C．2a? 1 D．1? 2a2.若一个数的平方是5-2 6 ,则这个数的立方是[]A. 9 3 ? 11 2 或 11 2 ? 9 3 ; B. 9 3 ? 11 2 或 11 2 ? 9 3 ; C. 9 3 ? 11 2 或 11 2 ? 9 3 ; D. 9 3 ? 11 2 或 ? 11 2 ? 9 3 . 3.在四边形ABCD中,AB=1,BC= 2 ,CD= 3 ,DA=2,SΔ ABD=1, SΔ BCD= ∠ABC+∠CDA等于[ ] A．150° B．180°.C．200° D．210°．6 ,则 24．一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0 的根，那么三角形的周长为 [ A.7 ]1 1 ; B.8 ; C.9; D.10. 2 2]5．如果实数x，y满足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy，那么x+y的值是 [ A.1. B．0. C．1 .D．2． 6.设x=n ?1 ? n n ?1 ? n 2 2 ,y= ,n为正整数,如果2x +197xy+2y =1993 n ?1 ? n n ?1 ? n] C．9. D.10成立,那么n的值为[ A．7. B．8.7．如图81，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的 周长多1厘米，则BD的长是 [ ] A．0.5厘米. B．1厘米.2C．1.5厘米. D．2厘米 ] D．4．8．方程x -2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 [ A．? 2 . B．0. C．-2 .9．如图82，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B＇，C＇，A＇， 且使BB＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．若S△ABC=1，那么S△A＇B＇C＇是 [ A．15. B．16. C．17. D．18. [ ] ]10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 A．a＞3. B.a≥3. C．a＜3. D．a≤3.二、填空题（每题1分，共10分） 1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是 ______．2 x12 ? x2 2．设x1，x2是方程x +px+1993=0的两个负整数根,则 =_______. x1 x223.方程x ?1 ?1 ?x ?1 ?1 ?1 的解是____________. x ?14．如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点， 如果S△ABD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______． 5．设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2, S2=x12+1993x22,┉┉,Sn=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=__________. 6．设[x]表示不大于x的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么 [ 1900 ]+[ 1901 ]+[ 1902 ]+┉+[ 1992 ]+[ 1993 ]=_________. 7．已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且 a＞b，那么两根之和超过3的方程是______． 8．如图84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E， FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______． 9．已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根， 则k=______． 10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二 获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等， 但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共 有______人． 三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分） 1． 如图85，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条角平分线的 交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑 遍各校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由．2.如果a=1 22?1 1 ? 2 ,求a2+ a 4 ? a ? 1 的值. 8 8希望杯第五届(1994 年)初中二年级第一试试题一、 选择题:（每小题3分，共30分） 1.使等式成立的x的值是[ ] A．是正数 B．是负数. C．是0 D．不能确定 2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ] A． 可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐 角 3.如果 a ? b ? 2 3 +(a+b-2 3 ) =0,那么 A.1; B.-1; C.5-2 6 ; D.2 6 -5. ]2b 的值是[ a]4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ A．c? a＜b B．2b＜a+c. C．c? b＞a D．b2＜ac 5．有如下命题： ①负数没有立方根． ②一个实数的立方根不是正数就是负数． ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ] A．①②③ B．①②④. C．②③④ D．①③④ 6.若实数x、y满足x2+y2-4x-2y+5=0,则x?y 3y ? 2 x的值是[]A.1;B.3 ? 2 ; C. 3 ? 2 2 ; D. 3 ? 2 2 . 2 7．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长 为[ ] A．182 B．180. C．32 D．30 8．已知方程x2-x-，那么它的两根是 [ ] A． B．? . C．? 1994,? 1995 D．1994,? 1995 9．如图16，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°， ∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ] A．70° B．75°. C．80° D．85° 10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ 2 2 2 3 A．(n+1) B．(n+1) -(n-1) . C．(n+1) 二、 A组填空题（每小题3分，共30分） ] 3 3 .D．(n+1) -n1.设A= 6 ? 2 ,B= 3 ? 5 ,则A、B中数值较小的是_________. 2．已知实数a满足a+ a 2 ? 3 a 3 =0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________ 3.一个角的余角比它的补角的1 还多60,则这个角的度数是_________. 74.对 3 54 ? 3 250 ? 3 16 作化简,结果是__________. 5.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的1 恰是数a,则这个自然数是_________. 56．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠ACD+∠BCE=______． 8.当x= 5 -3时,多项式x +5x -2x-5的值是_______________. 9．如图18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于 E，则∠BDE=_______． 10.如果 11 的小数部分是a,而 三、 1.设M=3 21 的小数部分是b,那么b=________. aB组填空题（每小题4分）1 1 1 1 + + +┉+ , 1? 2 2? 3 3? 4 1993 ? 1994 N =_______. ( M ? 1) 2N=1-2+3-4+5-6+┉+,则2．在四边形ABCD中(图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度 分别为a和b，那么AB的长为______．? x2 ? y 2 ? 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 3.设x= ,y= ,则 ? ? ? xy =_________. 2 2 ? 2 ?4．如图20，在△ABC中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E， 若AB=5，则DE的长是______． 5.计算: 7 ? 15 ? 16 ? 2 15 =______________.2 6．设方程x +=0和(1994x) -x-1=0的较小根次是α ,β ，则α ?β =______． 7.若 ?222 1 ? x ? ,则 (3x ? 2) 2 ? 1 ? 4 x ? 4 x 2 ? 5 x 化简为____________. 3 2y ,则x+y+M的值是_______.8.设M,x,y均为正整数,且 M ? 28 = x ?9．x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______． 10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以A,B 为圆心,AD,BD为半径的圆的1 ,则阴影部分面积为__________. 4希望杯第五届(1994 年)初中二年级第一试试题四、 选择题:（每小题3分，共30分） 1.使等式成立的x的值是[ ] A．是正数 B．是负数. C．是0 D．不能确定 2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ] B． 可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐 角 3.如果 a ? b ? 2 3 +(a+b-2 3 ) =0,那么 A.1; B.-1; C.5-2 6 ; D.2 6 -5. ]2b 的值是[ a]4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ 2 A．c? a＜b B．2b＜a+c. C．c? b＞a D．b ＜ac 5．有如下命题： ①负数没有立方根． ②一个实数的立方根不是正数就是负数． ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ] A．①②③ B．①②④. C．②③④ D．①③④ 6.若实数x、y满足x2+y2-4x-2y+5=0,则x?y 3y ? 2 x的值是[]A.1;B.3 ? 2 ; C. 3 ? 2 2 ; D. 3 ? 2 2 . 27．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长 为[ ] A．182 B．180. C．32 D．30 2 8．已知方程x -x-，那么它的两根是 [ ] A． B．? . C．? 1994,? 1995 D．1994,? 1995 9．如图16，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°， ∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ] A．70° B．75°. C．80° D．85° 10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ A．(n+1)2 B．(n+1)2-(n-1)2. C．(n+1)3 五、 A组填空题（每小题3分，共30分） ] .D．(n+1)3-n31.设A= 6 ? 2 ,B= 3 ? 5 ,则A、B中数值较小的是_________. 2．已知实数a满足a+ a 2 ? 3 a 3 =0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________ 3.一个角的余角比它的补角的1 还多60,则这个角的度数是_________. 74.对 3 54 ? 3 250 ? 3 16 作化简,结果是__________. 5.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的1 恰是数a,则这个自然数是_________. 56．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠ACD+∠BCE=______． 8.当x= 5 -3时,多项式x +5x -2x-5的值是_______________. 9．如图18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于 E，则∠BDE=_______． 10.如果 11 的小数部分是a,而 六、 1.设M=3 21 的小数部分是b,那么b=________. aB组填空题（每小题4分）1 1 1 1 + + +┉+ , 1? 2 2? 3 3? 4 1993 ? 1994 N =_______. ( M ? 1) 2N=1-2+3-4+5-6+┉+,则2．在四边形ABCD中(图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度 分别为a和b，那么AB的长为______．? x2 ? y 2 ? 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 3.设x= ,y= ,则 ? ? ? xy =_________. 2 2 ? 2 ?4．如图20，在△ABC中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E， 若AB=5，则DE的长是______． 5.计算: 7 ? 15 ? 16 ? 2 15 =______________. 6．设方程x +=0和(1994x) -x-1=0的较小根次是α ,β ，则α ?β2 22 =______． 7.若 ?2 1 ? x ? ,则 (3x ? 2) 2 ? 1 ? 4 x ? 4 x 2 ? 5 x 化简为____________. 3 2y ,则x+y+M的值是_______.8.设M,x,y均为正整数,且 M ? 28 = x ?9．x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______． 10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以A,B 为圆心,AD,BD为半径的圆的1 ,则阴影部分面积为__________. 4希望杯第五届(1994 年)初中二年级第二试试题一、选择题:（每题4分，共40分） 1.如果a&0,那么 ? a 3 =[ A.a ? a 3 ; B.- ] C.a ? D. -a ? a .2． 已知， y=ax7+bx5+cx3+dx+e， 其中a,b,c,d,e为常数， 当x=2时， y=23； 当x=-2时， y=-35， 那么e的值是 [ ] D．-12A．6. B．-6. C.12.3.如果-1&a&0, 那么a,a3, a 3 , A.a最小,a3最大; B.1 中,一定是[ aC.]a 3 最小,a最大;]1 最小,a最大; aD.1 最小,a3最大. a4．方程x2-7|x|+12=0的根的情况是 [A．有且仅有两个不同的实根.B．最多有两个不同的实根 C．有且仅有四个不同的实根.D．不可能有四个实根 5．若三角形的三边长度均为整数，其中两边长的差是7，且三角形的周长是奇数，则第 三边长可能是 [ A．9 . B．8. ] C．7. D．6.6．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H， 则DH的长是 A．7.5. [ ]B．7. C．6.5. D．5.5. 7.已知关于x的二次方程2x +ax-2a+1=0的两个实数根的平方和是7 A．11或3. B．11. C．3. D．521 ,则a的值为[ 7]8.在Δ ABC的三边AB,BC,CA上分别取AD,BE,CF,使AD= 积是Δ ABC的面积的[ A. ] C.1 1 1 AB,BE= BC,CF= AC,则Δ DEF的面 4 4 41 ; 4B.3 ; 85 ; 8D.7 . 16[ ]9．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是 A．5. B．6. C．7 .D．810．设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是[ A．3n ?2]3n+3.B．5n ?25n?5. C．9n ? 9n+9 .D．11n ? 11n?2211.二、填空题：（每题4分，共40分） 1.已知关于x的二次方程x +px+2=0的两根为x1和x2,且x1-x2=2 2 ,那么p的值为_____. 2． 如果(1-3x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x ， 那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值为______． 3．如图30,在梯形ABCD中,AD∥BC，AB=DC=10厘米，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设 E是CG的中点，F是AB的中点，则EF的长为________． 4．如图31中，以A,B,C,D,E,F,G,H这些点为端点的线段共有______条． 5.若a,b,c是实数,且a+b+c=2 3 ,a2+b2+c2=4,则(a-2b+c)1994=______. 6．编写一本数学书的页数总共用6869个数字，（例如一本10页的书， 它的页数是一位数的9个，两位数的1个，总共用去数字9+2=11个）， 那么这本数学书的页数是________． 7．一个口袋内装有红、蓝、白三种不同颜色的小球,其中蓝球数 至少是白球数的一半,但至多是红球数的 至少是55个,则红球至少有________. 8．如图32，正方形ABCD内有一个内接△AEF，若∠EAF=45°， AB=8厘米，EF=7厘米，则△EFC的面积是______． 9. 若a,b,c是实数,且a=2b+ 2 ,ab+5 2 3 4 5 21 ,白球与蓝球的总和 3bc 3 2 1 c + =0,那么 的值是_____. 4 a 210．已知：a≠0，14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c) 2，那么，a∶b∶c=______． 三、解答题（每题10分，共20分） 1． 如图33， 五边形ABCDE中， AB=AE， BC+DE=CD， ∠BAE=∠BCD=120°， ∠ABC+∠AED=180°， 连接AD．求证：AD平分∠CDE． 2．如图34，甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C出发,甲向C,乙、丙向A前进,过了2 时,甲与乙于M点相遇;又过了 之间的距离为 公里？1 小 75 小时,丙于N点追及乙,已知B点恰为N,C的中点,M与N 1410 公里；又知甲比丙提前1小时到达目的地，问A与B，B与C之间各多少 7 第六届(1995 年)初中二年级第一试试题一、选择题: 1.下列五个数:3.1416, A．0个 2.-1?, ? ,3.14, ? ? 1 ,其中是有理数的有[]B．1个 C．2个 D．3个1 的平方的立方根是[ ] 8 1 1 1 A.4; B. ; C.- ; D. . 8 4 4] A．x＞3. B．x≤5. C．3＜x≤5 D．3≤x＜5 ]3．适合不等式2x-1＞-3x+14≥4x-21的x的值的范围是 [a a2 a3 ? ? 3 的值是[ 4.已知a是非零实数,则 a a2 aA．3或? 1 B．? 3或1. C．3或1 D．? 3或? 15． 若a， c为三角形的三条边长， b， 则? (a+b+c)+│a-b-c│-│b-c-a│+│c-b-a│=[ A．2(a-b-c) B．2(b-a-c). C．2(c-a-b) D．2(a+b-c)]6．如图19，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D，∠D=40°，则∠ A= [ ] A．50° B．60°. C．70° [ D．80° ]7．已知实数a、b满足条件a2+b2+a2b2=4ab-1，则 A. ??a ? 1 ? a ? 1 ? a ? ?1 ? a ? ?1 ?a ? 1 ?a ? 1 ; B. ? 或? ; C. ? 或? ; D. ? . ?b ? 1 ?b ? 1 ?b ? ?1 ?b ? ? 1 ?b ? ? 1 ?b ? 18．某项工程，甲单独做需a天，在甲做了c天(c＜a＝后，剩下工作由乙单独完成还需b 天，若开始就由甲、乙两人共同合做，则完成任务需[ A. ]天c ab a?b? B. ; C. ; D. . a?b a?b?c 2 a?b?c]2 2.9．如图20，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点， 则PA2+PB?PC的值为[2 2A．m . B．m +1. C．2m . D.(m+1)10． 如图21， △ABC的面积为18cm2， 点D、 F分别位于AB、 CA上． E、 BC、 且AD=4cm， DB=5cm． 如 果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积是 [ A．8cm . B．9cm . C．10cm . D．12cm 二、A组填空题:2 2 2 2] 1.化简: 625 ?36 ? 0.25 =_________. 1692 21 1 ? ? ? ? 2计算: ?10 ? ? 0.001? ? ? 0.01 ? ? 10 ? =__________. 100 1000 ? ? ? ?3．化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+?+x(1+x)1995，得到_____． 4．若n满足(n-1994) +(1995-n) =1，则(1995-n)?(n-1994)_____． 5．如图22,已知△ABC中，∠ACB＞90°，∠B=25°，CD⊥BC于点C， BD=2AC，点E在BC的延长线上，则∠ACE的大小是______． 6．在一个凸n边形(n＞3)的n个外角中，其中最多有_____个钝角． 7．如图23，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB=12cm，BC=13cm，则 FC的长度是______． 8．已知a，b，c，d是四个不相等的正数，其中a最大,d最小,且满足条件 与b+c的大小关系为_____________. 9.若方程2 2a c ? ,则a+d b dx?b x?a ? 2? 有唯一解,则a与b应满足的条件是____________. a b10．有5根木条，其中2根完全相同，长8cm，另外三根分别长4cm，10cm，12cm，用其中 三根组成一个三角形，则选择的办法有______种． 三、B组填空题 1． 一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍 是一个完全平方数，则n=_____． 2．已知x是实数，并且x3+2x2+2x+1=0，则x+x2000的值是_____． 3．如图24，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC， 且BC=18cm，则BE的长度是_____． 4．如图25，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D， DE⊥AB于E，且AB=10cm，则△DEB的周长是_____． 5.已知x=2- 5 ,那么x4-8x3+16x2-x+1的值是_______.1 1? a ? a4 ? a2 ? 2 ? ? 3 6.化简: ? 2 =___________. ?? 6 4 2 ? a ? a ? 1 a ? 1 ? (a ? 1) ? (a ? a ? 1)7.已知:1 4 3 23 ? ? ,则 (y-x)的值是_______. x ? 2 y y ? x 2x ? 1 38．已知a，b，c，d是四个两两不等的正整数，它们的乘积abcd=1995，则a+b+c+d的最 大值是_____． 9．如图26，ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB∶AD=2∶3，∠BAD=2∠ABC，则FC∶FD=_____． 10．如图27，两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那OC1的长度是_____．希望杯第六届(1995 年)初中二年级第二试试题一、选择题，以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的． 1.设x0是方程1? x ? ? x ? 0 的一个不为1的根,则[ 22 2 2]2A．x0＞2x0＞x 0. B．x 0＞x0＞2x0. C．x 0＞2x0＞x0. D．2x0＞x 0＞x0 2．设a是一个满足下列条件的最大的正整数，使得用a除64的余数是4；用a除155的余数 是5；用a除187的余数是7．则a属于集合 A.{3,4,6}; [ ]B.{7,8,9}; C.{10,15,20}; D.{25,30,35}3．某位同学在代数变形中，得到下列四个式子： (1) 3 ?(1 ? x )3 ? 1 ?(2)当x= ? 2时,分式x ?2 x2 ? x ? 6的值均为0;(3)分解因式:xn+1-3xn+2xn-1=xn?x-3xn+xn?2? 2 n? =x ? x ? 3 ? ? ; x? x ?(4)9-32)+9=(97-3)+9=． 其中正确的个数是 [ A．1个. B．2个. ] C．3个 D．4个.4．A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B， C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队 是[ A．C队 ] B．D队. C．E队 D．F队 5．如图31，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE， 那么△BDE的周长是 [ A.5+2 3 ; B.5+ 3 ; ] C.3+2 3 ; D.3+ 3 .6．如图32，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m， PC=n，AB=c，AC=b，则m+n与b+c的大小关系是 [ A．m+n＞b+c. B．m+n=b+c . ]C．m+n＜b+c. D．m+n＞b+c或m+n＜b+c7．两个全等的直角三角形(不等腰)纸片，可以拼成n个不同形状的四边形，则n的值为 [ ] A．3. B．4. C．5. D．6.8．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd， 则这个四边形一定是 [ ]A．两组角分别相等的四边形. B．平行四边形. C．对角线互相垂直的四边形. D．对角线长相等的四边形. 9．已知a，b，c为三个连续奇数(a＜b＜c＝，且它们均为质数，那么符合条件的三数组 (a，b，c)有 A．0 组. [ ] C．2组. D．多于2组.B．1组.10.在边长为的正方形内有任意5个点(包括落在四条边上),将其中任意两点与正方形中心连 结成三角形,则其中至少有一个三角形的面积S满足[ A. S ? ]1 1 1 ; B. S ? ; C. S ? ; D. S ? 1. 2 2 2二、填空题 1． 计算： 4+5-5-6=______． 2． 直角三角形的周长是2+ 6 ,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.3 2 2 2 3．若x+2是多项式x +x +ax+b的一个因式，且2a +3ab+b ? 0,则分式ab2 ? 4a3 ? b3 ? 4a 2 b 的值为_______. 2a 2 ? 3ab ? b 24.设[x]表示不大于x的最大整数,如 ?? ? =3,则? 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 100 ? =____. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5．如图33,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小是_____． 6．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2-a2c2-b4=0，则△ABC的形状是_____． 7．若不等式3x?a≤0的所有正整数解的和是15，则a的取值范围是_____．8.如图34，△ABC中，AB＞AC，AH⊥BC，M为AH上异于A的一点，比较AB-AC与MB-MC的大 小，则AB-AC_____MB-MC(填“＞”，“=”或“＜”＝． 9．方程x -y =1995的正整数解共有_____组． 10．设x，y是不大于10的自然数，x除以3的余数记为f(x)，y除以4的余数记为g(y)．当 f(x)+2g(y)=0时，x+2y的最值是_____． 三、解答题 1．(1)已知a1，a2，a3为三个整数，且a1≤a2≤a3，三个数中的每一数均为其它两数的乘 积，求所有满足条件的三数组(a1，a2，a3)． (2)如果a1，a2，a3，a4，a5，a6为6个整数，且a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6，六个数中任一个数 均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6) 共有多少组？请说明理由．2 22． 一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A， C， E， G的风景点(如图35)． B， D， F， 现 要开设一些公共汽车线路，满足以下条件： (a)由每个风景点可不换车到达其它任一风景点． (b)每条汽车线路只连结3个风景点． (c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点． (1)该旅游区应开设几条公共汽车线路？ (2)若风景点，，在一条线路上，则该公共汽车线路写成A―B―C． 试写出该旅游区完整的公共汽车线路图． 希望杯第七届（1996 年）初中二年级第一试试题一、 选择题:1.下列各式中与分式?a 的值相等的是[ ] a?b ?a a a ?a A. ; B. ; C. ; D. . ?a ? b a?b b?a b?a[ ] A．58° B．59°. C．60° D．61°2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，那么这个角等于3．如图23，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的 三角形有[ 4.设a= ] A．5对. B．6对. C．7对. D．8对.96 ,b= ,c= , 95
d= ,则下列不等关系中成立的是[ 1996]A．a＞b＞c＞d. B．c＞a＞d＞b . C．a＞d＞c＞b. D．a＞c ＞d＞b 5．如图24，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点，∠ADC=130°， 那么∠CAB的大小是[ A．80° ] D．20°B．50°. C．40°6．已知一个三角形中两条边的长分别为a，b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值 范围是[ ]A． 3a＞l＞3b. B．2（a＋b）＞l＞2a. C．2a＋b＞l＞2b＋a . D．3a－b＞l＞a＋2b 7.若1 1 1 ： ： =2：3：4,则a：b：c等于[ a b cB．6：4：3.]A．4：3：2.C．3：4：2 . D．3：4：68．如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9厘米， BC=8厘米，CD=7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N， 则BN的长等于 [ ] C．2厘米. D．2.5厘米A．1厘米. B．1.5厘米.9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60， 那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是[ A．28 B．27 C．26 D．25 ]10.已知x,y,a,b都是正数,且a&b,x a ? 如果x+y=c,则x与y中较大的一个是[ y b]A. B. ; C. ; D. . a?b a?b a?b b?c 二、A组填空题 1．因式公解：9a －4b ＋4bc－c =______． 2．化简分式:2 2 2b c a ? ? =_______. (a ? b)(b ? c) (b ? c)(c ? a) (c ? a)(a ? b)3．已知多项式3x3＋ax2＋3x＋1能被x2＋1整除，且商式是3x＋1,那么a的值是______． 4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，则a的取值范围是______． 5． 如图26， 凸四边形ABCD的四边AB、 CD、 BC、 和DA的长分别是3， 12， 4， 和13， ∠ABC=90°， 则四边形ABCD的面积S=______． 6．如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中 互为补角关系的角共有______对．7．如果a＋b=6，a ＋b =72，那么a ＋b 的值是______． 8.如果a -3a+1=0,那么23322a3 的值是___________. a6 ? 19．如图28，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD=AC，则∠B：∠C的值是______． 10．如图29，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，则∠C的大小 是______． 二、 1.若2B组填空题:4x a b 2 2 ? ? ,则a +b 的值是_________. x ?4 x?2 x?22．已知a≥b＞0且3a＋2b－6=ac＋4b－8=0，则c的取值范围是______． 3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是______． 4．如图30，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10厘米，则MD的长 为______． 5．已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2＋n2＋p2=______． 希望杯第七届（1996 年）初中二年级第一试试题三、 选择题:1.下列各式中与分式?a 的值相等的是[ ] a?b ?a a a ?a A. ; B. ; C. ; D. . ?a ? b a?b b?a b?a[ ] A．58° B．59°. C．60° D．61°2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，那么这个角等于3．如图23，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的 三角形有[ 4.设a= ] A．5对. B．6对. C．7对. D．8对.96 ,b= ,c= , 95
d= ,则下列不等关系中成立的是[ 1996]A．a＞b＞c＞d. B．c＞a＞d＞b . C．a＞d＞c＞b. D．a＞c ＞d＞b 5．如图24，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点，∠ADC=130°， 那么∠CAB的大小是[ A．80° ] D．20°B．50°. C．40°6．已知一个三角形中两条边的长分别为a，b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值 范围是[ ]B． 3a＞l＞3b. B．2（a＋b）＞l＞2a. C．2a＋b＞l＞2b＋a . D．3a－b＞l＞a＋2b 7.若1 1 1 ： ： =2：3：4,则a：b：c等于[ a b cB．6：4：3.]A．4：3：2.C．3：4：2 . D．3：4：68．如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9厘米， BC=8厘米，CD=7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N， 则BN的长等于 [ ] C．2厘米. D．2.5厘米A．1厘米. B．1.5厘米.9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60， 那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是[ A．28 B．27 C．26 D．25 ]10.已知x,y,a,b都是正数,且a&b,x a ? 如果x+y=c,则x与y中较大的一个是[ y b]A. B. ; C. ; D. . a?b a?b a?b b?c 二、A组填空题 1．因式公解：9a －4b ＋4bc－c =______． 2．化简分式:2 2 2b c a ? ? =_______. (a ? b)(b ? c) (b ? c)(c ? a) (c ? a)(a ? b)3．已知多项式3x3＋ax2＋3x＋1能被x2＋1整除，且商式是3x＋1,那么a的值是______． 4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，则a的取值范围是______． 5． 如图26， 凸四边形ABCD的四边AB、 CD、 BC、 和DA的长分别是3， 12， 4， 和13， ∠ABC=90°， 则四边形ABCD的面积S=______． 6．如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中 互为补角关系的角共有______对．7．如果a＋b=6，a ＋b =72，那么a ＋b 的值是______． 8.如果a -3a+1=0,那么23322a3 的值是___________. a6 ? 19．如图28，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD=AC，则∠B：∠C的值是______． 10．如图29，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，则∠C的大小 是______． 四、 1.若2B组填空题:4x a b 2 2 ? ? ,则a +b 的值是_________. x ?4 x?2 x?22．已知a≥b＞0且3a＋2b－6=ac＋4b－8=0，则c的取值范围是______． 3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是______． 4．如图30，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10厘米，则MD的长 为______． 5．已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2＋n2＋p2=______． 希望杯第七届（1996 年）初中二年级第一试试题五、 选择题:1.下列各式中与分式?a 的值相等的是[ ] a?b ?a a a ?a A. ; B. ; C. ; D. . ?a ? b a?b b?a b?a[ ] A．58° B．59°. C．60° D．61°2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，那么这个角等于3．如图23，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的 三角形有[ 4.设a= ] A．5对. B．6对. C．7对. D．8对.96 ,b= ,c= , 95
d= ,则下列不等关系中成立的是[ 1996]A．a＞b＞c＞d. B．c＞a＞d＞b . C．a＞d＞c＞b. D．a＞c ＞d＞b 5．如图24，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点，∠ADC=130°， 那么∠CAB的大小是[ A．80° ] D．20°B．50°. C．40°6．已知一个三角形中两条边的长分别为a，b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值 范围是[ ]C． 3a＞l＞3b. B．2（a＋b）＞l＞2a. C．2a＋b＞l＞2b＋a . D．3a－b＞l＞a＋2b 7.若1 1 1 ： ： =2：3：4,则a：b：c等于[ a b cB．6：4：3.]A．4：3：2.C．3：4：2 . D．3：4：68．如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9厘米， BC=8厘米，CD=7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N， 则BN的长等于 [ ] C．2厘米. D．2.5厘米A．1厘米. B．1.5厘米.9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60， 那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是[ A．28 B．27 C．26 D．25 ]10.已知x,y,a,b都是正数,且a&b,x a ? 如果x+y=c,则x与y中较大的一个是[ y b]A. B. ; C. ; D. . a?b a?b a?b b?c 二、A组填空题 1．因式公解：9a －4b ＋4bc－c =______． 2．化简分式:2 2 2b c a ? ? =_______. (a ? b)(b ? c) (b ? c)(c ? a) (c ? a)(a ? b)3．已知多项式3x3＋ax2＋3x＋1能被x2＋1整除，且商式是3x＋1,那么a的值是______． 4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，则a的取值范围是______． 5． 如图26， 凸四边形ABCD的四边AB、 CD、 BC、 和DA的长分别是3， 12， 4， 和13， ∠ABC=90°， 则四边形ABCD的面积S=______． 6．如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中 互为补角关系的角共有______对．7．如果a＋b=6，a ＋b =72，那么a ＋b 的值是______． 8.如果a -3a+1=0,那么23322a3 的值是___________. a6 ? 19．如图28，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD=AC，则∠B：∠C的值是______． 10．如图29，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，则∠C的大小 是______． 六、 1.若2B组填空题:4x a b 2 2 ? ? ,则a +b 的值是_________. x ?4 x?2 x?22．已知a≥b＞0且3a＋2b－6=ac＋4b－8=0，则c的取值范围是______． 3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是______． 4．如图30，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10厘米，则MD的长 为______． 5．已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2＋n2＋p2=______． 希望杯第八届（1997 年）初中二年级第二试试题一、 选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．）1.已知实数a,b满足条件:a2+4b2-a+4b+=0,那么-ab的平方根是[ ] A. ? 2; B.2; C. ?1 1 ; D. . 2 2］ B．（x＋y－1）（x－y＋3） D．（x＋y＋1）（x－y－3） ［ ］ D．线段MN ]2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是［ A．（x＋y＋3）（x－y－1）. C．（x＋y－3）（x－y＋1）.3．下列图形中，不是轴对称图形的是 A．直角三角形ABC.B．角DOE. C．等边三角形FGH.4. Δ ABC的三边长为a,b,c,满足条件 A．锐角. B．直角. C．钝角.2 1 1 ? ? ,则b边所对的角B的大小是[ b a cD．锐角、直角、钝角都有可能5.设a&0&b&c,a+b+c=1,M= A．M＞N＞P2b?c a?c a?b ,N= ,P= ,则M,N,P之间的大小关系是[ b c aC．P＞M＞N3 2];B．N＞P＞M.D．M＞P＞N ］6．已知：m ＋m－1＝0，那么代数式m ＋2m －1997的值是［ A．1997 B．－1997. C．1996 D．－19967． 如图1， △ABC中， ∠A＝96°， 延长BC到D， ∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点， 1BC ∠A 与∠A1CD的平分线相交于A2点，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5 的大小是［ A．3°. ］ C．8° D．19.2°B．5°.8．如图2，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE 恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是 A．AB＞AD＋BC B．AB＝AD＋BC. C．AB＜AD＋BC ［ ］D．无法确定9．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一 个钝角的大小是 ［ ］ D．120°A．165°. B．150°. C．135°.10．有男女两个运动队，男队有队员m人，女队有队员n人（m＞10，n＞10），先从男队 中调10人到女队帮助训练，训练后又从女队中调10人（这10人中可以有原来男队中的 队员）去男队参加总结．这时，男队中有a个女队员，女队中有b个男队员，那么a、b 的大小关系是［］A．a＞b. B．a＜b. C．a＝b. D．当m≥n时，a≥b；当m＜n时，a＜b． 二、填空题 11．已知a是实数，且使a ＋3a ＋3a＋2＝0，那么（a＋1） 1996＋（a＋1）1997＋（a＋1）的值是______．12.式子 (? 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5) 的值是__. 13．如图3，△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC于E，在BC上 取CD＝CA，连接AD，若AD＝DB，则∠DAE的大小是______． 14．如图4，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1， 则BD的长为______．1 x ?1 ? 2 2 x ?1 x ? x ?1 15.若 的值是 ,则x=____. 2 9x 3 ? 3 x ?116.若a,b,c为实数,且ab 1 bc 1 ca 1 abc ? , ? , ? ,那么 的值为 ab ? bc ? ca a?b 3 b?c 4 c?a 5____. 17.若a= ? 1,则a -2a -1996a 的值为_______.54318．如图5，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等 于______． 19．如图6，直角△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连接AF与BC相交 于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是______． 20．如图7，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交 AC于F，则FC的长等于______． 三、解答题 21．已知：a、b、c为实数，且多项式x ＋ax ＋bx＋c能够被x ＋3x－4整除． （1）求4a＋c的值． （2）求2a－2b－c的值． （3）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的大小．3 2 2 22．如图8，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相 交于点P，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xy＋yz＋zx＝28，求xyz的大小． 希望杯第八届（1997 年）初中二年级第二试试题二、 选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．）1.已知实数a,b满足条件:a2+4b2-a+4b+=0,那么-ab的平方根是[ ] A. ? 2; B.2; C. ?1 1 ; D. . 2 2］ B．（x＋y－1）（x－y＋3） D．（x＋y＋1）（x－y－3） ［ ］ D．线段MN ]2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是［ A．（x＋y＋3）（x－y－1）. C．（x＋y－3）（x－y＋1）.3．下列图形中，不是轴对称图形的是 A．直角三角形ABC.B．角DOE. C．等边三角形FGH.4. Δ ABC的三边长为a,b,c,满足条件 A．锐角. B．直角. C．钝角.2 1 1 ? ? ,则b边所对的角B的大小是[ b a cD．锐角、直角、钝角都有可能5.设a&0&b&c,a+b+c=1,M= A．M＞N＞P2b?c a?c a?b ,N= ,P= ,则M,N,P之间的大小关系是[ b c aC．P＞M＞N3 2];B．N＞P＞M.D．M＞P＞N ］6．已知：m ＋m－1＝0，那么代数式m ＋2m －1997的值是［ A．1997 B．－1997. C．1996 D．－19967． 如图1， △ABC中， ∠A＝96°， 延长BC到D， ∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点， 1BC ∠A 与∠A1CD的平分线相交于A2点，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5 的大小是［ A．3°. ］ C．8° D．19.2°B．5°.8．如图2，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE 恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是 A．AB＞AD＋BC B．AB＝AD＋BC. C．AB＜AD＋BC ［ ］D．无法确定9．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一 个钝角的大小是 ［ ］ D．120°A．165°. B．150°. C．135°.10．有男女两个运动队，男队有队员m人，女队有队员n人（m＞10，n＞10），先从男队 中调10人到女队帮助训练，训练后又从女队中调10人（这10人中可以有原来男队中的 队员）去男队参加总结．这时，男队中有a个女队员，女队中有b个男队员，那么a、b 的大小关系是［］A．a＞b. B．a＜b. C．a＝b. D．当m≥n时，a≥b；当m＜n时，a＜b． 二、填空题 11．已知a是实数，且使a ＋3a ＋3a＋2＝0，那么（a＋1） 1996＋（a＋1）1997＋（a＋1）的值是______．12.式子 (? 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5)( 2 ? 3 ? 5) 的值是__. 13．如图3，△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC于E，在BC上 取CD＝CA，连接AD，若AD＝DB，则∠DAE的大小是______． 14．如图4，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1， 则BD的长为______．1 x ?1 ? 2 2 x ?1 x ? x ?1 15.若 的值是 ,则x=____. 2 9x 3 ? 3 x ?116.若a,b,c为实数,且ab 1 bc 1 ca 1 abc ? , ? , ? ,那么 的值为 ab ? bc ? ca a?b 3 b?c 4 c?a 5____. 17.若a= ? 1,则a -2a -1996a 的值为_______.54318．如图5，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等 于______． 19．如图6，直角△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连接AF与BC相交 于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是______． 20．如图7，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交 AC于F，则FC的长等于______． 三、解答题 21．已知：a、b、c为实数，且多项式x ＋ax ＋bx＋c能够被x ＋3x－4整除． （1）求4a＋c的值． （2）求2a－2b－c的值． （3）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的大小．3 2 2 22．如图8，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相 交于点P，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xy＋yz＋zx＝28，求xyz的大小． 希望杯第九届（1998 年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题6分，共60分） 1．若a＋b＋c＝0，则a3＋a2c－abc＋b2c＋b3的值为[ A．－1. B．0. C．1. D．2 ] ]2．适合关系式｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6的整数x的值的个数是 [ A．0. B．1. C．2. D．大于2的自然数.3．已知x＜0＜z，xy＞0，｜y｜＞｜z｜＞｜x｜，那么 ｜x＋z｜＋｜y＋z｜－｜x－y｜的值 [ A．是正数. B．是负数. C．是零. ] D.2 5 . [ ] ] D．不能确定符号.4. 8 ? 63 ? 8 ? 63 的值为[ A.3 2 ; B.2 3 ; C.5 2 ;5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A＝∠B，那么∠C的外角的大小是 A．140°. B．80°或100°. C．100°或140°. D．80°或140°6．如图15，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的 大小是 [ ] A．60°; B．65°; C．70°; D．75°.7.若对于 ? 3以外的一切实数x,等式 A．8 B．－8. C．16 D．－16m n 8x ? ? 2 均成立,则mn的值为[ ] x?3 x?3 x ?98.已知N＝2222??2（共k个2），若N是1998的倍数， 那么符合条件的最小的k值是 [ A．15 B．18. C．24 9.在方程组 ? [ D．27 中,x,y,z是互不相等的整数,则此方程组的解的组数为 D．少于3 ]?x ? y ? z ? 03 3 3 ? x ? y ? z ? ?36] A．6B．3C．多于610．如图16，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F， 且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是 [ A．CF＞GB B．CF＝GB. C．CF＜GB 二、填空题（每题6分，共60分）2 11． 把代数式 （x＋y－2xy） （x＋y－2） （xy－1）分解成因式的乘积， ＋ 应当是________.]D．无法确定的12．设实数x满足方程｜x －1｜－x｜x＋1｜＝0，则x的值为________. 13.设x=233 ? 5 ,那么代数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值为_________. 2 14.1998 ? 1999 ? 2000 ? 2001 ? 1 的值为_________. 415．如图17，Rt△ACB中，∠ABC＝90°， 点D、E在AB上，AC＝AD，BE＝BC ，则∠DCE的大小是________. 16．如图18，△ABC中，∠ABC＝45°， AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD， 交BC的延长线于F，则∠CAF的大小是________. 17．如图19，Rt△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD交 BD的延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M，交BC 于H，则BM与CE的大小关系是________. 18．如图20，四边形ABCD中有两点E、F，使A、B、C、D、E、F中任意三点都不在同一条 直线上，连接它们的顶点，得若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，则 所有这些三角形的内角和为______；同样，若四边形ABCD中有n个点，其中任意三点 都不在同一条直线上，以A、B、C、D和这n个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形， 则所有这些三角形的内角和为_________. 19．如图21，直线段AB的长为l，C为AB上的一个动点， 分别以AC和BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形 △ACD和△BCD′，那么DD′的长的最小值为________. 20．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶， 乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开 出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发 现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在 始发站公共汽车发车的间隔时间x＝________. 三、解答题（每小题15分，共30分）解答本题时，请写出推算过程. 21.已知n,k均为自然数,且满足不等式7 n 6 ? ? .若对于某一给定的自然数n,只 13 n ? k 11有唯一的自然数k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数. 22．甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p ＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的 糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖， 又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和 是18，问：p、q、r分别是哪三个正整数？为什么？ 第十届（1999年） “希望杯”全国数学邀请赛 初中二年级第一试试题一、选择题:（每小题6分，共60分） 1．下列各式中，正确的是 [ ] C. 4 ?1 ?1? A. ? ? ? ; 3 ?9?2.2B. 21 1 ?1 ; 4 29 3 ? 2 ? ; D. 16 417 2 ? 7 2 ? 10 .1 30 ? 31与 30 ? 31 的关系是[] D．互为负倒数A．相等 3.代数式B．互为相反数.C．互为倒数? ? 3.1416 的值[ ] 3.1415 ? ?A．是零．B．在0与1之间.C．在－1与0之间.D．等于1或－1 4．某工厂到车站的路程为m千米，现有一辆汽车从工厂到车站拉货，去时的速度为3a千 米/小时，返回时的速度为2a千米/小时，那么这辆车往返一次的平均速度为[ A. ]5 2 7 12 a千米/小时; B. ma千米/小时;C. a 千米/小时;D. a千米/小时; 2 5 3 5 5．两个数a，b，且a＜b，把a到b的所有数记做[1,4],如果 5 ? m ? 15 , 20 ? n ? 30 ,那么的一切值包含在[ A.[5,30]; B. ? , ? ; 4 4 ]内. C. ? , ? ; 6 3?1 3? ? ??1 2? ? ?D. ? , ? . 6 8 ]?1 7? ? ?6.x,y为实数,设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为[ A．a＜b＜c.B．b＜a＜c. C．b＜c＜a. D．a＝b＞c7．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的和的2倍，那么这个三角形一 定是[ ]A．锐角三角形 ;B．钝角三角形;C.直角三角形;D．直角或钝角三角形. ]8．在四边形ABCD中，若两条对角线AC＝BD且AC⊥BD，则这个四边形 [A．一定是正方形;B．一定是菱形;C．一定是平行四边形;D．可能不是平行四边形. 9．如图1，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别在BC、AC、AB上，若BD=CE，CD=BF，则∠EDF ＝[ ] A.900-1 ?A ; 2B.900- ?A ;C.1800- ?A ;D. 1800-2 ?A . [ ]10．如果三角形的重心在它的一条高线上，则这个三角形一定是A．等腰三角形 B．直角三角形.C．等边三角形 D．等腰直角三角形． 二、A组填空题（每小题6分，共60分） 11．分解因式：xy－1－x＋y＝______． 12.计算:1 10 ? 8 3 ? 2 2 =_________. 23 ? 2 x2 ? 4 x =__________. x2 ? 2x ? 11997 ( 1997 ? 1999)( 1997 ? 2001)200113.已知:x= 3 -1,那么14.计算:?1999 ( 1999 ? 2001)( 1999 ? 1997)+( 2001 ? 1997)( 2001 ? 1999)3 2=___________.15．若x ＋3x －3x＋k有一个因式是x＋1，则k＝______． 16．给出四个自然数a，b，c，d，其中每三个数之和分别是180，197，208，222，那a， b，c，d中最大的数的值是______． 17． 如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线， 那么这个三角形的形状是____． 18． 如图2， 直线l1平行l2△ABC是直角三角形， ∠A＝90°∠ABF＝25°， 则∠ACE＝______． 19．在纸上画一个正六边形，在六边形外画一条直线l，从六个顶点分别向直线l引垂线 可以得到k个不同的垂足，那么k的值在3，4，5，6这四个数中不可能取得的是______． 20．圆的内接矩形的周长与圆周长之比的最大值是______． 三、B组填空题（每小题6分，共30分） 21． 一个矩形的长为15cm， 宽为8cm， 以矩形的四边中点为顶点的四边形的周长＝______， 面积＝______． 22.实数a满足丨a丨+a=0,且a≠-1,那么a ?1 a ?1______或________.23. 实数a,b满足(2a+b) +22a 2 ? 32 3?a=0, 那么a=_______,b=________.? xy ? 9 ? 1 4 的解是_________或________. 24.方程组 ? 1 ? ? ? x 3 y ? 25．某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种8行树，男同学种的树比女同 学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100 棵；如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学植树的数目都达不到100棵．这 样原来预定男同学种树______棵；女同学种树______棵．第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试一、选择题： 1． 与 的关系是（ ）。B（A）互为倒数 （B）互为相反数 （C）互为负倒数 （D）相等C2．已知 x≠0，则的值是（ ）。A D（A）0 （B）-2 （C）0 或-2 （D）0 或 2 图1 3．适合|2a＋7|＋|2a-1|＝8 的整数 a 的值的个数有（ ）。 （A）5 个 （B）4 个 （C）3 个 （D）2 个 4．如图 1，四边形 ABCD 中，AB//CD，∠D＝2∠B，若 AD＝a，AB＝b，则 CD 的长等于（ ）。 （A）b-a （B）b（C） (b-a) （D）2(b-a)5．有四条线段，a＝14，b＝13，c＝9，d＝7，用 a、c 分别作一个梯形的下、上两底，用 b、 d 分别作这个梯形的两腰(作出的全等的梯形算一种)，那么这样的梯形（ ）。 （A）只能作一种 （B）可以作两种 （C）可以作无数种 （D）一种也作不出 6．当 1≤x≤2 时，代数式 （A）0 （B）2 （C）2 7．已知 （A） ＝a, （B） ＝b，则 （C） （D）-2 用 a、b 表示为（ ）。 （D） 可以化简为（ ）。8．互不相等的三个正数 a、b、c 恰为一个三角形的三条边长，则以下列三个数为长度的线 段一定能作成三角形的是（ ）。 （A） , , （B）a2, b2, c2 （C）,,（D）|a-b|, |b-c|, |c-a|9．在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角(如又 A、B、C 三个顶点形成∠ABC、∠BAC、 ∠ACB)，一共可以作出 168 个角，那么这些角中最小的一个一定（ ）。 （A）小于或等于 20° （B）小于或等于 22.5° （C）小于或等于 25° （D）小于或等于 27.5° 10．设 a、b、c 均为正数，若 （A）c&a&b （B）b&c&a （C）a&b&c （D）c&b&a 二、A 组填空题: 11．分解因式 a3b＋ab＋30b 的结果是 12．若实数 a、b、c 在数轴上对应点的位置如图所示，则 于 13．已知分式 。 的值是，那么 x 的值应是 。 。F，则 a、b、c 三个数的大小关系是（ ）。。 -|b-a|＋|b＋c|等14．如图 3，∠1＝27.5°,∠2＝95°, ∠3＝38.5°,则∠4 的大小是AA4DDF2 1 图3 3BE图4CCB图5E15． A1A2A3??An 是一个有 n 个顶点的凸多边形， 设 对每一个顶点 Ai (i＝1, 2, 3, ??, n)， 将构成该角的两边分别向外延长至 Ai1, Ai2, 连接 Ai1Ai2 得到两个角∠Ai1, ∠Ai2，那么所 有这些新得到的角的度数的和是 。 16．如图 4，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝7，过顶点 A 作∠BAD 的平分线交 BC 于 E，过 E 作 EF⊥ED 交 AB 于 F，则 EF 的长等于 。 17．如图 5，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，BC＝2，D 是 AC 的中点，过 D 作 DE⊥ AC 与 CB 的延长线交于 E，以 AB、BE 为邻边作长方形 ABEF，连接 DF，则 DF 的长等 于 。 18．某次数学竞赛第一试有试题 25 道，阅卷规定：每答对一题得 4 分，每答错(包括未答) 一题扣除一分，若得分不底于 60 分的同学可以参加二试，那么参加二试的同学在一试中 至少需答对的题数是 。 19．若 510510 的所有质因数按照从小到大的顺序排列为 a1, a2, a3, ??, a k(k 是最大的 质因数的序号)，则(a1-a2)(a2-a3)(a3-a4)??(a k-1-a k)的值是 。 20．两个七进制整数 454 与 5 的商的七进制表示为 。 三、B 组填空题： 21．已知 a＋ ＝ ，则 a ＋5的值等于或。22．一项工程，甲单独完成需要 a 天，乙单独完成需要 b 天，a、b 都是自然数，现在乙先 工作 3 天后，甲、乙再共同工作 1 天恰好完工，则 a＋b 的值等于 或 。 23．一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为 500°，那么这个多边形的边数 是 或 。 24．小张以两种形式储蓄了 500 元，第一种储蓄的年利率为 3.7%，第二种储蓄的年利率为 2.25%，一年后得到利息为 15.6 元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是 或 。 25．若 a 为整数，且分式 等于 或 。 的值是正整数，则 a 的值第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试一、选择题：998 9 , － , － , － 这四个数从小到大的排列顺序是( ) 999 00
1999 （A） － &－ &－ &－ （B） － &－ &－ &－ 9 999
98 999 998 998 99 （C） － &－ &－ &－ （D） － &－ &－ &－ 10 00 19 99
00 2．一个三角形的三条边长分别是 a, b, c(a, b, c 都是质数)，且 a＋b＋c＝16，则这个三 角形的形状是( ) （A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等边三角形（D）直角三角形或等腰三角形1．－ 3．已知 25x=00，则1 1 ? 等于( x y)（A）2（B）1（C）1 2（D）3 2)4．设 a＋b＋c=0, abc&0，则 （A）－3 ( ) （B）1b?c c?a a?b ? ? 的值是( |a| |b| |c|（C）3 或－1（D）－3 或 15．设实数 a、b、c 满足 a&b&c (ac&0)，且|c|&|b|&|a|，则|x－a|＋|x－b|＋|x＋c|的最小值是|a ? b ? c| （B）|b| （C）c－a （D）DcDa 3 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为 10，则底边的长为( ) （A）一切偶数 （B）2 或 4 或 6 或 8 （C）2 或 4 或 6 （D）2 或 4 7．三元方程 x＋y＋z＝1999 的非负整数解的个数有( ) （A） 个 （B） 个 （C）2001000 个 （D）2001999 个 8．如图 1，梯形 ABCD 中，AB//CD，且 CD＝3AB，EF//CD，EF 将梯形 E ABCD 分成面积相等的两部分，则 AE ：ED 等于（ ）。（A）AB F CD? ? 1 5 ?1 5 ?1 3 （C） （D） 2 2 2 9．如图 2，一个边长分别为 3cm、4cm、5cm 的直角三角形的一个 顶点与正方形的顶点 B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边 AD、 DC 上，那么这个正方形的面积是（ ）。 16 2 15 2 （A） cm2 （B） cm2 15 16 17 2 16 2 （C） cm2 （D） cm2 16 17（A）2 （B） 10．已知 p＋q＋r＝9，且 （A）9 二、填空题： 11．化简： （B）10A 5 F D 4 3 E ? ? 2BCp x ? yz2?q y ? zx2?px ? qy ? rz r , 则 等于 x?y?z z ? xy2（C）8（D）723 ? 6 6 ? 4 2 3? 2=。12．已知多项式 2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6 可以分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，那 么m3 ? 1 的值是 n2 ?1。13．△ABC 中，AB&AC，AD、AE 分别是 BC 边上的中线和∠A 的平分线，则 AD 和 AE 的大小关系是 AD AE。(填“&”、“&”或“＝”)B E。14．如图 3，锐角△ABC 中，AD 和 CE 分别是 BC 和 AB 边上的高， 若 AD 与 CE 所夹的锐角是 58°，则∠BAC＋∠BCA 的大小是 15．设 a2－b2＝1＋ 2 , b2－c2＝1－ 2 ，则 a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a258°D CA的值等于 。图31 1 =3，则 x3＋ 3 的值是 2 x x。16．已知 x 为实数，且 x2＋17 ． 已 知 n 为 正 整 数 ， 若 于 。n 2 ? 3n ? 10 是一个既约分数，那么这个分数的值等 n 2 ? 6n ? 16AE18．如图 4，在△ABC 中，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝60°，将△ABC 折叠，使点 B 和点 C 重合，折痕为 DE，则△AEC 的面积是 。BD 图4C19．已知非负实数 a、b、c 满足条件：3a＋2b＋c=4, 2a＋b＋3c=5， 设 S＝5a＋4b＋7c 的最大值为 m，最小值为 n，则 n－m 等于 。 20．设 a、b、c、d 为正整数，且 a7＝b6, c3＝d2, c－a＝17，则 d－b 等于 三．解答题： 21．已知实数 a、b 满足条件|a－b|＝ 示成只含有字母 a 的形式。 22．如图 5，正方形 ABCD 中，AB＝ 3 ，点 E、F 分别在 BC、CD 上， 且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF 的面积。 23．将编号为 1，2，3，4，5 的五个小球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子中，每个盒子只放入一个， ① 一共有多少种不同的放法？ ② 若编号为 1 的球恰好放在了 1 号盒子中，共有多少种不同的放法？ ③ 若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)，共有多少种不同的放法？。b 1 1 &1,化简代数式( － ) (a ? b ? 1) 2 ，将结果表 a a bAD FBE 图5C 希望杯第十二届（2001 年）初中二年级第一试试题一、选择题(第小题 5 分．共 50 分) 1．设 x= 2001 ? 2000 ,y= 2000 ? 1999 则 x．y 的大小关系是( A．x&y B．x=y C．x&y D．无法确定的 )．2．代数式 x ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值是( )． A．0 B．1+ 2 C．1 D．不存在的3．设 b≠a 且满足( 3 +1)(a－b)+ 2 (b－c)=a－c，则a ?b 的值( b?c)．A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．的正负号不确定 4 3 2 4．设 y=x -4x +8x ―8x+5．其中 x 为任意实数，则 y 的取值范围是( A．一切实数 B．一切正实数 C．一切大于或等于 5 的实数 D．一切大于或等于 2 的实数 5．已知点 D 在线段 EF 上，下列四个等式：①DE=2DF，②DE=)．1 1 EF，③EF=2DF，④DF= DE， 3 2其中能表示点 D 是线段 EF 的一个三等分点的表达式是( )． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2 2 2 6．已知△ABC 中,∠B=60°，∠C&∠A，且(∠C) =(∠A) +(∠B) ，则△ABC 的形状是( )． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或钝角三角形 7．凸 n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则 n 的最大值是( )． A．4 B5 C．6 D．7 8． 如图， 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 正方形 EFGH 内接于正方形 ABCD， AE=a， AF=b． 若 s 正方形 EFGH=2 ，则|b－a|等于( 32 3C．)．A．2 2B．3 2D．3 39． 某工厂生产的灯泡中有1 4 1 是次品， 实际检查时， 只发现其中次品的 被剔除， 另有 的 5 5 20正品也被误以为是次品而剔除， 其余的灯泡全部上市出售， 那么该工厂出售的灯泡中次品所 占的百分率是( )． A．4% B．5％ C．6．25％ D．7．25% lO．在正常情况下，一个司机每天驾车行驶 t h，且平均速度为 v km／h，若他一天内多行 驶 1 h，平均速度比平时快 5 km／h，则比平时多行驶 70 km，若他一天内少行驶 1 h，平均 速度比平时慢 5 km／h，他将比平时少行驶 ( )． A．60 km B．70 km C．75 km D．80 km 二、A 组填空题(每小题 5 分，共 50 分) 11．计算：0―1= ．2m ? x 4mx - 1 3 的解是 x≥ ，那么 m 的值是 ? 4 3 2 x x x x 13．Root of the equation ? ． ? ? ? 2 is 3 15 35 6312．已知关于 x 的不等式 (英汉小字典：root 根；equation 方程．) 14．已知 x +2x+5 是 x +ax +b 的一个因式，那么 a+b 的值是 l5．若三角形的三个外角的比是 2：3：4，则它的三个内角的比是 16．若∠A 的补角的余角大于 30°，2 4 21 ∠B 的余角的补角小于 150°，那么∠A 与∠B 的大 2小关系是 17．如图，△ABC 中，∠A=30°，CD 是∠BCA 的平分线，ED 是∠CDA 的 平分线，EF 是∠DEA 的平分线，DF=FE，那么∠B 的大小是 18．如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB=120°，点 E 平分 DC，点 P 在 BD 上， 且 PE+PC=1，那么边长 AB 的最大值是 19．已知 x，y, z 为实数，且满足 ??x ? 2y - z ? 6 2 2 2 ．那么 x +y +z 的最 ?x - y ? 2z ? 3小值是 4 2 20。已知 n 是正整数，且 n ―16n +100 是质数，那么 n= 三、B 组填空题(每小题 10 分，共 50 分) 21．设 A=|2x+1|―|1―2x|，则当 x&－1 时，A= 2.当 x&1 时．A= 222．Suppose both a and b are integer．As(a－2b)(8－a)=1，then a+b= or ． (英汉小字典：integer 整数．) 23．如图，延长凸五边形 AlA2A3A4A5 的各边相交得到五个角∠B1、∠B2、∠B3、 ∠B4、∠B5，它们的和等于 ；若延长凸 n 边形(n≥5)的各边相交， 则得到的 n 个角的和等于 ． 24．我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法， 如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称．干支中的干是天 干的简称，是指甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；支是地支的简称，是指子、丑、 寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在纪年时，同时分别从甲子开始，不改变各自 的顺序，循环往复下去．已知公元 2001 年是辛巳年，那么公元 1999 年是 年，上一 个辛巳年是公元 年． 25．若a b c d a ?b?c ?d 的值是 ? ? ? ,则 b c d a a?b?c?d或 希望杯第 12 届八年级第 2 试试题一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表 示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。 1．化简代数式 3 ? 2 2 ? A. 3 B. 1? 233 ? 2 2 的结果是（D. 2 2）C. 2? 222．已知多项式 a? ?? x b c 除以 x 1 x xd ? 时，所得的余数是 1，除以 x 2 ? 时所得的余 数是 3，那么多项式 a? ?? x b c 除以 ( ? x 2 x xd x1 ? 时，所得的余式是（ ) ( )3 2）A． 2 ? B. 2 ? C. x 1 D. x 1 x1 x1 ? ? 3．已知 a 1 | ?且a ?b |? a ，那么（ a ?b）A. a ? B. a ? C. a ? D. a b 0 b 0 b 0 b 0 ??? 4 ． 若 |a?c ， b | ||ac ? ab ? bc ? a?c ， 2 |， S | || | b a ? ? | S| ， ? |， S3 ? | |，则 1 2 2 c a b）S S、 、 S的大小关系是（ 1 2 3A. S S?3 B. S S?3 ?2 S ?2 S 1 1 C. S S S D. S S S ?3?2 ?3?2 1 1 5．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（ A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ）AC ? ? c ? ? ? c ? 6. 若 ?B 的三边长是 a、b、c，且满足 abcb， bcaa，4 4 4 2 2 4 4 4 2 2 4 4 c aba，则 ?B 是（ ? 4 2 ? b AC ?2）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形?） 7. 平面内有 n 条直线（ n 2，这 n 条直线两两相交，最多可以得到 a 个交点，最少可以 得到 b 个交点，则 a? 的值是（ b2 A. nn 1 B. n ? ? C. n1 ( ?)）n2 ? n 2D.n2 ? n ? 2 28．In fig. 1, let ?B be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ? ?0 then the B 1, F 2 C?magnitude relation between Ad and CE is （）A. A C B. A C C. A C D. indefinite DE ? DE ? DE ? （英汉词典：equilateral 等边的；intersection 交点；magnitude 大小，量；indefinite 不确定 的）9. 已知两个不同的质数 p，q 满足下列关系：2 p 0 ?2 0 m 是适当的整数，那么 p2 ?q2 的数值是 ? ?， ? ，m 2 m ? 0 1 0 2 p q0 ? 1 0 q（）A. 4004006 B. 3996005 C. 3996003 D. ．小张上周工作 a 小时，每小时的工资为 b 元，本周他的工作时间比上周减少 10％，而 每小时的工资数额增加 10％，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比（ A. 增加 1% B. 减少 1% C. 增加 1.5% D. 减少 1.5% 二、填空题： （每小题 6 分，共 60 分） 11. 化简： ）2? 5? 32 3 ? 2? 3 0 6 4的结果是_________。12. 已知 p、q 为实数，且 q?3，满足 p 1 1 p p q q p ?? ? ?? 3 4 4 22 q ，那么2 2p?2 的 q?3值等于_______。 13. 无理数 ( ? 2) 的整数部分是________。 14 14. 设 a、b、c 均为不小于 3 的实数，则 a ?? ?? 的最小值是_____。 ? b? c | 2 1 | 1 1 15. 如图 2，直线 A? ? ? ， B E F， /， G H / C? H M D0 ? N F A 3 ， 9 0 ? 3 0? ? ?GM ?CNP ? 50 ? ，则 ?H 的大小是_____。E A30°F90° GBx 30°M DCH P50°N图24 1 ) 9 ? 16. 代数式 x??(2 x ?的最小值是_______。2 217. 有大小两个杯子，大杯中盛满 48 升纯酒精，第一次倒出一小杯纯酒精后，用水加满大 杯，第二次又倒出一小杯混合溶液，再用水加满大杯，这时大杯中还剩余 27 升纯酒精， 那么小杯的容积是________。 18. If p and q are unequal primes, m and n are unequal positive integers satisfying2 2 （ m p ? ? and n ? n q 0then the value of p?qis ________。 英汉词典： ?mq 0 p? ? ,prime 质数） 19. 如图 3，R A 中， C0 ? 0 D、 分别在 AB、 上， D B AC 且 EA， t B ? C ? ，3 点 E ? ? 9 A ， ?? ?若 DE 将 ?B 分成面积相等的两部分，那么线段 CE 与 AE 的长度的比是________。 AC20. 如图 4，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形H ， ，那么线段 AD 与 AB 的比等于_________。 3 F ? EFGH，若 E? E 4 A EH MD G N F 图4 CB三、解答}
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