如图.已知圆G:x2+y2-2x-2y=0经过椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点且倾斜角为56π的直线l交椭圆于C.D两点．(Ⅰ)求椭圆的方程,(Ⅱ)若FC•FD＜0.求m的取值范围． 题目和参考答案——精英家教网——
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如图，已知圆G：x2+y2-2x-2y=0经过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）（ma）且倾斜角为56π的直线l交椭圆于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若FC•FD＜0，求m的取值范围．
分析：（I）对于圆G：x2+y2-2x-2y=0经过点F，B，分别令y=0，x=0，即可解得F（2，0），B（0，2），可得c=2，b=2．再利用a2=b2+c2即可得到a．（II）由题意得直线l的方程为y=-33(x-m)(m＞6)．与椭圆方程联立即可得到根与系数的关系，再利用数量积即可得出．解答：解：（1）∵圆G：x2+y2-2x-2y=0经过点F，B，分别令y=0，x=0，解得F（2，0），B（0，2），∴c=2，b=2．∴a2=b2+c2=6．故椭圆的方程为x26+y22=1．（2）由题意得直线l的方程为y=-33(x-m)(m＞6)．由x26+y22=1y=-33(x-m)消去y得2x2-2mx+m2-6=0，由△=4m2-8（m2-6）＞0解得-23＜m＜23．又m＞6，∴6＜m＜23．设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，x1x2=m2-62．y1y2=(-33)2(x1-m)(x2-m)=13[x1x2-m(x1+x2)+m2]∵FC=(x1-2，y1)，FD=(x2-2，y2)．∴FC•FD=（x1-2）（x2-2）+y1y2=43x1x2-m+63(x1+x2)+m23+4=2m(m-3)3．∵FC•FD＜0，∴2m(m-3)3＜0．解得0＜m＜3，又6＜m＜23．∴6＜m＜3．点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
科目：高中数学
如图，已知圆G：x2+y2-2x-2y=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B．过点M（m，0）作倾斜角为56π的直线l交椭圆于C、D两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m范围．
科目：高中数学
如图，已知圆G：x2+y2-2x-y=0，经过椭圆2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
科目：高中数学
来源：湖南省模拟题
题型：解答题
如图，已知圆G：x2+y2-2x-y=0经过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）（m＞a）且倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若∠CFD∈，求m的取值范围。
科目：高中数学
如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0经过椭圆的右焦点F及上顶点B．过点M（m，0）作倾斜角为的直线l交椭圆于C、D两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m范围．
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本题难度：0.50&&题型：综合题
已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，-3）和点（-1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．
来源：2015年上海市静安区中考数学一模试卷 | 【考点】二次函数综合题．
（2016o闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．
（2016o奉贤区二模）已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）与点C（3，0），与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连结BC，当P点坐标为（0，）时，求△EBC的面积；（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．
已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=-．&①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
（2016o下城区一模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=图象上一点，AO的延长线交函数y=2x(x＞0，k＞0)的图象交于点C，CB⊥x轴，若△ABC的面积等于6，则k的值是（　　）
A、B、2C、3D、4
（2016o无锡一模）已知在平面直角坐标系中，点A（-1，0）和C（1，1），动点D（t，t）（点D与点C不重合），二次函数y=ax2-4ax+c的图象与x轴相交于点A和B．（1）设二次函数y=ax2-4ax+c的顶点为P，若点P与点D关于x轴对称，求此二次函数的解析式．（2）在D运动时，若在坐标轴上找一点Q，使△QCD为直角三角形，这样的点Q有且仅有4个，求满足条件的t的值或取值范围．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，-3）和点（-1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．”的学库宝（http://www.xuekubao.com/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（）根据待定系数法可得函数解析式（2）根据顶点坐标公式可得顶点坐标根据图象的平移可得M点的坐标（3）根据角平分线的性质可得全等三角形根据全等三角形的性质可得方程组根据解方程组可得答案．
【解答】解：（）由二次函数yax2+bx的图象经过点（-3）和点（-5）得a+b-3a-b5解得ab-4．二次函数的解析式yx2-4x（2）yx2-4x的顶点M坐标（2-4）这个二次函数的图象向上平移交y轴于点C其纵坐标为m顶点M坐标向上平移m即M（2m-4）（3）由待定系数法得CP的解析式为y3-m2x+m如图：作MG⊥PC于G设G（a3-m2a+m）．由角平分线上的点到角两边的距离相等DMMG．在Rt△DCM和Rt△GCM中DMGMCMCMRt△DCM≌Rt△GCM（HL）．CGDC4MGDM2a2+(3-m2a)242(2-a)2+(m-4-3-m2a-m)222化简得8m36解得m92．
【考点】二次函数综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
一般分为这几类题目：1.二次函数与实际问题2.二次函数与相似三角形3.二次函数与图形变换4.二次函数有关的面积问题5.二次函数与圆
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如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．（1）求梯形OABC的面积；（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．
科目：初中数学
（;渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是．
科目：初中数学
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．（1）求点B的坐标；（2）当∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标．
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已知二次函数y=x2-2mx+4m-8
（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（2）以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。
题型：解答题难度：偏难来源：湖北省中考真题
解：（1），∴由题意得，m≥2；（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B，则AB=，设M（a，b）∴BM=a-m（m&a），又AB====∴，∴a-m=，∴BM=，AB=3，∴定值；（3）令y=0，即时，有，由题意，为完全平方数，令，即，∵m，n为整数，∴n+m-2，n-m+2的奇偶性相同，∴或，解得或，综合得m=2。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数y=x2-2mx+4m-8（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，..”主要考查你对&&二次函数的图像，求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的图像求二次函数的解析式及二次函数的应用
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“已知二次函数y=x2-2mx+4m-8（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，..”考查相似的试题有：
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已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，y），且，（1）求sinα+cosα的值；（2）求的值．
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（1）∵角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，y），tanα==-，∴y=-4，∴r=2+y2=5，∴sinα=-，cosα=，则sinα+cosα=-；（2）∵sinα=-，cosα=，∴tanα=-，则原式=====-10．
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（1）根据P坐标，利用任意角三角函数定义表示出tanα，将已知tanα的值代入求出y的值，确定出P到原点的距离r，再利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，即可确定出sinα+cosα的值；（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．
本题考点：
运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．
考点点评：
此题考查了运用诱导公式化简求值，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
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