高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计
《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计
李峥（重庆求精中学校&&400015）
教材分析：《磁场》一章讲述电磁关系中基本概念之一的磁场以及磁场与带电物体之间的力学联系，是高二电磁部分的重点章节之一，而本节课则又是此章的重中之重，在历届高考命题中特别是综合计算题部分屡次出现，是本章教学中不可忽视的一个重要环节。本节课的理论基础是力学部分曲线运动知识尤其是匀速圆周运动和向心力相关内容以及前一节洛仑兹力概念和特点等内容。因此这一节既是力学部分和电磁学部分旧知识的回忆复习，又是将这两部分有机整合进行全新理论的构建过程，同时其为复合场的运动研究奠定了基础。通过本节学习，学生一方面加强了洛仑兹力作用特点的认识以及匀速圆周运动向心力概念的把握，另一方面通过分析力与运动的关系得出带电粒子在磁场中的运动规律，学生能够充分体会到物理知识的联系性和规律性，而且本节从实验探究，到理论分析，再到实际应用，契合物理学研究的思维脉络，让学生不但掌握知识，更使他们能够感知研究物理问题的一般规律和方法，学好本节内容将增强学生科学素质，培养其探究精神，提高其分析问题、解决问题的能力。&
结点分析：本节课主要有以下几个结点：
1．垂直射入匀强磁场的带电粒子其轨迹为何是圆，关键是分析力与运动的关系，
2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期，根据匀速圆周运动的相关知识类比，
3．质谱仪原理，加深对半径公式的理解。
一、教学目标
1．知识与技能：
（1）理解洛伦兹力对粒子不做功，
（2）理解带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的条件，
（3）会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径及周期公式，
（4）会运用带电粒子在匀强磁场中的运动规律分析问题解决问题，
（5）了解质谱仪的工作原理。
2．过程与方法
（1）通过提出实际问题，分析问题，解决问题的过程，学习科学的思维方法，
（2）通过物理实验观察、理论推导过程，逐步掌握研究物理问题的一般方法。&
3．情感、态度和价值观
（1）从探究中获得积极的情感体验，培养认真、严谨的科学态度和科学精神，
（2）了解并体会物理学在现代科学技术中的应用，培养爱国主义精神。
二、教学重难点
&1．带电粒子垂直进入匀强磁场的轨迹分析，
&2．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径及周期公式推导、理解和运用，
&3．质谱仪工作原理的理解。
三、教学器材
洛伦兹力演示仪
四、教学过程
（一）新课引入：
改革开放以来，我国的科学技术发展日新月异，特别是在高能物理方面更是取得了举世瞩目的成就，从北京正负电子对撞机到上海光源，从“阿尔法”磁谱仪到“人造太阳”无不显示出我国科技自主创新的勃勃生机。
在19世纪末、20世纪初的高能物理发展过程中，同位素的分离一直是个经久不衰的话题，那么同学们能够利用已有的电磁学知识来分离氕、氘、氚这三种同位素吗？
同位素中子数不同，质量有明显的差异，要分离同位素是不是应该从质量入手呀？那么怎样来分离呢？我们知道：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场会发生偏转，正负电荷可以被分开，这个过程中电场力远大于重力，所以其重力可以忽略，带电粒子做类平抛运动。我们能够利用这个规律来分离同位素吗？
理论探究：能否利用带电粒子在匀强电场中的偏转分离同位素？
<img HSPACE="12" WIDTH="257" ALIGN="left" HEIGHT="88"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />当带电粒子经加速电场加速后垂直于电场线方向射入偏转电场时，带电粒子受到竖直方向的电场力而发生偏转。我们假设粒子质量为<img WIDTH="18" HEIGHT="15"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />，带电量为<img WIDTH="14" HEIGHT="18"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />，加速电场电压<img WIDTH="20" HEIGHT="24"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />，偏转电压为<img WIDTH="22" HEIGHT="24"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />，极板间距为<img WIDTH="15" HEIGHT="19"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />，极板长度为<img WIDTH="10" HEIGHT="19"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />，偏转角度为<img WIDTH="14" HEIGHT="19"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />
加速电场中：<img WIDTH="83" HEIGHT="42"
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偏转电场中：<img WIDTH="108" HEIGHT="42"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />＝<img WIDTH="42" HEIGHT="46"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />
由此可见：偏转角度与粒子质量无关，所以不能达到分离同位素的目的。
（二）进入新课
我们知道带电粒子在磁场中也可能发生偏转，那么带电粒子在磁场中的运动情况又是怎样的呢？我们能否利用带电粒子在磁场中的运动规律来分离同位素呢？
这就是我们今天所要研究的问题：带电粒子在磁场中的运动，质谱仪。
根据上节课的知识我们知道带电粒子进入磁场可能受到洛伦兹力的作用，洛伦兹力的方向可以根据左手定则来判定（复习左手定则）。
如果带电粒子速度方向与磁场方向相平行时，是否受洛伦兹力作用？
通过问题的设置引导学生分析力与运动关系，让学生掌握处理物理问题的一般方法，明确粒子速度方向与磁场方向相垂直时，不受洛伦兹力的作用。同时强调粒子重力可忽略这一事实，让学生学会在分析问题时抓住主要矛盾，忽略次要矛盾。
实验探究：V垂直B时，带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹如何？
我们首先通过一个实验来观察。（介绍洛伦兹力演示仪并实验：电子枪：射出电子（电子射线可以使管内的低压水银蒸汽（或氢气）发出辉光，显示电子径迹）；加速电场：作用是改变电子束出射的速度；亥姆霍兹线圈：作用是能在两线圈之间产生平行于两线圈中心连线的匀强磁场……）
通过真实实验有效的激发学生的求知欲，利用摄像头的放大作用，让实验现象清晰的呈现，解决了普通课堂上实验现象难于全面呈现的问题。
理论探究：垂直射入匀强磁场的带电粒子的运动轨迹为什么是圆？
&&&&这个问题是本节课的突破口，只有有效的处理这个问题才能让后续的延伸和拓展迎刃而解，因此在处理时首先要求学生分组讨论，留给学生充分的思考空间，在引导时一定要注意层次性和逻辑性，根据左手定则判定其为平面运动，根据磁场、粒子速度和所受洛伦兹力方向关系判定洛伦兹力不做功，通过洛伦兹力不做功判定粒子速度大小不变，洛伦兹力大小不变。&
教师总结（引导学生看教材）：带电粒子初速度和所受洛伦兹力都在与磁场垂直的同一平面内，粒子只能在平面运动；洛伦兹力不做功，速度大小不变；洛伦兹力<img WIDTH="59" HEIGHT="22"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />大小也不变，带电粒子做匀速圆周运动。
教师对比总结：
1．带电粒子只要进入电场，不管是否有速度，也不管速度方向如何，就一定要受电场力的作用，而且只要粒子在电场力方向上发生位移，电场力就一定要对粒子做功。
2．带电粒子进入磁场就没有这么好的“待遇了”，如果粒子速度等于零，根本不受磁场力的作用，而且即便有速度，如果速度方向与磁场方向相同或相反，它也不会受磁场力的作用。更重要的是由于洛伦兹力始终与带电粒子运动速度方向相垂直，洛伦兹力始终不做功。
理论探究：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期
既然带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，那么它的半径和周期具体如何呢？
半径：&&&&&&&&&&&&&<img WIDTH="76" HEIGHT="44"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />&&&&&&&&<img WIDTH="50" HEIGHT="44"
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TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />
学生代表上台推导，其余同学分组讨论，合作学习，教师巡查指导，最后用视频展示台展示，能够有效的让每个同学参与学习，培养学生独立思考的能力和协作精神。
理论探究：为什么带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和速率无关？
&&&&引导学生从物理公式本身入手，透过现象看本质，进一步加深对带电粒子在磁场中运动规律的理解，让学生学会全面具体的看问题。
知识运用：质谱仪
<img HSPACE="12" WIDTH="209" ALIGN="left" HEIGHT="189"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />一质量为<img WIDTH="18" HEIGHT="15"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />，电荷量为<img WIDTH="14" HEIGHT="18"
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TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />的带正电的粒子，从容器A下方的小孔<img WIDTH="18" HEIGHT="24"
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TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />飘入电势差为<img WIDTH="18" HEIGHT="19"
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TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />的加速电场，然后让粒子垂直进入磁感应强度为<img WIDTH="16" HEIGHT="18"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />的匀强磁场中做匀速圆周运动最后打在感光底片上，如图所示
求：&#9312;粒子进入磁场时的速率
&#9313;粒子在磁场中运动的轨道半径
加速电场中根据动能定理：<img WIDTH="80" HEIGHT="42"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />
粒子进入磁场时的速率：<img WIDTH="74" HEIGHT="47"
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洛伦兹力提供向心力：<img WIDTH="76" HEIGHT="44"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为<img WIDTH="114" HEIGHT="50"
ALT="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计"
TITLE="高中物理《带电粒子在磁场中的运动&质谱仪》教学设计" />（强调半径与质量关系）
实验验证：调节洛伦兹力演示仪的加速电压和励磁电流，观察半径的变化。
实际应用：能否利用带电粒子在匀强磁场中的运动特点来分离同位素？
&&&&有效的理论联系实际，紧扣新课程理念，让学生学会利用物理知识分析问题，解决问题，有效的将理论进行整合，同时暗扣引入问题，首尾契合，让课堂结构更趋完整。
这个模型其实就是质谱仪，如果容器A中含有电荷量相同而质量有微小差别的粒子，经加速电场加速后进入磁场将沿着不同的半径做圆周运动，打到感光片的不同地方，在底片上形成若干谱线状细条（质谱线），每一条谱线对应于一定的质量。通过分析谱线我们就能得到元素的原子量，这就是质谱仪的工作原理。
质谱仪的应用相当广泛，如农业食品，生物及医疗，同位素分离等。世界上首台质谱仪是由英国科学家阿斯顿发明的（阿斯顿简介），而如今质谱分析技术已经渗透到了现代生活的方方面面（举例：刑侦学上的应用：如鉴定粉状,液态和固态麻醉剂,鉴定纵火用的燃物和化学物质,鉴定炸药的原料,成分和化学药品的成分）。人类正是基于对生活现象的观察而发现问题，通过实验探索和理论分析揭示了隐藏其中的规律，将其运用于解决实际问题才形成科学技术，并利用其为人类社会服务，希望同学们也用发现的眼睛去观察世界，用你们的智慧去改造世界，相信我们的明天会更好！
四、知识小结：（学生完成，教师引导）
1．从力和运动的角度分析了匀强磁场中带电粒子的运动轨迹；
2．利用匀速圆周运动相关知识推导出粒子运动的半径和周期；
3．质谱仪的原理及应用。
教学反思：本节课创新的三次使用洛伦兹力演示仪，第一次是探究带电粒子在磁场中的运动轨迹，第二次是验证其轨道半径与哪些因素有关，第三次是演示当速度方向与磁场方向成一定夹角时带电粒子的运动轨迹，通过对实验的有效处理达到了良好的教学效果。同时也注重学生思维方法的养成，特别是引导学生学会从力和运动的角度分析带电粒子垂直进入磁场的运动轨迹，首先要求学生分组讨论，其次从带电粒子速度、洛伦兹力和磁场三者之间方向的关系加以引导，得出带电粒子做平面运动，洛伦兹力不做功，带电粒子速度大小不变，洛伦兹力大小也不变等条件，最终得出了其运动规律，层次清晰而不笼统。在教学设计思路上贯彻了从实际问题出发，通过实验探索和理论分析，最终解决实际问题的一般思维方法，体现了新课程的理念。
注：李峥老师2010年参加重庆市高中物理优质课大赛荣获
重庆市一等奖（授课内容：带电粒子在磁场中的运动
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“带电粒子在电、磁场中的运动”90
道计算题详解
1．在图所示的坐标系中，x
轴上方空间只存在
重力场，第Ⅲ象限存在沿
y 轴正方向的匀强电场和垂直
xy 平面向里的匀
强磁场，在第Ⅳ象限由沿
x 轴负方向的匀强电场，场强大小与第Ⅲ象限存
在的电场的场强大小相等。一质量为
m，带电荷量大小为
y 轴上 y=h 处的
P1 点以一定的水平速度沿
x 轴负方向抛出，它经过
P2 点进入第Ⅲ象限，恰好做匀速圆周运动，又经过
2h 的 P3 点进入第Ⅳ象限，试求：
P2 点时速度的大小和方向；
⑵第Ⅲ象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小；
a 进入第Ⅳ象限且速度减为零时的位置坐标
2．如图所示的坐标系，x
轴沿水平方向，y
轴沿竖直方向在
x 轴上空间第一、第二象限内，既无电场也无
磁场，在第三象限，存在沿
y 轴正方向的匀强电场和垂直
xy 平面（纸面）
向里的均强磁场，在第四象限，存在沿
y 轴负方向、场强大小与第三象限
电场场强相等的匀强电场。一质量为
m、电荷量为
q 的带电质点，从
上 y=h 处的
P1 点以一定的水平初速度沿
x 轴负方向进入第二象限。然后经
-2h 处的 P2 点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运
动．之后经过
y= －2h 处的
P3 点进入第四象限。已知重力加速度为
（1）粒子到达
P2 点时速度的大小和方向；
（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；
（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向。
3．如图所示，在xoy平面的第一、第三和第四象限内存在着方向竖直向上的大小相同的匀强电场，在第一
和第四象限内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m，电量为+q的带电质点，在第三象限中以沿x轴
正方向的速度v做匀速直线运动，第一次经过y轴上的M点，M点距坐标原点O的距离为L；然后在第四象限和第
一象限的电磁场中做匀速圆周运动，质点第一次经过x轴上的N点距坐标原点O的距离为
3L 。已知重力加速度
为g，求：⑴匀强电场的电场强度E的大小。⑵匀强磁场的磁感应强度B的大小。⑶质点第二次经过x轴的位置距
坐标原点的距离d的大小。
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4．(20 分)如图所示，在
xOy 坐标系的第Ⅱ象限内，x
x 轴的虚线之间(包括
x 轴和虚线)有磁感应
强度大小为
T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，虚线过
P 点，OP=1.0m，在
x≥O 的区域内
有磁感应强度大小为
B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场。许多质量
kg、电荷量
q=+1.6×10
粒子，以相同的速率
v=2×10 m/s 从 C 点沿纸面内的各个方向射人磁感应强度为
B1 的区域，OC=0.5
分粒子只在磁感应强度为
B1 的区域运动，有一部分粒子在磁感应强度为
B1 的区域运动之后将进入磁感应强度
为 B2 的区域。设粒子在
B1 区域运动的最短时间为
t1，这部分粒子进入磁感应强度为
B2 的区域后在
B2 区域的运
t2=4t1。不计粒子重力．求：
(1)粒子在磁感应强度为
B1 的区域运动的最长时问
(2)磁感应强度
B2 的大小?
5．如图所示，在
xoy 坐标平面的第一象限内有一沿
y 轴正方向的匀强电场,在第四象限内有一垂直于平面向
外的匀强磁场．现有一质量为
m，电荷量为
q 的负粒子（重力不计）从坐标原点
o 射入磁场，其入射方向与
y 轴负方向成
45°角．当粒子运动到电场中坐标为（3L，L）的
P 点处时速度大小为
v0，方向与
x 轴正方向相
（1）粒子从
O 点射人磁场时的速度
（2）匀强电场的场强
（3）粒子从
O 点运动到
P 点所用的时间．
6．如图所示，x
轴上方存在磁感应强度为
B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外（图中未画出）。
x 轴下方存在匀强电场，场强大小为
E，方向沿与
x 轴负方向成
60°角斜向下。一个质量为
m，带电量为＋e
质子以速度
v0 从 O 点沿 y 轴正方向射入匀强磁场区域。质子飞出磁场区域后，从
b 点处穿过
x 轴进入匀强电场
中，速度方向与
x 轴正方向成
30°，之后通过了
b 点正下方的
c 点。不计质子的重力。
（1）画出质子运动的轨迹，并求出圆形匀强磁场区域的最小半径和最小面积；
c 点的距离。
7．如图所示，坐标系
xOy 位于竖直平面内，在该区域内有场强
E=12N/C、方向沿
x 轴正方向的匀强电场
和磁感应强度大小为
B=2T、沿水平方向且垂直于
xOy 平面指向纸里的匀强磁场．一个质量
m=4×10—5kg，电量
q=2.5×10—5C 带正电的微粒，在
xOy 平面内做匀速直线运动，运动到原点
O 时，撤去磁场，经一段时间后，带
电微粒运动到了
g＝10 m/s2，求：
（1）带电微粒运动的速度大小及其跟
x 轴正方向的夹角方向．
（2）带电微粒由原点
P 点的时间．
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分）如图所示，x
轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为
B，x 轴下方有一匀
强电场，电场强度的大小为
y 轴的夹角
θ 为 30°，且斜向上方，现有一质量为
q 的质子，
v0 由原点沿与
x 轴负方向的夹角
θ 为 30°的方向射入第二象限的磁场，不计质子的重力，磁场和电场
的区域足够大，求：
（1）质子从原点到第一次穿越
x 轴所用的时间。
（2）质子第一次穿越
x 轴穿越点与原点的距离。
（3）质子第二次穿越
x 轴时的速度的大小、速度方向与电场方向的夹
角。（用反三角函数表示）
分）如图所示，在地球表面附近有一范围足够大的互相垂直的匀强电场和匀强磁场。磁感应强度为
B，方向水平并垂直纸面向里。一质量为
m、带电荷量为+q
的带电微粒在此区域恰好做速度大小为
v 的匀速圆
周运动。（该区域的重力加速度为
（1）求该区域内电场强度的大小和方向。
（2）若某一时刻微粒运动到场中距地面高度为
H 的 A 点，速度与水平向成
45°，如图所示。则该微粒至少
需经多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？
（3）在（2）间中微粒又运动
A 点时，突然撤去磁场，同时电场强度大小不变，方向变为水平向左，则该
微粒运动中距地面的最大高度是多少？
10．(20 分)在倾角为
30°的光滑斜面上有相距
40m 的两个可看作质点的小物体
P 和 Q，质量分别
500g，其中
P 不带电，Q
带电。整个装置处在正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度的大小为
50V/m，方向
竖直向下；磁感应强度的大小为
5π(T)，方向垂直纸面向里。开始时，将小物体
P 无初速释放，当
Q 处时，与静止在该处的小物体
Q 相碰，碰撞中两物体的电荷量保持不变。碰撞后，两物体能够再次相遇。其
中斜面无限长，g
取 10m/s2。求：
（1）试分析物体
Q 的带电性质及电荷量；
第一次碰撞后，物体
Q 可能的运动情况，此运动是否为周期性运动？若是，物体
周期为多大？
第一次碰撞过程中由物体
P 和 Q 组成的系统损失的机械能。
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1．如图所示。
（1）质点在第Ⅱ象限中做平抛运动，设初速度为
gt 2 ……①
2h=v0t…… ②
解得平抛的初速度
在 P2 点，速度
v 的竖直分量
vy ? gt ? 2gh （1 分）
gh ，其方向与
x 轴负向夹角
（2）带电粒子进入第Ⅲ象限做匀速圆周运动，必有
mg=qE……③
又恰能过负
y 轴 2h 处，故
P2 P3 为圆的直径，转动半径
…… ④（1
分）．　　可解得　E =mg/q
（1 分）；
（3）带电粒以大小为
x 轴正向夹
45°角进入第Ⅳ象限，所受电场力与重力的合力为
P3 点的速度方向相反，故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为
由 O2 ? v2 ? ?2as,得s ?
2h （2 分）
由此得出速度减为
0 时的位置坐标是
2.分析和解：
（1）参见图,带电质点从
P1 到 P2，由平抛运动规律
gt ……①（2
v0=2h/t……②（1
v y ? gt vy=gt……③（1 分）
vO ? v y ? 2 gh ……④（2
x 轴负方向成
45°角……（1
（2）质点从
P2 到 P3，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力
Eq=mg……⑤（1
(2h) 2 (2h) 2 ……⑦（2
分）；　由⑤解得
联立④⑥⑦式得
（3）质点进入等四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动.
当竖直方向的速度减小
到 0，此时质点速度最小，即
v 在水平方向的分量
vmin=vcos45°= 2gh ……（2
x 轴正方向……2
3：⑴带电质点在第三象限中做匀速直线运动，电场力与重力平衡，则：qE=mg
得：E=mg/q
⑵设质点做匀速圆周运动的半径为R，则：
R 2 = (R? L) 2 + ( 3L) 2
解得：R=2L
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由 qvB = m
．联立解得：
⑶质点在第二象限做平抛运动后第二次经过x轴，设下落的高度为h，则：
由平抛运动的规律有：
gt 2 ； d ? vt ．解得：
4.分析与解：（1）设粒子在磁感应强度为
B1 的区域做匀速圆周运动的半径为
r =r=mv/qB1 ……（1 分）,　r = 1.0 m ……（1
分）；　T1 ==2 π m /qB1……
由题意可知，OP = r，所以粒子沿垂直
x 轴的方向进入时，在
B1 区域运动的时间最长为半个周期，即
t0 =T1/ 2 ……（2 分），　　解得
t0 = 1.57×10
s ……（2 分）
（2）粒子沿+x
轴的方向进入时，在磁感应强度为
B1 的区域运动的时间最短，这些粒子在
B1 和 B2 中运动
的轨迹如图所示，在
B1 中做圆周运动的圆心是
O1，O1 点在虚线上，与
y 轴的交点是
B2 中做圆周运动的
y 轴的交点是
D，O1、A、O2
在一条直线上。
分）；所以∠AO1C = 30°……2
则 t1=T1/12 ……（2 分）
B2 区域做匀速圆周运动的周期为
由于∠PAO1 =∠OAO2 =∠ODO2 = 30°……（1
所以∠AO2D = 120°……（2
t1 ，　解得
分）．B2 = 4×10
（1）v=v0/cos45°=
v 与 x 轴夹角为
45°，由动能定理得：
? ?qEL , 解得　E =mv0
（3）粒子在电场中运动
at ，a =qE/m
解得：t2=2L/v0
粒子在磁场中的运动轨迹为
l/4 圆周，所以
R =( 3L—2L)/ 2
粒子在磁场中的运动时间为：t1=
? 2?R / v ? ?L / 4v
P 所用时闯为：t=t1+t2=L(π+8)/4vo
6【解析】（1）质子先在匀强磁场中做匀速圆周运动，射出磁场后做匀速直线运动，最后进入匀强电场做
类平抛运动，轨迹如图所示.根据牛顿第二定律，有
要使磁场的区域面积最小，则
Oa 为磁场区域的直径，由几何关系可知：
r =Rcos30°　（4 分）
求出圆形匀强磁场区域的最小半径
圆形匀强磁场区域的最小面积为
0 （1 分）
（2）质子进入电场后，做类平抛运动，垂直电场方向：
s sin30°=v0t（3 分）
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平行电场方向：scos30°=a t2 / 2，（3
分）由牛顿第二定律
eE=ma，　（2
c 点的距离：
7 解答．微粒运动到
O 点之前要受到重力、电场力和洛仑兹力作用，在这段时间内微粒做匀速直线运动，
说明三力合力为零．由此可得
①………（2
②………（2
洛仑兹力　
FB ? Bqv ……
联立求解、代入数据得　v=10m/s …… ④（2
微粒运动的速度与重力和电场力的合力垂直,设该合力与
y 轴负方向的夹角为
…… ⑤（2
分）；代入数据得
tanθ= 3/4 ,θ = 37°
带电微粒运动的速度与
x 轴正方向的夹角为
θ = 37°……⑥（2
微粒运动到
O 点之后，撤去磁场，微粒只受到重力、电场力作用，其
力为一恒力，且方向与微粒在
O 点的速度方向垂直，所以微粒在后一段时
内的运动为类平抛运动，可沿初速度方向和合力方向进行分解．
设沿初速度方向的位移为
s1，沿合力方向的位移为
s2，则因为　s1=v
联立⑦⑧⑨求解，代入数据可得:
P 点运动时间
t＝1．2 s …⑩
8.解：（1）由题意可知，t=T/6……①
2πm/qB =πm/3qB……③；　qv0B=m
为等边三角形
第一次穿越
x 轴，穿越点与原点距离
x=r=mv0/qB……⑤
A 时速度方向与
x 轴夹 30°角方向与电场方向垂直，在电场中类平抛：v0 = at……⑥
由几何关系知：
? tan 30? ? 3 / 3 ……⑦
v 2 =at= 2 3v0 / 3 ……⑧
第一次穿越
x 轴的速度大小
7 / 3v0 …⑨
与电场方向夹角
θ=arcsinarc 7 / 3 ……⑩
①②③④⑤⑥⑧⑦⑨⑩式各
9 解（1）带电微粒在做匀速圆周运动，电场与重力应平衡，因此
…… ②（2
方向：竖直向上
（2）该微粒做匀速圆周运动，轨道半径为
R，如图．qBv = m
最高点与地面的距离为：Hm = H + R ( 1 + cos 45°) ……④（2
解得：Hm = H +
该微粒运动周期为：T =
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运动到最高点所用时间为：
（3）设该粒上升高度为
h，由动能定理得：　　
? mgh ? Eqhcot 45? ? 0 ? m?
分）；该微粒离地面最大高度为：H +
10 解：（20
分）（1）对物体
Q，在碰撞之前处于静止状态，由平衡条件有
得 q =0.1C，且物体
碰撞之后，物体
Q 受重力、电场力、洛伦兹力的作用，由于重力和电场力等大反向，故物
体 Q 将在斜面上方做匀速圆周运动.
Q，匀速圆周运动的周期：T
能够再次相遇，则相遇点一定为
的第一次碰撞点,物体
P 在碰撞后一定反向弹回，再
次回到碰撞点时再次相遇。
P，从释放到与
Q 碰撞之前，由运动学公式有：
v 0 —0=2gsimθ·s
得 v0=20m/s
P 和 Q，在碰撞过程中，动量守恒有
m1v0 ? m2v2 ? m1v1
碰撞过程中，系统损失的能量为
m1v0 ? ? m1v1 ?
P，时间关系：
( k ? 1，2，3，??)
当 k=1 时，v1=5m/s，v2=5m/s，△E=12.5J
当 k=2 时，v1=10m/s，v2=6m/s，△E=6J
当 k=3 时，v1=15m/s，v2=7m/s，系统总动能增加，不满足能量守恒定律。
综上所述，碰撞过程中由物体
P 和 Q 组成的系统损失的机械能可能为
12.5J 或 6J.
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分）如图所示，直角坐标中的第Ⅰ象限中存在沿
y 轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直
纸面向外的匀强磁场。一电荷量为
m 的带正电的粒子，在–x
a 点以速度
v0 与–x 轴成
射入磁场，从
y = L 处的 b 点垂直于
y 轴方向进入电场，并经过
x 轴上 x = 2L 处的 c 点。不计重力。求
（1）磁感应强度
B 的大小；（2）电场强度
E 的大小；
（3）粒子在磁场和电场中的运动时间之比。
分）如图所示，在
y>0 的区域内有沿
y 轴正方向的匀强电场，在
y 0 的空间中存在匀强电场，场强沿
y 轴负方向；在
y < 0 的空间中，存在匀强磁场，磁
场方向垂直
xy 平面（纸面）向外．一电量为
m 的带正电的运动粒子，经
y 轴上 y = h 处的点
P1 时速率为
v0，方向沿
x 轴正方向，然后经过
x = 2h 处的
P2 点进入磁场，并经过
y = – 2h 处的 P3 点．不计粒子的重力，求
（1）电场强度的大小；
（2）粒子到达
P2 时速度的大小和方向；
（3）磁感应强度的大小．
24．如图所示，在
x 轴上方有磁感应强度大小为
B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．X
轴下方有磁感应强度
B/2，方向垂直纸面向外的匀强磁场．一质量为
m、电量为–
q 的带电粒子（不计重力），从
O 点以速度
v0 垂直 x 轴向上射出．求：
（1）射出之后经多长时间粒子第二次到达
x 轴，粒子第二次到达
O 点的距离是多少？
（2）若粒子能经过在
x 轴距 O 点为
L 的某点，试求粒子到该点所用的时间
用 L 与 v0 表达）．
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25．如图所示，MN
为纸面内竖直虚线，P、Q
是纸面内水平方向上的两点，两点距离
PD 为 L，D
虚线的距离
L/π．一质量为
m、电荷量为
q 的带正电的粒子在纸面内从
P 点开始以水平初速度
动，经过一段时间后在虚线
MN 左侧空间加上垂直纸面向里的磁感应强度为
B 的匀强磁场，磁场维持一段时间
后撤除，随后粒子再次通过
D 点且速度方向竖直向下，已知虚线足够长，MN
空间磁场分布足够大，粒子的重力不计．求
（1）在加上磁场前粒子运动的时间；
（2）满足题设条件的磁感应强度
B 的最小值及
B 最小时磁场维持的时间
6 – 18 所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为
E，匀强磁场的方向垂直于纸面向外，磁感
B．有两个带电小球
A 和 B 都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库
仑力可忽略），运动轨迹如图．已知两个带电小球
A 和 B 的质量关系为
mA = 3mB，轨道半径为
RA = 3RB = 9
（1）试说明小球
A 和 B 带什么电，它们所带的电荷量之比
qA/qB 等于多少？
（2）指出小球
A 和 B 在绕行方向及速率之比；
（3）设带电小球
A 和 B 在图示位置
P 处相碰撞，且碰撞后原先在小圆轨道上运动
B 恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球
A 碰撞后所做圆周运动的轨道半径
设碰撞时两个带电小球间电荷量不转移）．
6 – 19 所示，一对平行金属板水平放置，板间距离在
d，板间有磁感应强度为
B 的水平向里的匀强
磁场，将金属板连入如图所示的电路，已知电源的内电阻为
r，滑动变阻器的总电阻为
R，现将开关
S 闭合，并
调节滑动触头
P 至右端长度为总长度的
1/4．一质量为
m、电荷量为
q 的带电质点从
板正中央左端以某一初速度水平飞入场区时，恰好做匀速圆周运动．
（1）求电源的电动势；
（2）若将滑动变阻器的滑动触头
R 的正中间位置，可以使原带电质点以
平直线从两板间穿过，求该质点进入磁场的初速度；
（3）若将滑动变阻器的滑动触头
R 的最左端，原带电质点恰好能从金属
边缘飞出，求质点飞出时的动能．
28．如图所示，直角坐标系
xOy 中，在
0 的区域存在一垂直纸面的矩形有界匀强磁场，其下边界和左边界分别与
辆重合，磁感应强度的大小为
B（图中未画出），现有一质量为
e 的质子从第二象限的某点
P 以初速度
=eBL/6m 沿 x 轴正方向
开始运动，以
2v0 的速度经坐标为（0，L）的
Q 点．再经磁场偏转恰好从坐标原点
O 沿 x 轴的负方向返回电场，
不计质子的重力．求：
点的坐标；（2）矩形磁场的面积．
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29．如图所示的坐标空间中有场强为
E 的匀强电场和磁感应强度为
B 的匀强磁场，y
轴为两种场的分界线，
图中虚线为磁场区的右边界，现有一质量为
m、带电量为– q
的带电粒子（不计重力），从电场中
P 点以初速度
v0 沿 x 轴正方向运动．已知
P 点的坐标为（– L，0），且
0 ．试求：
（1）要使带电粒子能穿过磁场区而不再返回到电场中，
磁场的宽度
d 应满足什么
（2）要使带电粒子恰好不能从右边界穿出磁场区，则带
电粒子在磁场中运动的时
间为多少？
分）在直角坐标系的第
II 象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为
强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。某一带正电粒子
A1，由静止开始经加速电压为
U 的电场（图中未画出）
加速后，从纵坐标为
2 a 的 M 处平行于
x 轴向右运动，通过第
II 象限的匀强磁场区域后，在坐标原点
静止在该点的粒子
A2 发生了对心正碰，碰后它们结合在一起进人第
IV 象限，碰撞前后它们的运动轨迹如图所
示。若两个粒子的质量相等且均可视为质点、重力不计、碰撞过程中无电荷量损失。
（1）求带电粒子
A1 的比荷（即
（2）确定粒子
A2 碰撞前的带电情况；
（3）求带电粒子
A1 在两个磁场区域中偏转所用的总时间。
31*．如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场
E 与匀强磁场
B1，匀强电场
E 的电场强度大小为
E=500V/m，匀强磁场
B1 的磁感应强度大小
B1=0.5T。第一象限的某个区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场
B2，磁场的下边界与
x 轴重合。一质量
kg、电荷量
C 的带正电微粒以某一速度
M 点沿直线，经
P 点进入处于第一象限内的矩形匀强磁场
B2 区域。一段时间后，微粒经过
y 轴正方向成
60°角的方向飞出。M
点的坐标为（0，-10），N
点的坐标为（0，30），不计
微粒的重力，g
取 10m/s2。
（1）请分析判断匀强电场
E 的方向并求出微粒的运动速度
（2）匀强磁场
B2 的大小为多大；
（3）匀强磁场
B2 区域的最小面积为多大？
32*．如图所示，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、
磁感应强度为
B 的圆形匀强磁场（图中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为
L 的匀强电
场，电场强度大小为
E，方向竖直高上。当粒子穿出电场时速度大小变为原来的
2 倍，已知事业电粒子的质
q，重力不计。粒子进入磁场时的速度如图所示与水平方向
60°角。试解答：
（1）粒子什么电？（2）带电粒子在磁场中运动时速度多大？
（3）圆形磁场区域的最小面积为多大？
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33*．如图，在空间坐标系中，x
轴上方分布着沿
y 轴正向、电场强度为
E 的匀强电场，x
轴下方分布着垂
直纸面向里、磁感强度为
B 的匀强磁场。y
轴正半轴上距离原点
h 高度处有一放射源，能沿
x 轴正向以不同速
度发射比荷均为
c 的负离子。不计离子的重力及离子间的相互作用，设离子在此后过程中只在
y 轴右侧运动。
（1）求初速度为
v0 的离子经过
x 轴时的速度大小。
（2）离子在匀强磁场中将做匀速圆周运动，试求各种离子第一次进入磁场时，轨迹圆的圆心位置所构成的
图线方程。
x 轴正半轴上距离原点
L 长度处有一点
M，现要求离子最终能够在由电场进入磁场时经过
子的初速度应该满足什么条件？
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21 解：设电场强度为
E，磁感强度为
O'的半径为
R；粒子的电量为
m，初速度为
存在电场和磁场时，带电粒子做匀速直线运动，有：
只存在电场时，粒子做类平抛运动，有：
　x = v ? 0 　　y=
( 0 ) 2 　
由以上式子可知
x = y = R，粒子从图中的
M 点离开电场．
由以上式子得
只存在磁场时，粒子做匀速圆周运动，从图中
N 点离开磁场，P
弧的圆心．
tg? ? R / r ? 2
；由以上式子可得
所以，粒子在磁场中运动的时间
0 atc tan 2
22 解：（1）如图所示，
设质子第一、第二次由
B、C 两点分别进入电场，轨迹圆心分别为
O1 和 O2．（图
所以：sin30° =
0 = 0.1T，得．
（2）从图中可知，第一、第二次质子在磁场中转过的角度分别为
则 t1/t2= θ1/θ2= 1
（3）两次质子以相同的速度和夹角进入电场，做类平抛运动，所以在电场中运动的时间相同．
由 x ′= v0t
y ′= 2× m ×t2
tan30° = x'/y'
；由以上解得
23 解：（1）粒子在电场、磁场中的运动轨迹如图所示．设粒子从
P1 到 P2 的时间为
t，电场强度的大小为
粒子在电场中的加速度为
a，由牛顿第二定律及运动学公式有：
由①②③式解得
E =mv 0 /2qh．
（2）粒子到达
P2 时速度沿
x 方向的分量仍为
v0，以 v1 表示速度沿
y 方向分量的大小，v
表示速度的大小，
θ 表示速度和
x 轴的夹角，则有
v = v1 ? v0
⑥；tanθ=v1 /v0
⑦；由②③⑤式得
v1 = v0 ⑧
由⑥⑦⑧式得
v = 2 v0； θ= arctan 1 = 45°
（3）设磁场的磁感应强度为
B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
r 是圆轨迹的半径，此圆轨迹与
x 轴和 y 轴的交点分别为
P2、P3．；因为
OP2 = OP3，θ=
45°，由几何关
系可知，连线
P2P3 为圆轨道的直径，由此可求得
由⑨⑩11可得
B =mv0/qh．
24 答案：（1）粒子的运动轨迹示意图如图
6 – 15 所示
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由牛顿第二定律：qv0B =
粒子第二次到达
x 轴所需时间：
t = (T1 + T2) =
粒子第二次到达
O 点的距离：s = 2(r1 + r2) =
（2）设粒子第
N 次经过在
x 轴的点距
N 为偶数还是奇数
子走过的弧长均为
25 答案：（1）微粒从
P 点开始运动至第二次通过
D 点的运动轨迹如图所示，
图可知，在加上磁场前瞬间微粒在
F 点（圆和
PQ 的切点）
在 t 时间内微粒从
P 点匀速运动到
t =PF/v0，由几何关系可右
PF = L + R
又 R =mv0/qB，可得
（2）微粒在磁场中做匀速圆周运动，由半径公式知，当
R 最大时，B
最小，在微粒不飞出磁场的情况下，
R 最大值为
Rm = DQ/2，即
Rm = L /(2π)，可得 B 的最小值为
Bmin =2πmv0 /qL
微粒在磁场中做匀速圆周运动，故有
t0 = (n + ) T (n = 0，1，2，3，…)
T=2πm/qBmin
t0 = (n ? )L / v
(n = 0，1，2，3，…) ．
26 答案：（1）因为两带电小球都在复合场中做匀速圆周运动，故必有
qE = mg，由电场方可知，两小球都带负
mAg = qAE，mA = 3mB
（2）由题意可知，两带电小球的绕行方向都为逆时针方向
由 qBv = m
．又由题意
RA = 3RB，所以
（3）由于两带电小球在
P 处相碰，切向的合外力为零，故两带电小球在
P 处的切向动量守恒，由
mAvA + mB vB = mA vA′+ mBvB′
得，vA =7vB/3= 7vA/9
RA = 7 cm．
27 答案：（1）因带电质点做匀速圆周运动，故电场力
G 平衡，有
F = mg = Eq
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两板间电场强度
E = U/d，两板间电压
由闭合电路的欧姆定律得：I =ε/ (R + r)
得 ε= 4 (R + r) dmg/Rq．
（2）由（1）知，电场力竖直向上，故质点带负电，由左手定则得洛伦兹力竖直向下，由平衡条件得：mg +
因两板间电压
U′= IR/2 = 2U，得 E′= 2E， F′= 2F = 2 mg
v0 = mg / Bq．
（3）因两板间电压变为
U″= IR = 4U
F″= 4F = 4 由动能定理知
28 解：（1）如图所示，设
P 点的坐标为(xP，yP)，从
P 到 Q，质子做类平抛运动，设过
Q 点时的速度与
x 轴正向的夹角为
cosθ= 0 ，所以
y 方向的分速度
vOy = 2 v0sinθ
在电场中质子运动的加速度
a =eE/m，设质子由
P 到 Q 的时间为
vOy = at，
xP = – v0t，yP = L +at /2，解得：xP = ?
（2）设所加的最小矩形磁场的高和底长分别为
L1、L2，质子在磁场中做圆周运动的半径为
sin (90°–θ) = r
L1 = r + rcosθ，L2 = r， 所以 Smin = L1L2 =
29 答案：（1）研究带电粒子在电场中的运动：
水平方向：
L= v0t1，解得：t1 =
竖直方向，由动量定量
mvy，解得：vy = v0
45°角．研
所以粒子进入磁场时的速度：v
究带电粒子在磁场中的运动：当粒子刚好不从磁场右边界穿出时，其运动0
所示，由牛顿第二定律得：Bqv = m
又 d = R + Rcos 45°
所以，要使带电粒子能穿过磁场区域而不再返回电
中，磁场的宽度
d 应满足的条件为：
d h 区域有磁感应强度也为
B 的垂直于纸面向里的匀强磁场．一个
带电荷量为
q 的油滴从图中第三象限的
P 点得到一初速度，恰好能沿
PO 作直线运动（PO
x 轴负方向的夹角
为 θ=37O），并从原点
O 进入第一象限．已知重力加速度为
g，sin37o=0.6，cos37o=0.8，问：
(1)油滴的电性;　　(2)油滴在
P 点得到的初速度大小;
(3) 油滴在第一象限运动的时间和离开第一象限处的坐标
32：如图所示，第一次粒子经
U1 加速后沿中线
AB 两金属极板间做直线运动，两板间充满相互
垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为
L，两板间距为
MN 为绝缘挡板，MN
O1O2 的夹角为
θ=60°，右侧是垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度也为
P 点，第二次
AB 间磁场撤去，粒子经
U1 加速后沿中线
O1O2 射入 AB 两金属极板间恰
A 板右侧边缘射出击中
Q 点，PQ=15L/4
Q 的时间为
求：（1）粒子的荷质比。
（2）加速电场的电压
（3）粒子第一次从
t1 为多少？
xoy 平面内，第Ⅲ象限内的直线
OM 是电场与磁场的边界，OM
x 轴成 45°角。在
OM 的左侧空间存在着负
x 方向的匀强电场
E，场强大小为
的右侧空间存在着垂直纸
面向里的匀强磁场
B，磁感应强度大小为
0.1T，如图所示。一不计重力的带
电的微粒，从坐标原点
O 沿 y 轴负方向以
v0=2×10 m/s 的初速度进入磁场，
知微粒的带电量为
q=5×10—18C，质量为
m=1×10—24kg，（不计微粒所受重
（1）带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标
（2）带电微粒在磁场区域运动的总时间；
（3）带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标。
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34．如图所示，MN、PQ
是平行金属板，板长为
L，两板间距离为
PQ 板的上方有垂直纸面向里的匀
强磁场。一个电荷量为
m 的带负电粒子以速度
v0 从 MN 板边缘沿
于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从
PQ 板左边缘飞进磁场，然后又恰
PQ 板的右边缘飞进电场。不计粒子重力。试求：
（1）两金属板间所加电压
U 的大小;（2）匀强磁场的磁感应强度
B 的大小；
（3）在图中画出粒子再次进入电场的运动轨迹，并标出粒子再次从电场中
的位置与速度方向。
35．如图所示，在
y 轴的右方有一磁感应强度为
B 的方向垂直纸面向外的匀强磁场，在
x 轴的下方有一场
E 的方向平行
x 轴向右的匀强电场。有一铅板放置在
y 轴处，且与纸面垂直。现有一质量为
m、电荷量为
q 的粒子由静止经过加速电压为
U 的电场加速，然后以垂直于铅板的方向从
A 处沿直线穿过铅板，而后从
x 轴正向夹角为
60°的方向进入电场和磁场叠加的区域，最后到达
C 点。已知
(1)粒子经过铅板时损失了多少动能？
(2)粒子到达
C 点时的速度多大？
36．如图所示，匀强电场区域和匀强磁场区域是紧邻的且宽度相等均为
d，电场方向在纸平面内，而磁场
方向垂直纸面向里，一带正电粒子从
O 点以速度
v0 沿垂直电场方向进入电场，在电场力的作用下发生偏转，从
A 点离开电场进入磁场，离开电场时带电粒子在电场方向的位移为电场宽度的一半，当粒子从
C 点穿出磁场时
速度方向与进入电场
O 点时的速度方向一致，（带电粒子重力不计）求：（1）粒子从
C 点穿出磁场时的速度
v；（2）电场强度
E 和磁感应强度
（3）粒子在电、磁场
中运动的总时间．
37．如图所示，在纸平面内建立的直角坐标系
xoy，在第一象限的区域存在沿
y 轴正方向的匀强电场．现有
e 的电子从第一象限的某点
3L /8 ）以初速度
v0 沿 x 轴的负方向开始运动，经过
x 轴上的点
Q（L/4，0）进入第四象限，先做匀速直线运动，然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边
界和上边界分别与
y 轴、x 轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点
y 轴的正方向运动，不计电子的重力．求
（1）电子经过
Q 点的速度
（2）该匀强磁场的磁感应强度
（3）磁场的最小面积
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38．如图所示，一足够长的矩形区域
abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为
B 的匀强磁场，在
O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟
θ = 30°、大小为
v0 的带正电粒子，已知粒子质量
为 m，电量为
q，ad 边长为
边足够长，粒子重力不计，求：
（1）粒子能从
ab 边上射出磁场的
v0 大小范围。
（2）如果带电粒子不受上述
v0 大小范围的限制，求粒子在磁场
中运动的最长时间。
39．如图所示，一个质量为
m =2.0×10—11kg，电荷量
q = +1.0×10—5C 的带电微粒（重力忽略不计），从静
U1=100V 电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中。金属板长
L=20cm，两板间距
3 cm。求：
（1）微粒进入偏转电场时的速度
v0 是多大？
（2）若微粒射出偏转电场时的偏转角为
并接着进入一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场
金属板间的电压
U2 是多大？
（3）若该匀强磁场的宽度为
3 cm，为使微
粒不会由磁场右边射出，该
匀强磁场的磁感应强度
B 至少多大？
40．设金属板左侧有一个方向垂直纸面向里、磁感应强度为
B 且面积足够大的匀强磁场，涂有荧光材料的
P（半径忽略不计）置于金属板上的
A 点的正上方，且
A、P 同在纸面内，两点相距
L，如图所示，当
强光束照射到
A 点时发生光电效应，小球由于受到光电子的冲击而发出荧光，在纸面内若有一个与金属板成
射出的比荷为
e/m 的光电子恰能击中小球
P，求：⑴该光电子逸出金属板时速度的大小；
⑵光电子在磁场中运动的时间．
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31 解答：(1)油滴带负电.
(2)油滴受三个力作用(见右图)，从Ｐ到Ｏ沿直线必为匀速运动，设油滴质量为
由平衡条件有
qvBsin37°=qE
mgtan37°=qE　
综合前两式，得
v=5E/3B 、m=4qE/3g
(3)进入第一象限，由电场力
F′=qE=4qE/3 和重力
G=mg=(4qE/3g)g=4qE/3g，知油滴先作匀速直线运动，进
入 y≥h 的区域后作匀速圆周运动，路径如图,最后从
N 点离开第一象限．
匀速运动位移为
s =h/sin37°=5h/3 知运动时间：
由几何关系和圆周运动的周期关系式
T=2πm/qB 知由
A→Ｃ的圆周运动时间为
由对称性知从
C→Ｎ的时间
在第一象限运动的总时间
t ? t ? t ? t ?
由在磁场中的匀速圆周运动，有　
由②、③、⑦式解得得到轨道半径
ON ? 2(s cos37? ? r sin 37?) ? (h ?
　　即离开第一象限处（Ｎ点）的坐标为〖
32 解：分析粒子在的
U1 加速：qU1=mv
分析粒子在电磁复合场中做匀速直线运动
分析粒子在两板间撤去磁场后做类平抛运动
qE=ma　　　①；
tanα=at/v0　　　　②．
tanα=（L/2）
分析粒子做匀速圆周运动
Bqv0=Mv0 /R,；　所以
3 /L　　③
分析几何关系：
O3P=2Rsinθ 　　④；O3P+ O3Q=PQ 　　⑤；O3Q=（L/2+O2O3）sinα　　　⑥
分析粒子第二次从
O2 水平方向是匀速：vOt=（L+ O2O3）—O3Q·cosθ　　⑦
所以．q/m=13
3 /24Bt 　　⑧；U1=13
3 BL /16t　　⑨
分析第一次运动时间
t1′=（L+ O2O3）v0t2″=（2θ/360）T
T=2πm/Bq　⑩
所以．t1= t1′+ t2″= 13 t（1+π 3 /3）
33 解析：（1）带电微粒从
O 点射入磁场，运动轨迹如图。
第一次经过磁场边界上的
由 qv B ? m
0 ? 4?10?3 m
A 点位置坐标（-4×10-3m, -4×10-3m）
(2)设带电微粒在磁场中做圆周运动的周期为
t=tOA+tAC= T ?
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代入数据解得：T=1.256×10—5s
t=1.256×10—5s
（3）微粒从
y 轴正方向进入电场，做曲线运动
代入数据解得：
?y ? 0.2 m
y= ?y -2r=0.2—2×4×10-3m=0.192m ；离开电、磁场时的位置坐标
34 解：（1）粒子在电场中运动时间为
L ? v t ； d ? at 2 ； a ? ； E ?
v y ? at tan? ?
， qvB ? m
（3）画图正确给
35 解：由动能定理可知此带电粒子穿过铅板前的动能
又由几何知识可得（如图）
? sin 60? , 即 R ? ，
由于洛伦兹力不做功，带电粒子穿过铅板后的动能R
2q 2 B 2l 2
因此粒子穿过铅板后动能的损失为
2q 2 B 2l 2
D 到 C 只有电场力对粒子做功，电场力做功与路径无关，
动能定理，有
4q 2 B 2l 2 2qEl
36 解：（1）粒子在电场中偏转时，设速度在平行电场方向上的分量为
v//，垂直电场方向
v┴= v0，设运动时
t，d= v┴ t = v0 t ，d/2= v// t，得 v// = v0
故出电场时的速度为
2 v0，粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场时的速度大小为
2 v0，方向已知
（水平向右）．
（2）在电场中运动时
．在磁场中运动方向改变
45°，设轨道半径
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R ? d /sin 45? ? 2d ．　又
（3）粒子在磁场中运动时间
　在电场运动的总时间
运动总时间
t 总= t＋t’ =
37 解：（1）
P 点的速度大小为
v 2 ? v 2 ?
与水平方向夹角为?
? arctan y ? arctan
（2）电子进入第四象限先做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，利用磁场速度偏转角为
由几何关系得
　　　解得
；由向心力公式　
方向垂直于纸面向里．矩形磁场右边界距
y 轴的距离
d ? r ? r cos60? ? r ?
x 轴的距离
r=L/12．　最小面积为　　　S=d r=L2/96
38 解：（1）若粒子速度为
O1 处对应圆弧与
ab 边相切，相应速度为
则 R1＋R1sinθ =
代入上式可得，v01 =
类似地，设圆心在
O2 处对应圆弧与
cd 边相切，相应速度为
v02，则 R2－R2sinθ =
代入上式可得，v02 =
所以粒子能从
射出磁场的
可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角
α 越长，在磁场中运动的时间也越长。
由图可知，在磁场中运动的半径
r≤R1 时，运动时间最长，弧所对圆心角为（2π－2θ），
(2? ? 2? )m 5? m
所以最长时间为
）微粒在加速电场中由动能定理得：
v0=1.0×10 m/s
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（2）微粒在偏转电场中做类平抛运动，有：
， v y ? at ? a
飞出电场时，速度偏转角的正切为：
（3）进入磁场时微粒的速度是：
轨迹如图，由几何关系有：
? r ? r sin?
　 ④洛伦兹力提供
(1? sin? )
由③～⑤联立得：
代入数据解得：B
40 解：⑴由题意可知，光电子的出射方向有两种可能：
情况一：若光电子的出射方向是沿斜向左下方的方向，如图所示：
由牛顿第二定律得：
由几何关系得：
由②、③式得：
情况二：若光电子的出射方向是沿着斜向左上方的方向，如图所
由图可知，轨道半径也为
即光电子的出射速度大小也为：
⑵光电子在磁场中的运动周期：T
情况一：光电子在磁场中转过的角度为
，运动的时间
由⑥、⑦式得
情况二：光电子在磁场中转过的角度为
π／3，运动的时间
由⑥、⑨式得
41．如图中甲所示，真空中两水平放置的平行金属板
C、D，上面分别开有正对的小孔
O1 和 O2，金属板
接在正弦交流电源上，C、D
两板间的电压
UCD 随时间
t 变化的图线如图中乙所示。t＝0
时刻开始，从
O1 处连续不断飘入质量为
m＝3.2×10
kg、电荷量
q＝1.6×10
C 的带正电的粒子（设飘入速度很小，
可视为零）。在
D 板外侧有以
为边界的匀强磁场，MN
d＝10cm，匀强磁场的大小为
0.1T，方向如图中所示，粒子的重力及粒子间相互作用力不计，平行金属板
之间的距离足够小，粒子在
两板间的运动时间可忽略不计。求：
（1）带电粒子经小孔
O2 进入磁场后，能飞出磁场边界
MN 的最小速度为多大？
0 到 0.04s 末时间内哪些时刻飘入小孔
O1 的粒子能穿过电场并飞出磁场边界
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O2 为原点建立直角坐标系，在图甲中画出粒子在有界磁场中可能出现的区域（用斜线标出），并
标出该区域与磁场边界交点的坐标。要求写出相应的计算过程
★受约束的粒子或类粒子的运动
42．如图所示，绝缘的水平地面在
Q 点左侧是光滑的，右侧是粗糙的。质最为
m、电荷量为
q（q>0）的
金属小滑块
P 点，质最为
2 m、不带电的金属小滑块
Q 点，A、B
均静止不动，P、Q
两点之间的
L。当加上方向水平向右、场强大小为
E 的匀强电场时，A
开始向右运
动，然后与
B 发生正碰，碰撞时间极短。碰后，
A、B 的电荷量均为
q /2 且保持
刚好能返回到
水平向右做匀速
运动。A、B
均视为质点，A、
B 之间的库仑力不计。求：
（1）碰撞前、后
v1、v2 和碰后
A 刚好回到
B 到 Q 点的距离
43．如图所示，可视为质点的三物块
放在倾角为
L=2m 的固定斜面上，物块与斜面间的
动摩擦因数
3 /80μ＝，A 与
B 紧靠在一起，C
紧靠在固定挡板上，三物块的质量分别为
mA＝0.80kg、
mB＝0.64kg、mC＝0.50kg，其中
A 不带电，B、C
的带电量分别为
qB＝＋4.0×10
C、qC＝＋2.0×10
C 且保持不
变，开始时三个物块均能保持静止且与斜面间均无摩擦力作用．如果选定两点电荷在相距无穷远处的电势能为
0，则相距为
r 时，两点电荷具有的电势能可表示为
? k 1 2 ．现给
A 施加一平行于斜面向上的力
A 在斜面上作加速度
的匀加速直线运动，经过时间
F 变为恒力，当
A 运动到斜面顶端时撤去
力 F．已知静电力常量
k＝9.0×109N·m2／C2，g＝10m/s2．求：
（1）未施加力
间的距离；
（2）t0 时间内
A 上滑的距离；（3）t0
时间内库仑力做的功；
F 对 A 物块做的总功
44．如图所示，匀强电场方向竖直向上，A、B
是两个形状相同的金属小滑块，B
滑块的质量是
A 滑块质量
的 4 倍，B
滑块不带电，放在水平台面的边缘；已知
A 滑块带正电荷，与台面间的动摩擦因数
μ= 0.4．开始时，
A 滑块在台面上恰好能匀速运动，速度大小为
v0 = 5 m/s，之后与
正碰，碰后
B 滑块落到地面上，落地时的动能等于它在下落过程中减少的
力势能．设碰撞时间极短，碰后总电荷量没有损失且平分，A
滑块还在桌
上，且两滑块始终在电场中，不计
间的库仑力．已知台面绝缘，足
大，其高度
h = 1.6 m，g 取 10 m/s2，则碰撞后
A 滑块还能运动多长时间？
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45．如图，与水平面成37°倾斜轨道AB，其沿长线在C点与半圆轨道CD（轨道半径R=1m）相切，全部轨
道为绝缘材料制成且放在竖直面内。整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁
场。一个质量为0.4kg的带电小球沿斜面AB下滑，至B点时速度为
m / s ，小球在BC段对轨道无压力，
着沿直线BC，运动到达C处进入半圆轨道，小球刚好能到达D点，已知进入时无动能损失，不计空气阻力，g＝
10m/s2，cos37°＝0.8，求：
⑴小球带何种电荷。
⑵小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功。
46．如图所示，空间中存在着正交的水平匀强电场和匀强磁场，电场强度
E=4V/m，方向水平向左；磁感
B=2T，方向垂直纸面向里．一质量
m=1g，带正电的小环穿在一根绝缘
杆 abcd 上，细杆
ab 段和 cd 段是直线，bc
段弯曲，且在
ab、cd 平滑
段是竖直的，cd
段与水平方向成
θ＝45o 角．ab
cd 两段是粗糙的，
bc 段光滑．ab
h＝0.8m，ac
两点间竖直高度差为
H＝1.6m．小环
P 从 a 点无
速释放，到达
b 点的瞬间，恰好与细杆无相互作用力；小环沿
bc 下滑刚过
在 cd 段做匀速直线运动且与细杆没有相互作用．g＝10m/s2，求：
ab 段运动时，摩擦力对小环做的功。
间的水平距离。
47：一长为 L
不可伸长的轻绳，一端系于
O 点，一端连接一质量为
m 的带电小球，处在水平方向的匀强电
场和匀强磁场之中。如图所示，匀强电场水平向左，电场强度为
E；匀强磁场垂直纸面向外，磁感应强度为
B。若小球在
A 点保持静止，此时绳子与竖直方向的夹角为
α，(sinα=0.8)
(1)判断小球带何种电荷？电荷量为多少？
(2)当小球由与
O 点在相同高度，与
O 点相距为
L 的 C 点静止释放后，若
小球在运动过程中，绳子始终未断，试求该过程中，小球所获得的最大速度及
绳子对小球的最大拉力分别为多少？
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分）如图所示，带电平行金属板
PQ 和 MN 之间的距离为
d；两金属板之间有垂直纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小为
B。如图建立坐标系，x
轴平行于金属板，与金属板中心线重合，y
轴垂直于金属板。
I 的左边界在
y 轴，右边界与区域
II 的左边界重合，且与
y 轴平行；区域
II 的左、右边界平行。在区域
II内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小均为
I 内的磁场垂直于
Oxy 平面向外，区域
Oxy 平面向里。一电子沿着
x 轴正向以速度
v0 射入平行板之
在平行板间恰好沿着
x 轴正向做直线运动，并先后通过区域
知电子电量为
II 沿 x 轴方向宽度均为
。不计电子重力。
（1）求两金属板之间电势差
（2）求电子从区域
II 右边界射出时，射出点的纵坐标
（3）撤除区域
I 中的磁场而在其中加上沿
x 轴正向的匀强电场，使得该电子刚好不能从区域
II 的右边界飞
出。求电子两次经过
y 轴的时间间隔
49．如图所示，有一垂直于纸面向外的磁感应强度为
B 的有界匀强
场（边界上有磁场），其边界为一边长为
L 的三角形，A、B、C
的顶点。今有一质量为
m、电荷量为＋q
的粒子（不计重力），以速度
Error!从 AB 边上某点
P 既垂直于
AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，
BC 边上某点
Q 射出。若从
P 点射入的该粒子能从
Q 点射出，则（
A．|PB|≤Error!L
B．|PB|＜Error!L
C．|QB|≤Error!L
D．|QB|≤Error!L
50．平面直角坐标系
xOy 中，第
1 象限存在沿
y 轴负方向的匀强电场，第
Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向
外的匀强磁场，磁感应强度大小为
B。一质量为
m、电荷量为
q 的带正电的粒子从
y 轴正半轴上的
y 轴射入电场，经
x 轴正方向成
60°角射入磁场，最后从
y 轴负半轴上的
y 轴正方向成
600 角射出磁场，如图所示。不计粒子重力，求
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间t；
（3）匀强电场的场强大小E。
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41.解：（1）设粒子飞出磁场边界
MN 的最小速度为
v0，粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为
R0，根据洛伦
兹力提供向心力知：qv0B＝mv0
要使粒子恰好飞出磁场，据图有：R0＝d
所以最小速度
　v0＝qBd/m＝5×10
两板间距离足够小，带电粒子在电场中运动时间
可忽略不计，故在粒子通过电场过程中，两极板间电压可视为不变，
CD 间可视为匀强电场。要使粒子能飞出磁场边界
MN，则进入磁场
时的速度必须大于
v0，粒子在电场中运动时
CD 板对应的电压为
U0，则根据动能定理知：
qU0＝mv0 /2 得：U0＝mv0
/(2q)＝25V
因为电荷为正粒子，因此只有电压在－25V～－50V
时进入电场的粒子才能飞出磁场。
根据电压图像可知：UCD＝50sin50πt，－25V
电压对应的时间分别为：7/300s
和 11/300s，所以粒子在
0.04s 内能够飞出磁场边界的时间为
7/300s≥t≥11/300s
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（3）设粒子在磁场中运动的最大速度为
vm，对应的运动半径为
Rm，Um＝50V，则有：
/2　　　　qvmB＝mvm
/Rm　　　　Rm≈0.14m
粒子飞出磁场边界时相对小孔向左偏移的最小距离为：
x＝Rm－(Rm
) =0.1×(2 －1)m≈0.04m
因此，粒子能到达的区域如图所示：其中弧
半径的半圆，弧
Rm 为半径的圆弧。与磁场边界交
点的坐标分别为：
O2（０，０）
A：（－0.04m，0.1m）；
B：（－0.1m，0.1m）
P：（－0.2m，0）
画图正确给
O2（０，０）的不扣分
42.解：（19
分）（1）A
从 P 到 Q、Q
P 的过程，分别根据动能定理有
A、B 正碰，由动量守恒定律得：
mv1 ? ?mv2 ? 2mvB
由③④解得
（2）碰撞后，B
水平向右做匀速直线运动，有
xB ? vBt ……⑥（3
A 水平向左做匀减速直线运动返回到
L ? 2 t ……⑦（3
xB ? ? 2 ?1?L
处于静止状态时，设
的库仑斥力
为研究对象，根据力的平衡
F0=(mA+mB)gsin30°．
沿斜面向上做匀加速直线运动，C
对 B 的库仑斥力逐渐减小，A、B
力也逐渐减小．经过时间
间距离设为
两者间弹力减小到零，此后两者分离，力
的库仑斥力为
以 B 为研究对象，由牛顿第二定律有
F0? ? mB g sin 30 ? ?mB g cos30 ? mBa
联立①②解得
L2=1.2m，　则
A 上滑的距离
? L2 ? L1 ? 0.2m
t0 时间内库仑力做的功为
W0，由功能关系有　　W0
代入数据解得
t0 时间内，末速度为
F 对 A 物块做的功为
W1，由动能定理有
④　　　而
WG= —(mA+mB)g·△Lsin30°
Wf ? ??(mA ? mB )g ??L cos30
v1 ? 2a ?ΔL
由③~⑦式解得
W1 ?1.05 J
t0 后，A、B
F 变为恒力，对
A 由牛顿第二定律有
F ? mA g sin 30 ? ?mA g cos30 ? mAa ⑧
F 对 A 物块做的功
W2 ? F ?(L ? L2 ) ⑨
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由⑧⑨式代入数据得
W2 ? 5J ；则力
A 物块做的功
? W1 ?W2 ? 6.05J
44 解：设电场强度为
滑块质量为
4m，碰后带电量为
q，A 滑块的质量为
滑块碰前带电量为
后带电量为
A 滑块在碰前，有
2qE = mg，所以
碰后速度分别为
v1、v2，对
B 碰后应用动能定理得：
? 4mv = (4mg – qE) h，　又 Ek = 4mgh．
v2 = gh / 2 = 2 m/s
A、B 碰撞过程中动量守恒，以
v0 方向为正方向，则：
mv0 = mv1 + 4mv2，所以 v1 = v0 – 4v2 = – 3 m/s
A 滑块返回，设经时间
t 停下，由动量定理得：—μ(mg – qE) t = 0 – mv1　　　解得：t = 1.5 s．
“小球刚好能到达D点”是本是的另一关键句。即小球在D处不受轨道的支持力，由电场力、重力洛仑兹力的
合力提供向心力，洛仑兹力也指向圆心。带电小球在从C到D的过程中，受到的洛仑兹力是变力，小球做变速圆
周运动。要求这一过程中克服摩擦力所做的功，只能用功能关系。
解：⑴由BC段受力分析可知小球带正电荷。
⑵依题意可知小球在BC间在重力、电场力、洛仑兹力作用下做匀速直线运动。
在C点的速度为：
在BC段其受力如图所示，设重力和电场力合力为F。
F＝q vCB；
F＝mg/cos37°＝5N．解得：
qB=F/vC=7/20
在D处由牛顿第二定律可得：qv
将qB =7/20代入上式并化简得：
8vD ? 7vD， 100 = 0
m / s (舍去)
设CD段克服摩擦力做功Wf
由动能定理可得：?
46 解：⑴设小环到达
b 点的速率为
v1，因小环在
b 点恰好与细杆无相互作用力，则有：Eq＝qv1B
得：v1=E/B=2m/s
ab 段的运动过程用动能定理，有：
mv2 ? mgh ?W
得：W=－6×10-3J
cd 段做匀速直线运动，且与细杆无相互作用力，则小环受力情况如图所
设小环刚过
c 点的速度为
v2，由几何关系可知，
qv2 B ? 2E v2 ? 2 2m/s
设 ac 间的水平距离为
L，对小环在
bc 段的运动过程用动能定理，有：解得：L=0.6m
解：(1)小球在
A 点受重力
F 和绳的拉力
T 处于平衡，如图所示，电场力的方向一定是向左的，
与电场方向相同，因此小球带正电。
Tsinα=qE ,　且　　Tcosα=mg
故小球所带电荷量
C 点释放后开始做圆周运动，受
F、绳的拉力
T 及洛伦兹力
f 随速度增大而增大，当小
A 点时，速度最大，f
mg 的合力方向沿半径
OA，因此绳
对小球的拉力最大。由动能定理，
? EqL(1? sin?) ?
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A 点的速度大小为
v= 2gL / 3 ；当小球运动至
T ? Eqsin? ? mg cos? ? Bvq ? m
绳对小球的最大拉力
(1)质点在磁场中的轨迹为一圆弧。由于质点飞离磁场时，速度垂直于
OC，故圆弧的圆心在
意，质点轨迹与
x 轴的交点为
A 点的速度方向垂直的直线，与
O＇。由几何关系知，AO＇垂直于
OC＇，O＇是圆弧的圆心。设圆弧的
R=dsin? ?①
由洛化兹力公式和牛顿第二定律得
将①①式代入②式，得
(2)质点在电场中的运动为类平抛运动。设质点射入电场的速度为
v0，在电场中的加速度为
a，运动时间为
v 2 sin? cos?
联立④⑤⑥得
设电场强度的大小为
E，由牛顿第二定律得
联立③⑦⑧得:
sin 3? cos?
48 解：（1）电子在
平行板间做直线运动，电场力与洛伦兹力平
eE ? ev0 B
　　所以，U
（2）如右图所示，电
子进入区域
I 做匀速圆周运动，向上偏转，
洛伦兹力提供向心力
0 ；所以，
设电子在区域
y 轴偏转距离为
I 的宽度为
(R ? y0 ) ? b ? R
代入数据，解得
电子在两个磁场中有相同的偏转量。
电子从区域
II 射出点的纵坐标
（3）电子刚好不能从区域
II 的右边界飞出，说明电子在区域
II 中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域
边界相切，圆半径恰好与区域
II 宽度相同。电子运动轨迹如下图所示。设电子进入区域
II 时的速度为
电子通过区域
I 的过程中，向右做匀加速直线运动，
此过程中平均速度：
电子通过区域
t ? 2 2 3 ? 3
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电子在区域
II 中运动了半个圆周，设电子做圆周运动的周期为
电子在区域
中运动的时间：
电子反向通过区域
I 的时间仍为
t1 。所以，
电子两次经过
y 轴的时间间隔
t ? 2t1 ? t2 ? (8 3 ?12 ? π) ?
49.【解题思路】考查带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动。本题粒子的半径确定，圆心必定在经过
AB 的直线上，可将粒子的半圆画出来，然后移动三角形，获取
AC 边的切点以及从
BC 边射出的最远点。由半
径公式可得粒子在磁场中做圆周运动的半径为
R＝Error!L，如图所示。让半圆向右移动，半圆与弧与
Q。当圆心处于
O1 位置时，粒子正好从
AC 边切过，并与
BC 边切过，因此入射点
B 最远的点，
PB＜Error!L，A
对；当圆心处于
O2 位置时，粒子从
P2 射入，打在
Q 点，由于此时
AB 最远为圆的半径
QB 最大，即
QB≤Error!L，D 对。【答案】AD
50.解：（1）设粒子过
N 点时的速度为
v，根据平抛运动的速度关系
点作速度方向的垂线，相交于
在磁场中做匀速圆周运动的圆心，根据牛顿第二定律：
联立解得轨道半径
（2）设粒子在电场中运动的时间为
由几何关系得
ON＝Rsin30°＋Rcos30°
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
由几何关系知∠NQP＝150°，设粒子在磁场中运动的时
t2＝Error!T．联立解得
t2＝Error!
M 点运动到
P 点的总时间
t＝t1＋t2＝(1＋
Error!＋Error!)Error!
（3）粒子在电场中做类平抛运动，设加速度为
设沿电场方向的分速度为
vy=v0tan60° ．联立解得
51．如图所示，在
xOy 坐标平面内的第Ⅰ象限内有半径为
R 的圆分别与
x 轴、y 轴相切与
xOy 平面的匀强磁场。在第Ⅱ象限内存在沿
y 轴方向的匀强电场，电场强度为
E。一质量为
q 的粒子从
P 点射入磁场后恰好垂直
y 轴进入电场，最后从
M（2R，0）点射出电场，出射方向与
角 α 满足
tanα＝1.5。求：
（1）粒子进入电场时的速率
（2）匀强磁场的磁感应强度
（3）粒子从
P 点入射的方向与
x 轴负方向的夹角
52．（芜湖一中
2011 届五模）（16
分）如图所示，在坐标系
xOy 内有一半径为
a 的圆形区域，圆心坐标
为 O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场。在直线
的上方和直线
x＝2a 的左侧区域内，有一
沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小为
E．一质量为
m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度
v 从 O 点垂直于磁场
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方向射入，当速度方向沿
x 轴正方向时，粒子恰好从
O1 点正上方的
A 点射出磁场，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度
B 的大小；
（2）粒子在第一象限内运动到最高点时的位置坐标；
（3）若粒子以速度
v 从 O 点垂直于磁场方向射入第一象限，当速度方向沿
x 轴正方向的夹角?
=30°时，求粒
子从射入磁场到最终离开磁场的时间
53．如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形
abcd 区域内，O
cd 边的中点。一个带正电
的粒子仅在磁场力的作用下，从
O 点沿纸面以垂直于
cd 边的速度射入正方形内，经过时间
磁场。现设法使该带电粒子从
O 点沿纸面以与
Od 成 30°的方向，以大小不同的速率
入正方形内，那么下列说法中正确的是（
A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是
5t0/3，则它一定从
cd 边射出磁场
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是
2t0/3，则它一定从
ad 边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是
5t0/4，则它一定从
bc 边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是
t0，则它一定从
ab 边射出磁场
分）如图，在平面直角坐标系
xOy 内，第Ⅰ象限存在沿
方向的匀强电场，第Ⅳ象限以
为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐
平面向外的匀强磁场，磁感应强度为
B。一质量为
m、电荷量为
的粒子，从
y 轴正半轴上
y = h 处的 M 点，以速度
y 轴射入电场，
P 点进入磁场，最后以垂直于
y 轴的方向射出磁场。不
粒子重力。求（1）电场强度大小
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径
（3）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间
55.（18 分）如图所示，在正方形区域
abcd 内充满方向垂直纸面向里的、
感应强度为
B 的匀强磁场。在
t=0 时刻，一位于
o 的粒子源在
abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向
od 边的夹角分布在
0～180°范围内。已知沿
od 方向发射的粒子在
好从磁场边界
p 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等
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正方形边长
L，粒子重力不计，求：
（1）粒子的比荷
（2）假设粒子源发射的粒子在
0～180°范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒
子数之比；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
56．在光滑绝缘的水平桌面上，存在着方向水平向右的匀强电场，电场线如图中实线所示。一带正电、初
速度不为零的小球从桌面上的
A 点开始运动，到
C 点时，突然受到一个外加的水平恒力
F 作用而继续运动到
B 点，其运动轨迹如图中虚线所示，v
表示粒子在
C 点的速度。则下列判断中正确的是
A 点的电势能比在
B 点的电势能小
F 的方向可能水平向左
F 的方向可能与
v 方向相反
两点小球的速率不可能相等
分）如图所示，虚线
MO 与水平线
O，二者夹角
θ=30°，在
MO 左侧存在电场强度为
E、方向竖直向下的匀强电场，MO
右侧某个区域存在磁感应强度为
B、垂直纸面向里的匀强磁场，O
场的边界上.现有一群质量为
m、电量为+q
的带电粒子在纸面内以速度
v( 0 ? v ? )垂直于
从 O 点射入磁
场,所有粒子通过直线
时，速度方向均平行于
PQ 向左.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子自
O 点射入磁场至返回水平线
所用的时间.
（2）磁场区域的最小面积.
分）如图所示的空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，各边界面相互平行，Ⅰ区域存在匀强电场，电场
E=1.0×104V/m，方向垂直边界面向右．Ⅱ、Ⅲ区域存在匀强磁场，磁场的方向分别为垂直纸面向外和垂直
纸面向里，磁感应强度分别为
B1=2.0T、B2=2.0T．三个区域宽度分别为
d1=5.0m、d2=
d3=6.25m，一质量
1.0×10--8kg、电荷量
q＝1.6×10-6C 的粒子从
O 点由静止释放，粒子的重力忽略不计．求：
（1）粒子离开Ⅰ区域时的速度大小
（2）粒子在Ⅱ区域内运动时间
（3）粒子离开Ⅲ区域时速度与边界面的夹角
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分）在如图所示的空间区域里，y
轴左方有一匀强电场，场强方向跟
y 轴负方向成
30°角，大小为
4.0×10 N/C，y 轴右方有一垂直纸面的匀强磁场，有一质子以速度
υ0 = 2.0×10 m/s 由 x 轴上 A 点（OA
10cm）第一次沿
x 轴正方向射入磁场，第二次沿
x 轴负方向射入磁场，回旋后都垂直射入电场，最后又进入磁
场，已知质子质量
m 为 1.6×10-27kg，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度；
（2）质子两次在磁场中运动的时间之比；（3）质子两次在
中运动的时间各为多少．
51.【解题思路】
M 处，粒子的
y 轴分速度
vy＝2v0tanα
设粒子在电场中运动时间为
x 轴方向匀速运
设 y 轴方向匀加速运动的加速度为
qE＝ma；且
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联立解得：v0＝Error!
（2）如图所示，O1
为磁场圆的圆心，O2
为粒子轨迹圆的圆心，P′为粒子射出磁场的位置，依题意可知粒
y 轴进入电场，则
P′O2//PO1，且
P′O1//PO1＝R，O2P＝O2P′，由几何关系可知
O1P′O2P 为另行，即粒子
轨迹圆半径等于
由向心力公式及牛顿第二定律：qv0B＝mError!；联立解得：B＝Error!
（3）粒子从
N 点进入电场，由
y 轴方向匀加速直线运动公式有
联立解得：y＝1.5R；由几何关系：R＋Rcosθ＝y．解得：θ＝60°
52.解：（1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为
R，牛顿第二定律
A 点射出，由几何知识
（2）粒子从
A 点向上在电场中做匀减运动，设在电场中减速的距离为
由动能定理得：－qEy1=0－
所以在电场中最高点的坐标为（a，
（3）粒子在磁场中做圆运动的周期
粒子从磁场中的
P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2
构成菱形，故粒子从
y 轴平行，粒子由
P 所对应的圆心角为：
由几何知识可知，粒子由
x 轴的距离：
粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间：
2 次进入磁场，由
Q 点射出，PO1QO3
构成菱形，
由几何知识可知
x 轴上，粒子由
P 到 Q 的偏向角为
?1 ??2 ? ?
粒子先后在磁场中运动的总时间
粒子在场区之间做匀速运动的时间
解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间
t ? t ? t ? t ?
53【解题思路】本题的物理情景是带电粒子在有边界的磁场中运动，讨论运动时
与从那个边射出的关系，因此要分几种不同的情况讨论临界条件，并挖掘题目中“经过
间 t0 刚好从
c 点射出”的隐含条件。
做出刚好从ab
边射出的轨迹①、刚好从bc
边射出的轨迹②、从
的轨迹③和从
ad 边射出的轨迹④。由已知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。
图可知，从ab
边射出经历的时间一定不大于5t0/6；从
bc 边射出经历的时间一定不大于4t0/3；从
cd 边射出经历的时
间一定是5t0/3；从
bc 边射出经历的时间一定不大于t0/3。答案：AC
54 解：粒子的运动轨迹如右图所示（1
（1）设粒子在电场中运动的时间为
t1． x、y 方向分别有：
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根据牛顿第二定律：Eq
（2）根据动能定理
设粒子进入磁场时速度为
（3）粒子在电场中运动的时间
粒子在磁场中运动的周期
设粒子在磁场中运动的时间为
t ? t1 ? t2 ? ?
55 解：（1）初速度沿
od 方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其
n，由几何关系有：
粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得
) 2 R ， v ?
(2) 依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到
o 点距离相等。在
t0 时刻仍在磁场中的粒子应位于以
o 为圆心，
op 为半径的弧
此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为
在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界
b 点相交，（2
设此粒子运动轨迹对应的圆心角为
sin? / 2 ? 5
/4（2 分）
在磁场中运动的最长时间
所以从粒子发射到全部离开所用时间为
t ? ( arcsin
57 解：（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速
圆周运动的半径为
T，粒子在匀强磁场中运动时间为
N 点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至
OM，设匀速运动的距离为
s，匀速运动的时间为
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t2，由几何关系知：S=Rcotθ
后粒子做类平抛运动，设运动的时间为
⑥　(2 分)
又由题知：
则速度最大的粒子自
O 进入磁场至重回水平线
所用的时间
t ? t1 ? t2 ? t3 ⑧(1 分)
2(3 3 ?? ) m
解①②③④⑤⑥⑦⑧得：
（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过
OM，则其飞出磁场的位置均应在
的连线上，故磁场
围的最小面积
?S 是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与
ON 所围成的面积。
OO ' N 的面积
' N 的面积为：
S ' ? R2 cos300 sin 300 ? R2
⑩(2 分)；又 ?S ? S ? S '
4? ? 3 3 m2 E 2
联立①⑦⑨⑩1○1得：
58 解：（1）粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理有
分）；解得
v=4.0×10 m/s （1 分）
（2）设粒子在磁场
B1 中做匀速圆周运动的半径为
r，则：qvB1=
（1 分）；解得：r=12.5m（1
设在Ⅱ区内圆周运动的圆心角为
（1 分）；解得
粒子在Ⅱ区运动周期
分）；粒子在Ⅱ区运动时间
s =1.6×10-3s
（3）设粒子在Ⅲ区做圆周运动道半径为
分）；解得
R=6.25m （1
粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知
为等边三角形（1
粒子离开Ⅲ区域时速度与边界面的夹角
59.解：（1）如图所示，设质子第一、第二次由
两点分别进入电场，轨迹圆心分别为
O1 和 O2．?
所以：sin30° =
R ，?R = 2×OA?，由
= 0.1T，得．?
（2）从图中可知，第一、第二次质子在磁场中转过的角度分别为
30°，则t2 = θ2 = 1?
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（3）两次质子以相同的速度和夹角进入电场，所以在电场中运动的时间相同．
由 x = υ0t 和 y = 2× m ×t 以及 tan30° = y?；由以上解得
3×10-7s．
61．（贵州遵义
2011 届二模）（20
分）如图所示，半径
0.8m 的四分之一光滑圆弧轨道位于竖直平面内，与长
2.0m 的绝缘水平面平滑连接。水平面右侧空间存
在互相垂直的
强电场和匀强磁场，电场强
40N/C，方向竖直向上，磁场
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磁感应强度
B = 1.0T，方向垂直纸面向外。两个质量均为
m = 2.0×10—6kg 的小球
球不带电，b
1.0×10—6C 的正电，并静止于水平面右边缘处。将
a 球从圆弧轨道顶端由静止释放，运动到
正碰，碰撞时间极短，碰后两球粘合在一起飞入复合场中，最后落在地面上的
P 点。已知小球
a 在水平面上运
动时所受的摩擦阻力
f= 0.1mg， PN =
g =10m/s2。a、b 均可作为质点。（结果保留三位有效数字）
a 与 b 相碰后瞬间速度的大小
（2）水平面离地面的高度
（3）从小球
a 开始释放到落地前瞬间的整个运过程中
ab 系统损失的机械能
分）如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平
面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为
B．折线的顶角∠A=90°，P、Q
是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一
m、电荷量为
q 的带负电微粒从
PQ 方向射出，不计微粒的重力．
(1)若在 P、Q
间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为
v0 射出的微粒沿
PQ 直线运动到
匀强电场的场强为多大?
(2)撤去(1)中的匀强电场，为使微粒从
P 点射出后，途经折线的顶点
Q 点，求初速度
v 应满足什么
(3)求第(2)问中微粒从
Q 点所用时间的最小
63．（山东威海
2011 届最后一模）（18
分）如图所示，相距为
R 的两块平行金属板
正对着放置，
s1、s2 分别为
板上的小孔，s1、s2、O
三点共线，它们的连线垂直
O 为圆心、R
半径的圆形区域内存在磁感应强度大小为
B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．D
为收集板，收集板上各点到
O 点的距离以及两端点
A 和 C 的距离都为
2R，板两端点的连线
板．质量为
m、带电量为+q
s1 进入 M、N
间的电场后，通过
s2 进入磁场．粒子在
s1 处的速度和
子所受的重力均不计．
间的电压为U
x 时，求粒子进入磁场时速度的大小
（2）要使粒子能够打在收集板
D 上，求在
间所加电压的范围；
（3）若粒子恰好打在收集板
D 的中点上，求粒子从
s1 开始运动到打在
D 的中点上经历的时间
64．（2011
届云南昆明
5 月适应性检测）（18
分）如图所示
的 xoy 平面内有一半径为
R、以坐标原点
O 为圆心的圆形磁场区
域，磁场方向垂直纸面向外，在直线
x ? R 和 x ? R ? L 之间有向
y 轴负方向的匀强电场，在原点
O 有一离子源向
y 轴正方向发射
v0 的带电离子，离子射出磁场时速度与
x 轴平行，射出磁
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场一段时间后进入电场，最终从
P（R+L，0）点射出电场，不计离子重力，求电场强度
E 与磁感应强
度 B 的比值。
65．（安徽合肥一中
2011 年最后
6 分）如图所示，在真空环境中建立水平向右
x 轴，竖直向上
x 轴上方有水平向右的匀强电场，电场强度为
E，电场区域的上下宽度为
2R、左右足够大，在
下方有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场区域足够大。在
x 轴上方固定一个内壁光滑绝缘的非金属“人”字形管
道，管道对空间电场无任何影响。管道的
AC 部分竖直，与
y 轴重合，A
端坐标为（0，R）；管道的
CG 两部分是半径为。R
的圆弧，两圆弧相对
y 轴对称，其圆心
C 在同一水平面上，两圆弧的圆心角
为 60? 。现从管道的
A 端以初速度
v0 沿竖直向下方向发射一质量为
m、带电量为+q
的微粒，微粒尺寸略小于管
道内径，不计微粒所受重力。试求：
（1）微粒从管道
D 端进入磁场时的速度
vD 的大小；
（2）要使微粒从管道
G 端进入管道，则磁感应强度应为多大；
（3）微粒从管道
A 端射出，进入
A 端上方的匀强电场，则微粒最终离开电场时的位置坐标为多少。
66．（江西省重点中学协作体
2011 届第二次联考）（18
xOy 平面内,x＞0
的区域存在垂直纸面向里
的匀强磁场,磁感应强度为
B=0.4 T；x＜0
的区域存在沿
x 轴正方向的匀强电场.现有一质量为
m=4.0×10-9 kg, 带
C 的正粒子从
x 轴正方向上的
M 点以速度
v0=20 m/s 进入磁场,如图所示,v0
与 x 轴正方向的
θ=45°,M 点与
O 点相距为
m.已知粒子能以沿着
y 轴负方向的速度垂直穿过
x 轴负半轴上的
计粒子重力.求:
(1)粒子穿过
y 轴正半轴的位置以及此时速度与
y 轴负方向的夹角;
(2)x＜0 区域电场的场强;
(3)试问粒子能否经过坐标原点
O?若不能,请说明原因;若能,请求出粒
从 M 点运动到
O 点所经历的时间.
67．（黄冈中学
2011 届五月模拟）（20
分）如图甲所示，带正电的粒子以水平速度
v0 从平行金属板
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OO? 连续射入电场中，MN
板间接有如图乙所示的随时间
t 变化的电压
UMN，电压变化周期
两板间电场可看做均匀的，且两板外无电场.
紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场
B，分界线为
AB 为荧光屏.
金属板间距为
B 的宽度为
d. 已知：B=5×10
T ，L=d=0.2m，v0=10
正电的粒子的比荷为
q/m=108C/kg，重力忽略不计.
（1）带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径；（2）带电粒子射出电场时的最大速度；
（3）带电粒子打在荧光屏
AB 上的范围.
68．(07 崇文)（11
分）一足够长的矩形区域
abcd 内充满磁感应强度为
B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，
矩形区域的左边界
O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为
ad 边夹角为
30°，如图所示。已知粒子的电荷量为
m（重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从
d 点射出磁场，求
v0 的大小；
（2）若粒子带正电，使粒子能从
ab 边射出磁场，求
v0 的取值范围
及引范围内粒子在磁场中运动时间
t 的范围。
69．(11 石景山)（9
14 所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为
B、方向垂直纸面向里，边界跟
y 轴相切于坐标原点Ｏ．
Ｏ点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为
v 的某种带电粒子，带电粒子在磁
场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍．已知该带电粒子的质量为
m 、电荷量为
q ，不考虑带电粒
子的重力．
（1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨道半径；
（2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角；
（3）沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变．若从Ｏ点沿
x 轴正方向射入磁场的粒子速度已减小为
v/2，求该粒子第一次回到Ｏ点经历的时间．
61 解：（1）设
}