已知关于x y的方程组f（x,y）=0,g(x,y)=0等价，但含有不同未知量，用对应相等有什么条件？
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时间：2018-02-26 19:33
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（2014o四川模拟）函数f（x）=aex+b，g（x）=ax2-2x-2（其中a，b∈R，a≠0），设函数F（x）=f（x）og（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，解关于x的不等式F（x）＞0；（Ⅱ）当a＞0，b=0时，求函数F（cos2x）的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＞2），使得函数F（x）在[m，n]上的值域是[，]？试着说明你的理由．
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（Ⅰ）f′（x）=aoex，则f′（0）=a，由于f′（a）在x=0处的切线方程为&y=x+1，所以a=1，f&（0）=a+b=1，所以b=0，则f&（x）=ex，g（x）=x2-2x-2，所以F（x）=ex（x2-2x-2）．不等式F（x）＞0，等价于x2-2x-2＞0，解得x＜1-，或者x＞1+．所以不等式F（x）＞0的解集为…（4分）（Ⅱ）当a＞0，b=0时，F（x）=aex（ax2-2x-2），2(x-2a)(x+2)oex．设t=cos2x（0≤t≤1），则转换为只需求得a＞0时，函数y=F（t）（0≤t≤1）的最小值．令F′（t）=0，则，有：
（-∞，-2）
↗由上表可知，函数y=F（t）（0≤t≤1）在处取得极小值．当，即0＜a≤2时函数y=F（t）在（0，1）上是减函数，最小值为F（1）=a（a-4）e．当，即a＞2时，函数y=F（t）的极小值即为最小值，2a．故当0＜a≤2，函数F（cos2x）最小值为a（a-4）e；当a＞2时，最小值为<table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="marg
为您推荐：
（Ⅰ）根据函数f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，求出a，b，可得F（x），即可解关于x的不等式F（x）＞0；（Ⅱ）当a＞0，b=0时，F（x）=aex（ax2-2x-2），2(x-2a)(x+2)oex．设t=cos2x（0≤t≤1），则转换为只需求得a＞0时，函数y=F（t）（0≤t≤1）的最小值；（Ⅲ）由（Ⅰ）得F（x）=ex（x2-2x-2），当x＞2时，假设存在区间[m，n]使得函数y=F（x）在[m，n]的值域为[，]，进而问题转化为“方程ex（x2-2x-2）=有两个不大于2的不等实数根”，构造新函数u（x）=ex（x2-2x-2）-（x＞2），求出导数后，判断出函数u（x0）在（2，+∞）上只有一个零点，不存在两个不相等的实数根，与假设矛盾，故可得证．
本题考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评：
本题主要考查了导数的应用：利用导数求函数的极值及判断函数的单调性、求最值等，当导数中含有参数时需要分类讨论，考查运算求解能力和推理论证能力；考查化归与转化思想和分类讨论的思想，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．
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[fāng chéng]
方程（equation）是指含有的。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个。在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。[1]
方程数学术语
早在3600年前，人写在草纸上的数学问题中，就涉及了方程中含有未知数的等式。[2]
公元825年左右，的数学家阿尔·花拉子米曾写过一本名叫《》的书，重点讨论方程的解法。
方程中文一词出自古代数学专著《》，其第八卷即名“方程”。“方”意为并列，“程”意为用表示竖式。
卷第八（一）为：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？（现今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？）
答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。
以上是出自《九章算术》中的三元一次方程组，并展示了用“遍乘直除”来消元以解此方程组。
魏晋时期的大数学家在公元263年前后为《九章算术》作了大量注释，介绍了方程组：二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。他还创立了比“遍乘直除”更简便的“互乘相消”法来解方程组。
方程是含有未知数的等式，这是小学教材中的逻辑定义，而含未知数的等式严格说不一定是方程，如0x=0。方程严格定义如下:
的等式，其中
是在定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是。
方程方程与等式的关系
方程一定是等式，但等式不一定是方程。
例子：a+b=13 符合等式，有未知数。这个是等式，也是方程。
1+1=2 ，100×100=10000。这两个式子符合，但没有未知数，所以都不是方程。
在定义中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2，100×100=10000，都是等式，显然等式的范围大一点。
方程解方程依据
1.变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘；
2.等式的基本性质
等式两边同时加(或减)同一个数或同一个，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则：(1)
等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则：
a×c=b×c 或
若a=b,则b=a（等式的）。
若a=b,b=c则a=c（等式的）。
方程解方程步骤
方法一：1.能计算的先计算； 2.——计算——结果
方法二：从前往后算，算到只剩一个数时便可直接计算。
方程相关概念
方程式或简称方程，是含有的等式。即：⒈方程中一定有含一个或一个以上未知数的代数式；2.是等式，但等式不一定是方程。
未知数：通常设x.y.z为未知数，也可以设别的，全部小写字母都可以。
“”：方程中次的概念和的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项。而次数最高的项，就是方程的次数。
“解”：方程的解，指使，方程的根是方程两边相等的未知数的值，指一元方程的解，两者通常可以通用。
：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，或说明方程无解的过程叫解方程。
方程中，叫做恒等方程，叫做矛盾方程。在未知数等于某特定值时，恰能使两边的值相等者称为，例如 ，在 时等号成立。使方程左右两边相等的的值叫做方程的解。
同解方程：
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
方程的同解原理：
⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是。
⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做方程。
方程一元一次方程
只含有一个未知数，且未知数次数是一的叫（linear equation with one unknown）。通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。
去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据。
移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样：（比方）从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知数移到一起！
将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。
化为一 方程两边同时除以未知数的系数。
得出方程的解。
（注：解方程时最好把等号对齐）
方程教学设计
使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题
培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力
使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．
一、从学生原有的认知结构提出问题
在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？
为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．
例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3．
答：某数为3．
(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)
解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．
解：(3-1)x=2+4
解之，得x=3．
答：某数为3．
纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．
本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．
二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉？
师生共同分析：
本题中给出的已知量和未知量各是什么？
已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)
若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？
上述分析过程可列表如下：
解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，
x-15%x=42500
解：(1-15%)x=42500
85%x=42500
x=42500÷85%
所以 x=50000．
答：原来有 50000千克面粉．
此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？
(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)
教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程
(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．
依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：
(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系；用字母(如x)表示题中的未知数
(2)根据题意找出相等关系．(这是关键一步)
(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等
(4)求出所列方程的解
(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．
方程二元一次方程
7年级数学下册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到。在人教版九年级上英语讲爱因斯坦时也会涉及
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。
定义：由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组(system of linear equation of two unknowns)。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7
把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7
∴x=-24/7，y=59/7
这种解法就是代入消元法。
例：解方程组x+y=9① x-y=5②
解：①+②，得2x=14，即x=7
把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2
∴x=7，y=2
这种解法就是加减消元法。
的解有三种情况：
1.有一组解
如方程组x+y=5① 6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。
2.有无数组解
如方程组x+y=6① 2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的根”），所以此类方程组有无数组解。
如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
方程一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。
由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。
方程一般形式
一般解法有四种：
⒈公式法（直接开法）
十字相乘法能把某些二次分解因式。这种方法的关键是把a分解成两个a1,a2的积a1·a2，把c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解时，要注意观察，尝试，并体会它实质是的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
例1 把2x?-7x+3分解因式。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取)：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解为：2x?-7x+3=(x-3)(2x-1)。
一般地，对于二次三项式ax?+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式ax?+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即：
ax?+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
①x?+（p+q）x+pq 型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x?+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx?+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
kx?+mx+n=(ax+b)(cx+d)
1．直接开法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用解形如(x-m)?=n(n≥0) 的
方程，其解为
2．：用配方法解方程ax?+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax?+bx=-c
将二次项系数化为1：x?+(b/a)x=-c/a
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x?+(b/a)x+(b/2a)?=-c/a+(b/2a)?
方程左边成为一个完全平方式右边通过计算得到一个常数：(x+b/2a)?=-c/a+(b/2a)?
最后使用直接开平方法求解
3．：把一元二次方程化成一般形式，然后计算△=b?-4ac的值，当b?-4ac&0时，无解；方程当b?-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式
就可得到方程的根。
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解的方法叫做。
二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的方程。
方程三元一次方程
与二元一次方程类似，三个结合在一起的共
含有三个未知数的一次方程。
与二元一次方程类似，可以利用消元法逐步消元。
方程典型题析
某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费。某月甲用户比乙用户多缴水费16元，乙用户比丙用户多缴水费7.5元。已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲。乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?
解：设甲用水x吨，乙用水y吨，丙用水z吨
显然，甲用户用水超过了20吨
故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23
乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9
丙缴费：0.9z
2.4x-23=1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
3x-2y=40……(1)
16y-9z=145……(2)
由(1)得x=(2y+40)/3
所以设y=1+3k,3&k&7
当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7
当k=5,y=16,代入(2),z没解
当k=6,y=19,代入(2),z没整数解
所以甲用水22吨，乙用水13吨，丙用水7吨
甲用水29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元&/CA&
方程多元一次方程
方程消元法
……………………
……………………
把方程(1)×(-i1/a1)加到（i）上，再把方程(2)×(-i2/a2)加到（i）上，以此类推。(i∈N且i∈[1，m])
最后的许多0=0可以舍去，不影响方程的解。可以分三种情况：
（1）cr+1 ≠0
此时，满足前r各方程的任意一个解，都不能满足0=cr+1这个方程，所以②无解，所以①也无解
当cr+1=0时，又分两种情况：
因为bii≠0,所以从最后一个方程可解出xn。然后第r-1个方程,解出xn-1。如此类推，可得出方程组②的唯一解，就是方程组①的唯一解。
可把方程组该成他的同解方程组③：
b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1r xr=c1-b1,r+1 xr+1-…-b1n xn
b22 x2+b13 x3+…+b2n xr=c2-b2,r+1 xr+1-…-b2n xn
………………
brr xr=cr-br,r+1 xr+1-…-brn xn
设等号后面的数是已知数，按照（2）的方法来解，可解得：
x1=d11 xr+1+d12 xr+2+…+d1,n-r xn
x2=d21 xr+1+d22 xr+2+…+d1,n-r xn
………………
xr=dr1 xr+1+dr2 xr+2+…+dr,n-r xn
令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程组的全部解：
x1=d11 k1+d12 k2+…+ d1,n-r kn-r
x2=d21 k1+d22 k2+…+d1,n-r kn-r
………………
xr=dr1 k1+dr2 k2+…+dr,n-r kn-r
方程其他解法
克莱姆法则
（此法只适用于m=n且D≠0的方程组）
设系数行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的
那么xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])
矩阵和向量解法
解法即把方程组①的进行初等行变化。
解法即把方程组①改写成Ax=b的形式。
先求出方程组的特解η，然后求其对应Ax=0的解ξ1，ξ2，…，ξn。
方程组的解为：η+c1ξ1+c2ξ2+…+cnξn。
方程直线方程
(1)一般式： Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线
直线l1：A1x+B1y+C1=0
直线l2：A2x+B2y+C2=0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)： 知道直线上一点(x0,y0),并且k存在，则直线可表示为 y-y0=k(x-x0)。当k不存在时，直线可表示为 x=x0
(3)： 若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/b=1。所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线 。
(4)： y=kx+b (k≠0)
(5)：若直线过任意两点(x1,y1)、(x2,y2)，且 x1≠x2,y1≠y2，则直线可以表示为
(6)： x·cosα+ysinα-p=0
一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项规定不等于0
n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（除外）
一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）
一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）
n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）
n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）
方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做（组），此类方程（组）一般有无数个解。
方程鸡兔同笼问题
方程解法公式
解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数
总只数－鸡的只数=兔的只数
解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数
总只数－兔的只数=鸡的只数
解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=兔的只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法5（方程）：X=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=兔的只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法6（方程）：X=（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=鸡的只数）
总只数－鸡的只数=兔的只数
方程方程解法
若用方程解，公式为：鸡脚+兔脚=总脚数。
例笼中共有30只鸡和兔，数一数足数正好是100只。问鸡和兔各有多少只？
解：设鸡为x只，则兔为(30-x)只。
2x+(30-x)×4=100
解： 2x+120-4x=100
120-2x=100
30-10=20（只）
答：鸡有10只，兔有20只。
例笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只。问鸡兔各有多少只？
解：设兔为x只，则鸡为(100-x)只。
4x+(100-x)×2=248
解：4x+200-2x=248
2x+200=248
100-24=76（只）
答：鸡有76只，兔有24只。
方程微分方程
微分方程指描述未知函数的与之间的关系的。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。详见
微分方程是将一些函数与其导数相关联的数学方程。在应用中，函数通常表示物理量，衍生物表示其变化率，方程定义了两者之间的关系。因为这种关系是非常常见的，微分方程在包括工程，物理，经济学和生物学在内的许多学科中起着突出的作用。
在纯数学中，微分方程从几个不同的角度进行研究，主要涉及到它们的解 - 满足方程的函数集。只有最简单的微分方程可以通过显式公式求解;然而，可以确定给定微分方程的解的一些性质而不找到其确切形式。
如果解决方案的自包含公式不可用，则可以使用计算机数值近似解决方案。动力系统理论强调了微分方程描述的系统的定性分析，而已经开发了许多数值方法来确定具有给定精确度的解决方案。[3]
方程普通微分方程
普通微分方程或ODE是包含一个独立变量及其导数的函数的方程式。与“偏微分方程”相比，术语“普通”与对于多于一个的独立变量相关。
具有可以被加上和乘以系数的解的线性微分方程被明确定义和理解，并且获得精确的闭合形式的解。相比之下，缺乏添加剂解决方案的ODE是非线性的，解决它们是非常复杂的，因为很少以封闭形式的基本函数表示它们：相反，ODE的精确和分析解决方案是串联或整体形式。通过手动或计算机应用的图形和数值方法可以近似ODE的解，并且可能产生有用的信息，通常在没有精确的解析解的情况下就足够了。
方程偏微分方程
偏微分方程（PDE）是包含未知多变量函数及其偏导数的微分方程。 （这与处理单个变量及其派生词的函数的普通微分方程相反）。PDE用于制定涉及几个变量的函数的问题，或者手动解决或用于创建相关的计算机模型。
PDE可用于描述各种各样的现象，如声，热，静电，电动力学，流体流动，弹性或量子力学。这些看似不同的物理现象可以在PDE方面类似地形式化。正如普通微分方程常常模拟一维动力学系统一样，偏微分方程通常模拟多维系统。 PDEs在随机偏微分方程中找到它们的泛化。[4]
A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply &equations&)&. <>, in Mathematics Dictionary, Glenn James et Robert C. James (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, p. 131.
．中国知网[引用日期]
The subject of this article is basic in mathematics, and is treated in a lot of textbooks. Among them, Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005 contain the material of this article.
Thomas, George B., and Finney, Ross L., Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Co., fifth edition, 1979, p. 91.
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2014考研专硕管理类联考基础数学讲义
2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义第一章第一节知识点一：整数及其运算算 术整 数1、实数：有理数和无理数统称为实数。数轴上每个点都代表一个实数，实数与数轴上的点 事一一对应关系。实数集符号：R。2、有理数：整数和分数统称为有理数。另述为：有先小数和无限循环小数统称为有理数。 特别说明：能够用两个整数比A 表示的数为有理数。有理数集符号：Q。 B3、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 ★无理数的错误认识： （1）无限小数就是无理数。因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类．如 1.414141? ? ?(41 无限循环）是无限循环小数，而不是无理数； （2）带根号的数是无理数。如 4 , 9 ，虽带根号，但开方运算的结果却是有理数，所以4 , 9 是无理数；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数。如 3+ 2 ，3- 2 都是无理数，但它 们的积却是有理数，再如 π和2π 都是无理数，但 但2+(- 2) 却是有理数；π 却是有理数， 2和- 2 是无理数； 2π（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来。每一个无理数在数轴上都有 一个唯一位置，如 2 ，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理 数也是如此； （5）无理数比有理数少。虽然无理数在人们生产和生活中用的少一些，但并不能说无理数 就少一些，实际上，无理数也有无穷多个． 4、自然数：0，1，2，3，…。特别说明：0是自然数。自然数集符号：N；正整数集符号：N + 或N * 。5、整数Z：…，-2，-1，0，1，2…。整数集符号：Z。 6、相反数：如果 a 表示一个正实数，－a 表示一个负实数。a 与－a 互为相反数，也就是说， a 与－a 可以表示任意一对互为相反数的数。如果 a，b 互为相反数，则 a=－b。规定：0 的1 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义相反数是 0。1 7、倒数：如果a表示一个非零数，那么a与 a 互为倒数。如果a与b互为倒数，则ab=1。0没有倒数。 8、数的分类： （1）按可比性分类：? ? ?正整数 ? ?正有理数? ? ?正分数 ? ?有理数?0 }有限小数，无限循环小数 ? ? ? ? 负整数 实数? ?负有理数? ? ? ? ?负分数 ? ? ? ?正无理数 ?无理数? }无限不循环小数 ? ?负无理数 ?（2）按正负数分类? ? ?正整数 ? ?正有理数? ?正实数? ?正分数 ? ? ?正无理数 ? ? 实数?0 ? ? ?负整数 ? 负有理数? ? ?负实数? ?负分数 ? ? ? ?负无理数 ?（3）有理数分类如下：? ?正整数 ?正数? ?正分数 ? ? 有理数?0 ? 负整数 ?负数? ? ? ?负分数 ?? ?正整数 ? ? ?整数?0 ? ?负整数 有理数? ? ? 正分数 ?分数? ? ? ?负分数 ?知识点二：整除、公倍数、公约数1、整除：若整数“a” 除以大于 0 的整数“b”，商为整数，且余数为零。 我们就说 a 能 被 b 整除（或说 b 能整除 a） ，记作 b|a，读作“b 整除 a”或“a 能被 b 整除”．注意 a or b 作除数的其一为 0 则不叫整除。 ★整除的性质： （1）如果 a 与 b 都能被 c 整除，那么 a+b 与 a-b 也能被 c 整除； （2）如果 a 能被 b 整除，c 是任意整数，那么积 ac 也能被 b 整除； （3）如果 a 同时被 b 与 c 整除，并且 b 与 c 互质，那么 a 一定能被积 bc 整除．反过来也 成立．2 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义★整除规则： 整除规则第一条（1）：任何数都能被 1 整除。 整除规则第二条（2）：个位上是 2、4、6、8、0 的数都能被 2 整除。 整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。 整除规则第四条（4）：最后两位能被 4 整除的数，这个数就能被 4 整除。 整除规则第五条（5）：个位上是 0 或 5 的数都能被 5 整除。 整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被 2 和 3 整除，那么这个数就能被 6 整除。 整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，差 是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。 整除规则第八条（8）：最后三位能被 8 整除的数，这个数就能被 8 整除。 整除规则第九条（9）：每一位数字之和能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。 整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是 0，则这个数能被 10 整除 整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除，则这个数能被 11 整除。11 的倍数检验法也可用上述检查 7 的「割尾法」处理！ 过程唯一不同的是：倍数不是 2 而是 1！ 整除规则第十二条（12）：若一个整数能被 3 和 4 整除，则这个数能被 12 整除。 整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位 数的 4 倍，如果差是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。如果差太大或心算不易看出是 否 13 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判 断为止。 整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个 位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。如果差太大或心算不易看出 是否 17 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚 判断为止。b 若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除，则这个 数能被 17 整除。 整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个 位数的 2 倍，如果差是 19 的倍数，则原数能被 19 整除。如果差太大或心算不易看出 是否 19 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚 判断为止。b 若一个整数的末三位与 7 倍的前面的隔出数的差能被 19 整除，则这个 数能被 19 整除。 整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23 整 除，则这个数能被 23 整除 整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 29 整 除，则这个数能被 29 整除3 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被 73 整除，则这 个数能被 73 整除 整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被 137 整除，则这 个数能被 137 整除 整除规则第二十条（20）：若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23(或 29)整除，则这个数能被 23 整除 ★特别注意：切记：0 不能做除数！ 2、公倍数： 在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它 们的公倍数。这些公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 解析：A 和 B A/B=C 如果 A 能被 B 整除，则 A 为 B 和 C 的公倍数 两个数 A 和 B， 它们的公倍数就是既是 A 的倍数又是 B 的倍数的数，即能同时被 A、B 整除的数 比如 说：12 和 15，它们的公倍数是 60，120，180，等等 在这些公倍数中最小的那一个 就叫最小公倍数，就是 60。 如何求最小公倍数？ 首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果 有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。 比如求 45 和 30 的最小公倍数。 45=3*3*5 30=2*3*5 不同的质因数是 2,3,5。3 是他们两者都有的质因数，由于 45 有两个 3，30 只有 一个 3，所以计算最小公倍数的时候乘两个 3. 最小公倍数等于 2*3*3*5=90 又如计算 36 和 270 的最小公倍数 36=2*2*3*3 270=2*3*3*3*5 不同的质因数是 5。2 这个质因数在 36 中比较多，为两个，所以乘两次；3 这个 质因数在 270 个比较多，为三个，所以乘三次。 最小公倍数等于 2*2*3*3*3*5=540 例题：有一些砖,长宽高分别是 15、12、6,请问怎样摆,才能够摆成一个最小的正方 体. 解：15、12、6 的最小公倍数是 60,所以最小的正方体棱长为 60.长需 4 块,宽需 5 块, 高需 10 块.所以最少需要 200 块. 如何求三个数的最小公倍数？ 示例：短除的竖式4 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义所以：8、12 和 30 的最小公倍数是 2×2×2×3×5＝120。 另解： 8=2*2*2 12=2*2*3 30=2*3*5 所以：8、12 和 30 的最小公倍数是 2×2×2×3×5＝120。 3、公约数 公约数，亦称“公因数”。是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时 是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公 约数。 两个整数的最大公约数方法： 两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来。 例如：24 和 32 24=2*2*2*3 32=2*2*2*2*2 所以最大公约数为：2*2*2=8 知识点三：奇数、偶数 1、整数中，能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数，偶数可用 2k 表示，奇数 可用 2k+1 表示，这里 k 是整数。 奇数包括正奇数、负奇数。 2、关于奇数和偶数，有下面的性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数。 （2）奇数跟奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数。 （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数。 （4）若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性，即 a+b 与 a-b 同为奇数或同为 偶数。 （5）n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n 的倍数；顺式中有一个是偶数， 则乘积是偶数，即：A＊B＊C＊…＊偶数＊X＊Y＝偶数，式中 A、B、C、…X、Y 皆为 整数，公式可简化为：奇数＊偶数＝偶数。 (6) 奇数的个位是 1、3、5、7、9；偶数的个位是 0、2、4、6、8.（0 是个特殊的偶 数。2002 年国际数学协会规定,零为偶数.我国 2004 年也规定零为偶数。小学规定 0 为最小的偶数,但是在初中学习了负数,出现了负偶数时,0 就不是最小的偶数了.） （7）奇数的平方除以 8 余 15 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义知识点四：质数、合数1、质数又称素数。指在一个大于 1 的自然数中，除了 1 和此整数自身外，没法被其他自然 数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1 和自己）的自然数即为素数。比 1 大但不是素 数的数称为合数。1 和 0 既非素数也非合数。 2、质数与合数有如下重要性质： （1）质数和合数都在正整数范围，且有无数多个. （2）2是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的偶质数.大于2的质数必为奇数.质数 中只有一个偶数2，最小的质数为2. （3）若质数pa?b，则必有pa或pb.（注：pa表示p是a的约数） （4）若正整数a，b的积是质数p，则必有a=p或b=p. （5）1既不是质数也不是合数。 （6）如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数， 那么其中也必有一个是2. （7）最小的合数为4.任何合数都可以分解为几个质数的积，能写成几个质数的积的正整数 就是合数. 3、互质数：公约数只有1的两个数称为互质数. 补充资料： 哥德巴赫猜想 （Goldbach Conjecture) （a）所有的不小于 6 的偶数， 都可以表示为两个奇素数之和 (一般用代号“1+1”表示)。（b）每个不小于 9 的奇 数都可以表示为三个奇素数之和。问题的第二部分，利用解析数论中的圆法估计，已 被证明。 真正困难的是第一部分。第二节A 。 B分数、小数、百分数1、把单位“1”或整体“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。 表示为：2、真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。 3、假分数：分子比分母大的分数叫假分数，假分数大于 1 或等于 1。 4、带分数：整数与真分数相加所成的分数（或真分数与假分数相加化简后的分数）。 带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。带分数也是分数的一种。 注意： 不能将带分数写作整数部分+一个假分数。例如： 4 。 5、小数：由整数部分、小数部分和小数点组成。 6、纯小数：整数部分是零的小数如 0.1，绝对值一定小于 1。 如：0.12；0.945；0.403 等 7、带小数：整数部分是 1 或 1 以上的小数如 1.1，绝对值一定大于等于 1。 如：1.；1.43 等 8、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断 地重复出现。61 3 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义9、循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字 叫做这个循环小数的循环节。例如：0.33 ……循环节是“3” 也表示为： 0. 3 2.14242……循环节是“42”,表示为： 2.1 4 2 。 10、纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。（例如：0.666……） 11、混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。（例如：0.5666……） ★循环小数如何化为分数呢？ 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．纯循环小数化为分数的 方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是 9，9 的个数等于一个循 环节的位数． 例如 0.3 =3 1 189 7 = ， 0.189 = = ． 9 3 999 37? ? ?如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混 循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的 数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个 9，再在 后面按不循环部分的位数添写几个 0 组成的数． 例如 0.918 =918 ? 9 101 239 ? 23 6 35135 ? 35 35100 13 = 0.239 = 0.35135 = ， = ， = = ． 990 110 900 25
37由此可知，任何一个循环小数都可化为分数． 在解题过程中，为了便于运算，有时需要将小数化为分数． 例 在计算一个正数乘以 3.57 的运算时，某同学误将 3.57 错写作 3.57，结果与正确答 案相差 1.4．则正确的乘积结果是______． 解：设这个正数为 x ，依题意，得3.57 x ? 3.57 = 1.4 ． 57 ? 5 52 因为 3.57 = 3 + =3 ， 90 90所以上述方程可化为 352 57 x?3 x = 1.4 ． 90 100解得 x = 180 ． 所以正确的乘积结果应为3.57 × 180 = 322 × 180 = 644 ． 90试一试： 在计算一个正数乘以 3.729 的运算时，某同学误将 3.729 错写作 3.729 ，结果与正确答案 相差 0.01．求正确的乘积结果． （答案：138） 12、百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。百分数通常 不写成分数的形式，而采用符号“％”（叫做百分号）来表示。7 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义第三节比与比例1、比：等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b） ； 2、比例：由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同。 （如： a:b=c:d） 。 3、二者区别：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。 4、增长率和下降率： 如果一个数 a 增长 p%，则增长后值为：a（1+p%） 如果一个数 a 下降 p%，则增长后值为：a（1-p%） 注意：甲?乙 = p% ； 乙 甲是乙的 p%表示为：甲 = 乙 × p% ；甲比乙大 P%应该为： 例题 1： 方案一：一件商品价格，先增加 p%，然后再降 p%。 方案二：一件商品价格，先降 p%，然后再涨 p%。 问： 1、方案一与方案二的最终价格哪个高？ 2、该商品通个方案一或方案二运作后，价格比原价高还是低？ 例题 2： 若甲比乙大 p%，那么乙比甲小_______ 若甲比乙小 p%，那么乙比甲大_________ 例题 3： 一件商品提高 p%，再降______能恢复原价。 一件商品降低 p%，再升______能恢复原价。 5、正比、反比例函数： 若 y=kx（k≠0） ，则称 y 与 x 成正比，k 称为比例系数；k （k≠0） ，则称 y 与 x 成正比，k 称为比例系数； x 6、推论： a：b = c：d ? ad = bc a b a c 7、更比定理： a：b = c：d ? a：c = b：d； = ? = b d c d b d a c 8、反比定理： a：b = c：d ? b：a = d：c； = ? = b d a c a c a+b c+d 9、合比定理： = ? = b d b c a c a?b c?d 10、分比定理： = ? = b d b c a+b c+d a c 11、合分比定理： = ? = b d a -b c-d a c e a+c+e 12、等比定理： = = = k ? =k b d f b+d+f若y =8 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义【特别注意：成立的前提是分母不能为零】b + c ? 3a a + c ? 3b a + b ? 3c = = = m ，求 m 的值。 b c a - (a + b + c) 解：当 a + b + c ≠ 0 时，原式根据等比定理= = m = -1； a+b+c 当 a + b + c = 0 时，则 a+b=-c，带入原式可得 m=-4；例：已知非 0 常数 a、b、c 满足， 例题 14：设 ： ： = 4 : 5 : 6 ，则使 x + y + z = 74 成立的 y 值是： (A)24 （B）36 （C）74/3 (D)37/21 1 1 x y za a+m a &1 ，则 & b b+m b 13、增减性： （a，b 均为正） a a+m a 若 &1 ，则 & b b+m b 若第四节数轴与绝对值1、规定了唯一的原点（origin） ，唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴。2、相反数：在数轴上表示互为相反数（0 除外）的点位于原点的两旁，并且关于原 点对称。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 0 的相反数是 0 3、绝对值：a 的绝对值用“|a |”表示．读作“a 的绝对值”。 如：|－2|读作负二 的绝对值。 4、绝对值几何意义 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：指在数轴上 表示的点与原 点的距离，这个距离是 5，所以的绝对值是 5，又如指在数轴上表示 1.5 的点与原点 的距离，这个距离是 1.5，所以 1.5 的绝对值是 1.5。 5、绝对值代数意义z正数和 0 的绝对值是它本身；9 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义z 负数的绝对值是它的相反数； z 0 的绝对值是 0 6、绝对值的以下有关性质： （1）任何有理数的绝对值都是大于或等于 0 的数，这是绝对值的非负性。 （2）绝对值等于 0 的数只有一个，就是 0。 （3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。 （4）互为相反数的两个数的绝对值相等。【经典例题】【题型一】考查质数、合数、奇数、偶数的性质 【例1.1】记不超过15的质数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（）. （A）5 （B）7 （C）8 （D）11 （E）9 【解析】首先求出不超过15的质数为：2，3，5，7，11，13，然后根据平均数的公式：2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 =6.83≈7，从而选B. 6【例1.2】某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3加上右手中石子数乘4之和 为29，则右手中石子数为（） （A）奇数 （B）偶数 （C）质数 （D）合数 （E）以上结论平均不正确 【解析】根据题意，得到：左×3+右×4=29（奇数），可以得到：右=（29-左×3）/4为整 数，所以当左手中的石子数为3或7时，才能整除，得到右手中的石子数为5或2.因为2和5都 是质数，从而选C. 【评注】如果这个题目问：左手中石头数，又如何分析？ 【例1.3】一班同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学， 则这班的同学人数（）. （A）一定是4的倍数 （B）不一定是4的倍数（C）一定不是4的倍数 （D）一定是2的倍数，不一定是4的倍数（E）以上结论均不正确 【解析】根据题意得到同学的排列规律：…男男女女男男女女…，也就是说有偶数个男生 和偶数个女生，并且男生的人数等于女生的人数，所以全班人数一定是4的倍数，从而选A. 【题型2】考查数的整除 【解题提示】数的除法一般要涉及到余数问题，当余数为零时，就称为整除. 【例1.4】若n是一个大于100的正整数，则 n 3 -n一定有约数（）. （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）9 【解析】 n -n=（n-1）n（n+1），根据定理：连续两个整数乘积一定能被2整除，连续3个 整数乘积一定能被3整除，连续4个整数乘积一定能被4整除，…，连续k个正整数乘积能被k 整除.从而得到（n-1）n（n+1）能被3整除，所以选B. 【例1.5】正整数N的8倍与5倍之和，除以10的余数为9，则N的最末一位数字为（）. （A）2 （B）3 （C）5 （D）9 （E）4 【解析】8N+5N=13N，能被10除余9，说明13N的个位为9，得到N的个位为3，从而选B. 【例1.6】9121除以某质数，余数得13，这个质数是（）. （A）7 （B）11 （C）17 （D）23 （E）19103 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义【解析】将8分解得到×396=23×11×36，质数为23，所以选D. 【评注】在分解因式的时候，一定要分解出比13大的质数，因为余数要比除数小. 【题型3】计算含绝对值代数式的值 【解题提示】掌握并灵活应用去掉绝对值符号的三种方法：（1）确定绝对值符号内式子的 符号，根据绝对值定义去掉绝对值符号；（2）利用平均法去掉绝对值符号；（3）根据绝 对值的几何意义去掉绝对值符号. 【例1.7】若a-c&b（abc≠0），则下列不等式成立的是（）. （A）a&c-b （B）a&b+c （C）a&b+c （D）a&b-c（E）a &b+c 【解析】根据a-c≤a-c&b，移项得到a&b+c，从而选C. 【例1.8】已知a-1=3，b=4，b&ab，则（a-1）-b=（）. （A）1 （B）7 （C）5 （D）16 （E）3 【解析】根据ab-b&0，得b（a-1）&0，从而（a-1）-b=a-1+b=3+4=7，选B. 【评注】如果改为b&ab，又如何思考？ 【题型4】考察绝对值的非负性质 【解题提示】掌握两点：（1）有限个非负数之和为零，则每个非负数必等于零；（2）有 限个非负数之和仍然为非负数. 2 【例1.9】已知x-y+1+（2x-y） =0，那么logyx=（）. （A）1 （B）0 （C）5 （D）16 （E）7? x ? y + 1 = 0, ? x = 1, 所以 ? 得到log 1=0，选B. 【解析】根据非负性质，得到 ? ?2 x ? y = 0, ? y = 2,2【例1.10】x，y，z满足条件x +4xy+5y + z +2 21 z =-2y-1，则（4x-10y） 等于（）. 2（E）（A）1（B）2 （C）2 62（D）22 2【解析】 将原式变形为 （x+2y）+y + z +21 1 2 2 +2y+1=0， 配方得到 （x+2y）+ （y+1）+ z + =0， 2 21 1 ? ? ? z + 2 = 0, ?z = ? 2 , ? ? 再根据非负性质， ? y + 1 = 0, ，所以 ?y = ?1, ? x + 2 y = 0, ?x = 2. ? ? ? ?1（4×2+10） 2-1=18 2 =1 1? 2 2 = = ，从而选C. 6 18 3 2 ? 211 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义【题型5】对形如x x或x 的表达式的分析 x【解题提示】根据公式x x=x ?1, x & 0, =? ，进行求解分析. x ?? 1, x & 0,2009【例1.11】已知? abc ? a b c ? + + = 1 ，则 ? ? abc ? a b c ? ?（C）±1 （D）? bc ac ab ? ? ÷? ? ab ? bc ? ca ? 的值为（）. ? ?（A）1（B）-11 （E）不能确定 3【解析】根据a b c + + = 1 ，得到a，b，c中两正一负.不妨令a&0，b&0，c&0，代入原 a b c? ab bc ac ? ? =-1，从而选B. ? ? ? ab bc ca ? ?式=（-1）÷ ? ?a【例1.12】充分性判断： （1）a&0；（2）b&0.a?b b= ?2 .【解析】显然单独条件无法确定题目数值，联合起来得到a a=-1，b b=1，从而充分，选C.x+ y【例1.13】可以确定x? y=-2.（1）x y=3；（2）x 1 = . y 34y 2y = 2y ?2, y & 0, =? 由条件（2）得到：y=3x， y ?? 2, y & 0.【解析】由条件（1）得到：x=3y，则x + 3x则x ? 3x=4x ? 2x= ?2?? 2, x & 0, =? ，不具备充分性，选E. x ?2, x & 0. x【题型6】考查三角不等式的应用 【解题提示】根据三角不等式a-b≤a±b≤a+b进行分析解题是每年 考试的重点、难点和热点问题，处理方法可以从绝对值的运算法则、性质或几何意义入手， 也可以用分类后画图像的方式处理.注意三角不等式的推广，有限个实数之和的绝对值不大12 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义于它们的绝对值之和. 【例1.14】y-a≤2成立. （1）2x-a≤1；（2）2x-y≤1. 【解析】（2x-a）-（2x-y）≤2x-a+2x-y≤1+1=2. 两个条件联合充分，从而选C. 【例1.15】已知x∈[2，5]，a=5-x，b=x-2则b- a的取值范围是（）. （A）[-3，5] （B）[0，5] （C）[1，3] （D）[3，5]（E）[0，3] 【解析】首先根据b-a≤a+b=3，派出A、B，D.当x=3.5时，再由b-a的最 小值可以取到0，故选择E.a?b【例1.16】已知a≠b，m= （A）m&n （B）m&na ?b,n =a+b a+b, 则m，n之间的关系是（）.（C）m=n（D）m≤na+b【解析】根据a+b≤a+b，所以n=a+b≥1.又由a-b≥a-b，a?bm=a ?b≤1，所以n≥m，从而选D.【题型7】一般比例式计算问题 【解题提示】比和比例这部分内容属于算术，但在考试占有很重的比例，是必考的知识点. 一般地说，比例的有关试题都可通过设出比例系数的方法得到解决，否则解题过程随试题 难度的增大，将变得越来越复杂和繁琐.1 1 1 : : 【例1.17】设 x y z =4：5：6，则使x+y+z=74成立的y值是（）.（A）24 （B）36 （C）74 3（D）37 2（E）20【解析】方法一：这是典型的比例问题，可利用比例系数去求解.由已知有1 1 1 x = y = z =k ,即 4 5 61 ? ? x = 4k , ? 1 120 1 1 1 1 1 ? + + = 74, ? k = , 代入y = = = 24.从而选A. ,? ?y = 5k 5 120 4 k 5k 6 k 5k ? 1 ? ? z = 6k ?13 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义方法二：由题得： x: y:z =1 1 1 : : = 15 : 12 : 10 4 5 6根据x+y+z=74，得y=2×12=24. 【题型8】考察正比反比问题 【解题提示】正比反比问题要引入比例系数来分析，注意比例系数k≠0. 【例1.18】已知y=y1-y2，且y1与1 3 成反比例，y2与 成正比里.当x=0时，y=-3，又当 2 2x x+2x=1时，y=1，那么y的x表达式是（ ）. （A） y =3x 2 3 ? 2 x+23x 2 3 + 2 x+2(B)y = 3x 2 ?= ?3 x 2 ?6 x+23 x+2（C） y = 3x 2 +6 x+2（D） y = ?（E） y【解析】 根据题目得到y1 =k1 3k 2 3k 2 = 2k1 x 2 , y2 = ， 得到 y = 2k1 x 2 ? ， 根据过 （0， 1 x+2 x+2 2x23 ? ? 3 = ? k2 , ? ? 2 ? ?1 = 2k ? 3 ? 2 = 2k ? 2, 1 1 ? 3 ?-3），（1，1）点，列出方程组解出 k1=3 6 , k 2 = 2, 从而y = 3 x 2 ? , 选B. x+2 2【注意】考试时可以采用特值验证的方法求解，可以验证当x=0时，y=-3时，直接得到答案. 【题型9】求含有分式函数的最值问题 【解题提示】先验证给定函数是否满足最值三条件：（1）各项均为正；（2）乘积（或者 和）为定值；（3）等号能否取到，然后利用平均值公式求出最值. 【例1.19】求函数y = 3x +4 x23（x&0）的最小值.3 3x 3x 4 ? ? 2 =3 9 ， 2 2 x3x 3x 4 + + 2 ≥3 【解析】 y = 2 2 x3当 3 x = 3 x = 42 时，即 x 2 2 x=8 3时取到最小值.【评注】此题的变形拆分是解题的关键。在拆分的时候，为了保证取到最值，要进行平均 拆分.14 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义【例1.20】已知x，y∈R，且x+y=4，则 3 （A） 3 2 （B）18xx+ 3 y 的最小值是（（E） 6）.（C）9（D） 2 2【解析】，从 3+ 3 y ≥ 2 3 x 3 y = 2 3 x + y = 2 34 = 18 ，从而选B.（C）【例1.21】若x&0，y&0，且x+2y=4，则lgx+lgy的最大值是（）. （A）lg2 （B）2lg21 lg2 2（D）3lg2（E）lg3【解析】根据 4 =x + 2 y ≥ 2 2 xy , 得到 2 ≥xy ，xy≤2，从而lgx+lgy=lgxy≤lg2，选A. 【题型10】考察平均值的基本定义和概念 【例1.22】三个实数1，x-2和x的几何平均值等于4，5和-3的算术平均值，则x的值为（）. （A）-2 （B）4 （C）2 （D）-2或4（E）2或4 【解析】由题意得到31( x ? 2) x =4+5?3 ? x = ?2 或x=4，但x=-2要舍掉，选B. 3【评注】注意在几何平均值的概念中，要求每个元素都要为正数，而在算术平均值中无此 规定. 【例1.23】x，y的算术平均值是2，几何平均值也是2，则1 1 与 的几何平均值是（）. x y（A）2（B） 2（C）2 3（D）2 2（E）以上结论均不正确【解析】根据题目得到x=y=2，从而2 1 1 的 几何平均值为 ，从而选D. 2 x y【评注】若告知n个数的几何平均值和算术平均值相等，则这n个数相等，其值等于算术平 均值或几何平均值.x+ y 1 1 , b = (log m x + log m y ), c = log m ( x + y ) ，则c&b≥a. 2 2 2 （1）x&2，y&2； （2）0&m&1. 【解析】本题主要考察队数函数的单调性以及平均值之间的关系，对a，b，c作变形，转化【例1.24】已知 a = log m 为比较x+ y , xy , x + y 的大小： x + y ≥ xy ，又由 x + y = 1 + 1 & 1 ，所以 2 2 xy x yxy & x + y ，从而得到x+ y ≥ xy & x + y ，且当0&m&1时，y= log m x 为单 215 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义调递减函数，所以两个条件联合充分，选C.第二章第一节知识点一：整式及其运算1.代数 式的 分类：代数整式、分式? ? ?单项式 ?有理式?整式? ? ? ?多项式 代数式? ? 分式 ? ? ? 无理式 ?2.整式：分母中不含变数者,则称为整式。含有字母有除法运算的叫做分式。 3.整式的运算： （1）完全平方公式： (a ± b) = a ± 2ab + b2 2 2（2）平方差公式： a ? b = (a + b)(a ? b)2 2（3）立方差（和）公式： a ± b = ( a ± b)(a ? ab + b )3 3 2 2（4）幂运算： z 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a ÷a =a 为正整数，且 m＞n). z z z z 零指数幂：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.即 a =1(a≠0). 负整数指数幂： a?p0 m n m－n(a≠0，m，n=n1 (a ≠ 0, p ∈ N + ) p a a m (a & 0, m, n ∈ N + , 且n & 1)m nm正分数指数幂： a n = 负分数指数幂： a n =m1 a=1nam(a & 0, m, n ∈ N + , 且n & 1)16 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义z幂运算法则 a( )a ?a = am n m nm+ n(a & 0, m, n ∈ R )= a mn (a & 0, m, n ∈ R) = a m b m (a & 0, b & 0, m ∈ R)(ab )m知识点二：整式的因式与因式分解1、如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)?g(x)，那么 g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的 一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 特别注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于 0（当 f(x)=0 时）。 一个数也可以看做一 个因式。 2、因式分解，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解，而把因式展开成多项式的过程叫作分解因式。 3、因式分解的方法： 【1】提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式（各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项 的公因式）可以把这个公因式提到括号外面.将多项式写成因式乘积的形式.这种分解因式 的方法叫做提公因式法.例如：am+bm+cm=m（a+b+c）. 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母 取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般 要提出负号，使括号内的第一项的系数为正. 例：解方程 ? x 3 + x 2 + 2 x = 0 解析： ? x 3 + x 2 + 2 x = 0 ? ? x( x ? x ? 2) = 0 ? ? x( x ? 2)( x + 1) = 0即2x（x-2）（x+1）=0.显然方程的根是 x1 = 0, x 2 = ?1, x3 = 2. 评注：仅仅以“提公因式”作为考点的题目比较简单，因此一般此法都要结合其他的方法 使用来分解因式. 【2】运用公式法 常用的公式有：17 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义a 2 ? b 2 = (a + b)(a ? b); a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2 ; a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ? ab + b 2 ); a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = (a ± b) 3 ; a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c) 2 ;1 a 2 + b 2 + c 2 ± ab ± bc ± ac = [(a ± b) 2 + (a ± c) 2 + (b ± c) 2 ]; 2 n n n ?1 n?2 a ? b = (a ? b)(a + a b + + ab n ? 2 + b n ?1 ), n为正整数.尤其，x n ? 1 = ( x ? 1)( x n ?1 + x n ? 2 +例：分解因式： (1) 25a b c2 4 16+ x + 1)? 1; (2)2ab ? a 2 + 4 ? b 2 ;(3)(a + b) 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) + 4(a ? b) 2 ; (4)(2b ? 3a ) 2 + 2(3a ? 2b) + 1.解析：（1）直接利用平方差公式, 25a b c （2）先分组，再利用完全平方公式：2 4 16? 1 = (5ab 2 c 8 + 1)(5ab 2 c 8 ? 1).2ab ? a 2 + 4 ? b 2 = 4 ? (a 2 ? 2ab + b 2 ) = 4 ? (a ? b) 2 .（3）考虑到a -b =（a+b）（a-b），所以可以直接利用完全平方公式， 有（a+b） -4（a -b ）+4（a-b） =[（a+b）-2（a-b）] =（3b-a） . （4）考虑到（3a-2b）=（3a-2b）?1，而（2b-3a） =（3a-2b） ， 故（2b-3a） +2（3a-2b）+1=[（3a-2b）+1] =（3a-2b+1） . 另解，原式=（2b-3a） -2（2b-3a）+1=[（2b-3a）-1] =（2b-3a+1） . 评注：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有项能写成两个数（或 式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍. 【3】分组分解法（分组后能提公因式：分组后能用公式） 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 注意：分组分解法必须有明确的目的，即分住后可以直接提公因式或运用公式. 例：分解因式（1）a -5a+5b-ab；（2）a -3a-6b-4b . 解析：（1）a -5a+5b-ab=（a -5a）-（ab-5b）=a（a-5）-b（a-5）. （a-2b）-3（a+2b）=（a+2b） （a-2b-3）. （2）a -3a-6b-4b =（a -4b ）-（3a+6b）=（a+2b） 【4】十字相乘法182 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义用于分解abx +（bp+aq）+pq型的式子.这类二次三项式的特点是：二次项的系数、常数 项是两个数的积；一次项系数是二次项系数的因数与常数项系的因数乘积的和.特殊情况 时，二次项的系数为1.分解出来，abx +（bp+aq）x+pq=（ax+p）（bx+q）. （2）6x -7x-5； （3）x -13xy-30y ； （4）x +y +2xy-x-y-6. 例：分解因式： （1）7x -19x-6； 解析：（1）7x -19x-6=（7x+2）（x-3）. （2）6x -7x-5=（2x+1）（3x-5）. （3）x -13xy-30y =（x-15y）（x+2y）. （4）x +y +2xy-x-y-6=（x+y）*-（x+y）-6=（x+y-3）（x+y+2）. 【5】配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以将其配成一个完全平方式，然后再利用 平方差公式，就能将其因式分解. 例：分解因式：a +3a-40. 解析：a +3a-40=（a+ 【6】拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原 式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等 的原则上进行变形. 例：分解因式：（1）x -9x+8；（2）x +x +x -3； （3）bc（b+c）+ac（c-a）-ab（a+b）；（4）a b-ab +a +b +1. 解析（1）把8拆成-1+9，则有 X -9x+8=x -9x-1+9=（x -1）-（9x-9）=（x-1）（x +x-8）. （2）把-3拆成-1-1-1，有 （x +2x +3）=（x-1） （x +x+1） （x +2x +3）. X +x +x -3=（x -1）+（x -1）+（x -1）=（x -1） （3）补两项-a+a，有bc（b+c）+ac（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ac（c-a）-ab（a+b） （a+b） （b+c）. =bc（c-a）+bc（a+b）+ac（c-a）-ab（a+b）=（c-a） （ab+b +ac+bc）=（c-a） 补两项ab-ab，有 A b-ab +a +b +1=（a b-ab ）+（a -ab）+（ab+b +1）193 3 2 2 3 3 2 2 2 9 6 3 9 6 3 3 6 3 2 6 3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 9 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 223 2 9 3 2 169 ） - -40=（a+ ） =（a+8）（a-5）（用十字相乘法更好） 2 4 2 4 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b +1） =a（a-b）[b（a+b）+1]+（ab+b +1） =（ab+b +1）[a（a-b）+1] =（a -ab+1）（ab+b +1）. 【7】待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把 多项式因式分解. 例：因式分解：2x +3xy-9y +14x-3y+20. 解析方法一：因为2x +3xy-9y =（2x-3y）（x+3y）， 采用待定系数法，可设 2x +3xy-9y +14x-3y+20=（2x-3y+a）（x+3y+b），a、b是待定的系数，比较右边和左 边的x和y两项的系数，得 a+2b=14， 3a-3b=-3，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22a=4 b=5所以2x +3xy-9y +14x-3y+20=（2x-3y+4）（x+3y+5. 方法二：原式=2x +（3y+14）x-（9y +3y-20），将其看作是关于X的二次三项式， 常数项可分解为-（3y-4）（3y+5），采用待定系数法，可设 2x +（3y+14）x-（9y +3y-20）=[mx-（3y-4）][nx+（3y+5）] 比较左、右两边的x*和x项的系数，得m=2，n=1， 所以2x +3xy-9y +14x-3y+20=（2x-3y+4）（x+3y+5）. 注意实数范围内分解因式，一般只要求分解到有理数范围内.特别的题目要求，可继续分解 到实数.2 2 2 2 2 2第二节分式及其运算1、同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。a b a+b a b a ?b + = 或 ? = c c c c c c20 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义解一解： （1）a2 b 2 + 2ab + a+b a+b x+ y 3x ? 2x ? y 2x ? y x + 3y x + 2 y 2x ? 3y + ? 2 2 2 x ?y x ? y2 x2 ? y2（2）（3）判断正误：(1 ) (2 (3 (4 (5 (6 12 5 7 ? = ; a a a 2 3 a 5 a + = ) xy xy xy 5 n 15 n ? = ? ) m m a 2 a ? ) x ? y x ? y x x + ) x + y x + y x + 3 2 ? x ? ) 3 xy 3 xy; 10 m = = = x + y 1 . 3 xy2、异分母分式通分时，通常取最简单公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。 例： （1）a+2 a+4 3 a ? 15 3 3x 2a 1 + (3) 2 (4) 2 + ? ? 2 （2） a 5a x ? y 2( x ? y ) a ?4 a?2 a ? 2a a ? 4总结归纳： 3、乘法：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积作积的分母.a c ac . = . b d bd4、除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.a c a d ad ÷ = . = . b d b c bc5、乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方.21 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义a n an ( ) = n b b（n为正整数）.【注意】分式计算的几个原则及技巧：（1）低级（加减）运算先通分；（2）高级运 算勿忘提式（公因式）约分；（3）分母为因式积时要考虑拆开；（4）涉及求未知数值， 勿忘分母不为零；（5）变形技巧为乘1.第三节知识点一：集合函数1、集合的概念 （1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对 象. （2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全 体构成的集合. （3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大写的拉丁字母表示，如 A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如 a、 b、c、…… 2、元素与集合的关系 （1）属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a∈A （2）不属于：如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a ? A 要注意“∈”的方向，不能把 a∈A 颠倒过来写. 3、集合中元素的特性 （1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 4、集合分类 根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分 Φ ， {Φ} ， {0} ，0 等符号的含义 5、常用数集及其表示方法 （1）非负整数集（自然数集） ：全体非负整数的集合.记作 N * （2）正整数集：非负整数集内排除 0 的集.记作 N 或 N+ （3）整数集：全体整数的集合.记作 Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作 Q22 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义（5）实数集：全体实数的集合.记作 R 注： （1）自然数集包括数 0. * （2）非负整数集内排除 0 的集.记作 N 或 N+，Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集， * 也这样表示，例如，整数集内排除 0 的集，表示成 Z知识点二：一元二次函数及其图像1、函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0) 叫做一元二次函数。22、 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3、任何一个二次函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0) 都可把它的解析式配方为顶2点式： y = a ( x + 性质如下：b 2 4ac ? b 2 ) + ， 2a 4a（1）图象的顶点坐标为 (? （2）最大（小）值b 4ac ? b 2 b , ) ，对称轴是直线 x = ? 。 2a 4a 2a① 当 a & 0 ，函数图象开口向上， y 有最小值， y min =4ac ? b 2 ，无最大值。 4a② 当 a & 0 ，函数图象开口向下， y 有最大值， y max （3）当 a & 0 ，函数在区间 ( ?∞,?4ac ? b 2 = ，无最小值。 4ab b ) 上是减函数，在 ( ? ,+∞ ) 上是增函数。 2a 2a b b 当 a & 0 ，函数在区间上 ( ? ,+∞ ) 是减函数，在 ( ?∞,? ) 上是增函数。 2a 2a ?& 0(与x轴有两个不同交点) ? 2 4、判别式： Δ = b ? 4ac = ? = 0(与x轴有一个交点) ? & 0(与x轴没有交点) ?5、总结归纳： 函数 一般式 顶点式 方程 不等式y = ax 2 + bx + c y = a(x - h) 2 + kax 2 + bx + c = 0ax 2 + bx + c＞023 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义两根式y = (x ? x 1 )(x ? x 2(x ? x 1 )(x ? x 2 ) = 0(x ? x 1 )(x ? x 2 ) & 0判别式?& 0(有两个不等实根) ? Δ = b ? 4ac = ?= 0(有两个相等实根) ? & 0(无实根) ?2求根公式x 1,2 =? b ± b 2 ? 4ac 2aa&0 开 口 方 向a&0对称轴x=?b 2a顶点 Y 轴截距 交点 情况 △&0 △=0 △&0 有两个交点 有一个交点 无交点(?Δ b 4ac ? b 2 , ) ? (对称轴， ? ) 2a 4a 4ac 两个不等实根 两个相等实根 无实根 根据实际进行讨论24 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义知识点三：指数函数1、指数函数的定义： 函数 y = a ( a & 0且a ≠ 1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R 规定 a&0x新疆王新敞奎屯且 a≠1 在规定以后，对于任何 x ∈ R， a 都有意义，且 a &0. 因此指数函数的定义域是 R， 值域是(0,+∞).x x王新敞奎屯 新疆2、 y = a ( a & 0且a ≠ 1) 的图象和性质x王新敞奎屯新疆a&16 50&a&16 544图象1-4 -233221110-1246-4-20-1246性质(1)定义域：R （2）值域： （0，+∞） （3）过点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数知识点四：对数函数引入： z 庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭 （1）取 4 次，还有多长？（2）取多少次，还王新敞奎屯 新疆有 0.125 尺？ z 假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元， 如果每年平均增长 8%， 那么经过多少年国民 生产总值是 2002 年的 2 倍？?1? ?1? 抽象出：1. ? ? ＝？， ? ? ＝0.125 ? x=? ?2? ?2?王新敞奎屯 新疆4x2. (1 + 8% ) =2 ? x=?x也是已知底数和幂的值，求指数 你能看得出来吗？怎样求呢？ 1、 定义 一般地，如果 a (a & 0, a ≠ 1) 的 b 次幂等于 N, 就是 a = N ，那么数 b 叫做 以 a 为底 Nb的对数，记作 log a N = b ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数王新敞奎屯新疆25 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义底数 指数 幂a b =N ↓↓↓log a N＝b ↓↓ ↓ 对数底数 真数例如：4 2 = 16 ? log 4 16 = 21;10 2 = 100 ? log10 100 = 2 10 ?2 = 0.01 ? log10 0.01 = ?24 2 = 2 ? log 4 2 =2、重要公式1 2;⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N & 0 ） ⑵ log a 1 = 0 ， log a a = 1 ∵对任意 a & 0 且 a ≠ 1 , 同样易知： log a a = 1 ⑶对数恒等式 如果把 a = N 中的 b 写成 log a N ,b都有 a = 10∴ log a 1 = 0则有 alog a N=N王新敞奎屯 新疆⑷常用对数： 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 为了简便,N 的常用对数 log10 N 简 记作 lgN王新敞奎屯 新疆例如： log10 5 简记作 lg5 ; log10 3.5 简记作 lg3.5. ⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数，以 e 为底的对 数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数 log e N 简记作 lnN 例如： log e 3 简记作 ln3 ; log e 10 简记作 ln10 (6)积、商、幂的对数运算法则： 如果 a & 0，a ≠ 1，M & 0， N & 0 有：王新敞奎屯 新疆log a (MN) = log a M + log a N (1) M = log a M ? log a N ( 2) log a N log a M n = nlog a M(n ∈ R) ( 3)26 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义证明：①设 log a M=p, log a N=q王新敞奎屯新疆由对数的定义可以得：M= a ，N= a ∴MN= a a = ap q p+qpq王新敞奎屯 新疆∴ log a MN=p+q，王新敞奎屯 新疆即证得 log a MN= log a M + log a N ②设 log a M=p， log a N=q王新敞奎屯 新疆由对数的定义可以得 M= a ，N= apq王新敞奎屯 新疆∴M ap = = a p ?q N aq∴ log aM = p?q N王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆即证得 log aM = log a M ? log a N N③设 log a M=P ∴M ＝an np由对数定义可以得 M= a , ∴ log a M =np，np即证得 log a M =n log a Mn说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算 性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。 ①简易语言表达： “积的对数 = 对数的和”…… ②有时逆向运用公式：如 log10 5 + log10 2 = log10 10 = 1 ③真数的取值范围必须是 (0,+∞) ：王新敞奎屯 新疆log 2 (?3)(?5) = log 2 (?3) + log 2 (?5) 是不成立的王新敞奎屯新疆log10 (?10) 2 = 2 log10 (?10) 是不成立的④对公式容易错误记忆，要特别注意：王新敞奎屯新疆log a ( MN ) ≠ log a M ? log a N（7）对数换底公式：， log a ( M ± N ) ≠ log a M ± log a N王新敞奎屯新疆log a N =log m N log m a( a & 0 ,a ≠ 1 ，m & 0 ,m ≠ 1,N&0)27王新敞奎屯新疆 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义证明：设 log a N = x , 则 ax= Nx王新敞奎屯新疆两边取以 m 为底的对数： log m a = log m N ? x log m a = log m N 从而得： x =log m N log m a∴ log a N =log m N log m a王新敞奎屯新疆（8）两个常用的推论: ① log a b ? log b a = 1 ， ② log a m b =nlog a b ? log b c ? log c a = 1王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆n log a b （ a, b & 0 且均不为 1） m lg b lg a ? =1 lg a lg b王新敞奎屯 新疆证：① log a b ? log b a =② log a m b =nlg b n n lg b n = = log a b m m lg a m lg a2、 对数函数的性质 由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质 a&13 3 2.5 2.5 2 2王新敞奎屯 新疆0&a&11.51.5图 象1-111110.50.50-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域： （0，+∞） 值域：R 性 质 过点（1，0） ，即当 x=1 时，y=0x ∈ (0,1) 时 y & 0 x ∈ (1,+∞) 时 y & 0在（0，+∞）上是增函数x ∈ (0,1) 时 y & 0 x ∈ (1,+∞) 时 y & 0在（0，+∞）上是减函数28 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义第四节代数方程1、 基本定义：含有未知数的等式 元：含有未知数的个数。次：未知数的最高次数。 例如： x + 3xy + z = 0 （三元四次方程）2 2 42、 一元一次方程： ax + b = 0 ? x = 3、 一元二次方程： z z 一般式： ax + bx + c = 0(a ≠ 0)2b (a ≠ 0) a?& 0(有两个不等实根) ? 2 判别式： Δ = b ? 4ac = ?= 0(有两个相等实根) ? & 0(无实根) ? ? b ± b 2 ? 4ac 2a 两根式： (x ? x 1 )(x ? x 2 ) = 0求根公式： x 1,2 = 韦达定理： （根与系数的关系）2z z z若 x1、x 2 是 ax + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个根。b ? ? x1 + x 2 = ? a 则比满足 ? c （注：韦达定理不受实根虚根的限制） ? x1 ? x 2 = a ?韦达定理的应用：29 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义4、 根的分布： z?x 1 + x 2 & 0 ? 方程有两个正根 ? x 1 ? x 2 & 0 ? Δ≥0 ? ?x 1 + x 2 & 0 ? 方程有两个负根 ? x 1 ? x 2 & 0 ? Δ≥0 ?? ?x 1 + x 2 & 0 ? ? ? 正根 & 负根，有? x1 x 2 & 0 ? Δ&0 ? ? x1 x 2 & 0 ? ? ，若 ? 方程有一正一负根 ? x1 + x 2 & 0 ? Δ 0 & ? ? ? ? 正根 & 负根，有? x1 x 2 & 0 ? ? Δ&0 ? ? ?zz5、 二元一次方程组： ?? a 1 x + b1 y = c1 ?a 2 x + b 2 y = c 2第五节知识点一：不等式的性质1．不等式的性质： ⑴(对称性或反身性) a & b ? b & ⑵(传递性) a & b，b & c ? a &不等式⑶(可加性) a &b?a+c &b+c,此法则又称为移项法则; (同向可相加) a & b，c & d ? a + c & b + d ⑷(可乘性) a & b，c & 0 ? ac & bc； a & b，c & 0 ?ac & bc . (正数同向可相乘) a & b & 0，c & d & 0 ? ac & bd ⑸(乘方法则) a & b & （ 0 n ∈ N） ?a &b &0n n⑹(开方法则) a & b & （ 0 n ∈ N , n ≥ 2） ? n a & nb &0 ⑺(倒数法则) a & b，ab & 0 ?1 1 & a b注意： 条件与结论间的对应关系，是“ ? ”符号还是“ ? ”符号；运用不等式性质的关键是 不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。 运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今30 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义后研究和认识不等式的基本手段. ⑶如果 a,b,c∈{x|x 是正实数}，那么 a + b + c ≥ 3 abc .3（当且仅当 a=b=c 时取“=”号）知识点二：均值不等式2．定理 1： 如果 a,b∈{x|x 是正实数}，那么a+b ≥ ab （当且仅当 a=b 时取“=”号）. 2注：该不等式可推出:当 a、b 为正数时,2 a 2 +b 2 a+b ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b（当且仅当 a = b 时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 ： 2.含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数） ⑴ a +b ≥ a b + ab3 3 2 2⑵由 a 3 +b 3 +c 3 ?3abc = (a + b + c)(a 2 +b 2 +c 2 ?ab ? ac ? bc) 可推出 a +b + c ≥ 3abc3 3 3( a + b + c & 0等式即可成立 , a = b = c或a + b + c = 0时取等); 3.绝对值不等式：⑴ a ? b ≤ a ? b ≤ a + b (ab ≥ 0时,取等号) ⑵ a 1 +a 2 +a 3 ≤ a 1 + a 2 + a 3注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大), 特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.知识点三：不等式求解1．不等式同解变形 （1）同解不等式（(1) f ( x ) & g ( x ) 与 f ( x ) + F ( x ) & g ( x ) + F ( x ) 同解； （ 2 ） m & 0，f ( x ) & g ( x ) 与 mf ( x ) & mg ( x ) 同 解 ， m & 0，f ( x ) & g ( x ) 与mf ( x ) & mg ( x ) 同解；31 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义（3）f ( x) & 0 与 f ( x ) ? g ( x ) & 0 ( g ( x ) ≠ 0 同解） ； g( x)2．一元一次不等式 解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础， 必须熟练掌握，灵活应用。?(1)a & 0 ? ax & b ? 分 ?(2)a = 0 情况分别解之。 ? ?(3)a & 03．一元二次不等式ax 2 + bx + c & 0 (a ≠ 0) 或 ax 2 + bx + c & 0 (a ≠ 0) ? 分 a & 0 及 a & 0 情况分别解之，还要注意 Δ = b ? 4ac 的三种情况，即 Δ & 0 或 Δ = 0 或 Δ & 0 ，最好联系二次函数2的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形：f ( x) f ( x) &0 ? f(x)?g(x)&0， ≥0 ? g ( x) g ( x)? f ( x) ? g ( x) ≥ 0 。 ? ? g ( x) ≠ 05．简单的绝对值不等式 绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值 不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。 解绝对值不等式的常用方法： ①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一 般不等式； ②等价变形： 解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|&a ? x2&a2 ? －a&x&a(a&0)， |x|&a ? x2&a2 ? x&a 或 x&－a(a&0)。一般地有：|f(x)|&g(x) ? －g(x)&f(x)&g(x)， |f(x)|&g(x) ? f(x)&g (x)或 f(x)&g(x)。6．指数不等式a f ( x) & a g( x) ?32 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义(1) 当a & 1时，f ( x ) & g ( x ) ； (2) 当 0 & a & 1时，f ( x ) & g ( x ) ；7．对数不等式a b = N ? b = log a N(a & 0，b & 0， log a m b n ) ? n 1 等， log a b， log a b = m log b alog a f ( x ) & log a g ( x ) ?（1）当 a & 1 时， ?? ? g( x) & 0 ； ? ? f ( x) & g( x)? f ( x) & 0 ? （2）当 0 & a & 1 时， ? 。 ? ? f ( x) & g( x)第六节知识点一：数列概述数列1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次 序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2． 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项 （或首项） ，第 2 项，…，第 n 项，…. 3．数列的一般形式： a1 , a 2 , a3 ,, an ,，或简记为 {a n } ，其中 a n 是数列的第 n 项⒋ 数列的通项公式：如果数列 {a n } 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 5．数列的求和公式： S n = a1 + a 2 + a3 + 6．有穷数列：项数有限的数列. 7．无穷数列：项数无限的数列.+ an33 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义知识点二：等差数列1．等差数列的定义： a n － a n ?1 =d ， （n≥2，n∈N ） 2．等差数列的通项公式：+a n = a1 + (n ? 1)d( a n = a m + ( n ? m) d 或 a n =pn+q (p、q 是常数))3．几种计算公差 d 的方法： ① d= a n － a n ?1 4．等差中项： A = ② d=a n ? a1 n ?1③ d=an ? am n?ma+b ? a, A, b, 成等差数列 25．等差数列的性质： m+n=p+q ? a m + a n = a p + a q (m, n, p, q ∈N ) 6．数列的前 n 项和： 数列 {a n } 中， a1 + a 2 + a 3 ++ a n 称为数列 {a n } 的前 n 项和，记为 S n .n(a1 + a n ) 2等差数列的前 n 项和公式 1： S n =等差数列的前 n 项和公式 2： S n = na1 + 7. S n =n(n ? 1)d 2d 2 d n + (a 1 ? )n ，当 d≠0，是一个常数项为零的二次式 2 2王新敞奎屯 新疆8. S n 是等差数列前n项和，则 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 仍成等差数列知识点三：等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q≠0） ， 即：an =q（q≠0） a n ?12.等比数列的通项公式:a n = a1 ? q n ?1 (a1 ? q ≠ 0) ， an = am ? q n ? m (a1 ? q ≠ 0)3． ｛ a n ｝成等比数列 ?a n +1 + =q（ n ∈ N ,q≠0） an34 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义“ a n ≠0”是数列｛ a n ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G 为 a 与 b 的等比中项. 6．性质：若 m+n=p+q， a m ? a n = a p ? a q 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8． 等比数列的增减性： 当 q&1, a1 &0 或 0&q&1, a1 &0 时, { a n }是递增数列;当 q&1, a1 &0, 或 0&q&1, a1 &0 时, { a n }是递减数列;当 q=1 时, { a n }是常数列;当 q&0 时, { a n }是摆动 数列; 9．等比数列的前 n 项和公式： ∴当 q ≠ 1 时， S n = 即 G=± ab （a,b 同号）.a1 (1 ? q n ) ① 1? q或 Sn =a1 ? a n q 1? q②当 q=1 时， S n = na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①；当已知 a1 , q, a n 时，用公式②. 10． S n 是等比数列 {a n } 的前 n 项和， ①当 q=－1 且 k 为偶数时， S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 不是等比数列. ③ q≠－1 或 k 为奇数时， S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k 仍成等比数列王新敞奎屯 新疆第七节【题型1】有关整式的计算综合题型详解【解题提示】这类题目基本知识点比较少，但是其灵活性比较高，因此，在做 题时一定要仔细观察原式、变化后的式子以及所要求解的问题；对于大多数问 题，可以从所求的结论入手，进而向已知条件靠近. 【例2.1】当a，b，c取何值时，多项式f（x）=2x-7与g（x）=a( x ? 1) 2 ? b( x + 2) + c( x 2 + x ? 2) 相等.35 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义（A） a = ?11 5 11 ,b = ,c = 9 3 9（B）a=-11，b=15，c=11（C） a =11 5 11 ,b = ,c = ? 9 3 9（D）a=11，b=15，c=-11（E）以上结论均不正确 【解析】可以利用多项式相等的定义，即若两多项式相等，必有对应同类项 的系数相等，两多项式的项数相等.而g（x） = a ( x ? 1) 2 ? b( x + 2) + c( x 2 + x ? 2) = (a + c) x 2 + (c ? 2a ? b) x + a ? 2b ? 2c11 ? ?a = ? 9 , ?a + c = 0, ? 5 11 5 ? ? 有?c ? 2a ? b = 2, 解得?b = , 故a = ? , b = , 3 9 3 ?a ? 2b ? 2c = ?7, ? ? 11 ? ?c = 9 , ? 11 c= , 9显然选A. 【评注】两多项式相等、次数相等的项所对应的系数相等即可.判断两多项式 相等与否，首先要看其项数是否相等，这是两多项式相等的必要条件，但不是 充分条件. 【例2.2】确定m，b的值，使 mx （A）m=1，b=4 （C）m=-3，b=44+ bx 3 + 1 能被（x-1） 整除.2（B）m=3，b=-4 （C）m=1，b=-3（E）以上结论均不正确 【解析】方法一（竖式除法）：36 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义?4m + 3b = 0, ?m = 3, 选B. 即有 ? 解得 ? 1 ? 2 b ? 3 m = 0 , b 4 , = ? ? ?方法二（待定系数法） mx4+ bx 3 + 1 = (mx 2 + ax + c)( x ? 1) 2 即mx 4 + bx 3 + 1 = mx 4 + (a ? 2m) x 3 + (m + c ? 2a ) x 2 + (a ? 2c) x + c, ?a = 2, ?b = a ? 2m, ?b = ?4, ?m + c ? 2a = 0, ? ? 有? 解得? 显然选B. a 2 c 0 , c 1 , = ? = ? ? ? ? c 1 , = ?m = 3, ?【评注】解有关整式整除的题目，一般都可以从以上两种解法考虑.方法一 比较容易理解，它是从数的竖式除法计算中延伸出来的一种解法，只要余式为 零，那么两式子其中的一个就能被另一个整除；方法二也是解整式的一种常用 技巧，其采用了方程的思想，然后利用两个多项式相等即可求出待定参数.在假 设另外一个式子时，要注意题目中所用到的技巧，方法二中并没有假设mx 4 + bx 3 + 1 = (ax 2 + cx + d )( x ? 1) 2 ，考虑一下为什么.【例2.3】对任意实数x，等式ax-4x+5+b=0恒成立，求（a+b）2010=（）. （A）0 （B）1 （C）21004 （D）22008 （E）2 【解析】方法一（基本解法）：ax-4x+5+b=0 ? （a-4）x+（5+b）=0，又对 任意实数x，等式是恒成立的，故有a=4，b=-5，有a+b=-1，从而（a+b）2010=1， 选B. 方法二（特值法）：由于对任意实数x，等式ax-4x+5+b=0恒成立，那么可 以取x=1，那么原式转化为a-4+5+b=0 ? a+b=-1，所以（a+b）2010=1，选B. 【评注】对于这类整式题目的计算是比较灵活的，只要抓住所要求的结论，37 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义进而向上寻找到关键的条件，即可计算出来.必要时可以考虑特殊值，但要注意 并不是所有的这类计算特殊值法都有效.x2 ? y 2 ? z 2 ?2 x ? 2 y ? z = 0, 【例2.4】已知 ? 则分式 2 x + y2 + z2 ? x + 2 y + z = 0,（A）-2 （B）-1 （C）0 （D）1 （E） 【解析】方法一（基本解法）：显然有1 2=（）.? x = 0, 0 2 ? y 2? (?2 y ) 2 ?5 = = ?1, 选B. 故 2 ? 2 2 5 ? z = ?2 y, 0 + y + (?2 y )方法二（特殊值法）：显然x=0，y=1，z=-2满足已知的方程组，故x 2 ? y 2 ? z 2 0 2 ? 12 ? (?2) 2 = = ?1 ，选B. x 2 + y 2 + z 2 0 2 + 12 + ( ?2) 2【题型2】考察分式化简 【解题提示】分式化简的关键在于分解因式.所以因式分解是整}
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（2014o四川模拟）函数f（x）=aex+b，g（x）=ax2-2x-2（其中a，b∈R，a≠0），设函数F（x）=f（x）og（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，解关于x的不等式F（x）＞0；（Ⅱ）当a＞0，b=0时，求函数F（cos2x）的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＞2），使得函数F（x）在[m，n]上的值域是[，]？试着说明你的理由．
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（Ⅰ）f′（x）=aoex，则f′（0）=a，由于f′（a）在x=0处的切线方程为&y=x+1，所以a=1，f&（0）=a+b=1，所以b=0，则f&（x）=ex，g（x）=x2-2x-2，所以F（x）=ex（x2-2x-2）．不等式F（x）＞0，等价于x2-2x-2＞0，解得x＜1-，或者x＞1+．所以不等式F（x）＞0的解集为…（4分）（Ⅱ）当a＞0，b=0时，F（x）=aex（ax2-2x-2），2(x-2a)(x+2)oex．设t=cos2x（0≤t≤1），则转换为只需求得a＞0时，函数y=F（t）（0≤t≤1）的最小值．令F′（t）=0，则，有：
（-∞，-2）
↗由上表可知，函数y=F（t）（0≤t≤1）在处取得极小值．当，即0＜a≤2时函数y=F（t）在（0，1）上是减函数，最小值为F（1）=a（a-4）e．当，即a＞2时，函数y=F（t）的极小值即为最小值，2a．故当0＜a≤2，函数F（cos2x）最小值为a（a-4）e；当a＞2时，最小值为<table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="marg
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（Ⅰ）根据函数f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，求出a，b，可得F（x），即可解关于x的不等式F（x）＞0；（Ⅱ）当a＞0，b=0时，F（x）=aex（ax2-2x-2），2(x-2a)(x+2)oex．设t=cos2x（0≤t≤1），则转换为只需求得a＞0时，函数y=F（t）（0≤t≤1）的最小值；（Ⅲ）由（Ⅰ）得F（x）=ex（x2-2x-2），当x＞2时，假设存在区间[m，n]使得函数y=F（x）在[m，n]的值域为[，]，进而问题转化为“方程ex（x2-2x-2）=有两个不大于2的不等实数根”，构造新函数u（x）=ex（x2-2x-2）-（x＞2），求出导数后，判断出函数u（x0）在（2，+∞）上只有一个零点，不存在两个不相等的实数根，与假设矛盾，故可得证．
本题考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评：
本题主要考查了导数的应用：利用导数求函数的极值及判断函数的单调性、求最值等，当导数中含有参数时需要分类讨论，考查运算求解能力和推理论证能力；考查化归与转化思想和分类讨论的思想，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．
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[fāng chéng]
方程（equation）是指含有的。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个。在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。[1]
方程数学术语
早在3600年前，人写在草纸上的数学问题中，就涉及了方程中含有未知数的等式。[2]
公元825年左右，的数学家阿尔·花拉子米曾写过一本名叫《》的书，重点讨论方程的解法。
方程中文一词出自古代数学专著《》，其第八卷即名“方程”。“方”意为并列，“程”意为用表示竖式。
卷第八（一）为：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？（现今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？）
答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。
以上是出自《九章算术》中的三元一次方程组，并展示了用“遍乘直除”来消元以解此方程组。
魏晋时期的大数学家在公元263年前后为《九章算术》作了大量注释，介绍了方程组：二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。他还创立了比“遍乘直除”更简便的“互乘相消”法来解方程组。
方程是含有未知数的等式，这是小学教材中的逻辑定义，而含未知数的等式严格说不一定是方程，如0x=0。方程严格定义如下:
的等式，其中
是在定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是。
方程方程与等式的关系
方程一定是等式，但等式不一定是方程。
例子：a+b=13 符合等式，有未知数。这个是等式，也是方程。
1+1=2 ，100×100=10000。这两个式子符合，但没有未知数，所以都不是方程。
在定义中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2，100×100=10000，都是等式，显然等式的范围大一点。
方程解方程依据
1.变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘；
2.等式的基本性质
等式两边同时加(或减)同一个数或同一个，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则：(1)
等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则：
a×c=b×c 或
若a=b,则b=a（等式的）。
若a=b,b=c则a=c（等式的）。
方程解方程步骤
方法一：1.能计算的先计算； 2.——计算——结果
方法二：从前往后算，算到只剩一个数时便可直接计算。
方程相关概念
方程式或简称方程，是含有的等式。即：⒈方程中一定有含一个或一个以上未知数的代数式；2.是等式，但等式不一定是方程。
未知数：通常设x.y.z为未知数，也可以设别的，全部小写字母都可以。
“”：方程中次的概念和的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项。而次数最高的项，就是方程的次数。
“解”：方程的解，指使，方程的根是方程两边相等的未知数的值，指一元方程的解，两者通常可以通用。
：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，或说明方程无解的过程叫解方程。
方程中，叫做恒等方程，叫做矛盾方程。在未知数等于某特定值时，恰能使两边的值相等者称为，例如 ，在 时等号成立。使方程左右两边相等的的值叫做方程的解。
同解方程：
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
方程的同解原理：
⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是。
⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做方程。
方程一元一次方程
只含有一个未知数，且未知数次数是一的叫（linear equation with one unknown）。通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。
去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据。
移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样：（比方）从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知数移到一起！
将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。
化为一 方程两边同时除以未知数的系数。
得出方程的解。
（注：解方程时最好把等号对齐）
方程教学设计
使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题
培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力
使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．
一、从学生原有的认知结构提出问题
在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？
为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．
例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3．
答：某数为3．
(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)
解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．
解：(3-1)x=2+4
解之，得x=3．
答：某数为3．
纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．
本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．
二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉？
师生共同分析：
本题中给出的已知量和未知量各是什么？
已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)
若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？
上述分析过程可列表如下：
解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，
x-15%x=42500
解：(1-15%)x=42500
85%x=42500
x=42500÷85%
所以 x=50000．
答：原来有 50000千克面粉．
此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？
(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)
教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程
(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．
依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：
(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系；用字母(如x)表示题中的未知数
(2)根据题意找出相等关系．(这是关键一步)
(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等
(4)求出所列方程的解
(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．
方程二元一次方程
7年级数学下册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到。在人教版九年级上英语讲爱因斯坦时也会涉及
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。
定义：由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组(system of linear equation of two unknowns)。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7
把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7
∴x=-24/7，y=59/7
这种解法就是代入消元法。
例：解方程组x+y=9① x-y=5②
解：①+②，得2x=14，即x=7
把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2
∴x=7，y=2
这种解法就是加减消元法。
的解有三种情况：
1.有一组解
如方程组x+y=5① 6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。
2.有无数组解
如方程组x+y=6① 2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的根”），所以此类方程组有无数组解。
如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
方程一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。
由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。
方程一般形式
一般解法有四种：
⒈公式法（直接开法）
十字相乘法能把某些二次分解因式。这种方法的关键是把a分解成两个a1,a2的积a1·a2，把c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解时，要注意观察，尝试，并体会它实质是的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
例1 把2x?-7x+3分解因式。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取)：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解为：2x?-7x+3=(x-3)(2x-1)。
一般地，对于二次三项式ax?+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式ax?+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即：
ax?+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
①x?+（p+q）x+pq 型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x?+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx?+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
kx?+mx+n=(ax+b)(cx+d)
1．直接开法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用解形如(x-m)?=n(n≥0) 的
方程，其解为
2．：用配方法解方程ax?+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax?+bx=-c
将二次项系数化为1：x?+(b/a)x=-c/a
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x?+(b/a)x+(b/2a)?=-c/a+(b/2a)?
方程左边成为一个完全平方式右边通过计算得到一个常数：(x+b/2a)?=-c/a+(b/2a)?
最后使用直接开平方法求解
3．：把一元二次方程化成一般形式，然后计算△=b?-4ac的值，当b?-4ac&0时，无解；方程当b?-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式
就可得到方程的根。
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解的方法叫做。
二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的方程。
方程三元一次方程
与二元一次方程类似，三个结合在一起的共
含有三个未知数的一次方程。
与二元一次方程类似，可以利用消元法逐步消元。
方程典型题析
某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费。某月甲用户比乙用户多缴水费16元，乙用户比丙用户多缴水费7.5元。已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲。乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?
解：设甲用水x吨，乙用水y吨，丙用水z吨
显然，甲用户用水超过了20吨
故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23
乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9
丙缴费：0.9z
2.4x-23=1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
3x-2y=40……(1)
16y-9z=145……(2)
由(1)得x=(2y+40)/3
所以设y=1+3k,3&k&7
当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7
当k=5,y=16,代入(2),z没解
当k=6,y=19,代入(2),z没整数解
所以甲用水22吨，乙用水13吨，丙用水7吨
甲用水29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元&/CA&
方程多元一次方程
方程消元法
……………………
……………………
把方程(1)×(-i1/a1)加到（i）上，再把方程(2)×(-i2/a2)加到（i）上，以此类推。(i∈N且i∈[1，m])
最后的许多0=0可以舍去，不影响方程的解。可以分三种情况：
（1）cr+1 ≠0
此时，满足前r各方程的任意一个解，都不能满足0=cr+1这个方程，所以②无解，所以①也无解
当cr+1=0时，又分两种情况：
因为bii≠0,所以从最后一个方程可解出xn。然后第r-1个方程,解出xn-1。如此类推，可得出方程组②的唯一解，就是方程组①的唯一解。
可把方程组该成他的同解方程组③：
b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1r xr=c1-b1,r+1 xr+1-…-b1n xn
b22 x2+b13 x3+…+b2n xr=c2-b2,r+1 xr+1-…-b2n xn
………………
brr xr=cr-br,r+1 xr+1-…-brn xn
设等号后面的数是已知数，按照（2）的方法来解，可解得：
x1=d11 xr+1+d12 xr+2+…+d1,n-r xn
x2=d21 xr+1+d22 xr+2+…+d1,n-r xn
………………
xr=dr1 xr+1+dr2 xr+2+…+dr,n-r xn
令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程组的全部解：
x1=d11 k1+d12 k2+…+ d1,n-r kn-r
x2=d21 k1+d22 k2+…+d1,n-r kn-r
………………
xr=dr1 k1+dr2 k2+…+dr,n-r kn-r
方程其他解法
克莱姆法则
（此法只适用于m=n且D≠0的方程组）
设系数行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的
那么xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])
矩阵和向量解法
解法即把方程组①的进行初等行变化。
解法即把方程组①改写成Ax=b的形式。
先求出方程组的特解η，然后求其对应Ax=0的解ξ1，ξ2，…，ξn。
方程组的解为：η+c1ξ1+c2ξ2+…+cnξn。
方程直线方程
(1)一般式： Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线
直线l1：A1x+B1y+C1=0
直线l2：A2x+B2y+C2=0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)： 知道直线上一点(x0,y0),并且k存在，则直线可表示为 y-y0=k(x-x0)。当k不存在时，直线可表示为 x=x0
(3)： 若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/b=1。所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线 。
(4)： y=kx+b (k≠0)
(5)：若直线过任意两点(x1,y1)、(x2,y2)，且 x1≠x2,y1≠y2，则直线可以表示为
(6)： x·cosα+ysinα-p=0
一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项规定不等于0
n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（除外）
一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）
一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）
n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）
n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）
方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做（组），此类方程（组）一般有无数个解。
方程鸡兔同笼问题
方程解法公式
解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数
总只数－鸡的只数=兔的只数
解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数
总只数－兔的只数=鸡的只数
解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=兔的只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法5（方程）：X=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=兔的只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法6（方程）：X=（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=鸡的只数）
总只数－鸡的只数=兔的只数
方程方程解法
若用方程解，公式为：鸡脚+兔脚=总脚数。
例笼中共有30只鸡和兔，数一数足数正好是100只。问鸡和兔各有多少只？
解：设鸡为x只，则兔为(30-x)只。
2x+(30-x)×4=100
解： 2x+120-4x=100
120-2x=100
30-10=20（只）
答：鸡有10只，兔有20只。
例笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只。问鸡兔各有多少只？
解：设兔为x只，则鸡为(100-x)只。
4x+(100-x)×2=248
解：4x+200-2x=248
2x+200=248
100-24=76（只）
答：鸡有76只，兔有24只。
方程微分方程
微分方程指描述未知函数的与之间的关系的。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。详见
微分方程是将一些函数与其导数相关联的数学方程。在应用中，函数通常表示物理量，衍生物表示其变化率，方程定义了两者之间的关系。因为这种关系是非常常见的，微分方程在包括工程，物理，经济学和生物学在内的许多学科中起着突出的作用。
在纯数学中，微分方程从几个不同的角度进行研究，主要涉及到它们的解 - 满足方程的函数集。只有最简单的微分方程可以通过显式公式求解;然而，可以确定给定微分方程的解的一些性质而不找到其确切形式。
如果解决方案的自包含公式不可用，则可以使用计算机数值近似解决方案。动力系统理论强调了微分方程描述的系统的定性分析，而已经开发了许多数值方法来确定具有给定精确度的解决方案。[3]
方程普通微分方程
普通微分方程或ODE是包含一个独立变量及其导数的函数的方程式。与“偏微分方程”相比，术语“普通”与对于多于一个的独立变量相关。
具有可以被加上和乘以系数的解的线性微分方程被明确定义和理解，并且获得精确的闭合形式的解。相比之下，缺乏添加剂解决方案的ODE是非线性的，解决它们是非常复杂的，因为很少以封闭形式的基本函数表示它们：相反，ODE的精确和分析解决方案是串联或整体形式。通过手动或计算机应用的图形和数值方法可以近似ODE的解，并且可能产生有用的信息，通常在没有精确的解析解的情况下就足够了。
方程偏微分方程
偏微分方程（PDE）是包含未知多变量函数及其偏导数的微分方程。 （这与处理单个变量及其派生词的函数的普通微分方程相反）。PDE用于制定涉及几个变量的函数的问题，或者手动解决或用于创建相关的计算机模型。
PDE可用于描述各种各样的现象，如声，热，静电，电动力学，流体流动，弹性或量子力学。这些看似不同的物理现象可以在PDE方面类似地形式化。正如普通微分方程常常模拟一维动力学系统一样，偏微分方程通常模拟多维系统。 PDEs在随机偏微分方程中找到它们的泛化。[4]
A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply &equations&)&. <>, in Mathematics Dictionary, Glenn James et Robert C. James (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, p. 131.
．中国知网[引用日期]
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Thomas, George B., and Finney, Ross L., Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Co., fifth edition, 1979, p. 91.
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2014考研专硕管理类联考基础数学讲义
2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义第一章第一节知识点一：整数及其运算算 术整 数1、实数：有理数和无理数统称为实数。数轴上每个点都代表一个实数，实数与数轴上的点 事一一对应关系。实数集符号：R。2、有理数：整数和分数统称为有理数。另述为：有先小数和无限循环小数统称为有理数。 特别说明：能够用两个整数比A 表示的数为有理数。有理数集符号：Q。 B3、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 ★无理数的错误认识： （1）无限小数就是无理数。因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类．如 1.414141? ? ?(41 无限循环）是无限循环小数，而不是无理数； （2）带根号的数是无理数。如 4 , 9 ，虽带根号，但开方运算的结果却是有理数，所以4 , 9 是无理数；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数。如 3+ 2 ，3- 2 都是无理数，但它 们的积却是有理数，再如 π和2π 都是无理数，但 但2+(- 2) 却是有理数；π 却是有理数， 2和- 2 是无理数； 2π（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来。每一个无理数在数轴上都有 一个唯一位置，如 2 ，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理 数也是如此； （5）无理数比有理数少。虽然无理数在人们生产和生活中用的少一些，但并不能说无理数 就少一些，实际上，无理数也有无穷多个． 4、自然数：0，1，2，3，…。特别说明：0是自然数。自然数集符号：N；正整数集符号：N + 或N * 。5、整数Z：…，-2，-1，0，1，2…。整数集符号：Z。 6、相反数：如果 a 表示一个正实数，－a 表示一个负实数。a 与－a 互为相反数，也就是说， a 与－a 可以表示任意一对互为相反数的数。如果 a，b 互为相反数，则 a=－b。规定：0 的1 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义相反数是 0。1 7、倒数：如果a表示一个非零数，那么a与 a 互为倒数。如果a与b互为倒数，则ab=1。0没有倒数。 8、数的分类： （1）按可比性分类：? ? ?正整数 ? ?正有理数? ? ?正分数 ? ?有理数?0 }有限小数，无限循环小数 ? ? ? ? 负整数 实数? ?负有理数? ? ? ? ?负分数 ? ? ? ?正无理数 ?无理数? }无限不循环小数 ? ?负无理数 ?（2）按正负数分类? ? ?正整数 ? ?正有理数? ?正实数? ?正分数 ? ? ?正无理数 ? ? 实数?0 ? ? ?负整数 ? 负有理数? ? ?负实数? ?负分数 ? ? ? ?负无理数 ?（3）有理数分类如下：? ?正整数 ?正数? ?正分数 ? ? 有理数?0 ? 负整数 ?负数? ? ? ?负分数 ?? ?正整数 ? ? ?整数?0 ? ?负整数 有理数? ? ? 正分数 ?分数? ? ? ?负分数 ?知识点二：整除、公倍数、公约数1、整除：若整数“a” 除以大于 0 的整数“b”，商为整数，且余数为零。 我们就说 a 能 被 b 整除（或说 b 能整除 a） ，记作 b|a，读作“b 整除 a”或“a 能被 b 整除”．注意 a or b 作除数的其一为 0 则不叫整除。 ★整除的性质： （1）如果 a 与 b 都能被 c 整除，那么 a+b 与 a-b 也能被 c 整除； （2）如果 a 能被 b 整除，c 是任意整数，那么积 ac 也能被 b 整除； （3）如果 a 同时被 b 与 c 整除，并且 b 与 c 互质，那么 a 一定能被积 bc 整除．反过来也 成立．2 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义★整除规则： 整除规则第一条（1）：任何数都能被 1 整除。 整除规则第二条（2）：个位上是 2、4、6、8、0 的数都能被 2 整除。 整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。 整除规则第四条（4）：最后两位能被 4 整除的数，这个数就能被 4 整除。 整除规则第五条（5）：个位上是 0 或 5 的数都能被 5 整除。 整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被 2 和 3 整除，那么这个数就能被 6 整除。 整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，差 是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。 整除规则第八条（8）：最后三位能被 8 整除的数，这个数就能被 8 整除。 整除规则第九条（9）：每一位数字之和能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。 整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是 0，则这个数能被 10 整除 整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除，则这个数能被 11 整除。11 的倍数检验法也可用上述检查 7 的「割尾法」处理！ 过程唯一不同的是：倍数不是 2 而是 1！ 整除规则第十二条（12）：若一个整数能被 3 和 4 整除，则这个数能被 12 整除。 整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位 数的 4 倍，如果差是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。如果差太大或心算不易看出是 否 13 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判 断为止。 整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个 位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。如果差太大或心算不易看出 是否 17 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚 判断为止。b 若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除，则这个 数能被 17 整除。 整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个 位数的 2 倍，如果差是 19 的倍数，则原数能被 19 整除。如果差太大或心算不易看出 是否 19 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚 判断为止。b 若一个整数的末三位与 7 倍的前面的隔出数的差能被 19 整除，则这个 数能被 19 整除。 整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23 整 除，则这个数能被 23 整除 整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 29 整 除，则这个数能被 29 整除3 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被 73 整除，则这 个数能被 73 整除 整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被 137 整除，则这 个数能被 137 整除 整除规则第二十条（20）：若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23(或 29)整除，则这个数能被 23 整除 ★特别注意：切记：0 不能做除数！ 2、公倍数： 在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它 们的公倍数。这些公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 解析：A 和 B A/B=C 如果 A 能被 B 整除，则 A 为 B 和 C 的公倍数 两个数 A 和 B， 它们的公倍数就是既是 A 的倍数又是 B 的倍数的数，即能同时被 A、B 整除的数 比如 说：12 和 15，它们的公倍数是 60，120，180，等等 在这些公倍数中最小的那一个 就叫最小公倍数，就是 60。 如何求最小公倍数？ 首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果 有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。 比如求 45 和 30 的最小公倍数。 45=3*3*5 30=2*3*5 不同的质因数是 2,3,5。3 是他们两者都有的质因数，由于 45 有两个 3，30 只有 一个 3，所以计算最小公倍数的时候乘两个 3. 最小公倍数等于 2*3*3*5=90 又如计算 36 和 270 的最小公倍数 36=2*2*3*3 270=2*3*3*3*5 不同的质因数是 5。2 这个质因数在 36 中比较多，为两个，所以乘两次；3 这个 质因数在 270 个比较多，为三个，所以乘三次。 最小公倍数等于 2*2*3*3*3*5=540 例题：有一些砖,长宽高分别是 15、12、6,请问怎样摆,才能够摆成一个最小的正方 体. 解：15、12、6 的最小公倍数是 60,所以最小的正方体棱长为 60.长需 4 块,宽需 5 块, 高需 10 块.所以最少需要 200 块. 如何求三个数的最小公倍数？ 示例：短除的竖式4 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义所以：8、12 和 30 的最小公倍数是 2×2×2×3×5＝120。 另解： 8=2*2*2 12=2*2*3 30=2*3*5 所以：8、12 和 30 的最小公倍数是 2×2×2×3×5＝120。 3、公约数 公约数，亦称“公因数”。是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时 是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公 约数。 两个整数的最大公约数方法： 两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来。 例如：24 和 32 24=2*2*2*3 32=2*2*2*2*2 所以最大公约数为：2*2*2=8 知识点三：奇数、偶数 1、整数中，能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数，偶数可用 2k 表示，奇数 可用 2k+1 表示，这里 k 是整数。 奇数包括正奇数、负奇数。 2、关于奇数和偶数，有下面的性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数。 （2）奇数跟奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数。 （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数。 （4）若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性，即 a+b 与 a-b 同为奇数或同为 偶数。 （5）n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n 的倍数；顺式中有一个是偶数， 则乘积是偶数，即：A＊B＊C＊…＊偶数＊X＊Y＝偶数，式中 A、B、C、…X、Y 皆为 整数，公式可简化为：奇数＊偶数＝偶数。 (6) 奇数的个位是 1、3、5、7、9；偶数的个位是 0、2、4、6、8.（0 是个特殊的偶 数。2002 年国际数学协会规定,零为偶数.我国 2004 年也规定零为偶数。小学规定 0 为最小的偶数,但是在初中学习了负数,出现了负偶数时,0 就不是最小的偶数了.） （7）奇数的平方除以 8 余 15 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义知识点四：质数、合数1、质数又称素数。指在一个大于 1 的自然数中，除了 1 和此整数自身外，没法被其他自然 数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1 和自己）的自然数即为素数。比 1 大但不是素 数的数称为合数。1 和 0 既非素数也非合数。 2、质数与合数有如下重要性质： （1）质数和合数都在正整数范围，且有无数多个. （2）2是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的偶质数.大于2的质数必为奇数.质数 中只有一个偶数2，最小的质数为2. （3）若质数pa?b，则必有pa或pb.（注：pa表示p是a的约数） （4）若正整数a，b的积是质数p，则必有a=p或b=p. （5）1既不是质数也不是合数。 （6）如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数， 那么其中也必有一个是2. （7）最小的合数为4.任何合数都可以分解为几个质数的积，能写成几个质数的积的正整数 就是合数. 3、互质数：公约数只有1的两个数称为互质数. 补充资料： 哥德巴赫猜想 （Goldbach Conjecture) （a）所有的不小于 6 的偶数， 都可以表示为两个奇素数之和 (一般用代号“1+1”表示)。（b）每个不小于 9 的奇 数都可以表示为三个奇素数之和。问题的第二部分，利用解析数论中的圆法估计，已 被证明。 真正困难的是第一部分。第二节A 。 B分数、小数、百分数1、把单位“1”或整体“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。 表示为：2、真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。 3、假分数：分子比分母大的分数叫假分数，假分数大于 1 或等于 1。 4、带分数：整数与真分数相加所成的分数（或真分数与假分数相加化简后的分数）。 带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。带分数也是分数的一种。 注意： 不能将带分数写作整数部分+一个假分数。例如： 4 。 5、小数：由整数部分、小数部分和小数点组成。 6、纯小数：整数部分是零的小数如 0.1，绝对值一定小于 1。 如：0.12；0.945；0.403 等 7、带小数：整数部分是 1 或 1 以上的小数如 1.1，绝对值一定大于等于 1。 如：1.；1.43 等 8、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断 地重复出现。61 3 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义9、循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字 叫做这个循环小数的循环节。例如：0.33 ……循环节是“3” 也表示为： 0. 3 2.14242……循环节是“42”,表示为： 2.1 4 2 。 10、纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。（例如：0.666……） 11、混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。（例如：0.5666……） ★循环小数如何化为分数呢？ 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．纯循环小数化为分数的 方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是 9，9 的个数等于一个循 环节的位数． 例如 0.3 =3 1 189 7 = ， 0.189 = = ． 9 3 999 37? ? ?如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混 循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的 数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个 9，再在 后面按不循环部分的位数添写几个 0 组成的数． 例如 0.918 =918 ? 9 101 239 ? 23 6 35135 ? 35 35100 13 = 0.239 = 0.35135 = ， = ， = = ． 990 110 900 25
37由此可知，任何一个循环小数都可化为分数． 在解题过程中，为了便于运算，有时需要将小数化为分数． 例 在计算一个正数乘以 3.57 的运算时，某同学误将 3.57 错写作 3.57，结果与正确答 案相差 1.4．则正确的乘积结果是______． 解：设这个正数为 x ，依题意，得3.57 x ? 3.57 = 1.4 ． 57 ? 5 52 因为 3.57 = 3 + =3 ， 90 90所以上述方程可化为 352 57 x?3 x = 1.4 ． 90 100解得 x = 180 ． 所以正确的乘积结果应为3.57 × 180 = 322 × 180 = 644 ． 90试一试： 在计算一个正数乘以 3.729 的运算时，某同学误将 3.729 错写作 3.729 ，结果与正确答案 相差 0.01．求正确的乘积结果． （答案：138） 12、百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。百分数通常 不写成分数的形式，而采用符号“％”（叫做百分号）来表示。7 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义第三节比与比例1、比：等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b） ； 2、比例：由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同。 （如： a:b=c:d） 。 3、二者区别：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。 4、增长率和下降率： 如果一个数 a 增长 p%，则增长后值为：a（1+p%） 如果一个数 a 下降 p%，则增长后值为：a（1-p%） 注意：甲?乙 = p% ； 乙 甲是乙的 p%表示为：甲 = 乙 × p% ；甲比乙大 P%应该为： 例题 1： 方案一：一件商品价格，先增加 p%，然后再降 p%。 方案二：一件商品价格，先降 p%，然后再涨 p%。 问： 1、方案一与方案二的最终价格哪个高？ 2、该商品通个方案一或方案二运作后，价格比原价高还是低？ 例题 2： 若甲比乙大 p%，那么乙比甲小_______ 若甲比乙小 p%，那么乙比甲大_________ 例题 3： 一件商品提高 p%，再降______能恢复原价。 一件商品降低 p%，再升______能恢复原价。 5、正比、反比例函数： 若 y=kx（k≠0） ，则称 y 与 x 成正比，k 称为比例系数；k （k≠0） ，则称 y 与 x 成正比，k 称为比例系数； x 6、推论： a：b = c：d ? ad = bc a b a c 7、更比定理： a：b = c：d ? a：c = b：d； = ? = b d c d b d a c 8、反比定理： a：b = c：d ? b：a = d：c； = ? = b d a c a c a+b c+d 9、合比定理： = ? = b d b c a c a?b c?d 10、分比定理： = ? = b d b c a+b c+d a c 11、合分比定理： = ? = b d a -b c-d a c e a+c+e 12、等比定理： = = = k ? =k b d f b+d+f若y =8 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义【特别注意：成立的前提是分母不能为零】b + c ? 3a a + c ? 3b a + b ? 3c = = = m ，求 m 的值。 b c a - (a + b + c) 解：当 a + b + c ≠ 0 时，原式根据等比定理= = m = -1； a+b+c 当 a + b + c = 0 时，则 a+b=-c，带入原式可得 m=-4；例：已知非 0 常数 a、b、c 满足， 例题 14：设 ： ： = 4 : 5 : 6 ，则使 x + y + z = 74 成立的 y 值是： (A)24 （B）36 （C）74/3 (D)37/21 1 1 x y za a+m a &1 ，则 & b b+m b 13、增减性： （a，b 均为正） a a+m a 若 &1 ，则 & b b+m b 若第四节数轴与绝对值1、规定了唯一的原点（origin） ，唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴。2、相反数：在数轴上表示互为相反数（0 除外）的点位于原点的两旁，并且关于原 点对称。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 0 的相反数是 0 3、绝对值：a 的绝对值用“|a |”表示．读作“a 的绝对值”。 如：|－2|读作负二 的绝对值。 4、绝对值几何意义 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：指在数轴上 表示的点与原 点的距离，这个距离是 5，所以的绝对值是 5，又如指在数轴上表示 1.5 的点与原点 的距离，这个距离是 1.5，所以 1.5 的绝对值是 1.5。 5、绝对值代数意义z正数和 0 的绝对值是它本身；9 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义z 负数的绝对值是它的相反数； z 0 的绝对值是 0 6、绝对值的以下有关性质： （1）任何有理数的绝对值都是大于或等于 0 的数，这是绝对值的非负性。 （2）绝对值等于 0 的数只有一个，就是 0。 （3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。 （4）互为相反数的两个数的绝对值相等。【经典例题】【题型一】考查质数、合数、奇数、偶数的性质 【例1.1】记不超过15的质数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（）. （A）5 （B）7 （C）8 （D）11 （E）9 【解析】首先求出不超过15的质数为：2，3，5，7，11，13，然后根据平均数的公式：2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 =6.83≈7，从而选B. 6【例1.2】某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3加上右手中石子数乘4之和 为29，则右手中石子数为（） （A）奇数 （B）偶数 （C）质数 （D）合数 （E）以上结论平均不正确 【解析】根据题意，得到：左×3+右×4=29（奇数），可以得到：右=（29-左×3）/4为整 数，所以当左手中的石子数为3或7时，才能整除，得到右手中的石子数为5或2.因为2和5都 是质数，从而选C. 【评注】如果这个题目问：左手中石头数，又如何分析？ 【例1.3】一班同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学， 则这班的同学人数（）. （A）一定是4的倍数 （B）不一定是4的倍数（C）一定不是4的倍数 （D）一定是2的倍数，不一定是4的倍数（E）以上结论均不正确 【解析】根据题意得到同学的排列规律：…男男女女男男女女…，也就是说有偶数个男生 和偶数个女生，并且男生的人数等于女生的人数，所以全班人数一定是4的倍数，从而选A. 【题型2】考查数的整除 【解题提示】数的除法一般要涉及到余数问题，当余数为零时，就称为整除. 【例1.4】若n是一个大于100的正整数，则 n 3 -n一定有约数（）. （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）9 【解析】 n -n=（n-1）n（n+1），根据定理：连续两个整数乘积一定能被2整除，连续3个 整数乘积一定能被3整除，连续4个整数乘积一定能被4整除，…，连续k个正整数乘积能被k 整除.从而得到（n-1）n（n+1）能被3整除，所以选B. 【例1.5】正整数N的8倍与5倍之和，除以10的余数为9，则N的最末一位数字为（）. （A）2 （B）3 （C）5 （D）9 （E）4 【解析】8N+5N=13N，能被10除余9，说明13N的个位为9，得到N的个位为3，从而选B. 【例1.6】9121除以某质数，余数得13，这个质数是（）. （A）7 （B）11 （C）17 （D）23 （E）19103 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义【解析】将8分解得到×396=23×11×36，质数为23，所以选D. 【评注】在分解因式的时候，一定要分解出比13大的质数，因为余数要比除数小. 【题型3】计算含绝对值代数式的值 【解题提示】掌握并灵活应用去掉绝对值符号的三种方法：（1）确定绝对值符号内式子的 符号，根据绝对值定义去掉绝对值符号；（2）利用平均法去掉绝对值符号；（3）根据绝 对值的几何意义去掉绝对值符号. 【例1.7】若a-c&b（abc≠0），则下列不等式成立的是（）. （A）a&c-b （B）a&b+c （C）a&b+c （D）a&b-c（E）a &b+c 【解析】根据a-c≤a-c&b，移项得到a&b+c，从而选C. 【例1.8】已知a-1=3，b=4，b&ab，则（a-1）-b=（）. （A）1 （B）7 （C）5 （D）16 （E）3 【解析】根据ab-b&0，得b（a-1）&0，从而（a-1）-b=a-1+b=3+4=7，选B. 【评注】如果改为b&ab，又如何思考？ 【题型4】考察绝对值的非负性质 【解题提示】掌握两点：（1）有限个非负数之和为零，则每个非负数必等于零；（2）有 限个非负数之和仍然为非负数. 2 【例1.9】已知x-y+1+（2x-y） =0，那么logyx=（）. （A）1 （B）0 （C）5 （D）16 （E）7? x ? y + 1 = 0, ? x = 1, 所以 ? 得到log 1=0，选B. 【解析】根据非负性质，得到 ? ?2 x ? y = 0, ? y = 2,2【例1.10】x，y，z满足条件x +4xy+5y + z +2 21 z =-2y-1，则（4x-10y） 等于（）. 2（E）（A）1（B）2 （C）2 62（D）22 2【解析】 将原式变形为 （x+2y）+y + z +21 1 2 2 +2y+1=0， 配方得到 （x+2y）+ （y+1）+ z + =0， 2 21 1 ? ? ? z + 2 = 0, ?z = ? 2 , ? ? 再根据非负性质， ? y + 1 = 0, ，所以 ?y = ?1, ? x + 2 y = 0, ?x = 2. ? ? ? ?1（4×2+10） 2-1=18 2 =1 1? 2 2 = = ，从而选C. 6 18 3 2 ? 211 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义【题型5】对形如x x或x 的表达式的分析 x【解题提示】根据公式x x=x ?1, x & 0, =? ，进行求解分析. x ?? 1, x & 0,2009【例1.11】已知? abc ? a b c ? + + = 1 ，则 ? ? abc ? a b c ? ?（C）±1 （D）? bc ac ab ? ? ÷? ? ab ? bc ? ca ? 的值为（）. ? ?（A）1（B）-11 （E）不能确定 3【解析】根据a b c + + = 1 ，得到a，b，c中两正一负.不妨令a&0，b&0，c&0，代入原 a b c? ab bc ac ? ? =-1，从而选B. ? ? ? ab bc ca ? ?式=（-1）÷ ? ?a【例1.12】充分性判断： （1）a&0；（2）b&0.a?b b= ?2 .【解析】显然单独条件无法确定题目数值，联合起来得到a a=-1，b b=1，从而充分，选C.x+ y【例1.13】可以确定x? y=-2.（1）x y=3；（2）x 1 = . y 34y 2y = 2y ?2, y & 0, =? 由条件（2）得到：y=3x， y ?? 2, y & 0.【解析】由条件（1）得到：x=3y，则x + 3x则x ? 3x=4x ? 2x= ?2?? 2, x & 0, =? ，不具备充分性，选E. x ?2, x & 0. x【题型6】考查三角不等式的应用 【解题提示】根据三角不等式a-b≤a±b≤a+b进行分析解题是每年 考试的重点、难点和热点问题，处理方法可以从绝对值的运算法则、性质或几何意义入手， 也可以用分类后画图像的方式处理.注意三角不等式的推广，有限个实数之和的绝对值不大12 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义于它们的绝对值之和. 【例1.14】y-a≤2成立. （1）2x-a≤1；（2）2x-y≤1. 【解析】（2x-a）-（2x-y）≤2x-a+2x-y≤1+1=2. 两个条件联合充分，从而选C. 【例1.15】已知x∈[2，5]，a=5-x，b=x-2则b- a的取值范围是（）. （A）[-3，5] （B）[0，5] （C）[1，3] （D）[3，5]（E）[0，3] 【解析】首先根据b-a≤a+b=3，派出A、B，D.当x=3.5时，再由b-a的最 小值可以取到0，故选择E.a?b【例1.16】已知a≠b，m= （A）m&n （B）m&na ?b,n =a+b a+b, 则m，n之间的关系是（）.（C）m=n（D）m≤na+b【解析】根据a+b≤a+b，所以n=a+b≥1.又由a-b≥a-b，a?bm=a ?b≤1，所以n≥m，从而选D.【题型7】一般比例式计算问题 【解题提示】比和比例这部分内容属于算术，但在考试占有很重的比例，是必考的知识点. 一般地说，比例的有关试题都可通过设出比例系数的方法得到解决，否则解题过程随试题 难度的增大，将变得越来越复杂和繁琐.1 1 1 : : 【例1.17】设 x y z =4：5：6，则使x+y+z=74成立的y值是（）.（A）24 （B）36 （C）74 3（D）37 2（E）20【解析】方法一：这是典型的比例问题，可利用比例系数去求解.由已知有1 1 1 x = y = z =k ,即 4 5 61 ? ? x = 4k , ? 1 120 1 1 1 1 1 ? + + = 74, ? k = , 代入y = = = 24.从而选A. ,? ?y = 5k 5 120 4 k 5k 6 k 5k ? 1 ? ? z = 6k ?13 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义方法二：由题得： x: y:z =1 1 1 : : = 15 : 12 : 10 4 5 6根据x+y+z=74，得y=2×12=24. 【题型8】考察正比反比问题 【解题提示】正比反比问题要引入比例系数来分析，注意比例系数k≠0. 【例1.18】已知y=y1-y2，且y1与1 3 成反比例，y2与 成正比里.当x=0时，y=-3，又当 2 2x x+2x=1时，y=1，那么y的x表达式是（ ）. （A） y =3x 2 3 ? 2 x+23x 2 3 + 2 x+2(B)y = 3x 2 ?= ?3 x 2 ?6 x+23 x+2（C） y = 3x 2 +6 x+2（D） y = ?（E） y【解析】 根据题目得到y1 =k1 3k 2 3k 2 = 2k1 x 2 , y2 = ， 得到 y = 2k1 x 2 ? ， 根据过 （0， 1 x+2 x+2 2x23 ? ? 3 = ? k2 , ? ? 2 ? ?1 = 2k ? 3 ? 2 = 2k ? 2, 1 1 ? 3 ?-3），（1，1）点，列出方程组解出 k1=3 6 , k 2 = 2, 从而y = 3 x 2 ? , 选B. x+2 2【注意】考试时可以采用特值验证的方法求解，可以验证当x=0时，y=-3时，直接得到答案. 【题型9】求含有分式函数的最值问题 【解题提示】先验证给定函数是否满足最值三条件：（1）各项均为正；（2）乘积（或者 和）为定值；（3）等号能否取到，然后利用平均值公式求出最值. 【例1.19】求函数y = 3x +4 x23（x&0）的最小值.3 3x 3x 4 ? ? 2 =3 9 ， 2 2 x3x 3x 4 + + 2 ≥3 【解析】 y = 2 2 x3当 3 x = 3 x = 42 时，即 x 2 2 x=8 3时取到最小值.【评注】此题的变形拆分是解题的关键。在拆分的时候，为了保证取到最值，要进行平均 拆分.14 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义【例1.20】已知x，y∈R，且x+y=4，则 3 （A） 3 2 （B）18xx+ 3 y 的最小值是（（E） 6）.（C）9（D） 2 2【解析】，从 3+ 3 y ≥ 2 3 x 3 y = 2 3 x + y = 2 34 = 18 ，从而选B.（C）【例1.21】若x&0，y&0，且x+2y=4，则lgx+lgy的最大值是（）. （A）lg2 （B）2lg21 lg2 2（D）3lg2（E）lg3【解析】根据 4 =x + 2 y ≥ 2 2 xy , 得到 2 ≥xy ，xy≤2，从而lgx+lgy=lgxy≤lg2，选A. 【题型10】考察平均值的基本定义和概念 【例1.22】三个实数1，x-2和x的几何平均值等于4，5和-3的算术平均值，则x的值为（）. （A）-2 （B）4 （C）2 （D）-2或4（E）2或4 【解析】由题意得到31( x ? 2) x =4+5?3 ? x = ?2 或x=4，但x=-2要舍掉，选B. 3【评注】注意在几何平均值的概念中，要求每个元素都要为正数，而在算术平均值中无此 规定. 【例1.23】x，y的算术平均值是2，几何平均值也是2，则1 1 与 的几何平均值是（）. x y（A）2（B） 2（C）2 3（D）2 2（E）以上结论均不正确【解析】根据题目得到x=y=2，从而2 1 1 的 几何平均值为 ，从而选D. 2 x y【评注】若告知n个数的几何平均值和算术平均值相等，则这n个数相等，其值等于算术平 均值或几何平均值.x+ y 1 1 , b = (log m x + log m y ), c = log m ( x + y ) ，则c&b≥a. 2 2 2 （1）x&2，y&2； （2）0&m&1. 【解析】本题主要考察队数函数的单调性以及平均值之间的关系，对a，b，c作变形，转化【例1.24】已知 a = log m 为比较x+ y , xy , x + y 的大小： x + y ≥ xy ，又由 x + y = 1 + 1 & 1 ，所以 2 2 xy x yxy & x + y ，从而得到x+ y ≥ xy & x + y ，且当0&m&1时，y= log m x 为单 215 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义调递减函数，所以两个条件联合充分，选C.第二章第一节知识点一：整式及其运算1.代数 式的 分类：代数整式、分式? ? ?单项式 ?有理式?整式? ? ? ?多项式 代数式? ? 分式 ? ? ? 无理式 ?2.整式：分母中不含变数者,则称为整式。含有字母有除法运算的叫做分式。 3.整式的运算： （1）完全平方公式： (a ± b) = a ± 2ab + b2 2 2（2）平方差公式： a ? b = (a + b)(a ? b)2 2（3）立方差（和）公式： a ± b = ( a ± b)(a ? ab + b )3 3 2 2（4）幂运算： z 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a ÷a =a 为正整数，且 m＞n). z z z z 零指数幂：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.即 a =1(a≠0). 负整数指数幂： a?p0 m n m－n(a≠0，m，n=n1 (a ≠ 0, p ∈ N + ) p a a m (a & 0, m, n ∈ N + , 且n & 1)m nm正分数指数幂： a n = 负分数指数幂： a n =m1 a=1nam(a & 0, m, n ∈ N + , 且n & 1)16 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义z幂运算法则 a( )a ?a = am n m nm+ n(a & 0, m, n ∈ R )= a mn (a & 0, m, n ∈ R) = a m b m (a & 0, b & 0, m ∈ R)(ab )m知识点二：整式的因式与因式分解1、如果多项式 f(x) 能够被非零多项式 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)?g(x)，那么 g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的 一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。 特别注意：g(x)≠0，但 q(x) 可以等于 0（当 f(x)=0 时）。 一个数也可以看做一 个因式。 2、因式分解，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解，而把因式展开成多项式的过程叫作分解因式。 3、因式分解的方法： 【1】提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式（各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项 的公因式）可以把这个公因式提到括号外面.将多项式写成因式乘积的形式.这种分解因式 的方法叫做提公因式法.例如：am+bm+cm=m（a+b+c）. 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母 取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般 要提出负号，使括号内的第一项的系数为正. 例：解方程 ? x 3 + x 2 + 2 x = 0 解析： ? x 3 + x 2 + 2 x = 0 ? ? x( x ? x ? 2) = 0 ? ? x( x ? 2)( x + 1) = 0即2x（x-2）（x+1）=0.显然方程的根是 x1 = 0, x 2 = ?1, x3 = 2. 评注：仅仅以“提公因式”作为考点的题目比较简单，因此一般此法都要结合其他的方法 使用来分解因式. 【2】运用公式法 常用的公式有：17 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义a 2 ? b 2 = (a + b)(a ? b); a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2 ; a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ? ab + b 2 ); a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = (a ± b) 3 ; a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c) 2 ;1 a 2 + b 2 + c 2 ± ab ± bc ± ac = [(a ± b) 2 + (a ± c) 2 + (b ± c) 2 ]; 2 n n n ?1 n?2 a ? b = (a ? b)(a + a b + + ab n ? 2 + b n ?1 ), n为正整数.尤其，x n ? 1 = ( x ? 1)( x n ?1 + x n ? 2 +例：分解因式： (1) 25a b c2 4 16+ x + 1)? 1; (2)2ab ? a 2 + 4 ? b 2 ;(3)(a + b) 2 ? 4(a 2 ? b 2 ) + 4(a ? b) 2 ; (4)(2b ? 3a ) 2 + 2(3a ? 2b) + 1.解析：（1）直接利用平方差公式, 25a b c （2）先分组，再利用完全平方公式：2 4 16? 1 = (5ab 2 c 8 + 1)(5ab 2 c 8 ? 1).2ab ? a 2 + 4 ? b 2 = 4 ? (a 2 ? 2ab + b 2 ) = 4 ? (a ? b) 2 .（3）考虑到a -b =（a+b）（a-b），所以可以直接利用完全平方公式， 有（a+b） -4（a -b ）+4（a-b） =[（a+b）-2（a-b）] =（3b-a） . （4）考虑到（3a-2b）=（3a-2b）?1，而（2b-3a） =（3a-2b） ， 故（2b-3a） +2（3a-2b）+1=[（3a-2b）+1] =（3a-2b+1） . 另解，原式=（2b-3a） -2（2b-3a）+1=[（2b-3a）-1] =（2b-3a+1） . 评注：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有项能写成两个数（或 式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍. 【3】分组分解法（分组后能提公因式：分组后能用公式） 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 注意：分组分解法必须有明确的目的，即分住后可以直接提公因式或运用公式. 例：分解因式（1）a -5a+5b-ab；（2）a -3a-6b-4b . 解析：（1）a -5a+5b-ab=（a -5a）-（ab-5b）=a（a-5）-b（a-5）. （a-2b）-3（a+2b）=（a+2b） （a-2b-3）. （2）a -3a-6b-4b =（a -4b ）-（3a+6b）=（a+2b） 【4】十字相乘法182 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义用于分解abx +（bp+aq）+pq型的式子.这类二次三项式的特点是：二次项的系数、常数 项是两个数的积；一次项系数是二次项系数的因数与常数项系的因数乘积的和.特殊情况 时，二次项的系数为1.分解出来，abx +（bp+aq）x+pq=（ax+p）（bx+q）. （2）6x -7x-5； （3）x -13xy-30y ； （4）x +y +2xy-x-y-6. 例：分解因式： （1）7x -19x-6； 解析：（1）7x -19x-6=（7x+2）（x-3）. （2）6x -7x-5=（2x+1）（3x-5）. （3）x -13xy-30y =（x-15y）（x+2y）. （4）x +y +2xy-x-y-6=（x+y）*-（x+y）-6=（x+y-3）（x+y+2）. 【5】配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以将其配成一个完全平方式，然后再利用 平方差公式，就能将其因式分解. 例：分解因式：a +3a-40. 解析：a +3a-40=（a+ 【6】拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原 式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等 的原则上进行变形. 例：分解因式：（1）x -9x+8；（2）x +x +x -3； （3）bc（b+c）+ac（c-a）-ab（a+b）；（4）a b-ab +a +b +1. 解析（1）把8拆成-1+9，则有 X -9x+8=x -9x-1+9=（x -1）-（9x-9）=（x-1）（x +x-8）. （2）把-3拆成-1-1-1，有 （x +2x +3）=（x-1） （x +x+1） （x +2x +3）. X +x +x -3=（x -1）+（x -1）+（x -1）=（x -1） （3）补两项-a+a，有bc（b+c）+ac（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ac（c-a）-ab（a+b） （a+b） （b+c）. =bc（c-a）+bc（a+b）+ac（c-a）-ab（a+b）=（c-a） （ab+b +ac+bc）=（c-a） 补两项ab-ab，有 A b-ab +a +b +1=（a b-ab ）+（a -ab）+（ab+b +1）193 3 2 2 3 3 2 2 2 9 6 3 9 6 3 3 6 3 2 6 3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 9 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 223 2 9 3 2 169 ） - -40=（a+ ） =（a+8）（a-5）（用十字相乘法更好） 2 4 2 4 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b +1） =a（a-b）[b（a+b）+1]+（ab+b +1） =（ab+b +1）[a（a-b）+1] =（a -ab+1）（ab+b +1）. 【7】待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把 多项式因式分解. 例：因式分解：2x +3xy-9y +14x-3y+20. 解析方法一：因为2x +3xy-9y =（2x-3y）（x+3y）， 采用待定系数法，可设 2x +3xy-9y +14x-3y+20=（2x-3y+a）（x+3y+b），a、b是待定的系数，比较右边和左 边的x和y两项的系数，得 a+2b=14， 3a-3b=-3，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22a=4 b=5所以2x +3xy-9y +14x-3y+20=（2x-3y+4）（x+3y+5. 方法二：原式=2x +（3y+14）x-（9y +3y-20），将其看作是关于X的二次三项式， 常数项可分解为-（3y-4）（3y+5），采用待定系数法，可设 2x +（3y+14）x-（9y +3y-20）=[mx-（3y-4）][nx+（3y+5）] 比较左、右两边的x*和x项的系数，得m=2，n=1， 所以2x +3xy-9y +14x-3y+20=（2x-3y+4）（x+3y+5）. 注意实数范围内分解因式，一般只要求分解到有理数范围内.特别的题目要求，可继续分解 到实数.2 2 2 2 2 2第二节分式及其运算1、同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。a b a+b a b a ?b + = 或 ? = c c c c c c20 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义解一解： （1）a2 b 2 + 2ab + a+b a+b x+ y 3x ? 2x ? y 2x ? y x + 3y x + 2 y 2x ? 3y + ? 2 2 2 x ?y x ? y2 x2 ? y2（2）（3）判断正误：(1 ) (2 (3 (4 (5 (6 12 5 7 ? = ; a a a 2 3 a 5 a + = ) xy xy xy 5 n 15 n ? = ? ) m m a 2 a ? ) x ? y x ? y x x + ) x + y x + y x + 3 2 ? x ? ) 3 xy 3 xy; 10 m = = = x + y 1 . 3 xy2、异分母分式通分时，通常取最简单公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。 例： （1）a+2 a+4 3 a ? 15 3 3x 2a 1 + (3) 2 (4) 2 + ? ? 2 （2） a 5a x ? y 2( x ? y ) a ?4 a?2 a ? 2a a ? 4总结归纳： 3、乘法：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积作积的分母.a c ac . = . b d bd4、除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.a c a d ad ÷ = . = . b d b c bc5、乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方.21 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义a n an ( ) = n b b（n为正整数）.【注意】分式计算的几个原则及技巧：（1）低级（加减）运算先通分；（2）高级运 算勿忘提式（公因式）约分；（3）分母为因式积时要考虑拆开；（4）涉及求未知数值， 勿忘分母不为零；（5）变形技巧为乘1.第三节知识点一：集合函数1、集合的概念 （1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对 象. （2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全 体构成的集合. （3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大写的拉丁字母表示，如 A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如 a、 b、c、…… 2、元素与集合的关系 （1）属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a∈A （2）不属于：如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a ? A 要注意“∈”的方向，不能把 a∈A 颠倒过来写. 3、集合中元素的特性 （1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 4、集合分类 根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分 Φ ， {Φ} ， {0} ，0 等符号的含义 5、常用数集及其表示方法 （1）非负整数集（自然数集） ：全体非负整数的集合.记作 N * （2）正整数集：非负整数集内排除 0 的集.记作 N 或 N+ （3）整数集：全体整数的集合.记作 Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作 Q22 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义（5）实数集：全体实数的集合.记作 R 注： （1）自然数集包括数 0. * （2）非负整数集内排除 0 的集.记作 N 或 N+，Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集， * 也这样表示，例如，整数集内排除 0 的集，表示成 Z知识点二：一元二次函数及其图像1、函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0) 叫做一元二次函数。22、 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3、任何一个二次函数 y = ax + bx + c(a ≠ 0) 都可把它的解析式配方为顶2点式： y = a ( x + 性质如下：b 2 4ac ? b 2 ) + ， 2a 4a（1）图象的顶点坐标为 (? （2）最大（小）值b 4ac ? b 2 b , ) ，对称轴是直线 x = ? 。 2a 4a 2a① 当 a & 0 ，函数图象开口向上， y 有最小值， y min =4ac ? b 2 ，无最大值。 4a② 当 a & 0 ，函数图象开口向下， y 有最大值， y max （3）当 a & 0 ，函数在区间 ( ?∞,?4ac ? b 2 = ，无最小值。 4ab b ) 上是减函数，在 ( ? ,+∞ ) 上是增函数。 2a 2a b b 当 a & 0 ，函数在区间上 ( ? ,+∞ ) 是减函数，在 ( ?∞,? ) 上是增函数。 2a 2a ?& 0(与x轴有两个不同交点) ? 2 4、判别式： Δ = b ? 4ac = ? = 0(与x轴有一个交点) ? & 0(与x轴没有交点) ?5、总结归纳： 函数 一般式 顶点式 方程 不等式y = ax 2 + bx + c y = a(x - h) 2 + kax 2 + bx + c = 0ax 2 + bx + c＞023 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义两根式y = (x ? x 1 )(x ? x 2(x ? x 1 )(x ? x 2 ) = 0(x ? x 1 )(x ? x 2 ) & 0判别式?& 0(有两个不等实根) ? Δ = b ? 4ac = ?= 0(有两个相等实根) ? & 0(无实根) ?2求根公式x 1,2 =? b ± b 2 ? 4ac 2aa&0 开 口 方 向a&0对称轴x=?b 2a顶点 Y 轴截距 交点 情况 △&0 △=0 △&0 有两个交点 有一个交点 无交点(?Δ b 4ac ? b 2 , ) ? (对称轴， ? ) 2a 4a 4ac 两个不等实根 两个相等实根 无实根 根据实际进行讨论24 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义知识点三：指数函数1、指数函数的定义： 函数 y = a ( a & 0且a ≠ 1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R 规定 a&0x新疆王新敞奎屯且 a≠1 在规定以后，对于任何 x ∈ R， a 都有意义，且 a &0. 因此指数函数的定义域是 R， 值域是(0,+∞).x x王新敞奎屯 新疆2、 y = a ( a & 0且a ≠ 1) 的图象和性质x王新敞奎屯新疆a&16 50&a&16 544图象1-4 -233221110-1246-4-20-1246性质(1)定义域：R （2）值域： （0，+∞） （3）过点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数知识点四：对数函数引入： z 庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭 （1）取 4 次，还有多长？（2）取多少次，还王新敞奎屯 新疆有 0.125 尺？ z 假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元， 如果每年平均增长 8%， 那么经过多少年国民 生产总值是 2002 年的 2 倍？?1? ?1? 抽象出：1. ? ? ＝？， ? ? ＝0.125 ? x=? ?2? ?2?王新敞奎屯 新疆4x2. (1 + 8% ) =2 ? x=?x也是已知底数和幂的值，求指数 你能看得出来吗？怎样求呢？ 1、 定义 一般地，如果 a (a & 0, a ≠ 1) 的 b 次幂等于 N, 就是 a = N ，那么数 b 叫做 以 a 为底 Nb的对数，记作 log a N = b ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数王新敞奎屯新疆25 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义底数 指数 幂a b =N ↓↓↓log a N＝b ↓↓ ↓ 对数底数 真数例如：4 2 = 16 ? log 4 16 = 21;10 2 = 100 ? log10 100 = 2 10 ?2 = 0.01 ? log10 0.01 = ?24 2 = 2 ? log 4 2 =2、重要公式1 2;⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N & 0 ） ⑵ log a 1 = 0 ， log a a = 1 ∵对任意 a & 0 且 a ≠ 1 , 同样易知： log a a = 1 ⑶对数恒等式 如果把 a = N 中的 b 写成 log a N ,b都有 a = 10∴ log a 1 = 0则有 alog a N=N王新敞奎屯 新疆⑷常用对数： 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 为了简便,N 的常用对数 log10 N 简 记作 lgN王新敞奎屯 新疆例如： log10 5 简记作 lg5 ; log10 3.5 简记作 lg3.5. ⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数，以 e 为底的对 数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数 log e N 简记作 lnN 例如： log e 3 简记作 ln3 ; log e 10 简记作 ln10 (6)积、商、幂的对数运算法则： 如果 a & 0，a ≠ 1，M & 0， N & 0 有：王新敞奎屯 新疆log a (MN) = log a M + log a N (1) M = log a M ? log a N ( 2) log a N log a M n = nlog a M(n ∈ R) ( 3)26 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义证明：①设 log a M=p, log a N=q王新敞奎屯新疆由对数的定义可以得：M= a ，N= a ∴MN= a a = ap q p+qpq王新敞奎屯 新疆∴ log a MN=p+q，王新敞奎屯 新疆即证得 log a MN= log a M + log a N ②设 log a M=p， log a N=q王新敞奎屯 新疆由对数的定义可以得 M= a ，N= apq王新敞奎屯 新疆∴M ap = = a p ?q N aq∴ log aM = p?q N王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆即证得 log aM = log a M ? log a N N③设 log a M=P ∴M ＝an np由对数定义可以得 M= a , ∴ log a M =np，np即证得 log a M =n log a Mn说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算 性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。 ①简易语言表达： “积的对数 = 对数的和”…… ②有时逆向运用公式：如 log10 5 + log10 2 = log10 10 = 1 ③真数的取值范围必须是 (0,+∞) ：王新敞奎屯 新疆log 2 (?3)(?5) = log 2 (?3) + log 2 (?5) 是不成立的王新敞奎屯新疆log10 (?10) 2 = 2 log10 (?10) 是不成立的④对公式容易错误记忆，要特别注意：王新敞奎屯新疆log a ( MN ) ≠ log a M ? log a N（7）对数换底公式：， log a ( M ± N ) ≠ log a M ± log a N王新敞奎屯新疆log a N =log m N log m a( a & 0 ,a ≠ 1 ，m & 0 ,m ≠ 1,N&0)27王新敞奎屯新疆 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义证明：设 log a N = x , 则 ax= Nx王新敞奎屯新疆两边取以 m 为底的对数： log m a = log m N ? x log m a = log m N 从而得： x =log m N log m a∴ log a N =log m N log m a王新敞奎屯新疆（8）两个常用的推论: ① log a b ? log b a = 1 ， ② log a m b =nlog a b ? log b c ? log c a = 1王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆n log a b （ a, b & 0 且均不为 1） m lg b lg a ? =1 lg a lg b王新敞奎屯 新疆证：① log a b ? log b a =② log a m b =nlg b n n lg b n = = log a b m m lg a m lg a2、 对数函数的性质 由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质 a&13 3 2.5 2.5 2 2王新敞奎屯 新疆0&a&11.51.5图 象1-111110.50.50-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域： （0，+∞） 值域：R 性 质 过点（1，0） ，即当 x=1 时，y=0x ∈ (0,1) 时 y & 0 x ∈ (1,+∞) 时 y & 0在（0，+∞）上是增函数x ∈ (0,1) 时 y & 0 x ∈ (1,+∞) 时 y & 0在（0，+∞）上是减函数28 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义第四节代数方程1、 基本定义：含有未知数的等式 元：含有未知数的个数。次：未知数的最高次数。 例如： x + 3xy + z = 0 （三元四次方程）2 2 42、 一元一次方程： ax + b = 0 ? x = 3、 一元二次方程： z z 一般式： ax + bx + c = 0(a ≠ 0)2b (a ≠ 0) a?& 0(有两个不等实根) ? 2 判别式： Δ = b ? 4ac = ?= 0(有两个相等实根) ? & 0(无实根) ? ? b ± b 2 ? 4ac 2a 两根式： (x ? x 1 )(x ? x 2 ) = 0求根公式： x 1,2 = 韦达定理： （根与系数的关系）2z z z若 x1、x 2 是 ax + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个根。b ? ? x1 + x 2 = ? a 则比满足 ? c （注：韦达定理不受实根虚根的限制） ? x1 ? x 2 = a ?韦达定理的应用：29 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义4、 根的分布： z?x 1 + x 2 & 0 ? 方程有两个正根 ? x 1 ? x 2 & 0 ? Δ≥0 ? ?x 1 + x 2 & 0 ? 方程有两个负根 ? x 1 ? x 2 & 0 ? Δ≥0 ?? ?x 1 + x 2 & 0 ? ? ? 正根 & 负根，有? x1 x 2 & 0 ? Δ&0 ? ? x1 x 2 & 0 ? ? ，若 ? 方程有一正一负根 ? x1 + x 2 & 0 ? Δ 0 & ? ? ? ? 正根 & 负根，有? x1 x 2 & 0 ? ? Δ&0 ? ? ?zz5、 二元一次方程组： ?? a 1 x + b1 y = c1 ?a 2 x + b 2 y = c 2第五节知识点一：不等式的性质1．不等式的性质： ⑴(对称性或反身性) a & b ? b & ⑵(传递性) a & b，b & c ? a &不等式⑶(可加性) a &b?a+c &b+c,此法则又称为移项法则; (同向可相加) a & b，c & d ? a + c & b + d ⑷(可乘性) a & b，c & 0 ? ac & bc； a & b，c & 0 ?ac & bc . (正数同向可相乘) a & b & 0，c & d & 0 ? ac & bd ⑸(乘方法则) a & b & （ 0 n ∈ N） ?a &b &0n n⑹(开方法则) a & b & （ 0 n ∈ N , n ≥ 2） ? n a & nb &0 ⑺(倒数法则) a & b，ab & 0 ?1 1 & a b注意： 条件与结论间的对应关系，是“ ? ”符号还是“ ? ”符号；运用不等式性质的关键是 不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。 运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今30 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义后研究和认识不等式的基本手段. ⑶如果 a,b,c∈{x|x 是正实数}，那么 a + b + c ≥ 3 abc .3（当且仅当 a=b=c 时取“=”号）知识点二：均值不等式2．定理 1： 如果 a,b∈{x|x 是正实数}，那么a+b ≥ ab （当且仅当 a=b 时取“=”号）. 2注：该不等式可推出:当 a、b 为正数时,2 a 2 +b 2 a+b ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b（当且仅当 a = b 时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 ： 2.含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数） ⑴ a +b ≥ a b + ab3 3 2 2⑵由 a 3 +b 3 +c 3 ?3abc = (a + b + c)(a 2 +b 2 +c 2 ?ab ? ac ? bc) 可推出 a +b + c ≥ 3abc3 3 3( a + b + c & 0等式即可成立 , a = b = c或a + b + c = 0时取等); 3.绝对值不等式：⑴ a ? b ≤ a ? b ≤ a + b (ab ≥ 0时,取等号) ⑵ a 1 +a 2 +a 3 ≤ a 1 + a 2 + a 3注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大), 特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.知识点三：不等式求解1．不等式同解变形 （1）同解不等式（(1) f ( x ) & g ( x ) 与 f ( x ) + F ( x ) & g ( x ) + F ( x ) 同解； （ 2 ） m & 0，f ( x ) & g ( x ) 与 mf ( x ) & mg ( x ) 同 解 ， m & 0，f ( x ) & g ( x ) 与mf ( x ) & mg ( x ) 同解；31 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义（3）f ( x) & 0 与 f ( x ) ? g ( x ) & 0 ( g ( x ) ≠ 0 同解） ； g( x)2．一元一次不等式 解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础， 必须熟练掌握，灵活应用。?(1)a & 0 ? ax & b ? 分 ?(2)a = 0 情况分别解之。 ? ?(3)a & 03．一元二次不等式ax 2 + bx + c & 0 (a ≠ 0) 或 ax 2 + bx + c & 0 (a ≠ 0) ? 分 a & 0 及 a & 0 情况分别解之，还要注意 Δ = b ? 4ac 的三种情况，即 Δ & 0 或 Δ = 0 或 Δ & 0 ，最好联系二次函数2的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形：f ( x) f ( x) &0 ? f(x)?g(x)&0， ≥0 ? g ( x) g ( x)? f ( x) ? g ( x) ≥ 0 。 ? ? g ( x) ≠ 05．简单的绝对值不等式 绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值 不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。 解绝对值不等式的常用方法： ①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一 般不等式； ②等价变形： 解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|&a ? x2&a2 ? －a&x&a(a&0)， |x|&a ? x2&a2 ? x&a 或 x&－a(a&0)。一般地有：|f(x)|&g(x) ? －g(x)&f(x)&g(x)， |f(x)|&g(x) ? f(x)&g (x)或 f(x)&g(x)。6．指数不等式a f ( x) & a g( x) ?32 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义(1) 当a & 1时，f ( x ) & g ( x ) ； (2) 当 0 & a & 1时，f ( x ) & g ( x ) ；7．对数不等式a b = N ? b = log a N(a & 0，b & 0， log a m b n ) ? n 1 等， log a b， log a b = m log b alog a f ( x ) & log a g ( x ) ?（1）当 a & 1 时， ?? ? g( x) & 0 ； ? ? f ( x) & g( x)? f ( x) & 0 ? （2）当 0 & a & 1 时， ? 。 ? ? f ( x) & g( x)第六节知识点一：数列概述数列1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次 序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2． 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项 （或首项） ，第 2 项，…，第 n 项，…. 3．数列的一般形式： a1 , a 2 , a3 ,, an ,，或简记为 {a n } ，其中 a n 是数列的第 n 项⒋ 数列的通项公式：如果数列 {a n } 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 5．数列的求和公式： S n = a1 + a 2 + a3 + 6．有穷数列：项数有限的数列. 7．无穷数列：项数无限的数列.+ an33 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义知识点二：等差数列1．等差数列的定义： a n － a n ?1 =d ， （n≥2，n∈N ） 2．等差数列的通项公式：+a n = a1 + (n ? 1)d( a n = a m + ( n ? m) d 或 a n =pn+q (p、q 是常数))3．几种计算公差 d 的方法： ① d= a n － a n ?1 4．等差中项： A = ② d=a n ? a1 n ?1③ d=an ? am n?ma+b ? a, A, b, 成等差数列 25．等差数列的性质： m+n=p+q ? a m + a n = a p + a q (m, n, p, q ∈N ) 6．数列的前 n 项和： 数列 {a n } 中， a1 + a 2 + a 3 ++ a n 称为数列 {a n } 的前 n 项和，记为 S n .n(a1 + a n ) 2等差数列的前 n 项和公式 1： S n =等差数列的前 n 项和公式 2： S n = na1 + 7. S n =n(n ? 1)d 2d 2 d n + (a 1 ? )n ，当 d≠0，是一个常数项为零的二次式 2 2王新敞奎屯 新疆8. S n 是等差数列前n项和，则 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 仍成等差数列知识点三：等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q≠0） ， 即：an =q（q≠0） a n ?12.等比数列的通项公式:a n = a1 ? q n ?1 (a1 ? q ≠ 0) ， an = am ? q n ? m (a1 ? q ≠ 0)3． ｛ a n ｝成等比数列 ?a n +1 + =q（ n ∈ N ,q≠0） an34 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义“ a n ≠0”是数列｛ a n ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G 为 a 与 b 的等比中项. 6．性质：若 m+n=p+q， a m ? a n = a p ? a q 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8． 等比数列的增减性： 当 q&1, a1 &0 或 0&q&1, a1 &0 时, { a n }是递增数列;当 q&1, a1 &0, 或 0&q&1, a1 &0 时, { a n }是递减数列;当 q=1 时, { a n }是常数列;当 q&0 时, { a n }是摆动 数列; 9．等比数列的前 n 项和公式： ∴当 q ≠ 1 时， S n = 即 G=± ab （a,b 同号）.a1 (1 ? q n ) ① 1? q或 Sn =a1 ? a n q 1? q②当 q=1 时， S n = na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①；当已知 a1 , q, a n 时，用公式②. 10． S n 是等比数列 {a n } 的前 n 项和， ①当 q=－1 且 k 为偶数时， S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 不是等比数列. ③ q≠－1 或 k 为奇数时， S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k 仍成等比数列王新敞奎屯 新疆第七节【题型1】有关整式的计算综合题型详解【解题提示】这类题目基本知识点比较少，但是其灵活性比较高，因此，在做 题时一定要仔细观察原式、变化后的式子以及所要求解的问题；对于大多数问 题，可以从所求的结论入手，进而向已知条件靠近. 【例2.1】当a，b，c取何值时，多项式f（x）=2x-7与g（x）=a( x ? 1) 2 ? b( x + 2) + c( x 2 + x ? 2) 相等.35 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义（A） a = ?11 5 11 ,b = ,c = 9 3 9（B）a=-11，b=15，c=11（C） a =11 5 11 ,b = ,c = ? 9 3 9（D）a=11，b=15，c=-11（E）以上结论均不正确 【解析】可以利用多项式相等的定义，即若两多项式相等，必有对应同类项 的系数相等，两多项式的项数相等.而g（x） = a ( x ? 1) 2 ? b( x + 2) + c( x 2 + x ? 2) = (a + c) x 2 + (c ? 2a ? b) x + a ? 2b ? 2c11 ? ?a = ? 9 , ?a + c = 0, ? 5 11 5 ? ? 有?c ? 2a ? b = 2, 解得?b = , 故a = ? , b = , 3 9 3 ?a ? 2b ? 2c = ?7, ? ? 11 ? ?c = 9 , ? 11 c= , 9显然选A. 【评注】两多项式相等、次数相等的项所对应的系数相等即可.判断两多项式 相等与否，首先要看其项数是否相等，这是两多项式相等的必要条件，但不是 充分条件. 【例2.2】确定m，b的值，使 mx （A）m=1，b=4 （C）m=-3，b=44+ bx 3 + 1 能被（x-1） 整除.2（B）m=3，b=-4 （C）m=1，b=-3（E）以上结论均不正确 【解析】方法一（竖式除法）：36 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义?4m + 3b = 0, ?m = 3, 选B. 即有 ? 解得 ? 1 ? 2 b ? 3 m = 0 , b 4 , = ? ? ?方法二（待定系数法） mx4+ bx 3 + 1 = (mx 2 + ax + c)( x ? 1) 2 即mx 4 + bx 3 + 1 = mx 4 + (a ? 2m) x 3 + (m + c ? 2a ) x 2 + (a ? 2c) x + c, ?a = 2, ?b = a ? 2m, ?b = ?4, ?m + c ? 2a = 0, ? ? 有? 解得? 显然选B. a 2 c 0 , c 1 , = ? = ? ? ? ? c 1 , = ?m = 3, ?【评注】解有关整式整除的题目，一般都可以从以上两种解法考虑.方法一 比较容易理解，它是从数的竖式除法计算中延伸出来的一种解法，只要余式为 零，那么两式子其中的一个就能被另一个整除；方法二也是解整式的一种常用 技巧，其采用了方程的思想，然后利用两个多项式相等即可求出待定参数.在假 设另外一个式子时，要注意题目中所用到的技巧，方法二中并没有假设mx 4 + bx 3 + 1 = (ax 2 + cx + d )( x ? 1) 2 ，考虑一下为什么.【例2.3】对任意实数x，等式ax-4x+5+b=0恒成立，求（a+b）2010=（）. （A）0 （B）1 （C）21004 （D）22008 （E）2 【解析】方法一（基本解法）：ax-4x+5+b=0 ? （a-4）x+（5+b）=0，又对 任意实数x，等式是恒成立的，故有a=4，b=-5，有a+b=-1，从而（a+b）2010=1， 选B. 方法二（特值法）：由于对任意实数x，等式ax-4x+5+b=0恒成立，那么可 以取x=1，那么原式转化为a-4+5+b=0 ? a+b=-1，所以（a+b）2010=1，选B. 【评注】对于这类整式题目的计算是比较灵活的，只要抓住所要求的结论，37 2014 考研专硕管理类联考数学基础班内部讲义进而向上寻找到关键的条件，即可计算出来.必要时可以考虑特殊值，但要注意 并不是所有的这类计算特殊值法都有效.x2 ? y 2 ? z 2 ?2 x ? 2 y ? z = 0, 【例2.4】已知 ? 则分式 2 x + y2 + z2 ? x + 2 y + z = 0,（A）-2 （B）-1 （C）0 （D）1 （E） 【解析】方法一（基本解法）：显然有1 2=（）.? x = 0, 0 2 ? y 2? (?2 y ) 2 ?5 = = ?1, 选B. 故 2 ? 2 2 5 ? z = ?2 y, 0 + y + (?2 y )方法二（特殊值法）：显然x=0，y=1，z=-2满足已知的方程组，故x 2 ? y 2 ? z 2 0 2 ? 12 ? (?2) 2 = = ?1 ，选B. x 2 + y 2 + z 2 0 2 + 12 + ( ?2) 2【题型2】考察分式化简 【解题提示】分式化简的关键在于分解因式.所以因式分解是整}
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