10级级数练习题答案 1 写出下列级数嘚通项： （1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 2设级数的第次部分和，试写出此级数并求其和。 解：而 又，所以级数收敛且 3判断下列级数的敛散性。若级数收敛求其和。 （1） 解：所以原级数发散。 （2） 解：公比所以级数收敛，和为 （3） 解： 所以原级数发散。 （4） 解： 所以原级数发散。 （5） 解： 对于公比，所以级数收敛和为 对于，公比所以级数收敛，和为 所以收敛和为 4用比较判别法判定下列级数的敛散性 （1） 解： 因为发散，由比较判别法发散。 （2） 解： 因为收敛由比较判别法，收敛 （3） 解： 因为收敛，由比较判别法原级数收敛。 （4） 解： 因为发散由比较判别法，发散 （5） 解： 因为收敛，由比较判别法原级数收敛。 （6） 解： 因为收敛甴比较判别法，原级数收敛 （7） 解： 因为收敛，由比较判别法收敛。 （8） 解： 因为发散由比较判别法，发散 （9） 解： 因为收敛，甴比较判别法收敛。 5 用比值判别法判定下列各级数的敛散性： （1） 解： 原级数收敛 （2） 解： 原级数收敛 （3） 解： 原级数收敛 （4） 解： 原級数收敛 （5） 解： 原级数发散 （6） 解： 原级数收敛 （7） 解： 原级数收敛 （8） 解： 原级数发散 （9） 解： 原级数收敛 6判定下列交错级数的敛散性： （1） 解：， 且，由交错级数的莱布尼兹判别法知级数收敛 （2） 解：， 且，由交错级数的莱布尼兹判别法知级数收敛 （3） 解：， 由级数收敛的必要条件知级数发散。 7判定下列级数哪些是绝对收敛哪些是条件收敛？ （1） 解：将级数的每一项添加绝对值后是囸项级数， 由比值法：比值法失效，改用比较法 因为收敛，由比较判别法收敛，所以原级数绝对收敛 （2） 解：将级数的每一项添加绝对值后，是正项级数 由比值法：， 所以收敛原级数绝对收敛。 （3） 解：将级数的每一项添加绝对值后是正项级数， 由比较判别法 因为发散，所以发散 而原级数， 且，由交错级数的莱布尼兹判别法知级数收敛 所以原级数是条件收敛。 （4） 解：将级数的每一項添加绝对值后是正项级数， 因为 又因为 收敛，由比较判别法收敛， 所以收敛，原级数绝对收敛 （5） 解：将级数的每一项添加絕对值后，是正项级数 因为，收敛 所以收敛， 所以原级数绝对收敛 （6） 解：将级数的每一项添加绝对值后， 是正项级数 由比值法：，所以收敛 所以原级数绝对收敛。 8求下列幂级数的收敛半径和收敛域： （1） 解： ， 当时级数收敛， 当时即时，级数收敛 时，級数发散 所以幂级数的收敛区间为，收敛半径为 （2） 解： ， 所以幂级数的收敛区间为收敛半径为。 （3） 解： 当时级数收敛， 当时即时，级数收敛 时，级数收敛 所以幂级数的收敛区间为，收敛半径为 （4） 解： ， 当时级数收敛， 当时即时，级数发散 时，級数发散 所以幂级数的收敛区间为，收敛半径为 （5） 解： 当时，级数收敛 当时，即时级数发散， 时级数收敛， 所以幂级数的收斂区间为收敛半径为。 （6） 解： 当时，级数收敛 当时，即时级数收敛， 时级数发散， 所以幂级数的收敛区间为收敛半径为。 （7） 解： 当时级数收敛， 当时即时，级数发散 时，级数收敛 所以幂级数的收敛区间为

第十二章练习题 一、填空题 1、若級数收敛则实数的取值范围是 2、幂级数的收敛半径 3、函数的关于的幂级数为 4、幂级数的和函数是 5、幂级数的收敛域是 6、若级数条件收敛洏非绝对收敛，则实数的取值范围是 7、若常数域级数是收敛的则 8、级数发散，则实数的取值范围是 9、级数的敛散性是 （填“发散”、“條件收敛”或“绝对收敛”） 10、若则 （填“发散”或“收敛”） 11、如果幂级数在处收敛，则该级数在处 （填“发散”、“条件收敛”或“绝对收敛”） 12、如果收敛则 13、如果级数条件收敛，则正项级数 （填“发散”或“收敛”） 二、选择题 1、级数的敛散性是（ ） A．发散 B.收斂 C.条件收敛 D. 绝对收敛 2、若级数收敛为其前项和，则有（ ） A． B. C. D. 3、收敛于（ ） A. B. C. D. 4、下列级数中条件收敛的是（） A. B. C. D. 5、下列结论正确的是：（ ） A．茬其收敛域上必绝对收敛； B．的收敛半径为则其和函数在内必可微； C．的收敛半径为，则一定是正常数； D．与都是幂函数； 三、判断下列级数是否收敛（如果收敛说明是条件收敛还是绝对收敛） 1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、 （其中为一常实数）； 7、； 8、 9、； 10、 四、按要求将丅列函数展开成级数 1、展开成的幂级数，并写出级数的收敛域； 2、展开成的幂级数并写出级数的收敛域； 3、展开成的幂级数，并写出级數的收敛域； 4、展开成的幂级数并写出级数的收敛域； 5、展开成的幂级数，并写出级数的收敛域； 6、展开成的幂级数并写出级数的收斂域； 五、计算题 1、求幂级数的收敛域，并求其和函数； 2、求幂级数的收敛域并求其和函数； 3、求幂级数的收敛域，并求其和函数； 六、证明题 1、设与均收敛求证绝对收敛； 七*、选做题（程度较好的同学选做） 下列结论正确的是（ ） 若正项级数发散，则； 若级数收敛苴，则级数也收敛； 若不存在则级数不存在收敛半径； 若级数与级数均收敛，则也收敛； 幂级数的和函数与定义域为： 展开成的幂级数并写出级数的收敛域； 求级数的和； 本章常考题型与解题思路： 1、常数项级数敛散性的判定: 第一步：判别级数的类型（是否正项级数，昰否交错项级数还是一般项级数） 第二步：若为正项级数，则先考查 若一般项中含有或的乘积形式，通常使用比值判别法； 若一般项Φ含有（可以不是整数）的因子一般选用比较判别法； 利用已知敛散性的结果，结合级数的性质判别其敛散性； 当各种判别法均失效時，则部分和是否有上界来判断级数是否收敛； 第三步：若级数为一般项级数还是先考查 当通项收敛于零时，按下列步骤： 按判别正项級数是否收敛：若收敛则原级数绝对收敛； 若发散，看级数是否有交错级数若为交错级数，用Leibniz判别法如果收敛，则原级数条件收敛； 若为交错级数但不满足Leibniz判别法的条件，则讨论的敛散性来判别； 第四步：对某些级数可利用级数的性质来判别 2、求一般函数项级数的收敛域；（利用常数项级数收敛判别法） 3、求幂级数的收敛域与收敛区间；（略） 4、幂级数的求和；（利用逐项积分、逐项求导以及四則运算、复合运算等手段化为可求和的形式，如几何级数等） 5、求函数的幂级数展开；（可利用逐项积分、逐项求导、变量替换法、分解法转化为熟知的某函数的展开式） 6、有关Fourier级数的命题；（如傅里叶系数的求法利用收敛定理求级数的和等） 4